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吉林省吉林市第一中学2015-2016学年高一数学11月月考试题


吉林一中 15 级高一上学期月考(11 月份) 数学(理科)试卷
一.选择题(每题只有一个选项符合要求,每小题 5 分,共 60 分) 1.如图所示的四个几何体,其中判断正确的是 ( )

A.(1)不是棱柱

B.(2)是棱柱

C.(3)是圆台

D.(4)是棱锥 )

/>2.设全集 U=R,集合 M={x|-2≤x<3},N={x|-1≤x≤4},则 N∩?UM= ( A.{x|-2≤x<-1} C.{x|3≤x≤4} B.{x|-1≤x≤3} D.{x|3<x≤4} ).

3.若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线 ( A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面

4.若 0<x<y<1,则( ) y x A. 3 <3 B.log4x<log4y 1 1 ? ?x ? ?y C.? ? <? ? D. logx3<logy3 ?4? ?4? 5.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 ( A.2 对 B.3 对 C.6 对 D.12 对

).

6.已知方程|x|-ax-1=0 仅有一个负根,则 a 的取值范围是 ( A.a≥1 B.a>1 C. a<1 D.a≤1 7.已知函数 f ?x ? ? 2 ? x ,则函数 f ? x ? 的零点的个数为 (
x 2

) )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

8.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60°; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上结论中正确的为 ( A.①② ). D.①③ )

B.③④ C.②③

9.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ( A.

?8 ? ? ?
6

3

B.

?8 ? 2? ?
6

3

1

C.

?6 ? ? ?
6

3
x

D.

?9 ? 2? ?
6

3
)

10.已知函数 f(x)= A.1007

4 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2014? , 则 f? ? f? ? f? ??? f ? ? ? ? ? ?( 4 +2 ? 2015? ? 2015? ? 2015? ? 2015? B.1008 C.2014 D.2015
x x

11.对任意实数 x>-1,函数 f(x)是 2 , log 1 ( x ? 1) 和 1-x 中的最大者,则函数 f(x)的
2

最小值为( A.在(0,1)内

) B.等于 1 C.在(1,2)内 D.等于 2

12.已知点 A、B、C、D 均在球 O 上,AB ? 体积的最大值为 A. 36?

若三棱锥 D ? ABC BC ? 3 ,AC ? 3 , )

3 3 ,则球 O 的表面积为( 4
B.16?

C.12?

D.

16 ? 3

二.填空题(每小题 5 分,共 40 分) 2 13.已知集合 A={x|x -9x+14=0},集合 B={x|ax+2=0},若 B A,则实数 a 的取值集 合为________. 14. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径 和他们的高都与某一个球的直径相等, 此时圆柱、 圆锥、 .. 球的体积之比为 .
T

15.已知函数

1? 上是减函数,则 a 的取值范围是 f ?x? ? loga ?2 ? ax? 在区间 ?0,
.

.

16. 如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的体积等于

17. 已知函数

??1 ? 2a ?x ? 3a, x ? 1 f ?x ? ? ? 的值域为 R, ln x , x ? 1 ?
.

则 a 的取值范围是 18. 若函数

2?, f ?mx ? 2? ? f ?x? ? 0 恒成立, f ?x? ? x3 ? x ,对任意的 m ? ?? 2,
.

则 x 的取值范围是

2

19. 如图所示, 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, A1B1 的中点是 P, 过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面,则截面的面积是 .

20. 下列说法中: ①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行; ②在平行投影下, 与投影面平行的平面图形留下的影子, 与这个平面图形的形状和大小完全 相同; ③一个圆绕其任意一条直径旋转 180°所形成的旋转体叫做球; ④a∥b,b? α ? a∥α ; ⑤已知三条两两异面的直线,则存在无穷多条直线与它们都相交. 则正确的序号是 .

三.解答题(共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(本小题满分 12 分) 在底面半径为 2,母线长为 4 的圆锥中内有一个高为 3的圆柱. (1)求:圆柱表面积的最大值; (2)在(1)的条件下,求该圆柱外接球的表面积和体积.

22.(本小题满分 12 分) 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,M,N 分别是 B1C1,A1D1,A1B1,BD,B1C 的中点, 求证:(1)MN∥平面 CDD1C1. (2)平面 EBD∥平面 FGA.

3

23.(本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 中,BC=2,AB=1,PA⊥平面 ABCD,BE∥PA,BE=

1 PA,F 为 PA 的中点. 2

(1)求证:DF∥平面 PEC. (2)记四棱锥 C-PABE 的体积为 V1,三棱锥 P-ACD 的体积为 V2,求

V1 的值. V2

24.(本小题满分 14 分) 已知函数

f ?x? ? log2 x ? 1的定义域为 ?1,16? ,函数 g ?x ? ? ? f ?x ?? ? af ?x 2 ? ? 2 .
2

(1)求函数 y (2)求函数 y (3)若函数 y

? g ?x? 的定义域; ? g ?x? 的最小值; ? g ?x? 的图象恒在 x 轴的上方,求实数 a 的取值范围.

4

吉林一中 15 级高一上学期月考(11 月份) 数学(理科)答案 一.选择题(每题只有一个选项符合要求,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 B 5 C 6 A 7 C 8 D 9 A 10 A 11 B 12 B

二.填空题(每小题 5 分,共 40 分) 13. ?? 1,?

? ?

7 ? ,0 ? 2 ?

14.3:1:2

15.1 ? a ? 2

16.

8 2? 3

17. ? 1 ?

a?

1 2

18. ? 2 ?

x?

2 3

19. 2

6

20. ②⑤

三.解答题(共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(1) 当圆柱内接与圆锥时,圆柱的表面积最大. 设此时,圆柱的底面半径为 r,高为 h′. 2 2 圆锥的高 h= 4 -2 =2 3, 又∵h′= 3, 1 r 2 3- 3 ∴h′= h.∴ = ,∴r=1. 2 2 2 3 ∴S 表面积=2S 底+S 侧=2π r +2π rh′ =2π +2π × 3=2(1+ 3)π . (6 分) (2)设圆柱的外接球半径为 R.
2

7 2 S ? 7? 7 7? V? 6 R?

(12 分)

22.(1)连接 BC1,DC1, ∵四边形 BCC1B1 为正方形,N 为 B1C 的中点, ∴N 在 BC1 上,且 N 为 BC1 的中点. 又∵M 为 BD 的中点,∴MN

又 MN ? 平面 CDD1C1,DC1? 平面 CDD1C1, ∴MN∥平面 CDD1C1. (6 分) (2)连接 EF,B1D1,则 EF AB.

1 DC1. 2

∴四边形 ABEF 为平行四边形,∴AF∥BE. 又易知 FG∥B1D1,B1D1∥BD,∴FG∥BD. 又∵AF∩FG=F,BE∩BD=B, ∴平面 EBD∥平面 FGA. (12 分)

5

23. (1)连接 EF,由已知,BE∥AF,BE=AF, 又 PA⊥平面 ABCD,∴四边形 ABEF 为矩形. ∴EF AB.又矩形 ABCD 中,AB CD.

∴四边形 CDFE 为平行四边形,则 DF∥EC. 又 DF ? 平面 PEC,EC ? 平面 PEC, ∴DF∥平面 PEC. (6 分)

(2)∵三棱锥 P-ACD 的体积与三棱锥 P-ABC 的体积相等,即 V2=VP-ABC. ∵三棱锥 P-ABC 的体积即为三棱锥 C-PAB 的体积. △PAB 的面积为△PEB 面积的 2 倍. ∴三棱锥 C-PAB 的体积为三棱锥 C-PEB 的体积的 2 倍, 即 VC-PEB=

1 V2. 2 3 V2, 2

∴四棱锥 C-PABE 的体积 V1=V2+VC-PEB=



V1 3 ? . V2 2

(12 分)

24. 解: (1)? ?

?1 ? x ? 16 ,?1 ? x ? 4 2 ?1 ? x ? 16

即函数 y

? g ?x? 的定义域为 ?1,4?.
2

(2 分)

(2) g ?x? ? ? f ?x?? ? af x 2 ? 2 ? log2 2 x ? ?2a ? 2? log2 x ? a ? 3 . 令t

? ?

? log2 x, t ? ?0,2?,则
2

y ? t 2 ? ?2a ? 2 ?t ? a ? 2 ? ?t ? ?1 ? a ?? ? a 2 ? a ? 2 .
当a

? 1 时, y 在 ?0,2?上是增函数,所有 t ? 0, ymin ? 3 ? a ; a ? 1时, y 在 ?0,1 ? a?上是减函数, ?1 ? a,2?上是增函数,所有

当 -1 ?

t ? 1 ? a, ymin ? ?a 2 ? a ? 2 ;
当a

? ?1 时, y 在 ?0,2?上是减函数,所有 t ? 2, ymin ? 3a ? 3.

6

综上, g

?x ?

min

?3 - a, a ? 1 ? ? ?? a 2 ? a ? 2,?1 ? a ? 1 . ?3a ? 3, a ? ?1 ?

(8 分)

(3)由题知, g 当a

?x? ? 0 恒成立,即 g?x?

min

?0.

? 1 时, ymin ? 3 ? a ? 0,?1 ? a ? 3 ; a ? 1时, ymin ? ?a 2 ? a ? 2 ? 0,??1 ? a ? 1;

当 -1 ? 当a

? ?1 时, ymin ? 3a ? 3 ? 0,? a .无解

综上, a ?

?? 1,3?

(14 分)

7


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