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江西省南昌市第二中学2015届高三二轮复习测试数学(理)试题


江西省南昌市第二中学 2015 届高三二轮复习测试 数学(理)试题
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.如果复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数,则 A. 2 2.函数 f ( x) ? A. ( ,?? ) B. 5

2b ? 3i 的值为 1 ? bi
D. 15

C. 5

1 2? x

? lg( 2 x ? 1) 的定义域为
B. ( , 2 )

3.函数 f ( x) ? ?x ? log2 x 的零点所在区间为 A. [ 1 ? 1 ]

1 2

1 2

C. ( ,1)

1 2

D. (??,2)

4 2

B. [ 1 ? 1 ]

8 4

C. [0? 1 ]

8

D. [ 1 ?1]

2

a b c 4.△ ABC 中,如果 = = ,那么△ ABC 是. tan A tan B tan C A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 5.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为

A.

11 2

B. 5

C.

9 2

D. 4

6. 以下四个命题中:① 为了了解 800 名学生对学校某项教改试验的 意见,打算从中抽取一个容量为 40 的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔 k 为 40;② 线性回归直 线方程 y ? bx ? a 恒过样本中心 ( x , y ) ,且至少过一个样本点; ③ 在某项测量中,测量结果 ? ~ N (2, ? ) ,若 ? 在 (??,1) 内取值的概率为 0 .1 ,则 ? 在 (2,3) 内取值的
2

概率为 0 .4 .其中真命题的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7.程序框图如图,如果程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入 A. k ? 10? B. k ? 10? C. k ? 11? D. k ? 11?

8 . 若 函 数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c 有 极 值 点 x1 , x2 , 且 f ? x1 ? ? x1 , 则 关 于 x 的 方 程
3 2

3 ? f ? x ? ? ? 2af ? x ? ? b ? 0 的不同实根的个数是
2

A.3

B.4

C.5

D.6

9.当曲线 y ? 1? 4 ? x2

与直线 kx ? y ? 2k ? 4 ? 0 有两个相异的交点时,实数 k 的取值范围是
·1 ·

5 3 5 , ] D. ( , ?? ) 12 4 12 10.如图, 在棱长为 1的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 AC1 上任取一点 P ,以 A 为球心, AP 为半径作一个球.设 AP ? x ,记该球面与正方体表面
A. (0, B. ( , ] C. ( 的交线的长度和为 f ( x) ,则函数 f ( x) 的图象最有可能的是

5 ) 12

1 3 3 4

D1 A1
D
A P B

C1 B1
C

A B C D 11.设函数 f ( x) ? ?1 ? sin(x ? ?1 ) ? ? 2 ? sin(x ? ? 2 ) ,其中 ? i (i ? 1,2) 为已知实常数, x ? R ,则下 列命题中错误的是 A.若 f (0) ? f ( ) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 对任意实数 x 恒成立;

?

2

B.若 f (0) ? 0 ,则函数 f ( x) 为奇函数;

C.若 f ( ) ? 0 ,则函数 f ( x) 为偶函数;

?

? D.当 f 2 (0) ? f 2 ( ) ? 0 时,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 2k? (k ? Z ) . 2
12.如图,四边形 ABCD 是半径为 1 的圆 O 的外切正方形, ?PQR 是圆 O 的内接正三角形,当 ?PQR 绕着圆心 O 旋转时, AQ ? OR 的取值范围 是 A. [1 ? 2,1 ? 2] C. [ ? B. [?1 ? 2, ?1 ? 2] D. [ ? 2, 3 4

2

1 1 ? 2, ? ? 2] 2 2
题号 答案 1 2

1 2

1 ? 2] 2
5 6 7 8 9 10 11 12

二.填空题:本大题共 4 小题,本小题 5 分,共 20 分. 13.正方形的四个顶点 A( ?1, ?1) , B (1, ?1) , C (1,1) , D(?1,1) 分别在 抛物线 y ? ? x 和 y ? x 上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是 .
2 2

14. 若函数 f ( x) ? 的取值范围是

4x 2m ? 1) 上是单调递增函数, 在区间 (m, 则实数 m x ?1
2



15.已知向量 a 的模为 1,且 a, b 满足 a ? b ? 4, a ? b ? 2 ,则 b 在 a 方 向上的投影等于 . 16. 我们把焦点相同, 且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,己知 F1 , F2 是一对相 关曲线的焦点,P 是它们在第一象限的交点,当 ?F 1PF 2 ? 60 ,则这 一对相关曲线中椭圆的离心 率是________.
·2 ·

三.解答题:本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 设 S 为 △ ABC 的 面 积 , 满 足 4S =

3 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) . ( 1) 求 角 C 的 大 小 ;
( 2) 若 1?

t a nA 2c ? , 且 AB ? BC ? ?8 求 c 的值. t a nB b

18.(本小题满分 12 分)
·3 ·

已知学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系,某班 6 名学生的数学和物理成绩如表: 学生 学科 数学成绩( x ) 物理成绩( y )

A
83 75

B
78 65

C
73 75

D
68 65

E
63 60

F
73 80

(1)求物理成绩 y 对数学成绩 x 的线性回归方程; (2)当某位学生的数学成绩为 70 分时,预测他的物理成绩.

? ?a ? ? bx ? 的系数公式: 参考公式:用最小二乘法求线性回归方程 y
?? b

?x y
i ?1 i n i ?1

n

i

?n? x ? y
2 i

?x

? ? ? y ? bx ,a

? nx 2

参考数据: 832 ? 782 ? 732 ? 682 ? 632 ? 732 ? 32224 ,

83 ? 75 ? 78 ? 65 ? 73 ? 75 ? ?68 ? 65 ? 63 ? 60 ? 73 ? 80 ? 30810

19. (本小题满分 12 分)
·4 ·

在五边形 ABCDE 中(图一) , BD 是 AC 的垂直平分线, O 为垂足. ED // AC , AE // BD , AB ? BC ,P 为 AB 的中点. 沿对角线 AC 将四边形 ACDE 折起, 使平面 ACDE ? 平面 ABC(图 二) . (1)求证: PE ∥ 平面 DBC ; (2)当 AB ?

2 AE 时,求直线 DA 与平面 DBC 所成角的正弦值;

20. (本小题满分 l3 分)
·5 ·

已知椭圆 C :

2 x2 y 2 ) ,右焦点为 F2 .设 A , B 是 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的焦距为 2 ,且过点( 1 , 2 a b 2
1 ,线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P , Q 两点. 2

C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 的横坐标为 ?
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 F2 P ? F2Q 的取值范围.

21.(本小题满分 l2 分)
2

设函数 f ? x ? ? x ? ax ? ln x .
·6 ·

(1)过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求切点的横坐标; (2)令 g ( x) ?

f ( x) ,若函数 g ? x ? 在区间(0,1]上是减函数,求 a 的取值范围. ex

请考生在第(22)、(23)两题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第 一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. (本小题满分 l0 分)
·7 ·

已知函数 f ( x) ?| x ? 1| . (1)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ; (2)当 a ? 0 时, 不等式 2a ? 3 ? f (ax) ? af ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 23.(本小题满分 l0 分)

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 8cos ? ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数) . ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3sin ? (1)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
已知曲线 C1 : ? (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ? ( t 为参数)距离的最小值.

?
2

,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3 : ?

? x ? 3 ? 2t ? y ? ?2 ? t

高三新课标第二轮复习测试卷 数学(理
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 B 5 D 6 B 7 A 8 A 9 C 10 B 11 D 12 C

二.填空题:本大题共 4 小题,本小题 5 分,共 20 分. 13.

2 . 14. ?1 ? m ≤ 0 3

15.-3.

16.

3 3

三.解答题:本大题共 7 小题,共 70 分 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵根 据 余 弦 定 理 得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cosC , ?ABC 的 面 积 S = ∴ 由 4S = ( 2 ) ∵1 ?

3(a 2 ? b2 ? c 2 ) 得 tanC ? 3 ∵0 ? c ? ? , ∴C =

A ? B) 2c 即 sin C 2c si nC 2 si nC 可 得 si n ( ? , ? . ∴由 正 弦 定 理 得 ? , c o sA si nB b cos A sin B b c o sA si nB si nB
解 得 c o sA ?

sin A cos B cos A sin B ? sin A cos B 2c tan A 2c ? ? , ? , ∴1 ? sin B cos A cos A sin B b tan B b

? ; 3

1 absin C, 2

? ? ? 1 . 结 合 0 ? A ? ? , 得 A ? . ∵?ABC 中 , C ? , ∴ B ? ? ? ( A ? C ) ? , 3 3 3 2 1 2 1 2 因 此 , A B? B C ? ? c . ∵ AB ? BC ? ?8, ∴? c ? ?8, 即 c ? 4 . 2 2
18. (本小题满分 l2 分) (1)由题意, x ?

83 ? 78 ? 73 ? 68 ? 63 ? 73 ? 73 , 6
·8 ·

y?

7 5? 6 5 ? 7? 5 6

6? 5

6 ?0

80 ? 7 0.

?? b

?x y
i ?1 8 i

8

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

?

2

3 , 5

? x ? 131 , ? ? y ?b a 5

∴y?

3 131 x? 5 5 .

i

(2)由(1)知,当 x ? 70 时, y ? 68.2 ∴当某位学生的数学成绩为 70 分时,估计他的物理成绩为 68.2. 19. (本小题满分 l2 分) 解: (1)设 M 为 BC 中点,连 PM,DM 依题意, ED // ∵ P、M 分别为 AB、BC 的中点,∴PM // ∴ED//PM ∴ 四边形 PMDE 为平行四边形,∴EP // DM 又 DM ? 平面 DBC, PE ? 平面 DBC,∴PE // 平面 DBC (2)以点 O 为原点,直线 OA、OB、OD 所在直线分别为 x、y、z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设 | AE |? 2 ,则 A(2, 0, 0) 、 B(0, 2, 0)

1 AC 2

1 AC 2

C (?2, 0, 0) 、 D(0,0, 2) 、 E(2,0, 2) 、 P(1,1, 0) 所 以 DA ? ( 2 , 0 ?, 、 2 ) BC ? (?2, ?2,0) 、

DB ? (0, 2, ?2)
设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则由 ?

? ?n ? BC ? 0

? ?n ? DB ? 0 令 x ? 1 ,则 y ? z ? ?1 ,∴n ? (1, ?1, ?1)

,得 ?

?x ? y ? 0 , ?y ? z ? 0

cos? DA, n? ?

DA ? n 6 , ? ? DA ? ? ? n ? 3
6 3

∴ 直线 DA 与平面 DBC 所成角的正弦值为 20.(本小题满分 l2 分) 解:(1) 因为焦距为 2 ,所以 a ? b ? 1 .
2 2

1 1 2 ) ,所以 2 ? 2 ? 1 . a 2b 2 x2 2 2 ? y 2 ? 1. 故 a ? 2 , b ? 1所以椭圆 C 的方程为 2 (2) 由题意,① 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 1 x ? ? ,此时 P ? 2, 0 、 Q 2, 0 , 2 得 F2 P ? F2Q ? ?1
因为椭圆 C 过点( 1,

?

?

?

?

② 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k ( k ? 0 ), M ( ?

1 , m ) ( m ? 0 ), 2

·9 ·

? x12 ? y12 ? 1, ? y ? y2 ?2 ? 0, 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由 ? 2 得 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 1 x1 ? x2 ? x2 ? y 2 ? 1, 2 ? ? 2 则 ?1 ? 4mk ? 0 ,故 4mk ? 1 .
此时,直线 PQ 斜率为 k1 ? ?4m , PQ 的直线方程为 y ? m ? ?4m ? x ?

? ?

1? ?. 2?

? y ? ?4mx ? m ? 即 y ? ?4mx ? m .联立 ? x 2 消去 y ,整理得 (32m2 ? 1) x2 ? 16m2 x ? 2m2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2 设 P ? x3 , y3 ? , Q ? x4 , y4 ?
16m 2 2m 2 ? 2 x x ? , . 3 4 32m 2 ? 1 32m 2 ? 1 于是 F2 P ? F2Q ? ? x3 ? 1?? x4 ? 1? ? y3 y4 ? x3 x4 ? ? x3 ? x4 ? ? 1 ? ? 4mx3 ? m ?? 4mx4 ? m ?
所以 x3 ? x4 ? ?

(1 ? 16m2 )(2m2 ? 2) (4m2 ? 1)(?16m2 ) ? ? 4m ? 1? ? x3 ? x4 ? ? ?16m ? 1? x3 x4 ? m ? 1 ? ? ? 1 ? m2 2 2 32m ? 1 32m ? 1 2 19m ? 1 ? . 32m 2 ? 1
2 2 2

由于 M ( ?

1 7 , m ) 在椭圆的内部,故 0 ? m 2 ? . 2 8
2

令 t ? 32m ? 1 , 1 ? t ? 29 ,则 F2 P ? F2Q ?

19 51 ? . 32 32t

又 1 ? t ? 29 ,所以 ?1 ? F2 P ? F2Q ?

125 . 232

综上, F2 P ? F2Q 的取值范围为 ? ?1, 21.(本小题满分 12 分)

? ?

125 ? ?. 232 ?
1 1 切 线 的 斜 率 k ? 2t ? a ? , 又 切 线 过 原 点 x t

解 : (1) 设 切 点 为 M t , f ? t ? , f ' ? x ? ? 2 x ? ax ?

?

?

f ?t ? 1 ? 2t ? a ? ,即:t 2 ? at ? ln t ? 2t 2 ? at ? 1? t 2 ? 1 ? ln t ? 0 t t 2 t ? 1 满足方程 t ? 1 ? ln t ? 0 ,由 y ? 1 ? x 2 , y ? ln x 图像可知 x 2 ? 1 ? ln x ? 0 有唯一解 x ? 1 ,切点的横坐标为 1; 1 2 或者设 ? ? t ? ? t ? 1 ? ln t , ? ' ? t ? ? 2t ? ? 0 ? ? t ? 在 ? 0, +? ? 递增 ,且 ? ?1? =0 ,方程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 t k?
, 有唯一解
·10·

f ?t ? t

f '? x? ? f ? x? ,若函数 g ? x ? 在区间(0,1]上是减函数, ex 1 则 ?x ? (0,1], g ' ? x ? ? 0, 即 : f ' ? x ? ? f ? x ? ,所以 x 2 ? 2 x ? ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0 ---(*) x 1 设h ? x ? ? x 2 ? 2 x ? ? ln x ? a ? x ? 1? x ?1 ? x ? ? 2 x 2 ? 2 x ? 1? 1 1 h '? x? ? 2x ? 2 ? 2 ? ? a ? ? ?2?a x x x2 若 a ? 2 , 则 h ' ? x ? ? 0, h ? x ? 在 ? 0,1? 递减 , h ? x ? ? h ?1? ? 0 即不等式 f ' ? x ? ? f ? x ? , ?x ? (0,1], 恒
(2) g ' ? x ? ? 成立 若

a?2 ,

? ? x? ? 2x ?

增, ? ? x ? ? ? ?1? ? ?2

1 1 2 1 ? ? 2 ?? ' ? x ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 0 2 x x x x

? ? x? 在

? 0,1?

上 递

x ? ? x0 ,1? , ? ? x ? ? ?a , 即 h ' ? x ? ? 0 , h ? x ? 在 ? x0 ,1? 上 递 1 2 增, h ? x ? ? h ?1? ? 0 这与 ?x ? ? 0,1? , x ? 2 x ? ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0 矛盾 x a ? 2 综上所述, ?x0 ? ? 0,1? , 使得? ? x0 ? ? ?a
解法二: g ' ? x ? ?
f '? x? ? f ? x? ,若函数 g ? x ? 在区间(0,1]上是减函数, ex

则 ?x ? (0,1], g ' ? x ? ? 0, 即 : f ' ? x ? ? f ? x ? ,所以 x 2 ? 2 x ? 显然 x ? 1 ,不等式成立 当 x ? ? 0,1? 时, a ? 设 h ? x? ?

1 ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0 x

x2 ? 2x ?

1 ? ln x x 恒成立 1? x

x2 ? 2x ?

设 ? ? x? ? ?x ? 2x ?1?
2

?1 ? x ?? 2 ? x ? ? 0 1 1 ? ? ln x, ? ' ? x ? ? 2 ?1 ? x ? ? 2 x x x3 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上递增, ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 所以 h ' ? x ? ? 0
h ? x ? 在 ? 0,1? 上递减, h ? x ? ? h ?1? ? lim
x ?1

1 1 1 ? ln x ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 2 ? ? ln x x x x , h '? x? ? 2 1? x ?1 ? x ?

x2 ? 2x ?

所以 a ? 2

1 ? ln x 1 1 ? ? x ? lim ? ?2 x ? 2 ? ? 2 ? ? 2 x ? 1 1? x x x ? ?

22.(1)原不等式等价于:当 x ? 1 时, ?2 x ? 3 ? 2 ,即

1 ? x ? 1; 2

当 1 ? x ? 2 时, 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 ; 当 x ? 2 时, 2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ? x ? 综上所述,原不等式的解集为 { x |

5 . 2

1 5 ? x ? }. 2 2
·11·

(2)当 a ? 0 时,

f (ax) ? af ( x) ?| ax ? 1| ?a | x ? 1| = | ax ? 1| ? | a ? ax | ? | ax ? 1 ? a ? ax |?| a ? 1| ?a ? 2 所以 2a ? 3 ?| a ? 1|
23. (1) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 :
2 2

x2 y 2 ? ? 1, 64 9

C1 为圆心是 (?4,3) ,半径是 1 的圆, C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴
长是 3 的椭圆; (2)当 t ?

?

2

时, P(?4, 4), Q(8cos ? ,3sin ? ) ,故 M (?2 ? 4 cos ? , 2 ?

3 sin ? ) , 2

C3 为 直 线 x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 到 C3 的 距 离 d ?
cos ? ? 4 3 8 5 ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 . 5 5 5

5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | , 从 而 当 5

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·12·



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