tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高二试题(word含答案)


2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准
(高二年级)
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档

次. 一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.)
1.若对于任意实数 x , | x ? a | ? | x ? 1 |? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值为 为

1 3



2.将 5 名大学生村官分配到某乡镇的 3 个村就职,若每个村至少 1 名,则不同的分配方案种数 150 . 3.若 ( x 2 ? x ? 2)3 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ? a5 x5 ? a6 x 6 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? -4 . 4.已知顶角为 20 ? 的等腰三角形的底边长为 a ,腰长为 b ,则

a3 ? b3

ab2 5.设 an ? 2 n , bn ? 5n ? 1(n ? N*, S ? {a1 , a2 ,?, a2015 } ? {b1 , b2 ,?, ba2015 } ,则集合 S 中的元
素的个数为 504 .

的值为 3



?BAC ? 90? , ?CAP 为锐角, 6. 已知点 P 在 Rt△ ABC 所在平面内, | AP |? 2 ,AP ? AC ? 2 ,

AP ? AB ? 1 .当 | AB ? AC ? AP | 取得最小值时, tan ?CAP ?

7 2



7.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面的边长为 6,侧棱长为 21 ,则该三棱锥的内切球的半径为 1 .
2 8.函数 f ( x) ? ( 1 ? x ? 1 ? x ? 2)( 1 ? x ? 1) 的值域为 [ 2 ?

2 ,8] .

x2 9.已知 F1 , F2 是椭圆 ? y 2 ? 1 的两个焦点, A, B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点,点 P 在线 4 11 段 AB 上,则 PF . 1 ? PF2 的最小值为 ? 5
10.使得

p ? 1 p2 ?1 和 都是完全平方数的最大质数 p 为 7 2 2



二、解答题(本大题共3小题,每小题20分,共60分.) 18 ) ? 0} , B ? {( x, y) | ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1} .若 11.设平面点集 A ? {( x, y ) | ( y ? x) ? ( y ? 25 x ( x, y) ? A ? B ,求 2 x ? y 的最小值. 解 作出平面点集 A 、 B 所表示的平面区域, A B 表示如 y P 图阴影部分 D . z ,?z 表示直线 y ? 2 x ? z 的纵 令 z ? 2x ? y , 则 y ? 2x ?
截距. 易知:直线 y ? 2 x ? z 经过区域 D 中的点 P 时, z ? 2 x ? y 取得最小值. ……………(5 分)
2 2 因 为 点 P 在 圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 上 , 设 它 的 坐 标 为

O

x

? (1 ? cos ? ,1 ? sin ? ) ,结合图形可知 ? ? ( , ? ) . 2

18 18 上,所以有 (1 ? cos ? )(1 ? sin ? ) ? , 25 25 x 7 ? 0. 即 sin ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? ………………………………………(10 分) 25 1 1 2 1 7 ?? ( t ? 1),代入得 (t 2 ? 1) ? t ? ? 0 ,解得 t ? 或 设 sin ? ? cos ? ? t ,则 sin? cos 5 2 2 25 11 1 t ? ? (舍) ,即 sin ? ? cos ? ? . ………………………………………(15 分) 5 5 3 ? 4 2 2 结合 sin ? ? cos ? ? 1 ,并注意到 ? ? ( , ? ) ,解得 sin ? ? , cos ? ? ? . 5 2 5 2 9 2 9 所以,点 P 的坐标为 ( , ) , z ? 2 x ? y 的最小值为 zmin ? 2 ? ? ? ?1 . ………(20 分) 5 5 5 5
又点 P 在曲线 y ? 12.设 Tn 是数列 {an } 的前 n 项之积,满足 Tn ? 1 ? an , n ? N*. (1)求数列 {an } 的通项公式;
2 (2)设 S n ? T12 ? T2 ? ? ? Tn2 ,求证: a n ?1 ?

1 1 ? S n ? a n ?1 ? . 2 3

1 , Tn ? 0, an ? 1 ,且由 Tn?1 ? 1 ? an?1 , Tn ? 1 ? an ,得 2 an?1 T 1 ? a n ?1 1 1 1 ,即 ,即 ? ? 1 . ……………(5 分) a n ?1 ? n ?1 ? ? 1 ? a n ?1 1 ? a n Tn 1 ? an 1 ? an?1 1 ? an 1 1 1 所以 ? ? n ?1 ? ? n ? 1 ? n ? 1 ,故 1 1 ? an 1 ? a1 1? 2 1 n an ? 1 ? ? . ………………………………………(10 分) n ?1 n ?1 1 (2)由(1)得 Tn ? a1 a 2 ? a n ? . n ?1 1 1 1 一方面, S n ? 2 ? 2 ? ? ? 2 3 (n ? 1) 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? a n?1 ? ;……………(15 分) 2?3 3? 4 (n ? 1)(n ? 2) 2 n ? 2 2
解 (1)易知 T1 ? a1 ? 另一方面,

1 2 ? 4 2 1 ? 又 ? 2 3 n? 3 1 所以 a n ?1 ? 2
2

Sn ?

1

?

1
2

1 1 3 5 5 7 ? ? 3 ? (n ? 1) 2 ? 4 4 2 2 2 2 2 1 n ?1 1 1 ? ? ? ? a n?1 ? . 3 n?2 n?2 3 3
1 ? S n ? a n ?1 ? . 3

???

1

?

1

?

1

???

1 1 3 (n ? )( n ? ) 2 2

?

2 ? 3

1 n? 2 3



………………………………………(20分)

13. 过直线 x ? 2 y ? 13 ? 0 上一动点 A( A 不在 y 轴上) 作抛物线 y 2 ? 8x 的两条切线, M , N 为切点,直线 AM , AN 分别与 y 轴交于点 B, C . (1)证明直线 MN 恒过一定点; (2)证明△ ABC 的外接圆恒过一定点,并求该圆半径的最小值. 证明 (1)设 A( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 抛 物 线 y 2 ? 8x 的 过 点 M ( x1 , y1 ) 的 切 线 方 程 为 AM :

yy1 ? 4( x ? x1 ) .而 AM 过 A( x0 , y0 ) ,故 ① y0 y1 ? 4( x0 ? x1 ) ①式说明直线 y0 y ? 4( x0 ? x) 恒过点 M ( x1 , y1 ) .
………………………………………(5 分) 同理可证得直线 y0 y ? 4( x0 ? x) 恒过点 N ( x2 , y 2 ) . 故 直 线 y0 y ? 4( x0 ? x) 过 M , N 两 点 , 则 直 线 MN 的 方 程 为 :

y0 y ? 4( x0 ? x) . 又 x0 ? 2 y0 ? 13 ,代入 y0 y ? 4( x0 ? x) 中,得 y0 ( y ? 8) ? 4( x ? 13) . 所以直线 MN 恒过定点 (13,8) . ………………………………………(10 分) 4x (2)直线 AM : yy1 ? 4( x ? x1 ) 与 y 轴交于 B(0, 1 ) . y1 4 x1 ?0 y1 2x 4 2 抛 物 线 y ? 8x 的 焦 点 为 F (2,0) , 则 k BF ? ,则 ? ? 1 , 又 k BA ? y1 0?2 y1 8x k BA ? k BF ? ? 21 ? ?1 ,所以 BF ? BA . y1 同理可证 CF ? CA .所以 A, B, C , F 四点共圆,且 AF 为直径. 因此,△ ABC 的外接圆恒过定点 F (2,0) . ………………………………………(15 分) 在 AF 和直线 x ? 2 y ? 13 ? 0 垂直时, 圆的直径 AF 最小. 此时, 直线 AF :y ? 0 ? ?2( x ? 2) ,
与 x ? 2 y ? 13 ? 0 联立,求得 A(?1,6) ,则 | AF |? 3 5 . 所以,△ ABC 的外接圆的半径的最小值为

3 5 . ……………………………………(20 分) 2


推荐相关:

2015年高中数学联赛四川预赛试题及参考答案与评分细则(精校word版)

2015年高中数学联赛四川预赛试题及参考答案与评分细则(精校word版)_高二数学_数学...2015 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)(5 月 17 日下午 14:30——16:30)...


2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题(word版)

2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题(word版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛山东赛区预赛 (一) 填空题(本大题共 10 小题, 每小题 ...


2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二) Word版含答

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二) Word版含答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二年级)说明:评阅试卷时,...


2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题及答案(WORD版)

2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题答案(WORD版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题答案(WORD版) ...


2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二) Word版含答案

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二) Word含答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二年级)说明:评阅试卷时...


2015年全国高中数学联赛福建预赛试题及答案(WORD)

2015年全国高中数学联赛福建预赛试题答案(WORD)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015年全国高中数学联赛福建预赛试题答案(WORD) 2015 年福建省高中数学竞赛 暨 ...


2015全国高中数学联赛湖北预赛试题及答案(高二)

2015全国高中数学联赛湖北预赛试题答案(高二)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准(高二年级)说明: 1. 评阅试卷时,请依据...


2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题参考答案

​赛​湖​北​省​预​赛​(​高​二​)​试​题​...2011 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二年级)说明:评阅试卷时,请依据本评分...


2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案高一年级

​合​竞​赛​湖​北​省​预​赛​试​题​参​考...2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高一年级) 高一年级)说明: ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com