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全国高中数学联赛模拟试题一套


全国高中数学联赛模拟题 一试
一.填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.不等式

?1 ?

4x2 1 ? 2x

?

2

? 2 x ? 9 的解集为



2.已知双曲线

x2 y 2 ? ?

1(a ? 0, b ? 0) ,两焦点为 F1 , F2 ,过 F2 作 x 轴的垂线交双曲线于 a 2 b2 A, B 两点,且 ?ABF 内切圆的半径为 a ,则此双曲线的离心率为________ 1

z1 ? i .若△ABC 的 3 个内角∠A、∠B、∠C 依次成等 ?2i ? 1? ? z1 2 C 差数列,且 u ? cos A ? 2icos ,则 u ? z 2 的取值范围是 . 2 ? ?2 ? ? | x ? ? | ( x ? 2 ), ? ? ? f ( x) ? ?sin x(0 ? x ? ), 4. 已知函数 m 是非零常数,关于 x 的方程 f ( x) ? m(m ? R) 有 2 ? 2 ? x ? x( x ? 0); ? ?
3.已知复数 z1 ? 2 ? i , 2 z 2 ? 且 仅 有 三 个 不 同 的 实 数 根 , 若 ?、? 分 别 是 三 个 根 中 的 最 小 根 和 最 大 根 , 则

? ? ? sin( ? ? )=
3



5.若实数 x 、 y 满足条件 x 2 ? y 2 ? 1 ,则

1 2y ? 的取值范围是 x x2

.

6.在四面体 P ? ABC 中, PA ? PB ? a , PC ? AB ? BC ? CA ? b ,且 a ? b ,则

a 的 b

取值范围为 . 7.在 1、2、3、……、1000 中,不出现数码 3,且不是 3 的倍数的数共___________个. 8.设向量 ?

? ( x ? 3, x), ? ? (2sin? co s , a sin? ? a co s ) 满 足 对 任 意 x ? R 和 ? ?

? ? ? [0, ] , | ? ? ? |? 2 恒成立.则实数 a 的取值范围是________________.
2
二.解答题(共 56 分) 9.(16 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an 与前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)设 bn ?

Sn ( n ? N ? ) ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

2 10.(20 分)设函数 f ( x ) ? ax ? 8 x ? 3 (a ? R). 对于给定的负数 a ,有一个最大的正数

M (a) ,使得 x ? [0, M (a )]时,恒有 | f ( x ) |? 5. ① M (a) 的表达式; ② M (a) 的最大值及相应的 a 值.
1

11.(20 分) K 为给定的正实数,圆心为( a, b )的圆至少与抛物线 y ? kx2 有三个公共点, 一个是原点(0,0),另两个点在直线 y ? kx ? b .求 a, b 的值(用 k 表示) .

加试
A

一、 (本题 40 分)如图,三角形 ABC 中,M 为 BC 的中点,以 AM 为直径的圆 O 分别与 AC、AB 交于 D、E 两点,圆 O 在 D、E 两点 的切线交于点 H,证明: BH ? CH .
E

O D

二、 (本题 40 分)已知:曲线 C : xy ? 1 ,过 C 上一点 An ( xn , yn ) ,

1 作斜率为 kn ? ? 的直线交曲线 C 于另一点 An?1 ( xn?1 , yn?1 ) , xn ? 2 11 点 An (n ? 1, 2,3,?) 的横坐标构成数列 ?xn ? ,其中 x1 ? . 7 (1)求数列 ?xn ? 的通项;
(2)求证: ?1) x1 ? (?1)2 x2 ? (?1)3 x3 ? ?? (?1)n xn ? 1 (n ? N*) . (

B

M

C

H

三、 (本题 50 分)设 n 是一个固定的正整数,证明:对任何非负整数 k ,下述不定方程
3 3 3 x1 ? x2 ? ... ? xn ? y 3k ?2 有无穷多个正整数解 ( x1 , x2 ,..., xn ; y) .

四、 (本题 50 分)若 A1 , A2 ,?, Am 为集合 A ? {1,2,?, n}(n ? 2 且 n? N ) 的子集,且满足
*

两个条件: ① A ? A2 ??? Am ? A ; 1 ②对任意的 {x, y} ? A ,至少存在一个 i ? {1,2,3,?, m} ,使 Ai ? {x, y} ? {x} 或 {y} . 则称集合组 A1 , A2 ,?, Am 具有性质 P . 当 n ? 100 时, 集合组 A1 , A2 ,?, At 是具有性质 P 且所含集合个数最小的集合组, t 的 求 值及 | A | ? | A2 | ?? | At | 的最小值.(其中 | Ai | 表示集合 Ai 所含元素的个数) . 1

2

参考答案
一试 一.填空题 1. 答案: ? ? ,0 ? U ? 0, ? ? 2 ? ? 8? 由 1 ? 1 ? 2x ? 0 得 x ? ?

? 1

? ?

45 ?

1 , x ? 0。 原不等式可变为 1 ? 1 ? 2 x 2 ? 1 ? ? 45 ? 故原不等式的解集为 ? ? ,0 ? U ? 0, ? ? 2 ? ? 8 ?。
2. 答案:

?

?

2

? 2 x ? 9 解得 x ?

45 。 8

1? 5 2 1? 5 2

由圆心 (c ? a,0) 到直线 AF 的距离为 a ,得离心率为 1 3. 答案: ?

2 5? ? , 2 2 ? ? ? 由条件得 z 2 ? ?i, z 2 ? u ? cos A ? i cosC , 1 2 z 2 ?u ? cos 2 A ? cos 2 C ? 1 ? ?cos 2 A ? cos 2C ? ? 1 ? cos ? A ? C ? cos ? A ? C ? 2 2? 2? 2? 又 A,B,C 成等差数列,故 A+C= ,<A-C< . 3 3 3 ? 2 5? 2 ?1 5 ? ? 1 ? ?. , 故 cos? A ? C ? ? ? ? ,1?, z 2 ?u ? ? , ?, z 2 ?u ? ? 2 2 ? ?2 4 ? ? 2 ? ? ?
4. 答案:

?

1+ 4

5

通过 画图观察得: m ? 1, ? ? 5. 答案: ?? 2,2?

3? ?1? 5 ,? ? 2 2

设 x ? sec? , y ? tan? ?? ? k? ? 又 ? 1 ? sin ? ? 1 得

? ?

?

1 2y ? 2 ? ??sin ? ? 1? ? 2 , k ? Z ? ,得 2 ? x x 2 ?

1 2y ? ? ?? 2,2 ? . x x2 6. 答案: ? 2 ? 3 ,1? ? ? ? ? 考虑 ?PAB 的外接圆半径 R 与 b 的关系.
由 CP=CB= CA=b,得点 C 在面 PAB 内的射影为⊿PAB 的外心.故 R<b. 又可计算得 R ?

a ? b ,解得 ? ? 2 ? 3 ,1? ? ? ? b ? 4a 2 ? b 2

a2

7. 答案:487 3 在这 1000 个数中不含数码 3 的数共有(9 -1)+1=729 个。而不含数码 3 且能被 3 整除的数 共有 9×9×3-1=242 个。合题意的数共 729-242=487 个。

3

?1或 a ? 5. 令 sin ? ? cos? ? t ,
8. 答案: a

? t 2 ?1, ? ? ? ? (t 2 ? x ? 2, x ? at) , 1 2 1 2 2 2 2 2 2 因 (t ? x ? 2) ? ( x ? at ) ? (t ? x ? 2 ? x ? at ) ? (t ? at ? 2) , 2 2
则 t ? [1, 2 ] , 2 sin ? cos? 所以, | ?

? ? |? 2 ? (t 2 ? x ? 2) 2 ? ( x ? at) 2 ? 2 对任意 x ? R 恒成立

?
或t

1 2 (t ? at ? 2) 2 ? 2 ? t 2 ? at ? 0 2
2

? at ? 4 ? 0 ? a ? t 或 a ? t ?
?a1 ? 2 ? 1, ?

4 对任意 t ? [1, 2 ] 恒成立 ? a ? 1 或 a ? 5 . t
,? d ? 2 ,

二.解答题 9.解: (Ⅰ)由已知得 ?

?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2 ?

故 an ? 2n ?1 ? 2,Sn ? n(n ? 2) . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ?

Sn ? n? 2 . n

假设数列 {bn } 中存在三项 bp,bq,br ( p, q, r 互不相等)成等比数列,
2 则 bq ? bpbr .即 (q ? 2)2 ? ( p ? 2)(r ? 2) .

?(q2 ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0
2

? p,q,r ?N? ,

?q 2 ? pr ? 0, ? p?r ? 2 ?? ?? (p ? ? ? pr, ? r ) ? 0, p ? r . ? 2 ? ?2q ? p ? r ? 0, 与 p ? r 矛盾.
所以数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列.

10. ① 由 a ? 0 , f ( x) ? a( x ? ) ? 3 ?
2

4 a

16 16 ,知 f max ( x ) ? 3 ? . a a

16 ? 5 ,即 ?8 ? a ? 0 时,要使 | f ( x) |? 5 ,在 x ? [0, M (a )] 上恒成立,而 a M (a) 要最大的,所以 M (a) 只能是方程 ax2 ? 8x ? 3 ? 5 的较小根.
当 3? 因此, M (a) ? 当3?

2a ? 16 ? 4 . a

16 ? 5 ,即 a ? ?8 时,同样道理 M (a) 只能是方程 ax2 ? 8x ? 3 ? ?5 的较大根, a ?2 4 ? 2a ? 4 M (a) ? . a
4

? 2a ? 16 ? 4 ? a ? (?8, 0) ? a 综上得 M (a) ? ? ? ?2 4 ? 2a ? 4 a ? (??, ?8] ? a ? 2a ? 16 ? 4 2 1 ② 当 a ? (?8, 0) 时, M (a) ? ? ? ; a 2a ? 16 ? 4 2

?2 4 ? 2a ? 4 4 4 5 ?1 . ? ? ? a 2 4 ? 2a ? 2 20 ? 2 5 ?1 故当且仅当 a ? ?8 时, M (a) 有最大值 . 2
当 a ? (??, ?8] 时, M (a) ? 11.解:设圆 O: ( x ? a) 2 ?( y ? b)2 ? a 2 ? b2 , 即

x 2 ? 2ax ? y 2 ? 2by ? 0 。 抛物线与直线 y ? kx ? b 的两个交点坐标为 ( x1 , y1 , ), ( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ? 1 2 kx1 ? kx1 ? b 则 ,即 ① b 2 x1 x2 ? ? kx2 ? kx2 ? b k
这两点亦在圆上,即

o ? x1 ? 2ax1 ? y1 ? 2by1 ? x1 ? 2ax1 ? (kx1 ? b) 2 ? 2b(kx1 ? b),
2 2 2

(1 ? k 2 ) x1 ? 2ax1 ? b2 ? 0 。同理, (1 ? k 2 ) x2 ? 2ax2 ? b2 ? 0 2a x1 ? x 2 ? , 1? k 2 即 ② ? b2 x1 x 2 ? . 1? k 2 1 1? k 2 1 2 ?k? 。 比较①,②知: a ? (1 ? k ), b ? 2 k k
2 2

A

加试 一、证明:设 AM ? 2r ,则 DH ? EH ? r tan A , 设 ?BEH ? ? , ?DAM ? ? , ?CDH ? ? , ?EAM ? ? ,
E B

O D

M

C

cos ? ? sin ? ?

a ? sin B a ? sin C , cos ? ? sin ? ? , 4r 4r

BH ? CH ? BH 2 ? CH 2
H

5

BH 2 ? CH 2 ? ( BE 2 ? HE 2 ? 2 BE ? HE ? cos ? ) ? (CD 2 ? HD 2 ? 2CD ? HD ? cos ? )

? BE 2 ? CD2 ? 2HD( BE ? cos ? ? CD ? cos? )
? a2 a a ? sin B a a ? sin C (cos 2 B ? cos 2 C ) ? 2r tan A( cos B ? ? cos C ? ) 4 2 4r 2 4r

a2 a2 ? (cos 2 B ? cos 2C ) ? tan A(sin 2 B ? sin 2C ) 8 8 ? a2 a2 sin A ? sin(C ? B) ? ? tan A ? cos A ? sin(C ? B) ? 0 4 4
?B H? C H .
二、解.(1)∵过 C: xy ? 1 上一点 An ( xn , yn ) ,作斜率为 kn 的直线交曲线 C 于另一点

An?1 ( xn?1 , yn?1 )



1 1 ? 1 y ?y x xn 1 kn ? n ?1 n ? n ?1 ?? ,又∵ k n ? ? , xn ? 2 xn ?1 ? xn xn ?1 ? xn xn ?1 ?xn
?

∴ 从而

xn ? 2 1 1 ?? ,∴ xn ?1 ? . xn xn ?1 ?xn xn ? 2

1 1 1 1 ? ? ?2( ? ) xn?1 ? 2 3 xn ? 2 3 11 1 1 1 1 又∵ x1 ? , ? ? ?2 ? 0 ,所以数列 { ? } 是等比数列. 7 x1 ? 2 3 xn ? 2 3 1 则 xn ? 2 ? . 1 n (?2) ? 3 1 (2) (?1)n xn ? (?1)n 2 ? . n n 1 (2) ? (?1) 3 当 n 为偶数时有, 1 1 2n ?1 ? 2n (?1) n ?1 xn ?1 ? (?1) n xn ? ?2 ? ?2? ? 1 1 1 1 2n ?1 ? 2n ? (2n ?1 ? )(2n ? ) 3 3 3 3 n ?1 n n ?1 n 2 ?2 2 ?2 1 1 ? ? n n ?1 ? n ?1 ? n . 1 1 2 2 2n ?2n ?1 ? (2n ?1 ? ) 2 ?2 3 3 ①当 n 为偶数时, 1 1 1 1 1 1 (?1) x1 ? (?1)2 x2 ? (?1)3 x3 ? ?? (?1)n xn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2
6

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1? 1 ? 1 ; ?2 1 2n 1? 2 ②当 n 为奇数时,前 n ? 1 项为偶数项,于是有: (?1) x1 ? (?1)2 x2 ? (?1)3 x3 ? ?? (?1)n xn ? 1 ? (?1)n xn ? 1? xn 1 1 ? 1 ? (2 ? ) ? ?1 ? ?1. 1 1 n n (?2) ? 2 ? 3 3 综合①②得 (?1) x1 ? (?1)2 x2 ? (?1)3 x3 ? ?? (?1)n xn ? 1, n ? N * .
n(n ? 1) 2 ] ,可得当 k ? 0 时, 2 n(n ? 1) ( x1 , x 2 ,..., x n ; y ) ? (1,2,...,n; ) 为一组解. 2 n( n ? 1) 由此,可在一般情况下构造无穷多组解,令 c ? ,并注意到对任意正整数 q ,有 2
三、证明:由 1 ? 2 ? ... ? n ? [
3 3 3

(c k q 3k ? 2 ) 3 ? (2c k q 3k ? 2 ) 3 ? ... ? (nck q 3k ? 2 ) 3 ? c 3k q 3(3k ? 2 ) (13 ? 2 3 ? ... ? n 3 ) n(n ? 1) 2 ? c 3 k q 3( 3 k ? 2 ) [ ] 2 ? c 3k ? 2 q 3( 3k ? 2 ) ? (cq 3 ) 3k ? 2
也即 ( x1 , x2 ,...,xn ; y) ? (c k q 3k ?2 ,2c k q 3k ?2 ;...,c k q 3k ?2 ; cq3 ) 是解,证毕.

四、解: 如图,作 n 行 m 列数表,定义数表中的第 k 行第 l 列的数为

?1 akl ? ? ?0

(k ? Al ) (k ? Al )
a11

a12 a 22


… …

a1m

a 21


a2m





a n1
设 A1 , A2 ,?, At 所对应的数表为数表 M , 因为集合组 A1 , A2 ,?, At 为具有性质 P 的集合组, 所以集合组 A1 , A2 ,?, At 满足条件①和②, 由条件①可知数表 M 中任意一行不全为 0. 由条件②可得数表 M 中任意两行不完全相同.

an2

a nm

7

因为由 0,1 所构成的 t 元有序数组共有 2 个, 去掉全是 0 的 t 元有序数组, 共有 2 ? 1 个,
t t

又因数表 M 中任意两行都不完全相同,所以 100 ? 2 ? 1 ,
t

所以 t ? 7 . 又 t ? 7 时,由 0,1 所构成的 7 元有序数组共有 128 个,去掉全是 0 的数组,共 127 个, 选择其中的 100 个数组构造 100 行 7 列数表,则数表对应的集合组满足条件①②,即具有性 质P . 所以 t ? 7 . 因为 | A | ? | A2 | ??? | At | 等于表格中数字 1 的个数, 1 所以,要使 | A | ? | A2 | ??? | At | 取得最小值,只需使表中 1 的个数尽可能少, 1 而 t ? 7 时,在数表 M 中,

1 的个数为 1 的行最多 7 行;
2 1 的个数为 2 的行最多 C7 ? 21 行; 3 1 的个数为 3 的行最多 C7 ? 35 行; 4 1 的个数为 4 的行最多 C7 ? 35 行;

因为上述共有 98 行,所以还有 2 行各有 5 个 1 , 所以此时表格中最少有 7 ? 2 ? 21 ? 3 ? 35 ? 4 ? 35 ? 5 ? 2 ? 304 个 1 . 所以 | A | ? | A2 | ??? | At | 的最小值为 304 . 1

8


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