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安徽省皖江名校2016届高三数学12月联考试题 文(含解析)


2016 届皖江名校联盟高三联考(12 月) 文科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 至 第4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

(1)设集合 P={y|y =2cosx},Q={x∈N|y =log5(2-x)},则 P∩Q= A.{x|-2≤x≤2) B.{x|-2≤x<2} C.{0,1,2} D.{0,1} (2)命题 p:存在 x∈[0,

?
2

],使 sinx +cosx> 2 ;命题 q:命题“ ? xo∈(0,+∞),lnxo=xo-1”

的否定是 ? x∈(0,+∞),lnx≠x-1,则四个命题( ? p) V( ? q)、p ? q、( ? p) ? q、p V( ? q)中,正 确命题的个 数为 A.l B.2 C.3 D.4 (3)已知数列{an}的首项为 2,且数列{an}满足 A.2 B. ? ,,则 a2018 为

1 1 C. D.-3 2 3 ??? ? ???? ???? ? ??? ? (4)在△ABC 中,已知向量 AB =(2,2), | AC | =2, AB ? AC = -4,则∠A=
A.

5? 6

B.

?
4

C.

(5)设 f(x)= sinx+ cosx,则 f '(一

?
4

2? 3

D.

3? 4

)=

A. 2

B.一 2

C.0

D.

2 2
2

(6)定义在[-2,2]上的函数 f(x)满足(x1- x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,且 f(a -a>[(2a -2),则 实数 a 的范围为 A.[一 l,2) B.[0,2) C.[0,1) D.[一 1,1) (7)已知函数 y=Acos(ax+ ? )+b(a>0,0< ? < A.

?
?
3 2

)的图象如图所示,则 ? 可能是

?
12

B.

?
6

C.

?
4

D.

(8)在平面直角坐标系中,已知函数 y=loga(x-2)+4(a>0,且 a≠l)过定点 P, 且角 a 的终边过点 P,则 3 sin2a+cos2a 的值为 A.

33 65

B.

63 65

C.

13 5

D.

12 5
1

(9)已知实数 x,y 满足

,若目标函数 z= x+3y 的最大值为

A.-2 B.-8 C.2 D.6 (10)已知正数的等比数列{an}的首项 a1 =1,a2·a4 =16,则 a8= A.32 B.64 C.128 D.256 x (11)已知函数 f(x)=e +elnx- 2ax 在 xE(1,3)上单调递增,则实数 a 的取值范围为 A. (-∞,

e3 e ? ) 2 6
2

B.[

e3 e ? ,+ ∞) 2 6

C.[- ∞,e)

D. (-∞,e]

(12)已知函数 f(x)=x - 2ax +5(a>l) ,g(x)=log3x,若函数 f(x)的定义域与值域都是[1,a],且 对于 2 任意的 x1,x2∈[1,a+l]时,总有|f(x1)-g(x2)|≤t +2t -1 恒成立,则 t 的取值范围为 A.[1,3] B.[ -1,3] C.[1,+ ∞)U(一∞,-3] D.[3,+∞)U(一∞,-1] 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试卷上作答无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 3 2 (13)已知定义域为[a -2,2(a+l)]的奇函数 f(x)=x +(b-2)x +x,则 f(a)+f(b)=____ (14)在平面直角坐标系内,已知 B(-3,一 3 3 ),C(3,-3 3 ) ,H(cosa,sina),则 BH ? CH 的 最大值为 .

???? ????

(15)已知函数 f(x)=sinx+ ? cosx 的图象关于 x=

?
4

对称,把函数 f(x)的图象向右平移

?
6

个单位,

横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)取最大值时的 x 为 。 2 2016 (16)已知数列 {an}中, 满足 anan+l=2Sn (n∈N*) , 且 al =1, 则 2×a1+2 ×a2+?+2 ×a 2016= 。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答应写在 答题卡 上的指定区域内. (17)(本小题满分 10 分) 已知向量 a=(

3 1 1 , sinx+ cosx)与向量 b=(1,y)共线,设函数 y=f(x) . 2 2 2

( I)求函数 f(x)的最小正周期及最大值; (Ⅱ)已知△ABC 中的三个锐角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若角 A 满足 f(A 一 b=5, c=8,D,E 分别在 AB,BC 边上,且 AB =4AD,BC =2BE,试求 DE 的长.

?
3

)= 3 ,且

2

(18)(本小题满分 12 分】 已知 a=(sinx,

1 ? 3 ) ,b=(cosx,cos(2x+ ))f(x)=a·b+ . 2 6 2
}的前

(I)试求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在 y 轴右侧的极大值点从小到大依次组成的数列为{an},试求数列{ n 项的和 Tn. (19)(本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,内角 A、B、C 对边分别为 a,b,c,已知 ( I)求∠C; (Ⅱ)求函数 f(A)= +1 的最大值.

(20){本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) 为一次函数, 且单调递增, 满足 f[f(x)]= an+1=f(an). (I)试求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项的和为 Sn,求证:Sn<4

1 3 x一 , 若对于数列{an}满足:a1= 1, 4 4

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 g(x)=

3 3 2 35 x -9x + x-12 -m,三次函数 f(x)最高次项系数为 a,且 f(x)其三个 2 2

零点分 别为 1,2,3,f '(1)=4. ( I)求 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)与 g(x)的图象只有一个交点,求实数 m 的取值范围. (22)(本小题满分 12 分) 2 已知函数 f(x)=x +2(a+l)x+41nx. (I)若函数 f(x)是定义域上的单调函数,求实数 a 的最小值; 2 (Ⅱ)若函数 f(x)>x +2x 在[1,3]上恒成立,求实数 a 的取值范围,

3

2016 届皖江名校联盟高三联考 文科数学参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 )

?Q={x | y=log5 (2-x)} , 1. 【 答 案 】 B 【 解 析 】 ? P= { y | y=2cos x}= { y | -2 ? y ? 2},
? 2 ? x ? 0, x ? 2,?Q ? {x | x ? 2} ? P ? Q ? {y |? 2 ? y ? 2} ?{x | x ? 2} ? ?x | ?2 ? x ? 2?.
2.【答案】B【解析】因为 sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

) ? 2 ,故命题 p 为假命题; 特称命题的否

定为全称命题,根据命题的否定知命题 q 为真命题, (?p) ? (?q) 真, p ? q 假, (?p ) ? q 真, p ? (?q ) 假故选 B. 3.【 答案】C 【解析】? a1 =2, an ?1 ? 数列{ an }的周期 4,∴ a2018 ? a2 ?

1 1 an ? 1 ,∴ a2 = ,∴ a3 = ? ,∴ a4 = ?3 ,∴ a5 =2 3 2 an ? 1



1 ,故选 C . 3

4. 【答案】D【解析】? AB ? (2, 2) ,

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 , ? | AB |? 22 ? 22 ? 2 2 , AB ? AC ?| AB | ? | AC | cos A ? 2 ? 2 2 cos A ? ?4 , cos A ? ? 2
? 0 ? A ? ? ,??A=
3? ,故选 D. 4

5.【答案】A【解析】由 f ? x ?=sin x ? cos x, 得 f ? ? x ?=cos x ? sin x, .根据题意知 故选 A. 6.【答案】C 【解析 】? 函数 f ( x ) 满足在对于任意的 x1、x2 ?[?2, 2] 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函

??2 ? a 2 ? a ? 2 ? ?1 ? a ? 2 ? ? 数 f ( x ) 在 [?2, 2] 上单调递增,? ??2 ? 2a ? 2 ? 2 ,? ?0 ? a ? 2 ,? 0 ? a ? 1 ,故选 C. ? a ? 1或a ? 2 ? 2a ? 2 ? a 2 ? a ? ?
(2 ? 7.【答案】D【解析】 由图知 T ? ? ,? a ? 2 , cos

?
3

+?) =-1 ,?? ?

?
3

,故选 D .

n? 8. 【 答 案 】 C 【 解 析 】 函 数 y ? loga ( x ? 2) ? 4 过 定 点 P( 3 , 4 , ) 且 t a?
3sin 2? ? cos 2? ? 6sin ? cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

4 , 3

4

4 4 6 ? ? ( )2 ? 1 6sin ? cos ? ? cos ? ? sin ? 6 tan ? ? tan ? ? 1 13 3 3 ? ? ? ? 2 2 2 4 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5 1 ? ( )2 3
2 2 2
10 8

9.【答案】D【解析】 首先作出可行域,把目标函数 z ? x ? 3 y ,变形可得 y ? ?
6 4

1 z x ? ,斜率为 3 3

x+ y-2=0 y
2

2x-y+2=0
15 10 5

x-2y-2=0
1 2

1

-2

-1

O
-1
2

x

5

10

15

z=x+3y

负数,当 z 在点 处取得最大值为 6,故选 D. (0, 2)

10.【答案】C【解析】∵ a2 ? a4 ? 16 ,∵ a2 ? a4 ? (a3 )2 ,∴ a3 ? 4 ,∵ a3 ? a1q2 ? 4 ,? a1 ? 1 ,

4

? q2 ? 4,? q ? ?2 ,∴ q ? ?2 舍去,∴ q ? 2 ,∴ a8 ? 27 ? 128 ,故选 C.
ex e e 11. 【答案】D 【解析】依题意, f ' ? x ? ? e ? ? 2a ? 0 在 x ? (1,3) 上恒成立,即 a ? 在 ? x 2 2x
x

x ? (1,3) 上 恒 成 立 , 令 g ( x) ?

ex e ex e ex e , 则 g ?( x) ? ? 2 , 令 h( x ) ? ? 2 , 则 ? 2 2x 2 2x 2 2x

h?( x )?
选 D.

ex e ex e ,g ?( x) ? ? 2 ? g ?(1) ? 0 ? g ( x) 在 x ? (1,3) 上单调递增,a ? g ? 3? 0 () 1 ?e故 2 2x 2 x

12. 【 答 案 】 C 【 解 析 】 ? a ? 1 ? f ( x) 在 区 间 [1, a] 上 单 调 递 减 ,

? f (1) ? a ? 1 ? 2a ? 5 ? a ?? ,? 2 ,? a ? 2 ,所以 f ( x) ? ( x ? 2)2 ? 1, 2 f ( a ) ? 1 a ? 2 a ? 5 ? 1 ? ?

g ( x) ? log3 x ,在 [1,3] 上的 1 ? f ( x) ? 2, 0 ? g ( x) ? 1 ,所以 f ( x1 ) ? g ( x2 ) max ? 2 ,
t 2 ? 2t ? 1 ? 2 ? t 2 ? 2t ? 3 ? 0 ? t ? 1或t ? ?3 .
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在题中的横线上。 ) 13.【答案】10【解析】定义域为 [a ? 2, 2(a ? 1)] 的奇函数,满足 ?

?a ? 2 ? ?[2(a ? 1)] ? a ? 0 ,因 a?2? 0 ?
3

为 f ( x ) 为奇函数,满足 f (? x) ? ? f ( x) ? b ? 2 ? 0 ,所以 f ( x) ? x ? x ,

f (a) ? f (b) ? f (0) ? f (2) ? 10 .
14【答案】 6 3 ? 19 【解析】由题意: ? B(?3, ?3 3), C(3, ?3 3) , H (cos ? ,sin ? ),
5

???? ???? BH ? (cos? ? 3,sin ? ? 3 3), CH ? (cos ? ? 3,sin ? ? 3 3) ???? ???? ? BH ? CH ? (cos? ? 3,sin ? ? 3 3)? (cos ? ? 3,sin ? ? 3 3)

? cos2 ? ? 9 ? sin 2 ? ? 6 3 sin ? ? 27 ? 6 3 sin ? ? 19 ? 6 3 ? 19
15. 【 答 案 】 x ? 4 k? ?

5? ? , k ? Z 【 解 析 】 f (0) ? f ( ) , 可 得 ? ? 1 , 所 以 6 2

f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) , 向 右 平 移 , 横 坐 标 扩 大 到 原 来 的 2 倍 得 到 函 数 4 6 1 ? ? 1 ? g ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? 2 sin( x ? ) , 函 数 g ( x) 取 最 大 值 时 , 2 4 6 2 12 1 ? ? 5? x ? ? 2 k? ? ? x ? 4 k ? ? ,k ?Z 2 12 2 6 .
16. 【答案】 2015 ? 22017 ? 2 【解 析】

?

?

an an?1 ? 2Sn , an?1an?2 ? 2Sn?1, an?1an?2 ? an an?1 ? 2Sn?1 ? 2Sn ? 2an?1 , an?2 ? an ? 2, a1 ? 1, a3 ? 3, a5 ? 5,?, a2k ?1 ? 2k ?1; a2 ? 2, a4 ? 4,?, a2k ? 2k.?an ? n ;
Sn ? 2 ? a1 ? 22 ? a2 ? ?2n ? an , 2Sn ? 22 ? a1 ? 23 ? a2 ? ?? 2n?1 ? an 相减可得, Sn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2,? S2016 ? 2015 ? 22017 ? 2 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 )
C E

A D

B

17. 【 解 析 】 ( 1 ) ? a, b 共 线 , 可 得

? ?

1 1 3 y ? ( sin x ? cos x) ? 0 , 则 2 2 2

y?s i n x?
x ? 2 k? ?

3 c x? o s

?
3

x2 ?,s 所 i以 n 函 ( 数 的) 最 小 正 周 期 为 T ?

2? ? 2? , 当 1

?
6

, k ? Z 时, f ( x)max ? 2 ,

------------------6 分

(2) f ( A ?

?
3

) ? 3 ,可得 2sin( A ?

?

? 3 ? ? ) ? 3,sin A ? ,A? , 3 3 2 3

6

???? ??? ? ??? ? 3 ??? ? 1 ??? ? 3 ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? DE ? DB ? BE ? AB ? BC ? AB ? ( AC ? AB ) ? AB ? AC , 4 2 4 2 4 2

-------8 分

平方可得 ???? 2 ? 1 ???? ? 2 1 ???? 2 1 ??? ? ???? 1 1 ??? 1 ??? 1 1 ? 61 , 故 DE ? ( AB ? AC ) 2 ? AB ? AC ? AB ?AC ? ? 82 ? ? 52 ? ? 8 ? 5 ? cos ? 4 2 16 4 4 16 4 4 3 4

DE ?

61 . 2
?

---------------10 分

1 ? ? )) , 2 6 ? ? 3 1 ? 3 1 1 ? 3 f ( x) ? a ? b ? ? sin x cos x ? cos(2 x ? ) ? ? sin 2 x ? cos(2 x ? ) ? 2 2 6 2 2 2 6 2 3 1 ? ? ? sin(2 x ? ) 2 2 3 ? ? ? 5? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 函数的单调递增区间 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k? ? 2 3 2 12 12 5? ? , k? ? ](k ? Z ) . 所以单调递增区间为 [k? ? --------------------6 分 12 12 3 1 ? ? ? ? (2) f ( x) ? ? sin(2 x ? ) 取 到极大值时 2 x ? ? 2k? ? , x ? k? ? ,所以 2 2 3 3 2 12 ? ? ? 11 a1 ? , a2 ? ? ? , an ? ? (n ? 1)? ? n? ? ? , 12 12 12 12
18.【解析】 (1)? a ? (sin x, ), b ? (cos x, cos(2 x ? 设 bn ?

?2
an an ?1

? (n ?

1 11 11 )(n ? 1 ? ) 12 12

?

1 1 ? ,则 11 11 n? n ?1? 12 12

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 11 11 11 11 11 11 1? 1?1? 1?1? 2 ?1? n? n ?1? 12 12 12 12 12 12 1 1 144n . ----------------------12 分 ? ? ? 11 11 12n ? 1 1? n ?1? 12 12
sin B c?b?a b c ?b ?a ? ? ,由正弦定理得: ,化简即为 sin A ? sin C c?b c ?b , a?c

19. 【 解 析 】 由

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? , a ? b ? c ? ab ,再由余弦定理可得 cos C ? 2ab 2
2 2 2

因为 0 ? C ? ? ,所以 ?C ? (2) f ( A) ? 1 ?

?
3

.

------------------------6 分

2(cos 2 A ? sin 2 A) ? ? 1 ? 2cos 2 A ? 2sinAcosA ? 2sin(2 A ? ) sin A 4 1? cos A
7

在锐角 ?ABC 中,

?
6

? A?

?
2



?
12

? 2A ?

?
4

?

3? 4
--------------------12 分

故当 2 A ?

?
4

?

?
2

,A?

3? 时, f ( A)max ? 2 . 8

20.【解析】 (1)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,

f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ? f [ f ( x)] ?

1 3 1 3 x ? ,? a (ax ? b) ? b ? x ? , 4 4 4 4

1 1 1 ? ? ? a2 ? a?? a? ? ? ? 1 1 ? ? ? 4 2 2 ,? ? 或? ,舍去,故 f ( x) ? x ? ,---2 分 ? 2 2 ?ab ? b ? ? 3 ?b ? ? 1 ? b ? ? 3 ? ? ? 4 ? 2 ? 2 ?
1 1 1 an ? ,? an ?1 ? 1 ? (an ? 1) , 2 2 2 1 数列 {an ? 1} 是公比为 ,首项为 2 的等比数列, 2 1 n ?1 1 ? an ? 1 ? 2 ? ( ) , an ? ( ) n ? 2 ? 1 2 2 an ?1 ?
(2)由 bn ?

--------------- -----4 分 -------------------------------6 分

1 1 1 nan ? n 可得, bn ? n( ) n ?1 2 2 2
① ②

1 0 1 1 2 1 n ?1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 则 S n ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n( ) 2 2 2 2 2
可得 S n ? 1? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n( ) ②-①

1 1 1 1 1 1 Sn ? ( )0 ? ( ) ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ? n( ) n 2 2 2 2 2 2 n?2 n?2 ? S n ? 4 ? n ?1 , ? n ?1 ? 0,? S n ? 4 2 2
可得

---------------------12 分

21.【解析】 (Ⅰ)依题意,函数 f ? x ? ? a ? x ? 1?? x ? 2 ?? x ? 3? ? a x 2 ? 3 x ? 2
2 故 f ' ? x ? ? a ?? 2 x ? 3?? x ? 3? ? x ? 3x ? 2 ? ,

?

? ? x ? 3? ,

?

?

??

故 f ' ?1? ? 2a ? 4 ,解得 a ? 2 ;

-------------------------- 4 分

(Ⅱ)依题意,f(x)与 g(x)的图像只有一个交点,即方程 f ( x) ? g ( x) ? 且仅有一个实根,令 h( x) ?

1 3 9 x ? 3x 2 ? x ? m ? 0 有 2 2

1 3 9 x ? 3x 2 ? x ; 2 2

8

h '? x? ?

3 2 9 3x 2 ? 12 x ? 9 3 x ? 6x ? ? ? ? x ? 1?? x ? 3? , 2 2 2 2

--------- ---------------6 分

故当 x ? 1 或 x ? 3 时,函数 h ? x ? 单调递增,当 1 ? x ? 3 时,函数 h ? x ? 单调递减; 故函数 h ? x ? 的极大值为 h ?1? ? 2 ,极小值为 h ? 3? ? 0 , ---------------------------8 分

故若方程 f ( x) ? g ( x) 有 1 个根 ,故 ?m ? 0或? m ? 2 ,即 m ? ?2或m ? 0 , 即 实 数

m













??

, ? 2 ? ? U?

?

0.

,?

?

----------------------------------------12 分 22.【解析】 (Ⅰ)因为 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ln x( x ? 0) ,
2 所以 f ?( x) ? 2 x ? 2(a ? 1) ? 4 ? 2 x ? 2(a ? 1) x ? 4 ,若函数 f ( x) 是定义域上的单调函数,则 x x

f ?( x) ? 0

恒成立,即 2 x 2 ? 2( a ? 1) x ? 4 ? 0 在 (0,??) 上恒成立 . 所以 [2(a ? 1)]2 ? 2 ? 4 ? 4 ? 0 或

? ( a ? 1) ? 0 ,
解得 ? 2 2 ? 1 ? a ? 2 2 ? 1 或 a ? ?1 , 所以 a ? ?2 2 ? 1 ,故函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数, 则实数 a 的最小值 ? 2

2 ?1 .

---- -------------5 分

2 ( Ⅱ ) 函 数 f ( x) ? x ? 2 x在 区 间 [1,3] 上 恒 成 立 , 即 2a x ? 4 l n x? 0 在 [1,3] 上 恒 成 立 . 即

2 ln x 在区间 [1,3] 上恒成立; x 2 ln x 2 ln x ? 2 令 g ( x) ? ? , g ?( x) ? , x x2 a??


---------------------------------8

? e, 上 ] g ?( x) ? 0 , 在 区 间 [e . 3 g]?( x ) 令 g ?( x) ? 0 , x ? e , 在 区 间 [ 1
g (1) ? 0, g (3) ? ? 2 ln 3 ? 0, a ? g ( x) max ? 0,? a ? 0 3

0 ,

---------------------------------10 分 综上所述,实数 a 的取值范围为 a ? 0 . 分 -------------------------12

9


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