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2010年莆田市高一数学竞赛练习2


2010 年莆田市高一数学试题 2
学校 姓名 成绩

一、

填空题:本大题共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分.把答案填在横线上.

1、设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)≥0 的 x 的取值范围是



?2 2 ? x , x ? 2 2

、已知函数 f ( x) ? ? ,若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不同的实根, ?log 3 ( x ? 1), x ? 2

则实数 m 的取值范围是
1 4 1 2

(用区间形式表示).

3、集合 A ? {x | ? 2 x ? , x ? R} , B ? {x | x 2 ? 2tx ? 1 ? 0} , 若 A ? B ? A ,则实数 t 的取值范围是 ..

4、设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 2 ,当 x ? 0 时, f (x) 是增函数,且对任 意的 x、 y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,则函数 f (x) 在 [-3,-2]上的最大值是 . 5、不等式 ( x ? 1)2009 ? 22009 x 2009 ? 6 x ? 6 ? 0 的解集是 6、已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f (
x 的取值范围为

.

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 2 x ? 2x ?1

.
y

O

1

x

(第 6 题)

7、对于 n ? N ? , 若 n ? 2 n ? 1 是 3 的整数倍,则 n 被 6 除所得余数构成的集合 是 .

8、从前 2008 个正整数构成的集 M ? ?1, 2,?, 2008? 中取出一个 k 元子集 A ,使得 A 中

任两数之和不能被这两数之差整除,则 k 的最大值为



二、解答题:本大题共 3 小题,共 44 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1. (本小题满分 14 分)如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , D 是 ?ABC 外接圆 AC 上的

一点, AE ? BD 于 E ,求证: BE ? CD ? DE .

A

D

E
B

C

2. (本小题满分 15 分)若不等式 x+ y≤k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立, 求 k 的取值范围.

3. (本小题满分 15 分)关于 x 的整系数一元二次方程 mx 2 ? nx ? 2 ? 0 在(0,1)中有 两个不等实根,试求正整数 m 的最小值。

2010 年莆田市高一数学冬令营测试试题参考答案
一填空题: 1、填[3,4].
解:定义域(0,4].在定义域内 f(x)单调增,且 f(3)=0.故 f(x)≥0 的 x 的取 [3,4]. 2、 值范围为

3、解:因为 A ? {x | ?2 ? x ? ?1} , A ? B 故 x ? 2tx ? 1 ? 0 在 x ? [?2, ? 1] 上恒成立.
2

又x?

1 1 5 5 5 ? 2t ,而 x ? [?2, ? 1] 时 x ? ? [? ,?2] 所以 ? ? 2t ,即 t ? ? . x x 2 2 4 5 5 所以,实数 t 的取值范围是 (??,? ] .故答案填 (??,? ] . 4 4

4、

5、解:整理,不等式化成 ( x ? 1) 设 f ( x) ? x
2009

2009

? 6( x ? 1) ? (2 x)2009 ? 6 ? (2 x)

? 6 x ,且不等式化为 f ( x ?1) ? f (2 x) ∵ f ( x) 是 R 上的增函数,故 x ?1 ? 2x ,得 x ? ?1

故不等式的解集为{x|x>-1,x∈R} 6、解: 因为 lg x ? 6 x ? 20 ? lg ( x ? 3) ? 11 ? lg11 ? 1 ,所以
2 2

?

?

?

?

lg ? x 2 ? 6 x ? 20 ? ? 0 . 于是,由图象可知,

2x ?1 x?2 ? 1 ,即 ? 0 ,解得 x ?1 x ?1

1) ?2 ? x ? 1 . 故 x 的取值范围为 x ?[?2, .
7、

8、解:首先,我们可以取 670 元集 A ? ?1, 4, 7,? , 2008? , A 中任两数之和不能被 3 整除,而其

差 是 3 的 倍 数 ; 其 次 , 将 M 中 的 数 自 小 到 大 按 每 三 数 一 段 , 共 分 为 670 段 :
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ?? , 9 , 7, 8 , 2005, 2006, 2007, 2008,

从 A 中任取 671 个数,必有两数 x, y 取自同一段,则 x ? y ? 1 或 2 ,注意 x ? y 与 x ? y 同奇偶, 于是 ? x ? y ? ? x ? y ? .因此 k 的最大值为 670 . 二、 解答题: 1、证明:延长 BD 到 F 使 AF ? AC .连结 AF 、 CF 、 CD ,则有 ?AFB ? ?ABF , ?AFC ? ?ACF . ? D 在 ?ABC 的外接圆上, ? ?ACD ? ?ABD , 从而 ?AFD ? ?ACD , ??DCF ? ?DFC , ? DF ? CD . ? AE ? BF , AB ? AF , ? BE ? EF ? ED ? DF ? ED ? CD . 2、 解法一:显然 k>0.( x+ y)2 ≤k2(2x+
-1)x-2 xy+(k2-1)y≥0 对于 x,y>0 恒成立. 令 t= x >0,则得 f(t)=(2k2-1)t2-2t+(k2-1)≥0 对一切 t>0 恒成立. y

A

F D E B

C
y)?(2k2

当 2k2-1≤0 时,不等式不能恒成立,故 2k2-1>0. 2k4-3k2 k2(2k2-3) 1 1 2 此时当 t= 2 时,f(t)取得最小值 2 - 2 +k2-1= 2 = . 2k -1 2k -1 2k -1 2k -1 2k2-1 当 2k2-1>0 且 2k2-3≥0,即 k≥ ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2 6 时,不等式恒成立,且当 x=4y>0 时等号成立. 2

解法二:显然 k>0,故 k2≥

( x+ y)2 x+2 xy+y = .令 t= 2x+y 2x+y

t2+2t+1 1 4t+1 x >0,则 k2≥ 2 = (1+ 2 ). y 2 2t +1 2t +1

u-1 8u 令 u=4t+1>1,则 t= .只要求 s(u)= 2 的最大值. 4 u -2u+9 8 s(u)= ≤ 9 u+ -2 2 u 8 9 u·-2 u 4t+1 1 1 3 =2,于是, (1+ 2 )≤ (1+2)= . 2 2 2t +1 2

3 6 ∴k2≥ ,即 k≥ 时,不等式恒成立(当 x=4y>0 时等号成立). 2 2 4t+1 8t2+4-4t(4t+1) -8t2-4t+4 1 1 又:令 s(t)= 2 ,则 s?(t)= = ,t>0 时有驻点 t= .且在 0<t< 时, 2 2 2t +1 (2t2+1)2 (2t2+1)2 1 1 1 1 3 s?(t)>0,在 t> 时,s?(t)<0,即 s(t)在 t= 时取得最大值 2,此时有 k2≥ (1+s( ))= . 2 2 2 2 2 1 解法三:由 Cauchy 不等式,( x+ y)2≤( +1)(2x+y). 2 即( x+ y)≤ 当 k< 6 2x+y对一切正实数 x,y 成立. 2

6 1 3 6 6 6 3 时,取 x= ,y=1,有 x+ y= ,而 k 2x+y=k < × = .即不等式不能恒成立. 2 4 2 2 2 2 2 6 6 时,由于对一切正实数 x,y,都有 x+ y≤ 2x+y≤k 2x+y,故不等式恒成立. 2 2

而当 k≥ ∴ k∈[ 3、

6 ,+∞). 2


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