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2015届高考苏教版数学(理)大一轮复习配套课件:第6章 第2节 一元二次不等式及其解法


第二节

一元二次不等式及其应用

结束

第二节

一元二次不等式及其应用

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

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第二节

一元二次不等式及其应用

结束

判别式 Δ=b2-4ac 二次函数
y=ax2+bx+c (a>0)的图像

Δ>0

Δ=0

Δ<0

一元二次方程 ax +bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
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2

有两相异实根 x1,x2(x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2=-2a
b {x|x≠-2a}

没有实数根

{x|x<x1或x>x2}

R

{x|x1<x<x2}
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第二节

一元二次不等式及其应用

结束

1.二次项系数中含有参数时,则应先考虑二次项是否 为零,然后再讨论二次项系数不为零时的情形,以便确定 解集的形式.
2.当Δ<0时,易混ax2+bx+c>0(a>0)的解集为R还是?.

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第二节

一元二次不等式及其应用

结束

[试一试] 1.(2013· 苏中三市、宿迁调研)设集合A={x|x2-2x-

3≤0},B={x|x2-5x≥0},则A∩(?RB)=________.

解析:集合A=[-1,3],B=(-∞,0]∪[5,+∞ ).从 而?RB=(0,5),则A∩ (?RB)=(0,3].
答案:(0,3] 2.不等式ax2+bx+2>0的解集是
? 1 1? ?- , ? ? 2 3?

,则a+b的值是

________. 1 1 解析:由题意知- 、 是ax2+bx+2=0的两根. 2 3

则a=-12,b=-2.a+b=-14. 答案:-14
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第二节

一元二次不等式及其应用

结束

3.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围 是________.
解析:∵不等式x2+ax+4<0的解集不是空集, ∴Δ=a2-4×4>0,即a2>16. ∴a>4或a<-4.
答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)

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第二节

一元二次不等式及其应用

结束

1.由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两 个常用结论
(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立?
? ?a=b=0, ? ? ?c>0, ? ?a>0, 或? ? ?Δ<0.

(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立?
? ?a=b=0, ? ? ?c<0, ? ?a<0, 或? ? ?Δ<0.

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第二节

一元二次不等式及其应用

结束

2.分类讨论思想

解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根 的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分 类讨论,分类要不重不漏.

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第二节

一元二次不等式及其应用

结束

[练一练] 若不等式mx2+2mx+1>0的解集为R,则m的取值范围是
________.

解析:①当m=0时,1>0显然成立. ②当m≠0时,由条件知
? ?m>0, ? 2 ? Δ = 4 m -4m<0. ?

得0<m<1, 由①②知0≤m<1.
答案:[0,1)
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一元二次不等式及其应用

结束

[典例]

解下列不等式:

(1)0<x2-x-2≤4; (2)x2-4ax-5a2>0(a≠0).

[解]

(1)原不等式等价于
2 ? ?x -x-2>0, ?? 2 ? ?x -x-6≤0

2 ? ?x -x-2>0, ? 2 ? ?x -x-2≤4

? ??x-2??x+1?>0, ?? ? ??x-3??x+2?≤0
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? ?x>2或x<-1, ?? ? ?-2≤x≤3.

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一元二次不等式及其应用

结束

借助于数轴,如图所示,

原不等式的解集为 x|-2≤x<-1或2<x≤3 . (2)由x2-4ax-5a2>0知(x-5a)(x+a)>0. 由于a≠0故分a>0与a<0讨论. 当a<0时,x<5a或x>-a; 当a>0时,x<-a或x>5a. 综上,a<0时,解集为 x|x<5a或x>-a ;a>0时,解集 为 x|x>5a或x<-a .
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? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

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一元二次不等式及其应用

结束

[类题通法] 1.解一元二次不等式的一般步骤: (1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,即ax2

+bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0); (2)计算相应的判别式; (3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根;
(4)根据对应二次函数的图像,写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层 次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进 行分类,其次根据根是否存在,即Δ的符号进行分类,最后在根 存在时,根据根的大小进行分类.
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第二节

一元二次不等式及其应用

结束

[针对训练] 解下列不等式: (1)-3x2-2x+8≥0; (2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0).

解:(1)原不等式可化为3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0. 解得-2 4 ≤x≤ , 3
? ? ?. ? ?

? ? ? 4 ? ? 所以原不等式的解集为 x -2≤x≤3 ? ? ?

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一元二次不等式及其应用

结束

(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
? 1? 因为a>0,所以a?x-a?(x-1)<0. ? ?

1 所以当a>1时,解为 <x<1; a 当a=1时,解集为?; 1 当0<a<1时,解为1<x<a.
? ? ? 1 综上,当0<a<1时,不等式的解集为?x?1<x<a ? ? ? ? ? ?; ? ?

当a=1时,不等式的解集为?;
? ? ?1 当a>1时,不等式的解集为?x?a<x<1 ? ? ?
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一元二次不等式及其应用

结束

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的 联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联 系,并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问 题,常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符 号,进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有:
?1?形如 f?x?≥0?x∈R?确定参数的范围;
?2?形如 f?x?≥0,?x∈[a,b]?,确定参数范围;

?3?形如 f?x?≥0?参数 m∈[a,b]?确定 x 的范围
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一元二次不等式及其应用

结束

角度一

形如 f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围
α)x+cos

1.(2013· 重庆高考)设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin

2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为________.

解析:根据题意可得(8sin α)2-4×8cos 2α≤0,即2sin2α- 1 1 cos 2α≤0,2sin α-(1-2sin α)≤0,即- ≤sin α≤ .因为 2 2
2 2

π 5π 0≤α≤π,故α∈0, ∪ ,π. 6 6

π 5π 答案:0, ∪ ,π 6 6
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第二节

一元二次不等式及其应用

结束

角度二

形如 f(x)≥0,(x∈[a,b]),确定参数范围

2.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒 大于零,求a的取值范围;
a-4 4-a 解:函数f(x)=x +(a-4)x+4-2a的对称轴为x=- = . 2 2
2

4-a ①当 <-1,即a>6时, 2 f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(a-4)×(-1)+4-2a>0, 解得a<3,故有a∈?; 4-a ②当-1≤ ≤1,即2≤a≤6时, 2
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一元二次不等式及其应用

结束

?4-a? ?4-a? 4-a ? ? ? ?2 只要f? =? +(a-4)× +4-2a>0, ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

即a2<0,故有a∈?; 4-a ③当 >1,即a<2时, 2 只要f(1)=1+(a-4)+4-2a>0, 即a<1,故有a<1. 综上可知,当a<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a- 4)x+4-2a的值恒大于零.
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一元二次不等式及其应用

结束

角度三

形如 f(x)≥0(参数 m∈[a,b])确定 x 的范围

3.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒 大于零,求x的取值范围.
解:由f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4, 令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4. 由题意知在[-1,1]上,g(a)的值恒大于零,
2 ? ?g?-1?=?x-2?×?-1?+x -4x+4>0, ∴? 2 ? ?g?1?=?x-2?+x -4x+4>0,

解得x<1或x>3. 故当x<1或x>3时,对任意的a∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零.
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一元二次不等式及其应用

结束

[类题通法] 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件

(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参 数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围, 谁就是参数.

(2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次 函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应 的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.

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一元二次不等式及其应用

结束

[典例]

某小商品2013年的价格为8元/件,年销量是a

件.现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到 7.5元/件之间,经调查,顾客的期望价格是4元/件.经测算, 该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格 的差成反比,比例系数为k.该商品的成本价为3元/件. (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益y与实际价

格x的函数关系式; (2)设k=2a,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证 经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?
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一元二次不等式及其应用

结束

[解]

(1)设该商品价格下降后为x元/件,

? k ? 则由题意可知年销量增加到?x-4+a?件, ? ? ? k ? 故经销商的年收益y=?x-4+a?(x-3),5.5≤x≤7.5. ? ? ? 2a ? (2)当k=2a时,依题意有?x-4+a?(x-3)≥(8-3)a×(1+20%), ? ?

x2-11x+30 化简得 ≥0, x-4 解得x≥6或4<x≤5. 又5.5≤x≤7.5,故6≤x≤7.5, 即当实际价格最低定为6元/件时,仍然可以保证经销商2014年的 收益比2013年至少增长20%.
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一元二次不等式及其应用

结束

[类题通法] 构建不等式模型解决实际问题

不等式的应用问题常常以函数为背景,多是解决实际生 活、生产中的最优化问题等,解题时,要仔细审题,认清题目 的条件以及要解决的问题,理清题目中各量之间的关系,建立 恰当的不等式模型进行求解.

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一元二次不等式及其应用

结束

[针对训练]

某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100 8 件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加 x 5 成.要求售价不能低于成本价.

(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y =f(x),并写出定义域;
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x的取值 范围.

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一元二次不等式及其应用

结束

? ? x? 8 ? 解:(1)由题意得y=100?1-10?· 100?1+50x?. ? ? ? ?

因为售价不能低于成本价,
? x? 所以100?1-10?-80≥0. ? ?

所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2]. (2)由题意得20(10-x)(50+8x)≥10 260, 化简得8x2-30x+13≤0. 1 13 解得 ≤x≤ . 2 4
?1 ? 所以x的取值范围是?2,2?. ? ?
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一元二次不等式及其应用

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[课堂练通考点]
1.(2012· 江苏高考)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域 为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+ 6),则实数c的值为________.

解析:由题意知,因为函数f(x)的值域为[0,+∞),
? a? 4b-a2 所以f(x)min=f?-2?= =0,所以4b=a2, 4 ? ?

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一元二次不等式及其应用

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所以f(x)=
? a ?- - ? 2

? a? ?x+ ? 2? ?

2

,所以关于x的不等式f(x)<c的解集为

? a c,- + c?,即(m,m+6), 2 ?

? a ?-2- c=m, 故? ?-a+ c=m+6, ? 2
答案:9

两式相减得 c=3,所以c=9.

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一元二次不等式及其应用

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2.不等式4x-2x 2>0的解集为________.


解析:令2x=t,则不等式变为t2-4t>0.由于t>0,故t> 4,即2x>4,解得x>2.所以不等式的解集为(2,+∞).
答案:(2,+∞)

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一元二次不等式及其应用

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2 3.(2013· 南通三模)不等式x<x-1的解集是________.
?x+2??x-1? 解析:不等式等价于 <0,由数轴标根法得x x <-2或0<x<1,从而不等式的解集为{x|x<-2或0<x <1}.
答案:{x|x<-2或0<x<1}

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一元二次不等式及其应用

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4.(2013· 苏州常镇二调)若关于x的不等式mx2+2x+4>0的解集 为{x|-1<x<2},则实数m的值为________.
解析:由关于x的不等式mx2+2x+4>0的解集为{x|-1<x< 2},得-1,2为方程mx2+2x+4=0的两个实数根.得 ?m<0, ? ?m-2+4=0, ?4m+4+4=0, ?
答案:-2

所以m=-2.

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一元二次不等式及其应用

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5.若函数f(x)= ________.

2 ? ?x +1,x>0, ? ? ?-x,x≤0,

则不等式f(x)<4的解集是

? ?x>0, 解析:不等式f(x)<4等价于? 2 ? ?x +1<4,

? ?x≤0, 或? ? ?-x<4,

即0<x< 3).

3 或-4<x≤0.因此,不等式f(x)<4的解集是(-4,

答案:(-4, 3)

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一元二次不等式及其应用

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6.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)· (x- 2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=__________,n= ________.

解析:因为|x+2|<3,即-5<x<1,所以A=(-5,1),又 A∩B≠?,所以m<1,B=(m,2),由A∩B=(-1,n)得m= -1,n=1.
答案:-1 1

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一元二次不等式及其应用

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