tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学一轮复习-两角和与差、二倍角公式


教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

姓名 学科 课题名称 数学

学生姓名 年级 高三 课时计划

填写时间 教材版本 第( )课时 共( )课时 上课时间 人教版

两角和与差公式、二倍角公式复习 同步教学知识内容

教学目标 个性化学

习问题解决 教学重点 教学难点 教师活动

第5讲
【2016 年高考会这样考】

两角和与差的正弦、余弦和正切

1.考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求 值. 2.利用三角公式考查角的变换、角的范围. 【复习指导】 本讲复习应牢记和、 差角公式及二倍角公式, 准确把握公式的特征, 活用公式(正用、 逆用、 变形用、创造条件用);同时要掌握好三角恒等变换的技巧,如变换角的技巧、变换函数名 称的技巧等.
教学过程

基础梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β):cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β; (2)C(α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β; (3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β; (4)S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β; (5)T(α+β):tan(α+β)= (6)T(α-β):tan(α-β)= tan α+tan β ; 1-tan αtan β tan α-tan β . 1+tan αtan β

第 1 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; (2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)T2α:tan 2α= 2tan α . 1-tan2α

3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan_αtan_β); (2)cos2α= 1+cos 2α 1-cos 2α 2 , sin α = ; 2 2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2, ? π? ?. sin α± cos α= 2sin?α± ? 4? 4. 函数 f(α)=acos α+bsin α(a, b 为常数), 可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+φ)或 f(α)= a2+b2 cos(α-φ),其中 φ 可由 a,b 的值唯一确定.

两个技巧 α+β α-β α-β ? β? (1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;β= 2 - 2 ; 2 =?α+2?- ? ? ?α ? ?2+β?. ? ? (2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等. 三个变化 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂 与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法 通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与 平方”等.

双基自测
第 2 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

1 1.(人教 A 版教材习题改编)下列各式的值为4的是( π A.2cos2 12-1 2tan 22.5° C. 1-tan222.5° 解析 B.1-2sin275°

).

D.sin 15° cos 15°

π π 3 3 2tan 22.5° 2cos212-1=cos6= 2 ;1-2sin275° =cos 150° =- 2 ; = 1-tan222.5°

1 1 tan 45° =1;sin 15° cos 15° =2sin 30° =4. 答案 D sin 2α 2.(2011· 福建)若 tan α=3,则 cos2α 的值等于( A.2 B.3 C.4 D.6 ).

sin 2α 2sin αcos α 解析 cos2 α= cos2 α =2tan a=2×3=6,故选 D. 答案 D 2 3.已知 sin α=3,则 cos(π-2α)等于( 5 A.- 3 1 B.-9 1 C.9 ). 5 D. 3

4 1 解析 cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×9-1=-9. 答案 B ?π ? 1 4.(2011· 辽宁)设 sin?4+θ?=3,则 sin 2θ=( ? ? 7 A.-9 1 B.-9 1 C.9 7 D.9 ).

7 ?π ? ?π ? ?1? 解析 sin 2θ=-cos?2+2θ?=2sin2?4+θ?-1=2×?3?2-1=- . 9 ? ? ? ? ? ? 答案 A

5.tan 20° +tan 40° + 3tan 20°tan 40° =________. 解析 ∵tan 60° =tan(20° +40° )= tan 20° +tan 40° , 1-tan 20° tan 40°

∴tan 20° +tan 40° =tan 60° (1-tan 20° tan 40° )= 3- 3tan 20° · tan 40° ,∴原式= 3- 3 tan 20° tan 40° + 3tan 20° tan 40° = 3.
第 3 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

答案

3

考向一 1 2cos4x-2cos2x+2

三角函数式的化简

【例 1】?化简

. ?π ? 2?π ? 2tan?4-x?sin ?4+x? ? ? ? ?

[审题视点] 切化弦,合理使用倍角公式. 1 -2sin2xcos2x+2 ?π ? ?π ? 2sin?4-x?cos2?4-x? ? ? ? ? π ? ? cos?4-x? ? ?

解 原式=

1 1 2 2 2?1-sin 2x? 2cos 2x 1 = = = cos 2x. ?π ? ?π ? ?π ? 2 2sin?4-x?cos?4-x? sin?2-2x? ? ? ? ? ? ? 三角函数式的化简要遵循“三看”原则: (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式; (3)三看“结构特 征”,分析结构特征,找到变形的方向.

【训练 1】 化简:

?sin α+cos α-1??sin α-cos α+1? . sin 2α

α α α?? α α α? ? ?2sin2cos2-2sin22??2sin2cos2+2sin22? ? ?? ? 解 原式= α α 4sin 2cos 2cos α α?? α α? α ? α ?cos2-sin 2??cos2+sin2?sin ? ?? ? 2 = α cos2cos α

第 4 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

α? α α ? 2α ?cos 2-sin22?sin cos α sin 2 ? ? 2 α = = = tan α α 2. cos2cos α cos 2cos α 考向二 三角函数式的求值

β? π 1 ? ?α ? 2 【例 2】?已知 0<β<2<α<π,且 cos?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? α+β ? β? ?α ? [审题视点] 拆分角: 2 =?α-2?-?2-β?,利用平方关系分别求各角的正弦、余弦. ? ? ? ? π 解 ∵0<β<2<α<π, π α π π β ∴-4<2-β<2,4<α-2<π, ?α ? ∴cos?2-β?= ? ? β? ? sin?α-2?= ? ? 5 ?α ? 1-sin2?2-β?= 3 , ? ? β? 4 5 ? 1-cos2?α-2?= 9 , ? ?

α+β β? ?α ?? ?? ∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? β? ? α ? β? ?α ? ? ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 4 5 2 7 5 ? 1? =?-9?× 3 + 9 ×3= 27 , ? ? α+β 49×5 239 ∴cos(α+β)=2cos2 2 -1=2× 729 -1=-729. 三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示: (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差. (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系. π? 4 1 ? 【训练 2】 已知 α,β∈?0,2?,sin α=5,tan(α-β)=-3,求 cos β 的值. ? ? π? π π ? 解 ∵α,β∈?0,2?,∴-2<α-β<2, ? ? 1 π 又∵tan(α-β)=-3<0,∴-2<α-β<0. 1 10 ∴ 2 =1+tan2(α-β)= 9 . cos ?α-β? 3 10 10 cos(α-β)= 10 ,sin(α-β)=- 10 .

第 5 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

4 3 又∵sin α=5,∴cos α=5. ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 3 3 10 4 ? 10 10? ?= =5× 10 +5×?- . 10 10 ? ?

考向三

三角函数的求角问题

1 13 π 【例 3】?已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,求 β. 7 14 2 [审题视点] 由 cos β=cos[α-(α-β)]解决. π π 13 解 ∵0<β<α<2,∴0<α-β<2.又∵cos(α-β)=14, 1 π ∵cos α=7,β<α<2, 4 3 ∴sin α= 1-cos2α= 7 3 3 ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= 14 , ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π π ∵0<β< .∴β= . 2 3 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切 π? ? 函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0,2?, ? ? ? π π? 选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为 ?-2,2?,选正弦较 ? ? 好. ? π π? 【训练 3】 已知 α,β∈?-2,2?,且 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两个根,求 α ? ?
第 6 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

+β 的值. 解 由根与系数的关系得:tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4, ∴tan α<0,tan β<0,-π<α+β<0. 又 tan(α+β)= tan α+tan β -3 3 = = 3. 1-tan αtan β 1-4

2π ∴α+β=- 3 . 考向四 三角函数的综合应用

【例 4】?(2010· 北京)已知函数 f(x)=2cos 2x+sin2x. ?π? (1)求 f?3?的值; ? ? (2)求 f(x)的最大值和最小值. [审题视点] 先化简函数 y=f(x),再利用三角函数的性质求解. 2π π ?π? 解 (1)f?3?=2cos 3 +sin23 ? ? 3 1 =-1+4=-4. (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x) =3cos2x-1,x∈R. ∵cos x∈[-1,1], ∴当 cos x=± 1 时,f(x)取最大值 2; 当 cos x=0 时,f(x)取最小值-1. 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研 究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,再 进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质. 【训练 4】 已知函数 f(x)=2sin(π-x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,2?上的最大值和最小值. ? ? 解:f(x)=2sin xcos x=sin 2x 2π (1)f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π (2)∵-6≤x≤2,

第 7 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

π ∴-3≤2x≤π. 3 ∴- 2 ≤sin 2x≤1. 3 ∴f(x)的最大值为 1,最小值为- 2 .

难点突破 10——三角函数求值、求角问题策略 面对有关三角函数的求值、化简和证明,许多考生一筹莫展,而三角恒等变换更是三角函 数的求值、求角问题中的难点和重点,其难点在于:其一,如何牢固记忆众多公式,其二, 如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法. 一、给值求值 一般是给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变 角”,如 α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时 要注意角的范围的讨论. tan x ? π? 【示例】? (2011· 江苏)已知 tan ?x+4?=2,则tan 2x的值为________. ? ?

二、给值求角 “给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式 子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角. 1 1 【示例】? (2011· 南昌月考)已知 tan(α-β)=2,tan β=-7,且 α,β∈(0,π),求 2α-β 的 值.

第 8 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

▲三角恒等变换与向量的综合问题(教师备选) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具,是每年高考的必考内容,常在选择题 中以条件求值的形式考查.近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中,并且 成为高考的一个新考查方向. 【示例】? (2011· 温州一模)已知向量 a=(sin θ,-2)与 b=(1,cos θ)互相垂直,其中 θ∈ π? ? ?0,2?. ? ? (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; π (2)若 5cos(θ-φ)=3 5cos φ,0<φ<2,求 cos φ 的值.

第 9 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

.
高考资源网

w。w-w*k&s%5¥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u

高考资源网

w。w-w*k&s%5¥u 高考资源网
第 10 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

一、选择题 1.计算 sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于( 1 A. 2 2.若 cos 3 2 1 B. 3 3 C. 2 2 ) D. 3 2 )

? =-2,sin ? =-
B.- D.0 3 2

3 π 3π ,? ∈( ,π ), ? ∈( ,2π ),则 sin( ? +β )的值是( 2 2 2

A.

C.-1

3.已知 a =(2sin 35°,2cos 35°),b =(cos 5°,-sin 5°),则 a·b=( 1 A. 2 B.1 C.2 D.2sin 40°

)

π 10 4. 在△ABC 中,A= ,cos B= ,则 sin C=( 4 10 A.- 5 5 B. 5 5 2 5 C.- 5 2 5 D. 5

)

cos 2 x f ( x) ? π cos x sin x ? sin 2 x 的最小值是( 5.x∈?0, ?,函数 ? 2?
课后作业
A.3



1 B. 2

C .2

1 D. 4
)

6.函数 f (x)=sin x-cos x,x∈?0,

?

π? 的最小值为( 2?

A.-2 C.- 2

B.- 3 D.-1

7. 已知向量 a =(2,-2) ,b =(cos ? ,sin ? ) ,a∥b ,则 ? 的大小为( A. π 4 B.- π 4




π C. ? = +kπ (k∈Z) D. ? = 4 +kπ (k∈Z) 4

1 8. 已知向量 a=(1,1-cos ? ), b =(1+cos ? , 2 ),且 a∥b,则锐角 ? 等于(
A.30° B.45° C.60° D.75°



二、填空题

第 11 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

9.化简:cos(

π π + ? )+sin( + ? )=________. 3 6

2 10.等腰三角形顶角的余弦值为 ,那么这个三角形一底角的余弦值为________. 3 11.函数

y ? sin x ? 3 cos x 在区间?0,π ?上的最小值为 ? 2?



12 .给出下列命题:①存在实数 x ,使

sin x ? cos x ?

3 2 ;②若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则

2 π y ? sin( x ? ) cos ? ? cos ? ;③函数 3 2 是偶函数;④函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移π 个单位,得到函
4

π y ? sin(2 x ? ) 4 的图象.其中正确命题的序号是____________. 数

三、解答题 3 4 13. (17 分)已知 ? 为锐角,sin ? = , ? 是第四象限角,cos(π + ? )=- .求 sin( ? + ? )的值. 5 5

3 5 π 3 π 3 14. (17 分)若 sin( π + ? )= ,cos( - ? )= ,且 0< ? < < ? < π ,求 cos( ? + ? )的值. 4 13 4 5 4 4

[来源:学科网]

15. (18 分)已知

5π 11π 4 <? < ,sin 2 ? =- ,求 tan 2 4 5

?.

第 12 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

16.(17 分)已知函数 f(x)=sin(x+ ? )+cos(x- ? )的定义域为 R. (1)当 ? =0 时,求 f(x)的单调递增区间;

(2)若 ? ∈(0,π ),且 sin x≠0,当 ? 为何值时,f(x)是偶函数?

[来源:Zxxk.Com]

17.(17 分)已知 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x+a,a∈R. (1)若 f(x)有最大值为 2,求实数 a 的值;

[来源:学科网 ZXXK]

(2)求函数 y=f(x)的单调区间.

18.(18 分)已知函数 f(x)=sin( ? +x)+sin( ? -x)-2sin ? , ? ∈(0 , 意 x∈R,都有 f(x)≥0 成立,求 cos ? 的值.

3π 3 ),且 tan2 ? = ? ,若对任 2 4

第 13 页 共 14 页

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

本 节 课 教 学 计 划 完 成 情 况 : 照 常 完 成 □ _____________________________ 学 生 的 接 受 程 度 : 完 全 能 接 受 □ ________________________________ 学 生 的 课 堂 表 现 : 很 积 极 □ ________________________________ 课后记

提 前 完 成 □

延 后 完 成 □ 不 能 接 受 □ 不 积 极 □

部 分 能 接 受 □ 一 般 □

比 较 积 极 □

学生上次作业完成情况:数量____% 完成质量____分

存在问题 ______________________________

配合需求:家长___________________________________________________________________________ 学管师_________________________________________________________________________

注 备
提交时间 教研组长审批 家长签名

第 14 页 共 14 页


推荐相关:

高考数学一轮复习-两角和与差、二倍角公式

高考数学一轮复习-两角和与差二倍角公式_数学_高中教育_教育专区。很好的三角恒等变换的教案,2016高考数学全国卷必备!教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center ...


2015年高考第一轮复习数学:4.2 两角和与差、二倍角的公式(一)

2015年高考一轮复习数学:4.2 两角和与差二倍角公式(一)_数学_高中教育_教育专区。4.2 两角和与差二倍角公式(一) ●知识梳理 1.C(α +β )的...


高三数学复习两角和与差二倍角公式1

高三数学复习两角和与差二倍角公式1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学两角和与差二倍角公式(一) 一、基础知识精讲 (一)两角和与差公式 sin (α±...


高三一轮复习 两角和与差及倍角公式(二) 学案

高三一轮复习 两角和与差倍角公式(二) 学案_数学_高中教育_教育专区。云南衡水实验学校补习班学案 NO: 编制:石刚 审核:王恺明 使用时间: 班级: 学号: 姓名...


2012年高三数学一轮复习资料第三章 基本初等函数(Ⅱ)第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数

2012年高三数学一轮复习资料第三章 基本初等函数(Ⅱ)第3讲 两角和与差及二倍...(α±β ) = tan α± tan β 1 m tan α tan β 2.二倍角公式 sin...


2014届高考数学一轮复习教学案两角和与差的正弦、余弦

2014届高考数学一轮复习教学案两角和与差的正弦、余弦 隐藏>> 第五节 两角和...1+tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2...


高三一轮复习 两角和与差及倍角公式(一) 学案

高三一轮复习 两角和与差倍角公式(一) 学案_数学_高中教育_教育专区。云南....2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=___; (2)cos 2α=___...


2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)两角和与差的正弦、余弦和正切公式 理 北师大版

2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)两角和与差的正弦、余弦和...能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦...


【步步高】高考数学一轮复习_4.5两角和与差的正弦、余弦、正切(师)

【步步高】高考数学一轮复习_4.5两角和与差的正弦、余弦、正切(师)_数学_高中...2. 二倍角公式 sin 2α=2sin_αcos_α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos...


《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法 第五节 两角和与差的...1+tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com