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2014年普通高等学校招生全国统一考试理科(四川卷)理科数学


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2014 年普通高等学校招生全国统一考试理科(四川卷)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题 考室: 目要求的。 1.已知集合 A ? {x | x

2 ? x ? 2 ? 0} ,集合 B 为整数集,则 A ? B ? A. {?1, 0,1, 2} 【答案】A 【解析】 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? Z ,故 A ? B ? {?1, 0,1, 2} 班型: 2.在 x(1 ? x) 的展开式中,含 x 3 项的系数为
6

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【答案】C

?x ? 0 ? 【解析】当 ? y ? 0 时,函数 S ? 2 x ? y 的最大值为 2. ?x ? y ? 1 ?
6.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 A. 192 种 【答案】B
5 1 4 【解析】当最左端为甲时,不同的排法共有 A5 种;当最左端为乙时,不同的排法共有 C4 种。 A4 5 1 4 ? 9 ? 24 ? 216 种 共有 A5 + C4 A4

B. {?2, ?1, 0,1}

C. {0,1}

D. {?1, 0}

B. 216 种

C. 240 种

D. 288 种

A. 30 题

B. 20

C. 15

D. 10

【答案】C
2 4 【解析】含 x 3 项为 x(C6 1 ? x 2 ) ? 15 x 3

7.平面向量 a ? (1, 2) , b ? (4, 2) , c ? ma ? b ( m ? R ) ,且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m ? A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

?

?

?

? ?

?

?

?

?





3.为了得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上 所有的点

【答案】D 【解析 1】 c ? (m ? 4, 2m ? 2)

?



任课教师:

1 A.向左平行移动 个单位长度 2
C.向左平行移动 1 个单位长度 【答案】A

1 B.向右平行移动 个单位长度 2
D.向右平行移动 1 个单位长度

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c?a c ?b c?a c ?b ? , cos c, b ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? ,又 | b |? 2 | a | 因为 cos c, a ? ? | c |?| a | | c |?| b | | c |?| a | | c |?| b |
所以 2c ? a ? c ? b 即 2[(m ? 4) ? 2(2m ? 2)] ? 4( m ? 4) ? 2(2m ? 2) ? m ? 2 【解析 2】由几何意义知 c 为以 ma , b 为邻边的菱形的对角线向量,又 | b |? 2 | a | 故 m ? 2 8.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 O 为线段 BD 的中点。设点 P 在线段



线

? ?

? ?





1 1 【解析】因为 y ? sin(2 x ? 1) ? sin[2( x ? )] ,故可由函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点向左平行移动 2 2
个单位长度得到 4.若 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,则一定有 A.

?

?

?

?

?

CC1 上,直线 OP 与平面 A1 BD 所成的角为 ? ,则 sin ? 的取值范围是
D.

a b ? c d

B.

a b ? c d

C.

a b ? d c

a b ? d c

年级:

【答案】D

A. [

3 ,1] 3

B. [

6 ,1] 3

C. [

6 2 2 , ] 3 3

D. [

2 2 ,1] 3

1 1 ? ? ? 0 ,又 a ? b ? 0 ,由 d c a b a b 不等式性质知: ? ? ? ? 0 ,所以 ? d c d c
【解析】由 c ? d ? 0 ? ? 5.执行如图 1 所示的程序框图,如果输入的 x, y ? R ,则

【答案】B 【解析】直线 OP 与平面 A1 BD 所成的角为 ? 的取值范围是

[?AOA1 , ] ? [?C1OA1 , ] , 2 2
由于 sin ?AOA1 ?

?

?

姓名:

输出的 S 的最大值为

6 6 3 2 2 6 ? , sin ?C1OA1 ? 2 ? , sin ? 1 ? ? ? 3 3 3 3 3 2
弟 2 页/(共 12 页)

弟 1 页/(共 12 页)

所以 sin ? 的取值范围是 [

6 ,1] 3

因为点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,所以 y1 y2 ? ?2 ,故 m ? 2 于是 S ?ABO ? S ?AFO ?

9.已知 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) , x ? (?1,1) 。现有下列命题: ① f (? x) ? ? f ( x) ;② f ( A.①②③ 【答案】B 【解析】 f (? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ? f ( x) 故①正确

1 1 1 9 2 9 2 ? 2 ? ( y1 ? y2 ) ? ? ? y1 ? y1 ? ? 2 y1 ? ? 3 2 2 4 8 y1 8 y1

2x ) ? 2 f ( x) ;③ | f ( x) |? 2 | x | 。其中的所有正确命题的序号是 x ?1
2

当且仅当

B.②③ C.①③

D.①②

9 2 4 y1 ? ? y1 ? 时取“ ? ” 8 y1 3

所以 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是 3 方法 2:

2x 1? 2 2x 1? x x ? 1 ? ln(1 ? x ) 2 ? 2 ln 1 ? x ? 2 f ( x) ? f ( 2 ) ? ln f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ln 2x x ?1 1? x 1? x 1? x 1? 2 x ?1

当 x ? [0,1) 时, | f ( x) |? 2 | x |? f ( x) ? 2 x ? 0 令 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? 2 x ( x ? [0,1) ) 因为 g ?( x) ? 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.复数

1 1 2x ? ?2? ? 0 ,所以 g ( x) 在 [0,1) 单增, g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? g (0) ? 0 1? x 1? x 1 ? x2

2

2 ? 2i ? 1? i



【答案】 ?2i 【解析】

即 f ( x) ? 2 x ,又 f ( x) 与 y ? 2 x 为奇函数,所以 | f ( x) |? 2 | x | 成立故③正确

2 ? 2i 2(1 ? i ) 2 ? ? (1 ? i ) 2 ? ?2i 1? i (1 ? i )(1 ? i )

??? ? ??? ? 2 10.已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA ? OB ? 2(其中 O 为
坐标原点) ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是 A. 2 B. 3 C.

??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, 12.设 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ? [?1,1) 时, f ( x) ? ? ,则 0 ? x ? 1, ? x,
3 f( )? 2


17 2 8

D. 10

【答案】 1 【解析】 f ( ) ? f ( ? ) ? ?4 ? (? ) 2 ? 2 ? 1 13.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67? , 30? ,此时气球的高是 46m , 则河流的宽度 BC 约等于

3 2

1 2

1 2

【答案】B 【解析】 方法 1:

m。 (用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据: sin 67? ? 0.92 ,

1 设直线 AB 的方程为:x ? ty ? m , 点 A( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) , 又 F ( , 0) , 直线 AB 与 x 轴的交点 M (0, m) 4
(不妨假设 y1 ? 0 ) 由?

cos 67? ? 0.39 , sin 37? ? 0.60 , cos 37? ? 0.80 , 3 ? 1.73 )

? x ? ty ? m

2 ?y ? x ??? ? ??? ? 2 又 OA ? OB ? 2 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ? ( y1 y2 ) ? y1 y2 ? 2 ? 0

? y 2 ? ty ? m ? 0 ,所以 y1 y2 ? ?m

B

C

第 3 页/共 12 页

第 4 页/共 12 页

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【答案】 60 【解析】 AC ? 92 , BC ? 考室: 16.已知函数 f ( x) ? sin(3 x ?

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?
4

)。

AC 92 92 ? sin A ? ? sin 37? ? ? 0.60 ? 60 ? sin B sin 67 0.92

(1)求 f ( x) 的单调递增区间;

14.设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P ( x, y ) , 则 | PA | ? | PB | 的最大值是 【答案】 5 【解析】 。

4 ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值。 3 5 4 ? ? ? 2 k? ? 2 k? ? 解: (1)由 2k? ? ? 3 x ? ? 2k? ? ? ? ?x? ? 2 4 2 3 4 3 12 2 k? ? 2 k? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间为 [ ? , ? ]( k ? Z ) 3 4 3 12 ? 4 ? ? 4 ? (2)由 f ( ) ? cos(? ? ) cos 2? ? sin(? ? ) ? cos(? ? ) cos 2? 3 5 4 4 5 4
(2)若 ? 是第二象限角, f ( ) ? 因为 cos 2? ? sin(2? ? 所以 sin(? ?

?

班型:

方法 1:

?

A(0, 0) , B(1,3) ,因为 PA ? PB ,所以 | PA |2 ? | PB |2 ?| AB |2 ? 10
故 | PA | ? | PB |? 方法 2: 要

?

| PA |2 ? | PB |2 ) ? 5 (当且仅当 | PA |?| PB |? 5 时取“ ? ” 2



? 5 ) ? 0 或 cos 2 (? ? ) ? 4 4 8 ? ? 3? ①由 sin(? ? ) ? 0 ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? (k ?Z ) 4 4 4 3? 3? 所以 cos ? ? sin ? ? cos ? sin ?? 2 4 4
又 ? 是第二象限角,所以 sin(? ? ②由 cos (? ?
2

8 ? ? ) ? cos 2 (? ? ) sin(? ? ) 4 5 4 4

) ? sin[2(? ? )] ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) 2 4 4 4

?

?

?

?





?
4

任课教师:



)?

5 ? 5 1 5 ? cos(? ? ) ? ? ? (cos ? ? sin ? ) ? ? 8 4 2 2 2 2 2
5 2 5 2

线

15. 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, 对于函数 ? ( x) , B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组成的集合: 存在一个正数 M ,使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 [? M , M ] 。例如,当 ?1 ( x) ? x 3 , ? 2 ( x) ? sin x 时,

所以 cos ? ? sin ? ? ?





?1 ( x) ? A , ?2 ( x) ? B 。现有如下命题:
①设函数 f ( x) 的定义域为 D ,则“ f ( x) ? A ”的充要条件是“ ?b ? R , ?a ? D , f (a ) ? b ” ; ②函数 f ( x) ? B 的充要条件是 f ( x) 有最大值和最小值;

综上, cos ? ? sin ? ? ? 2 或 cos ? ? sin ? ? ?

17.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音 乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没 有出现音乐则扣除 200 分(即获得 ?200 分) 。设每次击鼓出现音乐的概率为

年级:

③若函数 f ( x) , g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A , g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ;

1 ,且各次击鼓出现音乐相互独 2

x ④若函数 f ( x) ? a ln( x ? 2) ? 2 ( x ? ?2 , a ? R )有最大值,则 f ( x) ? B 。 x ?1
其中的真命题有 【答案】①③④ 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。 。 (写出所有真命题的序号)

立。 (1)设每盘游戏获得的分数为 X ,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了。请 运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。 解: (1) X 可能取值有 ?200 ,10,20,100

姓名:

弟 5 页/(共 12 页)

弟 6 页/(共 12 页)

1 1 1 1 3 1 1 1 P( X ? ?200) ? C30 ( )0 (1 ? )3 ? , P( X ? 10) ? C3 ( ) (1 ? ) 2 ? , 2 2 8 2 2 8 1 1 3 1 1 1 3 P( X ? 20) ? C32 ( ) 2 (1 ? )1 ? , P( X ? 100) ? C3 ( )3 (1 ? )0 ? 2 2 8 2 2 8
故分布列为

假设 P 不是线段 BC 的中点,则直线 NP 与直线 AC 是平面 ABC 内相交直线 从而 BD ? 平面 ABC ,这与 ?DBC ? 60? 矛盾 所以 P 为线段 BC 的中点 100 (2)以 O 为坐标原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(0, 0, 3) , M (?

X
P

?200
1 8

10

20

3 1 8 8 3 3 1 7 (2)由(1)知:每盘游戏出现音乐的概率是 p ? ? ? ? 8 8 8 8 7 511 0 7 0 则玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是 p1 ? 1 ? C3 ( ) (1 ? )3 ? 8 8 512
(3)由(1)知,每盘游戏获得的分数为 X 的数学期望是

3 8

1 3 1 3 1 3 , 0, ) , N ( , 0, ) , P( , , 0) 2 2 2 2 2 2

于是 AN ? ( , 0, ?

????

1 2

???? ???? ? 3 3 3 ) , PN ? (0, ? , ) , MN ? (1, 0, 0) 2 2 2

设平面 ANP 和平面 NPM 的法向量分别为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 和 n ? ( x2 , y2 , z2 )

??

?

1 3 3 1 10 E ( X ) ? (?200) ? ? 10 ? ? 20 ? ? 100 ? ? ? 分 8 8 8 8 8
这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知:许多人经过若干盘游戏后,与最初的分数 相比,分数没有增加反而会减少。 18.三棱锥 A ? BCD 及其侧视图、俯视图如图所示。设 M , N 分别为线段 AD , AB 的中点, P 为线 段 BC 上的点,且 MN ? NP 。 (1)证明: P 为线段 BC 的中点; (2)求二面角 A ? NP ? M 的余弦值。

?1 3 ???? ?? x1 ? z1 ? 0 ? ?? ? AN ? m ? 0 ? ?2 2 由 ? ???? ?? ,设 z1 ? 1 ,则 m ? ( 3,1,1) ?? ? ?? 3 y ? 3 z ? 0 ? PN ? m ? 0 1 1 ? ? 2 2

???? ? ? ? x2 ? 0 ? ? MN ? n ? 0 ? ? 由 ? ???? ? ,设 z2 ? 1 ,则 n ? (0,1,1) ?? 3 3 y2 ? z2 ? 0 ? ?? ? PN ? n ? 0 ? 2 2 ?? ? ?? ? m?n 2 10 cos m, n ? ?? ? ? ? 5 | m |?| n | 5? 2
所以二面角 A ? NP ? M 的余弦值

A M D B P

10 5
x

N

19.设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2 的图象上( n ? N * ) 。

C

(1)若 a1 ? ?2 ,点 (a8 , 4b7 ) 在函数 f ( x) 的图象上,求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (2) 若 a1 ? 1 , 函数 f ( x) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ?

a 1 , 求数列 { n } 的前 n 项 ln 2 bn

解: (1)由三棱锥 A ? BCD 及其侧视图、俯视图可知,在三棱锥 A ? BCD 中: 平面 ABD ? 平面 CBD , AB ? AD ? BD ? CD ? CB ? 2 设 O 为 BD 的中点,连接 OA , OC

和 Tn 。 解: (1)点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2 的图象上,所以 bn ? 2 n ,又等差数列 {an } 的公差为 d
x
a

于是 OA ? BD , OC ? BD

所以 BD ? 平面 OAC ? BD ? AC

所以

bn ?1 2an?1 ? an ? 2an?1 ? an ? 2d bn 2

因为 M , N 分别为线段 AD , AB 的中点,所以 MN // BD ,又 MN ? NP ,故 BD ? NP
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因为点 (a8 , 4b7 ) 在函数 f ( x) 的图象上,所以 4b7 ? 2 又 a1 ? ?2 ,所以 S n ? na1 ? 考室:
x

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a8

? b8 ,所以 2d ?

b8 ?4?d ?2 b7

n(n ? 1) d ? ?2n ? n 2 ? n ? n 2 ? 3n 2
x

? x ? my ? 2 ? 2 ? (m 2 ? 3) y 2 ? 4my ? 2 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? 2 ?6

(2)由 f ( x) ? 2 ? f ?( x) ? 2 ln 2 函数 f ( x) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线方程为 y ? b2 ? (2a2 ln 2)( x ? a2 ) 所以切线在 x 轴上的截距为 a2 ? 从而 an ? n , bn ? 2n ,

1 1 1 ,从而 a2 ? ,故 a2 ? 2 ? 2? ln 2 ln 2 ln 2

? ?? ? 16m 2 ? 8(m 2 ? 3) ? 24(m 2 ? 1) ? 0 ? 4m ? 所以 ? y1 ? y2 ? 2 m ?3 ? ?2 ? y1 y2 ? 2 ? m ?3 ?
于是 y0 ? 所以 N (

班型:

an n ? bn 2n

2m 2 ?6 y1 ? y2 2m , x ? my ? 2 ? ?2? 2 ? 2 0 0 2 m ?3 m ?3 2 m ?3



1 2 3 n 1 1 2 3 n ? 2 ? 3 ?? ? n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 n 1 n n?2 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 ? 1 ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 故 Tn ? 2 ? n 2 Tn ?
20.已知椭圆 C: 角形。 (1)求椭圆 C 的标准方程;

?6 2m m , 2 ) 。因为 kOT ? ? ? kON 2 m ?3 m ?3 3



所以 O , N , T 三点共线 即 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) (ii) | TF |?



x y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三 2 a b

2

2

m 2 ? 1 , | PQ |?| y1 ? y2 | m 2 ? 1 ?
m2 ? 1 24(m ? 1) m2 ? 1 m2 ? 3
2

24(m 2 ? 1) m2 ? 1 m2 ? 3
,令 m ? 1 ? x ( x ? 1 )
2



所以

任课教师:

| TF | ? | PQ |

线



?

m2 ? 3 24(m ? 1)
2

(2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x ? ?3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q。 (i)证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ; (ii)当





| TF | x 2 ? 2 1 2 3 (当且仅当 x 2 ? 2 时取“ ? ” ) ? ? (x ? ) ? | PQ | 2 6 x 2 6 x 3

| TF | 最小时,求点 T 的坐标。 | PQ |

所以当

| TF | 最小时, x 2 ? 2 即 m ? 1 或 ?1 ,此时点 T 的坐标为 (?3,1) 或 (?3, ?1) | PQ |
x 2



年级:

?c ? 2 ?a 2 ? 6 ? ? ?? 2 解: (1)依条件 ? a ? 3b ?b ? 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 ? ?
所以椭圆 C 的标准方程为

21.已知函数 f ( x) ? e ? ax ? bx ? 1 ,其中 a, b ? R , e ? 2.71828? 为自然对数的底数。 (1)设 g ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (2)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,求 a 的取值范围 解: (1)因为 f ( x) ? e ? ax ? bx ? 1 所以 g ( x) ? f ?( x) ? e ? 2ax ? b
x 2 x

x2 y 2 ? ?1 6 2

又 g ?( x) ? e ? 2a
x

(2)设 T (?3, m) , P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,又设 PQ 中点为 N ( x0 , y0 ) (i)因为 F (?2, 0) ,所以直线 PQ 的方程为: x ? my ? 2 姓名:

因为 x ? [0,1] , 1 ? e x ? e ①若 a ?

所以:

1 x ,则 2a ? 1 , g ?( x) ? e ? 2a ? 0 , 2
弟 10 页/(共 12 页)

弟 9 页/(共 12 页)

所以函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上单增, g min ( x) ? g (0) ? 1 ? b ②若

综上, a 的取值范围为 (e ? 2,1)

1 e ? a ? ,则 1 ? 2a ? e , 2 2

于是当 0 ? x ? ln(2a ) 时 g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 ,当 ln(2a ) ? x ? 1 时 g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 , 所以函数 g ( x) 在区间 [0, ln(2a)] 上单减,在区间 [ln(2a ),1] 上单增,

g min ( x) ? g[ln(2a)] ? 2a ? 2a ln(2a) ? b
③若 a ?

e ,则 2a ? e , g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 2

所以函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上单减, g min ( x) ? g (1) ? e ? 2a ? b

1 ? a? , ?1 ? b, 2 ? 1 e ? ?a? , 综上: g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 g min ( x) ? ?2a ? 2a ln(2a ) ? b, 2 2 ? e ? a? , ? e ? 2 a ? b, 2 ?

(2)由 f (1) ? 0 ? e ? a ? b ? 1 ? 0 ? b ? e ? a ? 1 ,又 f (0) ? 0 若函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,则函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间 由 (1) 知当 a ?

1 e 或 a ? 时, 函数 g ( x) 即 f ?( x) 在区间 [0,1] 上单调, 不可能满足 “函数 f ( x) 在区间 (0,1) 2 2

内至少有三个单调区间”这一要求。

1 e ? a ? ,则 g min ( x) ? 2a ? 2a ln(2a) ? b ? 3a ? 2a ln(2a) ? e ? 1 2 2 3 令 h( x) ? x ? x ln x ? e ? 1 ( 1 ? x ? e ) 2 1 1 则 h?( x) ? ? ln x 。由 h?( x) ? ? ln x ? 0 ? x ? e 2 2
若 所以 h( x) 在区间 (1, e ) 上单增,在区间 ( e , e) 上单减

hmax ( x) ? h( e ) ?

3 e ? e ln e ? e ? 1 ? e ? e ? 1 ? 0 即 g min ( x) ? 0 恒成立 2

于是,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间 ? ? 又

? g (0) ? 2 ? e ? a ? 0 ?a ? e ? 2 ?? ? g (1) ? ?a ? 1 ? 0 ?a ? 1

1 e ?a? 2 2

所以 e ? 2 ? a ? 1

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