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2015年华南师大附中高三综合测试(三模)数学(理科)精编含解析


2015 年华南师大附中高三综合测试
数学(理科)
2015.5
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔 将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把

答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

第一部分 选择题(40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
2 1.设 i 为虚数单位,若复数 z ? m ? 2m ? 8 ? ? m ? 2 ? i 是纯虚数,则实数 m ? :

?

?

A.2

B. ? 4 或 2

C. 2 或 ? 4

D. ?4

2.已知命题 p:??∈R,cos (?-?) = cos ?;命题 q: ?x∈R,x 2 + 1 > 0. 则下面结论正确的是: A. p∨q 是真命题 B. p∧q 是假命题 C. ? q 是真命题 D. p 是假命题

? 2x + 2y≥1 3.若 x、y 满足约束条件 ? x≥y ? 2x-y≤1
5 A. [ ,4] 4 7 B. [ ,5] 2

且向量 a = (3,2),b = (x,y),则 a·b 的取值范围是:

5 C. [ ,5] 4

7 D. [ ,4] 2

4. 同时具有性质“①最小正周期是 ? ,②图象关于直线 x ? 函数是: A. y ? sin(

?
3

对称;③在 [ ?

? ?

, ] 上是增函数”的一个 6 3

x ? ? ) 2 6

B. y ? cos( 2 x ?

?
3

)

C. y ? cos( 2 x ?

?
6

)

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

1

5. 函数 f(x)=|log2(x+1)| 的图象大致是:

6. 已知点 F 是抛物线 y 2 = 4x 的焦点,M、N 是该抛物线上两点,| MF | + | NF | = 6,则 MN 中点的 横坐标为: A. 3 2 B. 2 C. 5 2 D. 3

7. 设函数 y ? f ( x) 在 R 上有定义,对于任一给定的正数 p ,定义函数 f p ( x) ? ? 数 A. C.

? f ( x), f ( x) ? p ,则称函 ? p, f ( x ) ? p

f p ( x) 为 f ( x) 的“ p 界函数”若给定函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1, p ? 2 ,则下列结论不 成立的是: .

f p ? f (0) ? ? f [ f p (0)]

B. f p f (1) ? f [ f p (1)] D.

?

?

f p [ f p (2)] ? f ? f (2) ?

f p [ f p (3)] ? f ? f (3) ?

8. 若直角坐标平面内两相异点 A、B 两点满足:① 点 A、B 都在函数 f (x) 的图象上;② 点 A、B 关于原 点对称,则点对 (A,B) 是函数 f (x) 的一个“姊妹点对”. 点对 (A,B) 与 (B,A) 可看作是同一个

? x + 2x,x < 0 “姊妹点对”. 已知函数 f (x) = ? x + 1 ,则 f (x) 的“姊妹点对”有: ,x≥0 ? e
2 x

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个 第二部分 非选择题(110 分)

D. 3 个

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 不等式

x ?1 ? 2 的解集为 x

.

2

2 6 10.(2x ? ) 的展开式的常数项是

1 x

(用数字作答). .

11. 图一是一个算法的流程图,则最后输出的 S 是 开始 S=0, n=1 否

n≤6 是 S = S-n n=n+2 图一

输出 S 结束 图二

12.某三棱锥的三视图如图二所示,正视图、侧视图均为直角三角形,则该三棱锥的四个面中,面积最大 的面的面积是 .

13. 数字“2015”中,各位数字相加和为 8,称该数为“如意四位数”,则用数字 0,1,2,3,4,5 组成的无重 复数字且大于 2015 的“如意四位数”有 个.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14 . (坐标系与参数方程选做题) 设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? a ? 4cos ? (? 是参数, a ?0 ),直线 l 的极坐标方程为 ? y ? 1 ? 4sin ?
. C

3? cos? ? 4? sin ? ? 5 ,若曲线 C 与直线 l 只有一个公共点,则实数 a 的值是
15. (几何证明选做题) 如图,⊙O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,且 CD ? 4 , BD ? 8 , A 则⊙O 的半径等于 .

. · D O

B

3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知 a , b, c 分别是 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边,且 c ? 2 , C ? (Ⅰ) 若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (Ⅱ) 若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 A 的值.

?
3



4

17. (本题满分 12 分) 在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出 1 点,甲盒中放一球;若掷出 2 点或 3 点,乙盒中放一 球;若掷出 4 点或 5 点或 6 点,丙盒中放一球,前后共掷 3 次,设 中的球数. (Ⅰ) 求 依次成公差大于 0 的等差数列的概率; 分别表示甲,乙,丙 3 个盒

(Ⅱ)求随机变量 z 的概率分布列和数学期望.

5

18. (本题满分 14 分) 如图, 已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 , ?BCA ? 90? , AC ? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D , 又知 BA1 ? AC1 . (Ⅰ) 求证: AC1 ? 平面 A1 BC ; (Ⅱ) 求 CC1 到平面 A1 AB 的距离; (Ⅲ) 求二面角 A ? A1B ? C 的平面角的余弦值.

6

19. (本题满分 14 分) 设 数 列 {an} 的 各 项 都 是 正 数 , 记 Sn 为 数 列 {an} 的 前 n 项 和 , 且 对 任 意 n ∈ N* , 都 有
3 3 3 3 2 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn .

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 若 bn ? 3 ? (?1)
n n?1

? ? 2a ( ? 为常数且 ? ? 0 ,n∈N*) ,问是否存在整数 ? ,使得对任意 n∈
n

N*,都有 bn+1>bn.

7

20. (本题满分 14 分) 如图,O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1: x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点,且抛物线 C1 上点 P 处的切线与圆 C2: x 2 ? y 2 ? 1 相切于点 Q。 (Ⅰ)当直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 时,求 抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)当正数 p 变化时,记 S1 ,S2 分别为△FPQ,△FOQ 的面积,求
S1 的最小值. S2

y

F

P

O Q

x

8

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x ln x 和 g ( x) ? m( x ? 1) (m ? R) . x ?1

(Ⅰ)m=1 时,求方程 f (x) = g(x)的实根; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [1, ? ?), f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 m 的取值范围;
1007

(Ⅲ)求证:

? 4i
i ?1

2

4i ? ln 2015 . ?1

9

2015 年华南师大附中高三综合测试 数学(理科)答案 一、选择题:DACD ABBC

二、填空题:9. (-∞,-1)∪(0,+∞)

10. 60

11. -9

12.

7

13. 23

14. 7

15. 5

三、解答题:

1 1 3 ab sin C ? ab 推得 ab ? 4 ; 2 2 2 1 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 ? 4 ? 又根据三角形余弦公式可知: cos C ? ? 推得 a 2 ? b 2 ? 8 。 2 2ab 8
16.解: (I)根据三角形面积公式可知: S ? 3 ? 综上可得 a ? b ? 2 。 ………………………………4 分

(Ⅱ) sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,?sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A

sin B cos A ? 2sin A cos A
当 cos A ? 0 时, A ?

………………………………6 分 ………………………………7 分

?
2

当 cos A ? 0 时, sin B ? 2sin A ,由余弦定理得 b ? 2a , 联立 ?

?a2 ? b2 ? ab ? 4 ? b ? 2a

,得 a ?

2 3 4 3 ………………………………10 分 ,b ? 3 3

? b2 ? a 2 ? c 2 , C ?
综上 A ?

?
3

,? A ?

?
6

, ………………………………12 分

?
2

或A?

?
6



解二: sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,?sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A

sin B cos A ? 2sin A cos A
当 cos A ? 0 时, A ?

………………………………6 分 ………………………………7 分

?
2

当 cos A ? 0 时, 2sin A ? sin B ? sin( ? ? A) ?

2 3

3 1 cos A ? sin A , 2 2
10

?

3 sin( A ? ) ? 0, 6 ? ? 5? ? ? 0 ? A ? ? , ?? ? A ? ? ,? A ? ? 0即A ? . 6 6 6 6 6

3 3 sin A ? cos A ? 0 ? 2 2

?

综上 A ?

?
2

或A?

?
6



………………………………12 分

17.解: (I)依题意,掷一次骰子,掷出 1 点的概率为 或 5 点或 6 点的概率为 记事件 A=“

1 2 1 , 掷出 2 点或 3 点的概率为 ? ,掷出 4 点 6 6 3

3 1 ? ;…………2 分 6 2

依次成公差大于 0 的等差数列”, 则 x=0,y=1,z=2; 即甲、 乙、 丙三盒中分别放进 0、

1、2 个球. …………4 分 P(A)= C 3
1

1 1 2 1 ? ( ) ? ;…………6 分 3 2 4

(II)z 的取值为 0,1,2,3,…………7 分 而 z~B(3, ) ,

1 2

1 1 P( z ? 0) ? C30 ( )3 ? 2 8

3 1 1 3 P( z ? 1) ? C3 ( ) ? ; 2 8
1 3 P( z ? 2) ? C32 ( )3 ? 2 8

1 3 1 3 P( z ? 3) ? C3 ( ) ? …………10 分 2 8
随机变量 z 的概率分布列 z 0 1 2 3

P
数学期望为 E? ? 0 ?

1 3 3 1 12 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? .--------------------12 分 8 8 8 8 8 2

11

18.解法 1 :(Ⅰ)∵ A1 D ? 平面 ABC ,∴平面 AA1C1C ? 平面 ABC , 又 BC ? AC ,∴ BC ? 平面 AA1C1C , 得 BC ? AC1 ,又 BA1 ? AC1 , BC ∴ AC1 ? 平面 A1 BC .…………………4 分 (Ⅱ)∵ AC1 ? 平面 A1 BC ,∴ AC1 ? A1C , ∴四边形 AA1C1C 为菱形,故 AA1 ? AC ? 2 , 又 D 为 AC 中点,知∴ ?A1 AC ? 60? .即△ACA1 为等边三角形, 取 AA1 中点 F ,则 CF⊥AA1, 由(1)可知 BC ? 平面 AA1C1C ,∴BC⊥AA1, CF∩BC=C, ∴ AA1 ? 平面 BCF ,AA1 ? 平面 A1AB,从而面 A1 AB ? 面 BCF ,…………6 分 过 C 作 CH ? BF 于 H ,则 CH ? 面 A1 AB , 在 Rt ?BCF 中, BC ? 2, CF ? 3 ,则 BF= 7 ,由面积法可得 CH ? 即 CC1 到平面 A1 AB 的距离为 CH ? (用体积转移法同样给分) (Ⅲ)过 H 作 HG ? A1 B 于 G ,连 CG ,则 CG ? A1B , 从而 ? CGH 为二面角 A ? A1B ? C 的平面角,
2 21 7 2 21 7

BA1 ? B ,

,

.…………………9 分

A C ? BC ? 2 ,∴ CG ? 2 ,…………10 分 在 Rt ?A 1BC 中, 1

14 HG 7 2 21 14 ? 7 ? 在 Rt ?CGH 中,CH= , CG ? 2 则 HG= ,cos∠CGH= CG 7 7 7 2 7 故二面角 A ? A1B ? C 的余弦值为 . …………………14 分 7
解法 2 :(Ⅰ)如图,取 AB 的中点 E ,则 DE // BC ,∵ BC ? AC ,∴ DE ? AC , 又 A1 D ? 平面 ABC ,以 DE , DC , DA1 为 x, y, z 轴建立空间坐标系, ……1 分 则 A(0, ?1,0) , C (0,1,0) , B(2,1,0) , A1 (0,0, t ) , C1 (0, 2, t ) , AC1 ? (0,3, t ) ,

A C ? CB , BA1 ? (?2, ?1, t ) , CB ? (2,0,0) ,由 AC 1 ? CB ? 0 ,知 1
又 BA1 ? AC1 , BC

BA1 ? B ,从而 AC1 ? 平面 A1 BC .……4 分

(Ⅱ)由 AC1 ? BA1 ? ?3 ? t 2 ? 0 ,得 t ? 3 .设平面 A1 AB 的法向量

? ? n ? AA1 ? y ? 3z ? 0 为 n ? ( x, y, z) , AA1 ? (0,1, 3) , AB ? (2,2,0) , ? , ? ? n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0
设 z ? 1 ,则 n ? ( 3, ? 3,1) . ∴点 C1 到平面 A1 AB 的距离 d ?
| AC1 ? n | |n|

…………6 分

?

2 21 7

.…………………9 分

(Ⅲ)设面 A1 BC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , CA1 ? (0, ?1, 3) , CB ? (2,0,0) ,

? ? m ? CA1 ? ? y ? 3z ? 0 ∴? .…………10 分 ? ? m ? CB ? 2 x ? 0
12

设 z= -1,则 m ? (0, ? 3, ?1) , 设二面角 A ? A1B ? C 的平面角为 θ ,则

cos ? ?

m?n 2 7 , ? ? | m|?| n| 7 ?2 7
7 .…………………14 分 7
3 2

可知二面角 A ? A1B ? C 的余弦值为

19.解: (I)在已知式中,当 n=1 时, a1 ? a1 ∵a1>0

∴a1=1………………………………………………………………1 分
3 3 3 3 2

当 n≥2 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? S n
3 3 3 3 2 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? S n?1





①-②得, an ? Sn ? Sn?1 ? ? Sn ? Sn?1 ?? Sn ? Sn?1 ?
3 2 2

∵an>0 ∴ an = Sn ? Sn?1 =2Sn-an
2

∵a1=1 适合上式…………………………3 分. 当 n≥2 时, a n ?1 =2Sn-1-an-1
2 2 2



③-④得 an - a n ?1 =2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+ an-1= an+ an-1 ∵an+an-1>0 ∴an-an-1=1

∴数列{an}是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 an=n………………6 分 (Ⅱ)∵ an ? n ?bn ? 3 ? (?1)
n n?1

? ? 2a ? 3n ? (?1)n?1 ? ? 2n
n

? bn ?1 ? bn ? [3n ?1 ? (?1) n ? ? 2 n ?1 ] ? [3n ? (?1) n?1 ? ? 2 n ] ? 2 ? 3n ? 3? (?1) n ?1 ? 2 n ? 0
∴ (?1)
n ?1

3 ? ? ? ( ) n ?1 ⑤………………………………………………………….8 分 2 3 2


2k ?2 当 n=2k-1,k=1,2,3,……时,⑤式即为 ? ? ( )

依题意,⑥式对 k=1,2,3……都成立,∴λ <1………………………………10 分
2 k ?1 当 n=2k,k=1,2,3,…时,⑤式即为 ? ? ?( )

3 2



13

依题意,⑦式对 k=1,2,3,……都成立, ∴? ? ?

3 ……………………………………………………………………12 分 2

∴?

3 ? ? ? 1, 又? ? 0 2

∴存在整数λ =-1,使得对任意 n∈N,都有 bn+1>bn………………………14 分 20.解: (Ⅰ)设点 P ( x 0 ,
2 x0 x2 x ) ,由 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 得, y ? ,求导 y ' ? , ……2 分 2p 2p p

因为直线 PQ 的斜率为 1,所以

x2 x0 ? 1 且 x 0 ? 0 ? 2 ? 0 ,解得 p ? 2 2 , p 2p

所以抛物线 C1 的方程为 x 2 ? 4 2 y 。 或:将直线代入抛物线由?=0 解出 p 同样给分。 (Ⅱ)因为点 P 处的切线方程为: y ?

…………… 5 分

2 x0 x 2 ? 0 ( x ? x 0 ) ,即 2 x0 x ? 2 py ? x0 ? 0 ,…… 6 分 2p p

根据切线又与圆切,得 d ? r ,即

2 ? x0 2 4 x0

? 4p

2

4 2 ? 1 ,化简得 x0 ? 4 x0 ? 4p2 ,

……7 分

4 2 由 4 p 2 ? x0 ? 4 x0 ? 0 ,得 x0 ? 2 ,
2 2 ? ?2 x0 x ? 2 py ? x0 ? 0 2 4 ? x0 ), ,解得 Q( , 2 2 x0 2p x ? y ? 1 ? ? 2 x0 2 x0 ? ? 2 p x0

由方程组 ?

……………9 分

所以 PQ ? 1 ? k

2

xP ? xQ ? 1 ?

2 2 p 2 ? x0 x0 ? 2 | x0 | 2 = ( x0 ? 2) , p x0 2p

p 点 F (0, ) 到切线 PQ 的距离是 d ? 2
3 | x0 | 2 1 ( x0 ? 2) , 所以 S1 ? PQ ? d ? 2 16 p

2 ? p 2 ? x0

2 x0 1 2 2 ? x0 ? p ? , 2 4 4 x0 ? 4 p2 2

S2 ?

1 p OF xQ ? , 2 2 x0

……………12 分

所以

4 2 4 2 2 2 2 ( x0 ? 2) x0 ( x0 ? 2) x0 S1 x0 ( x0 ? 2) x0 ?4 4 ? ? ? 2 ?3 ? 2 2 ?3, ? ? 2 2 4 2 2 x0 ? 4 S2 8p 2( x0 ? 4 x0 ) 2( x0 ? 4)

14

当且仅当

2 S x0 ?4 4 2 ? 2 时取“=”号,即 x0 ? 4 ? 2 2 ,此时, p ? 2 ? 2 2 ,所以 1 的最小值为 S2 2 x0 ? 4

3 ? 2 2 。……………14 分

21.解: (Ⅰ)m=1 时, f ( x) ? g ( x)即

x ln x ? x ?1 x ?1

而 x > 0,所以方程即为 ln x ? x ?

1 ?0 x

………………1 分

1 1 1 ? x2 ? x ?1 令 h( x) ? ln x ? x ? ,则 h '( x) ? ? 1 ? 2 ? ? x x x x2

1 3 ?[( x ? )2 ? ] 2 4 ? 0, 2 x

而 h(1)=0,故方程 f(x)=g(x)有惟一的实根 x=1. ………………4 分
1 (Ⅱ) ?x ?[1, ??), f ( x) ? g ( x),即ln x ? m( x ? ) , x 1 设 F ( x) ? ln x ? m( x ? ) ,即 ?x ? [1, ??), F ( x) ? 0 x

F '( x) ?

1 1 ?mx2 ? x ? m …………………………………………6 分 ? m(1 ? 2 ) ? x x x2

①若 m ? 0 ,则 F '( x) ? 0 , F ( x) ? F (1) ? 0 ,这与题设 F ( x) ? 0 矛盾…7 分 ②若 m ? 0 ,方程 ?mx 2 ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m2 , 当 ? ? 0 ,即 m ?
1 时, F '( x) ? 0 , 2

∴ F ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, ∴ F ( x) ? F (1) ? 0 ,即不等式成立…………………………………………………8 分 当0? m?
1 时,方程 ?mx 2 ? x ? m ? 0 有两正实根,设两根为 x1 , x2 , 2
1 ? 1 ? 4m 2 ? (0,1), 2m x2 ? 1 ? 1 ? 4m2 ? (1, ??) 2m

( x1 ? x2 ) x1 ?

当 x ? (1, x2 ), F '( x) ? 0, F ( x) 单调递增, F ( x) ? F (1) ? 0 与题设矛盾, 综上所述, m ?
1 。 2

所以,实数 m 的取值范围是 ? , ?? ? -------------10 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x ? 1 时, m ?
1 1 1 时, ln x ? ( x ? ) 成立. 2 2 x

?1 ?2

? ?

15

不妨令 x ? 所以 ln

2k ? 1 ? 1,(k ? N? ) , 2k ? 1

2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 4k , ? ( ? )? 2 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k ? 1 4k ,(k ? N? ) ……………………………………11 分 4k 2 ? 1

ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1) ?

4 ? ?ln 3 ? ln1 ? 4 ? 12 ? 1 ? 4? 2 ? …………………………………………12 分 ?ln 5 ? ln 3 ? 4 ? 22 ? 1 ? 4? n ? ln(2n ? 1) ? ln(2n ? 1) ? ? 4 ? n2 ? 1 ?

累加可得
ln(2n ? 1) ? ?
i ?1 n

4i (n ? N? ) . 4i ? 1
2

1007

取 n=1007,即得

? 4i
i ?1

2

4i ? ln 2015 ……………………………………14 分 ?1

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16


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广东省华南师大附中2015届高三5月综合测试(三)数学理试卷

? 3 。 2015 年华南师大附中高三综合测试(三)数学(理科)第 3 页共 3 页 18 .(本题满分 14 分)如图,已知斜三棱柱 错错错 , A B C? 1 A1 BC 误误...

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