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2014-2015学年宁夏固原一中高二(下)第三次月考数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年宁夏固原一中高二 (下) 第三次月考数学试卷 (理 科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. ) 1.复数 z= 在复平面上对应的点位于( B. 第二象限 ) C. 第三象限 D. 第四象限 )

A. 第一象限

2.按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分子式是(

A. C4H9

B. C4H10
2

C. C4H11

D. C6H12

3.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理根,那么 a,b,c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( ) A. 假设 a,b,c 不都是偶数 B. 假设 a,b,c 都不是偶数 C. 假设 a,b,c 至多有一个是偶数 D. 假设 a,b,c 至多有两个是偶数 4.函数 f(x)=x +ax +3x﹣9,已知 f(x)在 x=﹣3 时取得极值,则 a 等于( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则( A. a=1,b=1 B. a=﹣1,b=1 C. a=1,b=﹣1 ﹣1
2 3 2

) D. a=﹣1,b=

6.f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的图象最有可能的是图中的(



A.

B.

C.

D. 7.已知 f(x)=2x ﹣6x +m(m 为常数)在[﹣2,2]上有最大值 3,那么此函数在[﹣2,2] 上的最小值为( ) A. ﹣5 B. ﹣11 C. ﹣29 D. ﹣37 8.曲线 y=cosx(0≤x≤ A. 4 )与坐标轴围成的面积是( B. C. 3
2 2 3 2

) D. 2

9.若函数 f(x)=xlnx 的图象在 x=1 处的切线为 l,则 l 上的点到圆 x +y +4x﹣2y+4=0 上 的点的最近距离是( ) A.
2

B.

C.

D. 1 )

10.若 f(x)=﹣ x +bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( A. [﹣1,+∞) B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣1]

D.(﹣∞, ﹣1)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 11. = .

12.若 f(x)=x ,f′(x0)=3,则 x0 的值为 .

3

13.若三角形的内切圆半径为 r,三边的长分别为 a,b,c,则三角形的面积 S= r(a+b+c) , 根据类比思想,若四面体的内切球半径为 R,四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,则此四 面体的体积 V= .
2

14.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n = 上 .

,则当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加

三、解答题(本大题共 6 小题,共 64 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 2 2 1)已知复数(m ﹣5m+6)+(m ﹣3m)i 是纯虚数,求实数 m 的值; (2)把复数 z 的共轭复数记做 ,已知(1+2i) =4+3i,求 z 及 .

16.计算: 2 (1)y=sin(2x +x)求 y′ x (2)y=2 lnx 求 y′ (3)∫ (4)∫ |x|dx dx.

17.某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x﹣ 2 0.15x 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆) .若该公司在这两地共销售 15 辆车,求该公 司能获得的最大利润为多少万元?
3 2

18.已知函数 f(x)=4x +ax +bx+5 在 x=﹣1 与 x= 处有极值. (1)写出函数的解析式; (2)求出函数的单调区间; (3)求 f(x)在[﹣1,2]上的最值.

19.在数列{an}中,a1=2,an+1=

(n∈N ) ,

*

(1)求 a2,a3,a4; (2)归纳猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明. 20.已知函数 f(x)=lnx﹣ax +(2﹣a)x. ①讨论 f(x)的单调性: ②设 a>0,证明:当 0<x< 时,f( +x)>f( ﹣x) .
2

2014-2015 学年宁夏固原一中高二 (下) 第三次月考数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. ) 1.复数 z= 在复平面上对应的点位于( B. 第二象限 ) C. 第三象限 D. 第四象限

A. 第一象限

考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:计算题. 分析:首先进行复数的除法运算, 分子和分母同乘以分母的共轭复数, 分母根据平方差公式 得到一个实数, 分子进行复数的乘法运算, 得到最简结果, 写出对应的点的坐标, 得到位置. 解答: 解:∵z= = = + i,

∴复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限. 故选 A. 点评:本题考查复数的乘除运算,考查复数与复平面上的点的对应,是一个基础题,在解题 过程中,注意复数是数形结合的典型工具. 2.按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分子式是( )

A. C4H9

B. C4H10

C. C4H11

D. C6H12

考点:类比推理. 专题:规律型. 分析:由前三种化合物的结构式及分子式的规律可知, 后一种化合物比前一种化合物多一个 C 两个 H,即可选出答案. 解答: 解: 由前三种化合物的结构式及分子式的规律可知, 后一种化合物比前一种化合物 多一个 C 两个 H, 故后一种化合物的分子式是 C4H10 故选 B 点评:本题考查归纳推理、考查观察、归纳能力.

3.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理根,那么 a,b,c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( ) A. 假设 a,b,c 不都是偶数 B. 假设 a,b,c 都不是偶数 C. 假设 a,b,c 至多有一个是偶数 D. 假设 a,b,c 至多有两个是偶数 考点:反证法与放缩法. 专题:证明题;反证法. 分析:本题考查反证法的概念, 逻辑用语, 否命题与命题的否定的概念, 逻辑词语的否定. 根 据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,故只须对“b、c 中至少有一个偶数”写出否定 即可. 解答: 解: 根据反证法的步骤, 假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”. 即假设正确的是:假设 a、b、c 都不是偶数 故选:B. 点评:一些正面词语的否定:“是”的否定:“不是”;“能”的否定:“不能”;“都是”的否定:“不 都是”;“至多有一个”的否定:“至少有两个”;“至少有一个”的否定:“一个也没有”;“是至 多有 n 个”的否定:“至少有 n+1 个”;“任意的”的否定:“某个”;“任意两个”的否定:“某两 个”;“所有的”的否定:“某些”. 4.函数 f(x)=x +ax +3x﹣9,已知 f(x)在 x=﹣3 时取得极值,则 a 等于( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析:先对函数进行求导,根据函数 f(x)在 x=﹣3 时取得极值,可以得到 f′(﹣3)=0, 代入求 a 值. 解答: 解:对函数求导可得,f′(x)=3x +2ax+3 ∵f(x)在 x=﹣3 时取得极值 ∴f′(﹣3)=0?a=5 故选:D. 点评:本题主要考查函数在某点取得极值的性质.属基础题.比较容易,要求考生只要熟练 掌握基本概念,即可解决问题. 5.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则( A. a=1,b=1 B. a=﹣1,b=1 C. a=1,b=﹣1 ﹣1
2 2 3 2

2

) D. a=﹣1,b=

考点:导数的几何意义. 专题:计算题;数形结合. 分析:根据导数的几何意义求出函数 y 在 x=0 处的导数,从而求出切线的斜率,建立等量 关系求出 a,再根据点(0,b)在切线 x﹣y+1=0 上求出 b 即可. 解答: 解:∵y′=2x+a|x=0=a, 2 ∵曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程 x﹣y+1=0 的斜率为 1,

∴a=1, 又切点在切线 x﹣y+1=0 上, ∴0﹣b+1=0 ∴b=1. 故选:A. 点评:本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程,属于基础题. 6.f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的图象最有可能的是图中的( )

A.

B.

C.

D. 考点:函数的单调性与导数的关系. 专题:图表型. 分析:先根据导函数的图象确定导函数大于 0 的范围和小于 0 的 x 的范围,进而根据当导 函数大于 0 时原函数单调递增, 当导函数小于 0 时原函数单调递减确定原函数的单调增减区 间. 解答: 解:x<﹣2 时,f′(x)<0,则 f(x)单减; ﹣2<x<0 时,f′(x)>0,则 f(x)单增; x>0 时,f′(x)<0,则 f(x)单减. 则符合上述条件的只有选项 A. 故选 A. 点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系, 即当导函数大于 0 时原函 数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减.重点是理解函数图象及函数的单调性. 7.已知 f(x)=2x ﹣6x +m(m 为常数)在[﹣2,2]上有最大值 3,那么此函数在[﹣2,2] 上的最小值为( ) A. ﹣5 B. ﹣11 C. ﹣29 D. ﹣37 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数奇偶性的性质. 专题:导数的综合应用. 分析:求函数的导数,利用导数结合函数的最大值求出 m,即可求出函数的最小值.
3 2

解答: 解:函数的导数为 f′(x)=6x ﹣12x=6x(x﹣2) , 由 f′(x)>0 得 x>2 或 x<0,此时函数递增, 由 f′(x)<0 得 0<x<2,此时函数递减, ∵x∈[﹣2,2], ∴函数在[﹣2,0]上递增,则[0,2]上递减, 则函数的最大值为 f(0)=m=3, 则 f(x)=2x ﹣6x +3, 3 2 ∵f(2)=2×2 ﹣6×2 +3=﹣5, 3 2 f(﹣2)=2×(﹣2) ﹣6×(﹣2) +3=﹣37, ∴当 x=﹣2 时,函数取得最小值为﹣37, 故选:D 点评:本题主要考查函数最值的求解, 求函数的导数, 利用导数研究函数在闭区间上的最值 是解决本题的关键.
3 2

2

8.曲线 y=cosx(0≤x≤ A. 4

)与坐标轴围成的面积是( B. C. 3

) D. 2

考点:余弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件利用余弦函数的图象的对称性,定积分的意义,可得曲线 y=cosx(0≤x≤ )

与坐标轴围成的面积是 3

=3sinx

,计算求的结果. )与坐标轴围

解答: 解:由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线 y=cosx(0≤x≤

成的面积是 3

=3sinx

=3,

故选:C. 点评:本题主要考查余弦函数的图象的对称性,定积分的意义,属于基础题. 9.若函数 f(x)=xlnx 的图象在 x=1 处的切线为 l,则 l 上的点到圆 x +y +4x﹣2y+4=0 上 的点的最近距离是( ) A. B. C. D. 1
2 2

考点:两点间的距离公式. 专题:计算题. 分析:先对函数进行求导,把 x=1 代入求得切线的斜率,进而利用切点求得切线的方程, 整理圆的方程为标准方程求得圆心和半径,进而利用点到直线的距离求得圆心到切线的距 离,减去半径的长即是 l 上的点到圆的最小距离.

解答: 解:y'=1?lnx+x? =lnx+1 x=1,y'=0+1=1 即切线斜率是 1 x=1,y=1×0=0 ∴切点为(1,0) 所以切线方程为 x﹣y﹣1=0 整理圆的方程得(x+2) +(y﹣1) =1,故圆心为(﹣2,1) , ∴圆心到切线的距离为 =2
2 2

则切线与圆的位置关系为相离,圆的半径为 1, ∴l 上的点到圆的点的最小距离为 2 ﹣1 故选 C 点评:本题主要考查了点到直线的距离公式的应用, 直线与圆的位置关系, 导函数求切线的 问题.考查了学生综合基础知识的应用和数形结合思想的应用.
2

10.若 f(x)=﹣ x +bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( A. [﹣1,+∞) B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣1]



D.(﹣∞, ﹣1)

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:先对函数进行求导,根据导函数小于 0 时原函数单调递减即可得到答案. 解答: 解:由题意可知 ,在 x∈(﹣1,+∞)上恒成立,

即 b<x(x+2)在 x∈(﹣1,+∞)上恒成立, 由于 y=x(x+2)在(﹣1,+∞)上是增函数且 y(﹣1)=﹣1,所以 b≤﹣1, 故选 C 点评:本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题.即导数大于 0 时原函数单调递 增,当导数小于 0 时原函数单调递减. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 11. = .

考点:定积分. 专题:计算题. 分析:由积分的几何意义可知, 面积,求解出图形的面积即可 解答: 解:由积分的几何意义可知, 图形的面积 而 y= 与 x 轴围成的图形是以原点为圆心,以 3 为半径的圆的上半圆 是曲线 y= 与 x 轴围成的 是曲线 y= 与 x 轴围成的图形的

∴S= 故答案为:

=

点评:本题主要考查了积分的几何意义在积分求解中的应用,属于基础试题 12.若 f(x)=x ,f′(x0)=3,则 x0 的值为 ±1 . 考点:导数的几何意义;导数的运算. 专题:计算题. 分析:先对函数 f(x)进行求导,然后将 x0 代入导函数建立等量关系,求出 x0 即可. 3 解答: 解:∵f(x)=x 2 2 ∴f′(x)=3x 则 f′(x0)=3x0 =1 解的 x0=±1, 故答案为±1 点评:本题主要考查了导数的运算,以及导数的几何意义,属于基础题.
3

13.若三角形的内切圆半径为 r,三边的长分别为 a,b,c,则三角形的面积 S= r(a+b+c) , 根据类比思想,若四面体的内切球半径为 R,四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,则此四 面体的体积 V= R(S1+S2+S3+S4) .

考点:类比推理;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:压轴题;规律型. 分析:根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面,由 内切圆类比内切球, 由平面图形面积类比立体图形的体积, 结合求三角形的面积的方法类比 求四面体的体积即可. 解答: 解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 故答案为: R(S1+S2+S3+S4) . 点评:类比推理是指依据两类数学对象的相似性, 将已知的一类数学对象的性质类比迁移到 另一类数学对象上去.一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事 物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想) .
2

14.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n = (k +1)+(k +2)+(k +3)+…+(k+1) 考点:数学归纳法.
2 2 2 2

,则当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上 .

专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:首先分析题目求用数学归纳法证明 1+2+3+…+n =
2

时, 当 n=k+1 时左端应在 n=k

的基础上加上的式子,可以分别使得 n=k,和 n=k+1 代入等式,然后把 n=k+1 时等式的左 端减去 n=k 时等式的左端,即可得到答案. 2 解答: 解:当 n=k 时,等式左端=1+2+…+k , 2 2 2 2 2 当 n=k+1 时,等式左端=1+2+…+k +(k +1)+(k +2)+(k +3)+…+(k+1) ,增加了 2k+1 2 2 2 2 项.即(k +1)+(k +2)+(k +3)+…+(k+1) 2 2 2 2 故答案为: (k +1)+(k +2)+(k +3)+…+(k+1) 点评:此题主要考查数学归纳法的问题, 属于概念考查题, 这类题型比较简单多在选择填空 中出现,属于基础题目. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 64 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 2 2 1)已知复数(m ﹣5m+6)+(m ﹣3m)i 是纯虚数,求实数 m 的值; (2)把复数 z 的共轭复数记做 ,已知(1+2i) =4+3i,求 z 及 .

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析: (1)由纯虚数定义得 ,由此能求出 m 的值.

(2)设 z=a+bi,由(1+2i) =4+3i,得(1+2i) (a+bi)=4+3i,由此能求出 z=2﹣i, = = .
2 2

解答: 解: (1)∵复数(m ﹣5m+6)+(m ﹣3m)i 是纯虚数, ∴ ,解得 m=2.

(2)设 z=a+bi,则 =a﹣bi, ∵(1+2i) =4+3i, ∴(1+2i) (a+bi)=4+3i, 2 ∴a+2ai+bi+2bi =(a﹣2b)+(2a+b)i =4+3i, ∴ ∴z=2﹣i, ∴ = = ,解得 a=2,b=﹣1,

=

=



点评:本题考查实数的求法,考查复数的代数形式的乘除运算,解题时要认真审题,是基础 题. 16.计算: 2 (1)y=sin(2x +x)求 y′ x (2)y=2 lnx 求 y′ (3)∫ (4)∫ |x|dx dx.

考点:导数的运算;定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据求导法则和定积分公式计算即可. 2 解答: 解: (1)∵y=sin(2x +x) 2 2 ∴y′=cos(2x +x) (2x +x)′, 2 ∴y′=(4x+1)cos(2x +x) ; x (2)∵y=2 lnx, ∴y′=2 ln2?lnx+ (3)∫ (4)∫ |x|dx= dx=ln(x﹣1)
x

; = =8+4=12;

=ln(e+1﹣1)﹣ln(2﹣1)=1.

点评:本题主要考查了导数的运算法则和微积分基本定理,属于基础题. 17.某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x﹣ 2 0.15x 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆) .若该公司在这两地共销售 15 辆车,求该公 司能获得的最大利润为多少万元? 考点:函数模型的选择与应用. 专题:应用题. 分析:先根据题意,设甲销售 x 辆,则乙销售(15﹣x)辆,再列出总利润 y 的表达式,是 一个关于 x 的二次函数,最后求此二次函数的最大值即可. 解答: 解:设甲地销售 x 辆,则乙地销售 15﹣x 辆,0≤x≤15, 则该公司能获得的最大利润 y=5.06x﹣0.15x +2(15﹣x)=﹣0.15x +3.06x+30, 当 x=10.2 时,S 取最大值 又 x 必须是整数,故 x=10,此时 Smax=45.6(万元) . 即甲地销售 10 辆,则乙地销售 5 辆时,该公司能获得的最大利润为 45.6 万元 点评:本小题主要考查函数单调性的应用、 函数模型的选择与应用、 函数最值的应用等基础 知识,考查应用数学的能力.
3 2 2 2

18.已知函数 f(x)=4x +ax +bx+5 在 x=﹣1 与 x= 处有极值.

(1)写出函数的解析式; (2)求出函数的单调区间; (3)求 f(x)在[﹣1,2]上的最值. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (1)首先求出函数的导数,然后 f′(﹣1)=0,f′( )=0,解出 a、b 的值,即可 写出函数的解析式; (2)利用导数的正负,求出函数的单调区间; (3)确定函数在[﹣1,2]上的单调性,即可求 f(x)在[﹣1,2]上的最值. 解答: 解: (1)f′(x)=12x +2ax+b,依题意有 f′(﹣1)=0,f( )=0,
2


3

,得
2



所以 f(x)=4x ﹣3x ﹣18x+5; 2 (2)f′(x)=12x ﹣6x﹣18<0, ∴(﹣1, )是函数的减区间, (﹣∞,﹣1) , ( ,+∞)是函数的增区间; (3)函数在[﹣1, ]上单调递减,在[ ,2]上单调递增, ∴f(x)max=f(﹣1)=16,f(x)min=f( )=﹣ .

点评:此题主要考查多项式函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,函数、方程等基础 知识,考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力,难度不大.

19.在数列{an}中,a1=2,an+1=

(n∈N ) ,

*

(1)求 a2,a3,a4; (2)归纳猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明. 考点:数学归纳法. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)由 a1=1,an+1= (2)由(Ⅰ)可猜想 an= ,即可求得 a2,a3,a4 的值; ;分二步证明即可:①当 n=1 时,去证明等式成立;②假

设 n=k 时,等式成立,去推证 n=k+1 时,等式也成立即可. 解答: 解: (1)∵a1=2,an+1= ,

∴a2=

= ;

a3=

=

=

,a4=

=



(2)由(1)可猜想:an=



证明:①当 n=1 时,a1=2,等式成立; ②假设 n=k 时,ak= ,

则当 n=k+1 时,ak+1= 即 n=k+1 时,等式也成立.

=

=

=



综上所述,对任意自然数 n∈N ,an=

*

. 是关键,考查运

点评:本题考查数列递推式,着重考查数学归纳法的应用,猜得 an= 算与推理证明的能力,要求熟练掌握数学归纳法的证明过程和步骤. 20.已知函数 f(x)=lnx﹣ax +(2﹣a)x. ①讨论 f(x)的单调性: ②设 a>0,证明:当 0<x< 时,f( +x)>f( ﹣x) .
2

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: ①求导,并判断导数的符号,分别讨论 a 的取值,确定函数的单调区间. ②构造函数 g(x)=f( +x)﹣f( ﹣x) ,利用导数求函数 g(x)当 0<x< 时的最小值 大于零即可. 解答: 解:①函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , ∵f(x)=lnx﹣ax +(2﹣a)x, ∴f'(x)= = = .
2

(1)若 a>0,则由 f′(x)=0,得 x= , 当 x∈(0, )时,f′(x)>0,此时函数单调递增.

当 x∈( ,+∞)时,f′(x)<0,此时函数单调递减. (2)当 a≤0 时,f'(x)>0 恒 成立, 因此 f(x)在(0,+∞)单调递增. ②设函数 g(x)=f( +x)﹣f( ﹣x) ,则 g(x)=ln(1+ax)﹣ln(1﹣ax)﹣2ax,

g′(x)=



当 x∈(0, )时,g′(x)>0,而 g(0)=0, ∴g(x)>0, 故当 0<x< 时,f( +x)>f( ﹣x) . 点评:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题, 体现了分类讨论和 转化的思想方法.



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