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江西省吉安市吉水中学2014届高三上学期第四次考试 数学(理)试题 Word版含答案


一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.复数 z ?

(a ? i)(1 ? i) (a ? R) 在复平面上对应的点位于虚轴上,则 a=( ) i3
B.0 C.1 D.2

A.-1

2.定义 M⊙N= {x | x ? M ? N , 且x ? M ? N } ,已知 A ? { y | y

? sin x, x ? B} , B ? {x | ? 则 A⊙B=( ) A. {x | ?

?

? x ? }, 4 4

?

?

2 2 ? 2 2 ? ? 或 ? x ? } D. ? ?x? } C. {x | ? ? x ? ? ? x ? } B. {x | ? 4 2 2 4 2 2 4 4

3.曲线 y=sinx,y=cosx 和直线 x=0,x= A.

? 所围成的平面区域的面积为( ) 2
?
?
0 0

?

?

2 0

(sin x ? cos x)dx B. 2? 4 (sin x ? cos x)dx C. ? 2 (cos x ? sin x)dx D. 2? 4 (cos x ? sin x)dx
0

?

4. 若实数 a、b 满足 ? A. 1 ? ?

??? ? a ? ? 2 2 2 ,则使得 f ( x) ? x ? 2ax ? b ? ? 有零点的概率为( ) ??? ? b ? ?
B. 1 ?

3 4

?
4

C. 1 ?

2 8

D. 1 ?

?
2

5. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数,且 f(1)=2,f(-2)=-4,得 P ? { x | f ( x ? t) ? 4 ? 0},

Q ? {x | f ( x) ? ?2} ,若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数 t 的范围为(
A.t≤-1 B.t>-1 C.t≥3 D.t>3 6.如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 s,则 s 的值为( )



A.24 B. 60 C.96 D.120 7.已知点 A 为半径为 3 的球 O1 上任意一点, 为半径为 2 的球 O2 的任意一条直径, BC 若两球的球心重合, 则 AB ? AC =( A.4

??? ???? ?

) B.5 C.6 D.13

8.已知正项等比数列{an}满足: a2013 ? a2012 ? 2a2011 , 且 an ? am ? 4a1 , 则6( A.4 B.2 C.

1 1 ? ) 的最小值为( ) m n

2 3

D.6

9.已知函数 f ( x) ? ?

?1? | x ? 1|, x ? [?2, 0] ,若方程 f(x)=x+ a 在区间[-2,4]内有 3 个不等实根,则实数 ?2 f ( x ? 2), x ? (0, ??)

a 的取值范围是(



A. {a | ?2 ? a ? 0} C. {a | ?2 ? a ? 0或a ? 1}

B. {a | ?2 ? a ? 0}

D. {a | ?2 ? a ? 0或1 ? a ? 2}

10.如图所示,在矩形纸片 ABCD 中,AB=6,AD= 4 3 ,将矩形纸片的右下角折起,使该角的顶点 B 落 在矩形的边 AD 上,且折痕 MN 的两端点 M、N 分别位于边 AB、BC 上,记 sin∠MNB=x,线段 MN 的 长度为 F(x),则函数 y=F(x)的图像大致为

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2 是 an·an+1 的个位数,则 a2013= 12.已知 f ( x) ? ? x ? 3 f '(2) x, 令n ? f '(2) ,则二项式 ( x ?
3

。 项。

2 n ) 的展开式中常数项是第 x

13.已知函数 f ( x) ? 3sin(2x ? 则? =

?

)和g (x ) ? 2 cos(2x ? ? ) 的图像的对称轴完全相同,其中 ? ? (0, ) , 6 2
x log3 ? 1 1 , 则不等式 f (log3 x) ? 2 2

?

14. 定义在 R 上的函数 f(x)满足: f(1)=1, 且对任意 x∈R, 都有 f '( x) ? 的解集为

15. 1) ( (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? (? ? y ? 1 ? sin ?

为 参 数 ) 以 O 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ,

? (cos? ? sin ? ) ? 1 ? 0 ,则曲线 C1 上的点到曲线 C2 的最远距离为



(2) (不等式选做题)对于任意 ? ? R ,| sin ? ? 2 | ? | sin ? ? 3 |? a ? 。 三.解答题(12 分+12 分+12 分+12 分+13 分+14 分=75 分)

2 恒成立,则实数 a 的取值范围为 a

16.(本小题 12 分)已知实数 a>0 且 a≠1,命题 p: y ? log a (2 ? ax) 在区间[0,
x

1 ]上为减函数;命题 q: 2

方程 e ? x ? a ? 3 ? 0 在[0,1]有解,若“p 或 q 为真,p 且 q 为假” ,求实数 a 的取值范围。

17.(本小题 12 分)已知向量 m ? (cos (1)若 x ? [0,

??

?
2

?? ? ? x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n ? 1 2 2 2

], f ( x) ?

11 ,求 cosx 的值; 10

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 2bcosA≤2c- 3a ,求 f(x)的取值范围。

18. (本小题 12 分)如图,PCBM 是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2, AC=1, ∠ACB=120°,AB⊥PC,直角 AM 与直线 PC 所成的角为 60°

(1)求证:平面 PAC⊥平面 ABC; (2)求二面角 M—AC—B 的余弦值;

19.数列{an}满足 a1=1,a2=2, an ? 2 ? (1 ? cos (1)求 a3,a4 并求数列{an}的通项公式;

2

n? n )an ? sin 2 ? (n ? N *) 2 2

(2)设 bn ?

a2 n ?1 , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 Sn a2 n

20. (本小题满分 13 分) 已知直线 y=-x+1 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点。 a 2 b2

(Ⅰ)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2.求椭圆方程; 3
?1 2? ? 时,求椭圆的长轴 2 ?

(Ⅱ)若向量 OA · OB =0(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率 e ? ? ,

??? ?

??? ?

?2

长的最大值.

21.已知函数 f ( x) ? a ln( x ? b), g ( x) ? ae ? 1 (其中 a≠0,b>0)且函数 f(x)的图象在点 A(0,f(0))处的
x

切线与函数 g(x)的图象在点 B(0,g(0))处的切线重合 (1)求实数 a、b 的值; (2)若存在 x0,满足

x0 ? m ? x0 ,求实数 m 的取值范围。 g ( x0 ) ? 1

(3)若 x2>x1>0,试探究 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 与 g ( x2 ? x1 ) 的大小;并给予证明。

吉水中学高三年级第四次考试 数学试卷(理)答案
题号 答案 11. 15.(1) 1 C 8 1 2 C 3 B 12. 5 4 D 5 D 13. 6 D 7 B 14. 8 A 9 C 10 A

? 3

(0,3)

(2) (??, 0) ? [1, 2]

18. (本小题 12 分)如图,PCBM 是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2, AC=1, ∠ACB=120°,AB⊥PC,直角 AM 与直线 PC 所成的角为 60°

(1)求证:平面 PAC⊥平面 ABC; (2)求二面角 M—AC—B 的余弦值; (1)∵ PC ? AB, PC ? BC, AB ? BC ? B ∴ PC ? 平面ABC ,又∵ PC ? 平面PAC ∴ 平面PAC ? 平面ABC (2)在平面 ABC 内,过 C 作 CD ? CB ,建立空间直角坐标系 C ? xyz (如图)由题意有
? 3 1 ? ,设 P 0, 0, z ? 0 ?? z0 ? 0 ? , A? ? 2 , ? 2 ,0? ? ? ?

???? ? ? ? ? ??? 则 M ? 0,1, z0 ? , AM ? ? 3 , ? 1 , z0 ? , CP ? ? 0, 0, z0 ? ? 2 ? 2 ? ?


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