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2000-2012年新知杯上海市初中数学竞赛试题及详解


2000 年上海市初中数学竞赛试卷

一、填空题(每小题 7 分,共 70 分)

2..有四个底部都是正方形的长方体容器 A、B、C、D,已知 A、B 的底面边长均为 3, C、D 的底面边长均为 a,A、C 的高均为 3,B、D 的高均为 a,在只知道 a≠3,且不考虑 容器壁厚度的条件下, 可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积 之和. 3 若 n 的十进制表示为 99?9(共 20 位 9) ,则 n3 的十进制表示中含有 个数码 9。

4 在△ABC 中,若 AB=5,BC=6,CA=7,H 为垂心,则 AH=

5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为 m,则 m 的取值范围是

6、若关于的方程|1-x|=mx 有解,则实数 m 的取值范围

7 从 1000 到 9999 中,四位数码各不相同,且千位数与个位数之差的绝对值为 2 的四位 数有 个.

二、简答题(共 3 小题,共 50 分,11 题 16 分,12 题 16 分,13 题 18 分)
11 求所有满足下列条件的四位数:能被 111 整除,且除得的商等于该四位数的各位数之和。

12 (1)在 4×4 的方格纸中,把部分小方格涂成红色,然后划去 2 行和 2 列,若无论怎么 划,都至少有一个红色的小方格没有被划去,则至少要涂多少个小方格?证明你的结论. (2)如果把上题中的“4×4 的方格纸”改成“n×n 的方格纸(n≥5),其他条件不变,那 ” 么,至少要涂多少个小方格?证明你的结论. 13 如图,ABCD 是一个边长为 1 的正方形,U、V 分别是 AB、CD 上的点,AV 与 DU 相交 于点 P,BV 与 CU 相交于点 Q.求四边形 PUQV 面积的最大值。

2000 年上海市初中数学竞赛试卷详解

一、填空题(每小题 7 分,共 70 分)

2..有四个底部都是正方形的长方体容器 A、B、C、D,已知 A、B 的底面边长均为 3, C、D 的底面边长均为 a,A、C 的高均为 3,B、D 的高均为 a,在只知道 a≠3,且不考虑 容器壁厚度的条件下, 可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积 之和.

3 若 n 的十进制表示为 99?9(共 20 位 9) ,则 n3 的十进制表示中含有

个数码 9。

4 在△ABC 中,若 AB=5,BC=6,CA=7,H 为垂心,则 AH=

5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为 m,则 m 的取值范围是

6、若关于的方程|1-x|=mx 有解,则实数 m 的取值范围

7 从 1000 到 9999 中,四位数码各不相同,且千位数与个位数之差的绝对值为 2 的四位 数有 个. 解:∵千位数与个位数之差的绝对值为 2, 可得“数对” ,分别是: (0,2)(1,3)(2,4)(3,5)(4,6)(5,7)(6,8) , , , , , , , (7,9) , ∵(0,2)只能是千位 2,个位 0, ∴一共 15 种选择, ∴从 1000 到 9999 中,四位数码各不相同,且千位数与个位数之差的绝对值为 2 的四位 数有 15×8×7=840 个. 故答案为:840.

二、简答题(共 3 小题,共 50 分,11 题 16 分,12 题 16 分,13 题 18 分)
11 求所有满足下列条件的四位数:能被 111 整除,且除得的商等于该四位数的各位数之和。

12 (1)在 4×4 的方格纸中,把部分小方格涂成红色,然后划去 2 行和 2 列,若无论怎么 划,都至少有一个红色的小方格没有被划去,则至少要涂多少个小方格?证明你的结论. (2)如果把上题中的“4×4 的方格纸”改成“n×n 的方格纸(n≥5),其他条件不变,那 ” 么,至少要涂多少个小方格?证明你的结论. 解: (1)至少要涂 7 个小方格, 证明:假设只涂了 6 格或更少,则 4 行中至少有 1 行未涂或只涂了 1 格, 若某行未涂,其他 3 行至少有 1 行涂了不多于 2 格,划去这 2 格所在的 2 列,划去其他 2 行,剩下的 4 格都未涂色, 若某行只涂了 1 格,其他 3 行涂了 5 格或更少,则其中至少有 1 行涂了不多于 1 格,划 去这 2 格所在的 2 列,划去其他 2 行,剩下的 4 格都未涂色,所以只涂了 6 格或更少,不能 满足要求, 另一方面,如果第 1 行涂 1,2 格,第 2 行涂 2,3 格,第 3 行涂 1,3 格,第 4 行涂第 4 格,能满足要求, 所以至少要涂 7 个小方格. (2)至少要涂 5 个小方格, 证明:显然涂 4 格或更少是不满足要求的, 如果选 5 个不同行不同列的小方格 (如对角线上的 5 个小方格) 涂成红色, 能满足要求, 因为,这时任何 2 行 2 列,至多只能包含其中 4 个小方格.

13 如图,ABCD 是一个边长为 1 的正方形,U、V 分别是 AB、CD 上的点,AV 与 DU 相交 于点 P,BV 与 CU 相交于点 Q.求四边形 PUQV 面积的最大值。

2002 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题
一、填空题(1~5 题每小题 6 分,6~10 题每小题 8 分,共 70 分) 1.在 2002 当中嵌入一个数码组成五位数 20□02.若这个五位数能被 7 整除, 则嵌入的数码“□”是 . 2.若实数 a 满足 a3<a<a2,则不等式 x+a>1-ax 解为 .

3.如图,一张矩形纸片沿 BC 折叠,顶点 A 落在点 A’处,第二次过 A’再折叠, 使折痕 DE∥BC 若 AB=2,AC=3,则梯形 BDEC 的面积为 .

4.已知关于正整数 n 的二次式 y=n2+an(n 为实常数).若当且仅当 n=5 时,y 有 最小值,则实数 n 的取值范围是 . 5.如图,在平面直角坐标系中有一个正方形 ABCD,它的 4 个顶点为 A(10,O)、 B(0,10)、C(-10,O)、D(O,-10),则该正方形内及边界上共有 个整 点(即纵、横坐标都是整数的点).

6.如图,P 为△ABC 形内一点,点 D、E、F 分别在 BC、CA、AB 上.过 A、B、C 分别作 PD、PE、PF 的平行线,交对边或对边的延长线于点 X、Y、Z.若 PD 1 PE 1 PF ? , ? ,则 = AX 4 BY 3 CZ

7.若△ABC 的三边两两不等,面积为 则中线 CF 的长为 8.计算:

15 ,且中线 AD、BE 的长分别为 1 和 2, 3

12 22 k2 992 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 12 ? 100? 5000 2 ? 200? 5000 k ? 100k ? 5000 99 ? 9900? 5000

9.若正数 x、y、z 满足 xyz(x+y+z)=4,则(x+y)(y+z)的最小可能值为 lO.若关于 x 的方程 x 2 ? 值范围是 .
14 2 1 x ? ? c 恰有两个不同的实数解,则实数 a 的取 2 3

二、(16 分) 已知 p 为质数,使二次方程 x2-2px+p2-5p-1=0 的两根都是整数.求出 p 的所有可能值. 三、(16 分) 已知△XYZ 是直角边长为 l 的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的 3 个顶点分 别在等腰 Rt△ABC(∠C=90°)的三边上.求△ABC 直角边长的最大可能值. 四、(18 分) 平面上有 7 个点,它们之间可以连一些线段,使 7 点中的任意 3 点必存在 2 点有线段相连.问至少要连多少条线段?证明你的结论.

四、 【解答】(1)若 7 个点中,有一点孤立(即它不与其他点连线),则剩下 6 点每 2.点必须 连线,此时至少要连 1 5 条. (2)若 7 点中,有一点只与另一点连线,则剩下 5 点每 2 点必须连线,此时至少要连 11 条. (3)若每一点至少引出 3 条线段,则至少要连 21/2 条线段.由于线段数为整数,故此时 至少要连 1 1 条. (4)若每点至少引出 2 条线段,且确有一点(记为 A)只引出 2 条线段 AB、AC,则不与 A 相连的 4 点每 2 点必须连线,要连 6 条.由 B 引出的线段至少有 2 条,即除 BA 外还至少有 一条.因此,此时至少要连 6+2+1=9 条.图中所给出的是连 9 条线的情况. 综合(1)~(4),至少要连 9 条线段,才能满足要求.

2003 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题
(2003 年 12 月 7 日 上午 9∶00~11∶00) 题 得 评 复 号 分 卷 核 一 二 三 四 总 分

解答本试卷不得使用计算器. 一、填空题(本大题 10 小题,前 5 题每题 6 分、后 5 题每题 8 分,共 70 分.) 1、 设曲线 C 为函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象, 关于 y 轴对称的曲线为 C1, 1 关于 x C C 轴对称的曲线为 C2,则曲线 C2 是函数 y =________的图象. 2、甲、乙两商店某种铅笔标价都是 1 元。一天学生小王欲购这种铅笔,发现甲、乙两商店 都让利优惠:甲痁实行每买 5 支送 1 支(不足 5 支不送) ,乙店实行买 4 支或 4 支以上 打 8.5 折,小王买 13 支这种铅笔,最少需要化_____元。 3、已知实数 a、b、c 满足 a ? b ? c ? 0 , a ? b ? c ? 0.1 ,则 a ? b ? c 的值是___.
2 2 2 4 4 4

4、已知凸四边形 ABCD 的四边长为 AB=8,BC=4,CD=DA=6,则用不等式表示∠A 大小的范围是______。 5、在 1,2,3,?,2003 中有些正整数 n,使得 x ? x ? n 能分解为两个整系数一次式的乘
2

积,则这样的 n 共有_____个。 6、 设正整数 m, 满足 m < n, n 且 的值是____。 7、数 1,2,3,?, k 按下列方式排列: 1 2
2

1 ? 1 则 ?? ? 21 ?1 , m ? n 2 m ? m ? m ? 1? ? ? m ? 1? n ? n 23
2

k ?1

k?2
??

? ?

k 2k

? k ?1? k ?1 ? k ?1? k ? 2

?

k2

任取其中一数, 并划去该数所在的行与列; 这样做了 k 次后, 所取出的 k 个数的和是___。 8、如图,边长为 1 的正三角形 ANB 放置在边长为 MN=3,NP=4 的正方形 MNPQ 内,且 NB 在边 NP 上。若正三角形在长方形内沿着边 NP、PQ、QM、MN 翻转一圈后回到原 来起始位置,则顶点 A 在翻转过程中形成轨迹的总长是_____(保留π ) 。

M

Q

B N

A
M

N

A1 B (第8题图)

P

A

C (第9题图)

9、如图,△ABC 中,AB=BC=10,点 M、N 在 BC 上,使得 MN=AM=4,∠MAC=∠ BAN,则△ABC 的面积是____。 10、△ABC 中,∠C=3∠A,AB=10,BC=8,则 AC 的长是____。 二、 (本题 16 分)

m , n 均为正整数,若关于 x 的方程 4 x 2 ? 2mx ? n ? 0 的两个实数根都大于 1,且小
于 2,求 m , n 的值。

三、 (本题 16 分) 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 M、N 分别在 BC、CD 上,使得△CMN 的周长为 2。求 (1)∠MAN 的大小; (2)△MAN 面积的最小值。

D

N

C

M

A

B

四、 (本题 18 分) 某学生为了描 点作出函 数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象,取 自变量 的 7 个 值:
2

x1 ? x2 ? ? ? x7 ,且 x2 ? x1 ? x3 ? x2 ? ?? x7 ? x6 ,分别算出对应的 y 的值,列出下
表: x y x1 51 x2 107 x3 185 x4 285 x5 407 x6 549 x7 717

但由于粗心算错了其中一个 y 值。请指出算错的是哪一个值?正确的值是多少?并说明 理由。

2004 年宇振杯上海市初中数学竞赛试题 (宇振杯)
一、填空题:(本大题 10 小题,前 5 题每题 6 分,后 5 题每题 8 分,共 70 分) 1、 若关于 x 的二次方程 x2+(3a-1)x+a+8=0 有两个不相等的实根 x1、x2,且 x1<1,x2>1, 则实数 a 的取值范围为 2、 方程

1 2 3 ? ? ? ?3 的解是 5? x 4? x 3? x

3、 一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的 2 倍;又若这二位数加上 9,则 得到的和恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的 2 倍;原二位数是 4、 如图,△ABC 中,CD、CE 分别是 AB 边上高和中线,CE=BE=1,又 CE 的中垂线过 点 B,且交 AC 于点 F,则 CD+BF 的长为
A

E D F

B

C

5、 如图,分别以 Rt△XYZ 的直角边和斜边为边向形外作正方形 AXZF、BCYX、DEZY, 若直角边 YZ=1,XZ=2,则六边形 ABCDEF 的面积为
B A X C

Y D

Z E

F

6、 如图,正方形纸片 ABCD 的面积为 1,点 M、N 分别在 AD、BC 上,且 AM=BN=

2 , 5

将点 C 折至 MN 上,落在点 P 的位置,折痕为 BQ(Q 在 CD 上),连 PQ,则以 PQ 为边 长的正方形面积为
A M P D

Q

B

N

C

7、 三个不同的正整数 a、b、c,使 a+b+c=133,且任意两个数的和都是完全平方数,则 a、b、 c是 8、 若实数 a、b、c、d 满足 a2+b2+c2+d2=10,则 y=(a-b) 2+(a-c) 2+(a-d) 2+(b-c) 2+(b-d) 2+(c-d) 2 的最大值是
A

9、 已知实系数一元二次方程 ax ? 2bx ? c ? 0 有两个实根 x1、x2,若 a>b>c,
2

且 a+b+c=0,则 d ? x1 ? x2 的取值范围为 10、 如图,△ABC 中,AB=CD,点 P、Q 分别在 AC、AB 上,且 AP= PQ=QB=BC,则∠A 的大小是
Q

P

B

C

二、(本题 16 分) 如图 PQMN 是平行四边形 ABCD 的内接四边形 (1) 若 MP∥BC 或 NQ∥AB,求证: S PQMN ? (2) 若 S PQMN ?
A M B N C Q

1 S? ABCD ; 2

1 S? ABCD ,问是否能推出 MP∥BC 或 NQ∥AB?证明你的结论. 2
D

P

三、(本题 16 分)
2 2 2 设 n 是正整数,d1 ? d2 ? d3 ? d4 是 n 的四个最小的正整数约数, n= d12 ? d2 ? d3 ? d4 , 若

求 n 的值. 四、(本题 18 分) 如图,已知△ABC,且 S△ABC=1,D、E 分别是 AB、AC 上的动点,BD 与 CE 相交于点 P, 使 SBCDE=

16 S△BPC,求 S△DEP 的最大值. 9
A E D P

B

C

2004 年宇振杯上海市初中数学竞赛试题详解(宇振杯)
一、填空题:(本大题 10 小题,前 5 题每题 6 分,后 5 题每题 8 分,共 70 分) 11、 若关于 x 的二次方程 x2+(3a-1)x+a+8=0 有两个不相等的实根 x1、x2,且 x1<1,x2 >1,则实数 a 的取值范围为

12、

方程

1 2 3 ? ? ? ?3 的解是 5? x 4? x 3? x

13、 一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的 2 倍; 又若这二位数加上 9, 则得到的和恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的 2 倍;原二位数是

14、 如图,△ABC 中,CD、CE 分别是 AB 边上高和中线,CE=BE=1,又 CE 的中垂 线过点 B,且交 AC 于点 F,则 CD+BF 的长为

解:由 E 是 AB 的中点, ∴AE=BE,又 CE=BE=1, ∴AE=BE=CE=1,△ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°, (三角形中一条边上的中线等于 这边的一半,是直角三角形) 又∵CE 的中垂线过 B 点, ∴BE=BC, ∴由 AB=2,BC=1,

A

E D F

B

C

15、 如图, 分别以 Rt△XYZ 的直角边和斜边为边向形外作正方形 AXZF、 BCYX、 DEZY, 若直角边 YZ=1,XZ=2,则六边形 ABCDEF 的面积为
B A X C

Y D

Z E

F

六边形 ABCDEF 的面积=正方形 AXZF 的面积+正方形 DEZY 的面积+正方形 BCYX 的面 积+△XYZ 的面积+△EFZ 的面积+△ABX 的面积+△CDY 的面积 =4+1+5+1+1+1+1=14. 故答案为:14. 16、 = 如图,正方形纸片 ABCD 的面积为 1,点 M、N 分别在 AD、BC 上,且 AM=BN

2 ,将点 C 折至 MN 上,落在点 P 的位置,折痕为 BQ(Q 在 CD 上),连 PQ,则以 5
M P D

PQ 为边长的正方形面积为
A

Q

B

N

C

17、

三个不同的正整数 a、b、c,使 a+b+c=133,且任意两个数的和都是完全平方数,则

a、b、c 是 解:∵a+b+c=133, ∴2a+2b+2c=266, ∵266=121+81+64, ∴a+b=121,a+c=81,b+c=64,a=69,b=52,c=12, 266 还能分成其他一些完全平方数,但都不符合 a、b、c 是三个不同的正整数这个条件, ∴a=69,b=52,c=12(顺序不确定) . 故答案为:69,52,12. 18、 若实数 a、 c、 满足 a2+b2+c2+d2=10, y=(a-b) 2+(a-c) 2+(a-d) 2+(b-c) 2+(b-d) 2+(c-d) b、 d 则 2 的最大值是
A

P

Q

B

C

19、

已知实系数一元二次方程 ax ? 2bx ? c ? 0 有两个实根 x1、x2,若 a>b>c,且 a+b
2

+c=0,则 d ? x1 ? x2 的取值范围为

20、

如图,△ABC 中,AB=CD,点 P、Q 分别在 AC、AB 上,且 AP=PQ=QB=BC,

则∠A 的大小是

二、(本题 16 分) 如图 PQMN 是平行四边形 ABCD 的内接四边形 (3) 若 MP∥BC 或 NQ∥AB,求证: S PQMN ? (4) 若 S PQMN ?
A M B N C Q

1 S? ABCD ; 2

1 S? ABCD ,问是否能推出 MP∥BC 或 NQ∥AB?证明你的结论. 2
D

P

三、(本题 16 分)

2 2 2 设 n 是正整数,d1 ? d2 ? d3 ? d4 是 n 的四个最小的正整数约数, n= d12 ? d2 ? d3 ? d4 , 若

求 n 的值.

四、(本题 18 分) 如图,已知△ABC,且 S△ABC=1,D、E 分别是 AB、AC 上的动点,BD 与 CE 相交于点 P, 使 SBCDE=

16 S△BPC,求 S△DEP 的最大值. 9
A E D P

B

C

2005 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试卷 (2005 年 12 月 11 日 题号 得分 评卷 复核 解答本试卷不得使用计算器 一、填空题: (本大题 10 小题,前 5 题每题 8 分,后 5 题每题 10 分,共 90 分) 1.在小于 100 的正整数 n 中,能使分数 n 的所有可能值是 。
1 化为十进制有限小数的 (3n ? 32)(4n ? 1)

上午 9:00——11:00) 三 四 总分





2.将数码 1,2,3,4,5,6,7,8,9 按某种次序写成一个九位数:

abcdefghi, 令A ? abc ? bcd ? cde ? def ? efg ? fgh ? ghi ,则 A 的最大可能值是


3.如果一个两位数 X 5 与三位数 3YZ 的积是 29400,那么 X+Y+Z=



4. 已知 a, x, 都为实数, y ? b, y 且 的值为 。

x ? 2 ? 1 ? a 2 , x ? 4 ? 3 y ? 3 ? b2 , a ? ? ? 则 b x y
y C

5.如图:△OAB 的顶点 O(0,0) ,A(2,1) , B(10,1) ,直线 CD ? X 轴,并且把△OAB 面积二等分,若点 D 的坐标为(x,0) ,则 x 的值是 。

A 1 O D B 10 x

6.如果两个一元二次方程 x2 ? x ? m ? 0与mx2 ? x ? 1 ? 0 分别有两个不相同的实 根,但其中有一个公共的实根 ? ,那么实根 ? 的大小范围是 。

7.如图:在梯形 ABCD 中,AB∥DC,DC=2AB=2AD, 若 BD=6,BC=4,则 SABCD= 。
D

A

B

(SABCD 表示四边形 ABCD 的面积,下同)

C

8.如图,? ABCD 中,点 M、N 分别是边 BC、DC 的中点,AN=1,AM=2,且∠MAN=60°,则 AB 的长是 。
D

A

B M N C
A

9.如图:△ABC 中,点 E、F 分别在这 AB、AC 上,EF∥BC,若 S△ABC=1,S△AEF=2S△EBC,则 S△CEF= 。
B

E

F

C

10.设 P 为质数,且使关于 x 的方程 x2-px-580p=0 有两个整数根, 则 p 的值为 。

二、 (本题 20 分) 已知矩形 ABCD 的相邻两边长为 a、b,是否存在另一个矩形 A’B’C’D’,使它
1 的周长和面积分别是矩形 ABCD 的周长和面积的 ?证明你的结认论。 3

三、 (本题 20 分) 已知 a、b、c 都是大于 3 的质数,且 2a ? 5b ? c 。 (1)求证:存在正整数 n>1,使所有满足题设的三个质数 a、b、c 的和 a+b+c 都能被 n 整除; (2)求上一小题中 n 的最大值。

四、 (本题 20 分)

如图:在 Rt△ABC 中,CA>CB,∠C=90°,CDEF、KLMN 是△ABC 的两 个内接正方形,已知 SCDEF=441,SKLMN=440,求△ABC 的三边长。

B M E F N C K D A L

2005 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛参考解答 解答本试卷不得使用计算器

一、填空题 1、6,31; 6、 ? ? 1 2、4648; 7、18; 3、18; 8、
2 13 3

4、5; 9、 3 3 ? 5

5、10 ? 2 10 ; 10、29

一、填空题: (本大题 10 小题,前 5 题每题 8 分,后 5 题每题 10 分,共 90 分) 1.在小于 100 的正整数 n 中,能使分数 n 的所有可能值是 。
1 化为十进制有限小数的 (3n ? 32)(4n ? 1)

解:6,31 4n+1 是奇数 所以它必须是 5 的次方 4n+1=5,25,125,625…… 验证有而且只有 n=6 ,31 满足条件

2.将数码 1,2,3,4,5,6,7,8,9 按某种次序写成一个九位数:

abcdefghi, 令A ? abc ? bcd ? cde ? def ? efg ? fgh ? ghi ,则 A 的最大可能值是
。 解:假设前 9 个数字是 a、b、c、d、e、f、g、h、i;那么在所有连续三位数 相加的等式中 a 出现 1 次,b 出现 2 次,c 出现 3 次?g 出现 3 次,h 出现 2 次, i 出现 1 次;那么要使值最大,那么数字最小的数字尽可能的出现的次数少,所 有 1、2 被安排在最后,2 在倒数第 2 个数字,1 在最后一个数字,其次是 3、4, 4 在第 2 个数字,3 在第 1 个数字;那么其他的数字均出现了 3 次,分别在百位、 十位、个位出现一次,相加的值为: 100×(5+6+7+8+9)+10×(5+6+7+8+9)+5+6+7+8+9, =100×35+10×35+35, =(100+10+1)×35,

=3885; 最大值为: 3885+3×100+4×100+4×10+2×10+2+1, =3885+300+400+40+20+3, =4648. 答:最大可能的值是 4648. 故答案为:4648.

3.如果一个两位数 X 5 与三位数 3YZ 的积是 29400,那么 X+Y+Z= 解:因为 29400=75*392 所以 x=7、y=9,z=2 所以 x+y+z=7+9+2=18 4. 已知 a, x, 都为实数, y ? b, y 且 的值为
y?



x ? 2 ? 1 ? a 2 , x ? 4 ? 3 y ? 3 ? b2 , a ? ? ? 则 b x y



x ? 2 解:由, x ? 4 ? 3 y ? 3 ? b2 知, ? 1 ? a2

3y-3=|x-4|+b2>=0,所以 y>=1 由 y?
x ? 2 ? 1 ? a 2 , 知, ? 3 y ? 3 ? b2 x?4
y C A 1 O D B 10 x

y=1-a2-|√x+2|<=1 这样 y 只能为 1 所以|x-4|+b2=3y-3=0,x=4,b=0 1-a2-|√x+2|=1,所以 a=0 于是 a+b+x+y=0+0+4+1=5

5.如图:△OAB 的顶点 O(0,0) ,A(2,1) ,B(10,1) ,直线 CD ? X 轴, 并且把△OAB 面积二等分,若点 D 的坐标为(x,0) ,则 x 的值是 。

解答: 1 算出 A 到直线 BO 的距离 AE,BO 的方程:x-10y=0,所以 AE=8/根号 101, 三角形 ABO 的面积可以求得为:S=AE· BO/2=8 2. 因为 D 的坐标为(x,0)CD 垂直与 x 轴,那么 CD 与 AB 的交点 C 的坐标 为:(x,1) 3. CD=10-x 设 CD 与 AB 交与 F 点,CF=k,那么 DF=1-k,OD=x

所以:由相似三角形可以得到:DB:OD=CF:DF 即 (10-x):x=k:1-k 有此就可以解出 k 与 m 的关系:k=(10-x)/10 4. 因为 ABC 被分为二等分, 所以三角形 DBF 的面积为 1,即 (10-x)· (10-x)/10· 2=2 可以求得 x=10+- 40 其中 10+ 20 >10,不合题意舍去 所以 x=10- 40 =10-2 10 6.如果两个一元二次方程 x2 ? x ? m ? 0与mx2 ? x ? 1 ? 0 分别有两个不相同的实 根,但其中有一个公共的实根 ? ,那么实根 ? 的大小范围是 。

解:a2+a+m=0 ① ma2+a+1=0 ② ①-②得 (1-m)a2=1-m 又 1-4m>0 所以 1-m>0 所以 a2=1 ,a=1 或 a=-1 把 a=1 代入方程①得 m=-2, 这时方程 x2+x-2=0 的根为 1 和-2,方程-2x2+x+1=0 的两根为-1/2 和 1,满足条 件。 把 a=-1 代入①得 m=0, 此时 mx2+x+1=0 不是一元二次方程,所以 a=-1 舍去。 综上,a=1

7.如图:在梯形 ABCD 中,AB∥DC,DC=2AB=2AD, 若 BD=6,BC=4,则 SABCD= 。
D

A

B

(SABCD 表示四边形 ABCD 的面积,下同)

C

8.如图,? ABCD 中,点 M、N 分别是边 BC、DC 的中点,AN=1,AM=2,且∠MAN=60°,则 AB 的长是 。
D

A

B M N C

A

E

F

B

C

9.如图:△ABC 中,点 E、F 分别在这 AB、AC 上,EF∥BC,若 S△ABC=1,S
△AEF

=2S△EBC,则 S△CEF=



解:假设 AE/AB=x,则由 S△AEF=2S△EBC,有

X2*S△ABC=2*(1-x)*S△ABC x2=2-2x x2+2x-2=0 x=-1+ 3 S△CEF=S△ABC-S△AEF-S△EBC=S△ABC-3S△EBC=1-3*(1-x)=3x-2=3 3 -5

10.设 P 为质数,且使关于 x 的方程 x2-px-580p=0 有两个整数根, 则 p 的值为 解答:29 。

二、 (本题 20 分) 已知矩形 ABCD 的相邻两边长为 a、b,是否存在另一个矩形 A’B’C’D’,使它
1 的周长和面积分别是矩形 ABCD 的周长和面积的 ?证明你的结认论。 3

解:

设 矩 形 A’B’C’D’ 的 相 邻 两 边 长 为 m 、 n , 则 按 题 意 有

1 1 1 1 m+n= ( a ? b) , mn ? ab ,因此 m、n 是二次方程 x 2 ? (a ? b) x ? ab ? 0 的两正 3 3 3 3

根。
1 1 ∵ (a ? b) ? 0, ab ? 0 ∴上述二次方程有两正根的条件是 3 3 1 4 1 1 ? ? (a ? b) 2 ? ab ? (a 2 ? 100b ? b 2 ) ? [a ? (5 ? 2 b )b]? a ? (5 ? 2 b )b] ? 0 [ 9 3 9 9

?a ? (5 ? 2 b )b ? 0 ?a ? (5 ? 2 b )b ? 0 ? ? 或? 即 a ? (5 ? 2 b )b或 ? ?a ? (5 ? 2 b )b ? 0 ?a ? (5 ? 2 b )b ? 0 ? ?

∴ 当 a ? (5 ? 2 b )b 时,满足条件的矩形 A’B’C’D’存在;当 或0<a ? (5-2 b )b

(5 ? 2 b )b ? a ? (5 ? 2 b )b 时,满足条件的矩形 A’B’C’D’不存在。

三、 (本题 20 分) 已知 a、b、c 都是大于 3 的质数,且 2a ? 5b ? c 。 (1)求证:存在正整数 n>1,使所有满足题设的三个质数 a、b、c 的和 a+b+c 都能被 n 整除; (2)求上一小题中 n 的最大值。 解、 (1)∵c=2a+5b, ∴a+b+c=3a+6b=3(a+2b) 又 a、b、c 都是大于 3 的质数,故引(a+b+c), 即存在正整数 n>1(例如 n=3),使 n (a ? b ? c) (2)∵a、b、c 都是大于 3 的质数 若 a ? 1(mod3), b ? 2(mod)3 ,例
c ? 2a ? 5b ? 2 ? 10 ? 0(mod3) ,这与 C 不是 3 的倍数矛盾

∴a、b、c 都不是 3 的倍数

同理, a ? 2(mod 3), b ? 1(mod 3) ,也将导致矛盾 因此,只能 a ? b ? 1(mod3)或a ? b ? 2(mod3) , 于是 a ? 2b ? 3a ? 0(mod3), 从而9 (a ? b ? c) 当 a ? 7, b ? 13时, c ? 2 ? 7 ? 5 ?13 ? 79 为质数,a+b+c=99=9×11; 当 a ? 7, b ? 19时, c ? 2 ? 7 ? 5 ?19 ? 109 为质数,a+b+c=135=9×15; ∴在所有 n (a ? b ? c)的n 中,最大为 9

四、 (本题 20 分) 如图:在 Rt△ABC 中,CA>CB,∠C=90°,CDEF、KLMN 是△ABC 的两 个内接正方形,已知 SCDEF=441,SKLMN=440,求△ABC 的三边长。
B M E F N C K D A L

解、论正方形 CDEF 的边长为 x,正方形 KLMN 的边长为 y, 则按题设 x=21,y= 2 110 ,设 BC=a,CA=b,AB=c,则 a2+b2=c2 注意到 ax ? by ? 2(S?CEB ? S?CEA ) ? 2S?ABC ? ab ∴x?
ab ??① a?b a 同理,MB= y ? b

b 又由△AKL∽△ABC 得 AL= y ? a

b a c 2 ? ab 故 c ? AL ? LM ? MB ? x( ? 1 ? ) ? y ? a b ab
y? abc ??② c ? ab
2

于是

1 1 1 c 1 1 1 2 c2 1 2 1 1 ? 2 ? ( ? )2 ? ( ? )2 ? ( 2 ? ? 2 2 ) ? ( 2 ? ? 2 ) ? 2 2 y x c ab a b c ab a b a ab b c
1 1 1 ? 440 441 ? 21 440 ? 42 110

c?

yc 2 将它代入②式,可得 ab ? ? 212 ?22 c? y
a?b ? ab ? 21?22 x

进而

于是 a、 是二次方程 t 2 ? 21?22 ? 212 ? 22 ? 0 的两根 b ∵b>a ∴ a ? 231 ? 63 11 , b ? 231 ? 63 11

2006 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题(第 1~5 小题,每题 8 分,第 6~10 题,每题 10 分,共 90 分) 1、 如图,在△ ABC 中,?A ? 70 °,?B ? 90 °,点 A 关于 BC 的对称点是 A? ,点 B 关 于 AC 的对称点是 B ? ,点 C 关于 AB 的对称点是 C ? ,若△ ABC 的面积是 1,则 △ A?B ?C ? 的面积是________________.

B'

A
A C

B
B C'
第 1 题图

D E C F
第 3 题图

A'

? 2a ? b ? c ? d ? e ? f ? 20, ? a ? 2b ? c ? d ? e ? f ? 40, ? ? ? a ? b ? 2c ? d ? e ? f ? 80, 2、 已知实数 a、b、c、d、e、f 满足如下方程组 ? , ? a ? b ? c ? 2d ? e ? f ? 160, ?a ? b ? c ? d ? 2e ? f ? 320, ? ?a ? b ? c ? d ? e ? 2 f ? 640. ?
则 f ? e ? d ? c ? b ? a 的值是_______________. 3、 如图,菱形 ABCD 中,顶点 A 到边 BC , CD 的距离 AE, AF 都为 5, EF ? 6 ,那么 菱形 ABCD 的边长为________________. 4、 已知二次函数 y ? x ? x ? a 的图像与 x 轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过
2

5,则 a 的取值范围是__________________. 5、 使得 n ? 1 能整除 n
2006

? 2006的正整数 n 共有_____________个.
7 的所有实数解为_________. 2 7、 如图, ABCD 为直角梯形( ?B ? ?C ? 90 °) ,且 AB ? BC ,若在边 BC 上存在一点 M ,使得△ AMD CD 为等边三角形,则 的值为_________________. AB

6、 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,方程 ?2 x ? ? ?3 x ? ? 8 x ?

D

C

M A
第 7 题图

B

A' A h B B'
第 8 题图

h h C C'

8、 如图,△ ABC 的面积为 S ,周长为 p ,△ A?B ?C ? 的三边在△ ABC 外,且与对应边的 距离均为 h ,则△ A?B ?C ? 的周长为______________,面积为_______________. 9、 n(? 1) 个整数(可以相同) a1 , a2 ,?an 满足a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an ? 2007, 则 n 的最小值是________________. 10、把能表示成两个正整数平方差的这种正整数,从小到大排成一列: a1 , a2 ,?, an ,? , 例 如 : a1 ? 22 ? 12 ? 3, a2 ? 32 ? 22 ? 5, a3 ? 4 2 ? 32 ? 7, a4 ? 32 ? 12 ? 8,?, 那 么 , 的值是___________________. a1 ? a2 ? ? ? a99 ? a1 0 0 二、 (本题 20 分) 如图,已知半径分别为 1,2 的两个同心圆,有一个正方形 ABCD ,其中点 A, D 在半 径为 2 的圆周上,点 B, C 在半径为 1 的圆周上,求这个正方形 的面积.

O

第二题图

三、 (本题 20 分) 关于 x、 y、 z 的方程组 ?

? 3 x ? 2 y ? z ? a, 有实数解 ( x, y, z ) ,求正实数 a 的最小值. ? xy ? 2 yz ? 3zx ? 6

四、 (本题 20 分) 设 A 是给定的正有理数. (1) 若 A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积,证明:一定存在 3 个正有理数

x、y、 z ,使得 x 2 ? y 2 ? y 2 ? z 2 ? A .
(2) 若存在 3 个正有理数 x、 y、 z ,满足 x 2 ? y 2 ? y 2 ? z 2 ? A ,证明:存在一个三 边长都是有理数的直角三角形,它的面积等于 A .

2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛

一、填空题(第 1~5 小题,每题 8 分,第 6~10 小题,每题 10 分,共 90 分)
2 ? 1 的取值范围为______。 x 2. 在面积为 1 的 ?ABC 中,P 为边 BC 的中点,点 O 在边 AC 上,且 AQ=2QC,连接 AP、 BQ 交于点 R,则 ?ABR 的面积是______。 3. 在 ?ABC 中,∠C=90° ? A 、 ? B 、 ?C 的对边顺次为 a、b、c,若关于 x 的方程 b 2 2 c(x +1)- 2 2bx -a(x -1)=0 的两根的平方根和为 10,则 的值为______。 a
1. 已知-1<2x<1,则 4. 数 x1 、 x2 ?? x100 满足如下条件:对于 k=1、2??100。 xk 比任何其余 99 个数的和小 k,则 x 25 的值为______。 5. 已知实数 a、 c, b≠0, b、 且 若实数 x1 , x 2 ,y1 、y 2 满足 x1 + ax2 =b,x2 y1 ? x1 y 2 ? a ,
2 2

x1 y2 ? ax2 y2 ? c ,则 y1 ? ay2 的值为_______。
2 2

6. 如图,设 P 是凸四边形 ABCD 内一点,过 P 分别作 AB、BC、CD、DA 的垂线,垂线分别为 E、F、G、H。已知 AH=3,HD=4,DG=1,GC=5,CF=6,FB=4,且 BE-AE=1,则四边形 ABCD 的周 长为______。
C G D H P F

A

E

B

7. 如图, ?ABC 的面积为 1,点 D、G、E 和 F 分别在边 AB、AC、BC 上,BD<DA,DG ∥BC,DE∥AC,GF∥AB,则 DEFG 面积的最大可能值为_____.

A

D

G

B

E

F

C

8. 不超过 1000 的正整数 x,使得 x 和 x+1 两者的数字和都是奇数,则满足条件的正整数 x 有_____个。 9. 已知 k 为不超过 50 的正整数,使得对任意正整数 n, 2 ? 3 整除,则这样的正整数 k 有______个。 10. 使得
6n

? k ? 23n?1 ? 1 都能被 7

p ( p ? 1) ? 2 是完全平方数的所有质数 p 为______。 2

二、 (20 分)
如图,在 Rt?ABC 中,∠C=90°,BC=2,AC=X,点 F 在边 AB 上,点 G、H 在边 BC 上,四边 形 EFGH 是一个边长为 y 的正方形,且 AE=AC。 (1) 求 y 关于 x 的函数解析式。 (2) 当 x 为何值时,y 取到最大值?并求出 y 的最大值。

三、 (20 分)
求满足下列条件的正整数 n 的所有可能值,对这样的 n,能找到实数 a、b 使得函数

f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b 对任意整数 x, f (x) 都是整数。 n

四、 (20 分)
在一个盒子里有红、黄、黑三种颜色的小球共 88 个,已知从中任意取出 24 个。就可以保证 至少有 10 个小球是同色的,问在满足上述条件下,无论各种颜色的小球如何分配,至少要 从盒子里任意取出多少个小球,才能保证至少有 20 个小球是同色的?

2008 年新知杯上海市初中数学竞赛
一、填空题: 1、如图:在正 ? ABC 中,点 D 、 E 分别在边 BC 、CA 上,使得 CD ? AE , AD 与 BE 交于点 P , BQ ? AD 于点 Q .则

QP ? _____________. QB

C Q E P A D

B

2、不等式 x 2 ? 2 x ? 6 ? a 对于一切实数 x 都成立.则实数 a 的最大值为_____________.

3、设 a n 表示数 n 的末位数.则 a1 ? a 2 ? ? ? a 2008 ? _____________.
4

4、在菱形 ABCD 中, ?A ? 60 ? , AB ? 1 ,点 E 在边 AB 上,使得 AE : EB ? 2 : 1 ,

P 为对角线 AC 上的动点.则 PE ? PB 的最小值为_____________.

ax 2 ? 2a ? a 2 ? 1 的解为_____________. 5、关于 x 的方程 x ?1

6、如图:设 P 是边长为 12 的正 ? ABC 内一点,过 P 分别作三条边 BC 、 CA 、 AB 的垂 线,垂足分别为 D 、 E 、 F .已知 PD : PE : PF ? 1 : 2 : 3 .那么,四边形 BDPF 的面 积是_____________.

A

F B

P D

E C

7、对于正整数 n ,规定 n! ? 1 ? 2 ? ? ? n .则乘积 1!?2!?? ? 9! 的所有约数中,是完全平 方数的共有_____________个.

8、已知 k 为不超过 2008 的正整数,使得关于 x 的方程 x ? x ? k ? 0 有两个整数根.则所
2

有这样的正整数 k 的和为_____________.

9、 如图: 边长为 1 的正 ?A1 B1C1 的中心为 O , 将正 ?A1 B1C1 绕中心 O 旋转到 ?A2 B2 C 2 , 使得 A2 B2 ? B1C 1 .则两三角形的公共部分(即六边形 ABCDEF )的面积为_________.

A2

A1 A F

B E B1 C B2 D

C2 C1

10、如图:已知 ?BAD ? ?DAC ? 9? , AD ? AE ,且 AB ? AC ? BE .则 ?B ? _____________.

A

B D C

E

二、如图:在矩形 ABCD 内部(不包括边界)有一点 P ,它到顶点 A 及边 BC 、 CD 的 距离都等于 1,求矩形 ABCD 面积的取值范围.

D

F

C E B

P A

?x ? 2y ? 0 ? 三、已知实数 x 、 y 满足如下条件: ? x ? 2 y ? 0 ,求 x ? y 的最小值. ?? x ? 2 y ?? x ? 2 y ? ? 4 ?

四、如图:在凹六边形 ABCDEF 中, ?A 、 ?B 、 ?D 、 ?E 均为直角, p 是凹六边形

ABCDEF 内一点, PM 、 PN 分别垂直于 AB 、 DE ,垂足分别为 M 、 N ,图中每条
线段的长度如图所示(单位是米) ,求折线 MPN 的长度(精确到 0.01 米).

五、求满足不等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 的最大正整数 n ,其中 ? x ? 表示不超过实 2 3 11 13 数 x 的最大整数.

?n? ? ?

?n? ? ?

?n? ? ?

?n? ? ?

2008 年新知杯上海市初中数学竞赛试题详解
一、填空题: 1、如图:在正 ? ABC 中,点 D 、 E 分别在边 BC 、CA 上,使得 CD ? AE , AD 与 BE 交于点 P , BQ ? AD 于点 Q .则

QP ? _____________. QB

C Q E P A D

B

2、不等式 x 2 ? 2 x ? 6 ? a 对于一切实数 x 都成立.则实数 a 的最大值为_____________.

3、设 a n 表示数 n 的末位数.则 a1 ? a 2 ? ? ? a 2008 ? _____________.
4

4、在菱形 ABCD 中, ?A ? 60 ? , AB ? 1 ,点 E 在边 AB 上,使得 AE : EB ? 2 : 1 ,

P 为对角线 AC 上的动点.则 PE ? PB 的最小值为_____________.

ax 2 ? 2a ? a 2 ? 1 的解为_____________. 5、关于 x 的方程 x ?1
答案:当 a=0 时无解,当 a≠0 时,x=a+1,x=1+1/ a。

6、如图:设 P 是边长为 12 的正 ? ABC 内一点,过 P 分别作三条边 BC 、 CA 、 AB 的垂 线,垂足分别为 D 、 E 、 F .已知 PD : PE : PF ? 1 : 2 : 3 .那么,四边形 BDPF 的面 积是_____________.

A

F B

P D

E C

7、对于正整数 n ,规定 n! ? 1 ? 2 ? ? ? n .则乘积 1!?2!?? ? 9! 的所有约数中,是完全平 方数的共有_____________个. 解:把积分解质因数,得 30 个 2,13 个 3,5 个 5,3 个 7; 最大完全平方约数的平方根为 15 个 2,6 个 3,2 个 5,1 个 7; 它的约数的个数即是原数完全平方因数的个数,即(15+1)×(6+1)×(2+1)×(1+1) =672 个. 故答案为:672.

8、已知 k 为不超过 2008 的正整数,使得关于 x 的方程 x ? x ? k ? 0 有两个整数根.则所
2

有这样的正整数 k 的和为_____________. 解:∵关于 x 的方程 x2-x-k=0 有两个整数根, ∴△=1+4k 为完全平方数, ∴k=n(n+1) 为正整数) (n , ∴1×2+2×3+3×4+?+44×45=30360. 故答案为:30360.

9、 如图: 边长为 1 的正 ?A1 B1C1 的中心为 O , 将正 ?A1 B1C1 绕中心 O 旋转到 ?A2 B2 C 2 , 使得 A2 B2 ? B1C 1 .则两三角形的公共部分(即六边形 ABCDEF )的面积为_________.

A2

A1 A F

B E B1 C B2 D

C2 C1

10、如图:已知 ?BAD ? ?DAC ? 9? , AD ? AE ,且 AB ? AC ? BE .则 ?B ? _____________.

A

B D C

E

二、如图:在矩形 ABCD 内部(不包括边界)有一点 P ,它到顶点 A 及边 BC 、 CD 的

D

F

C

距离都等于 1,求矩形 ABCD 面积的取值范围.

?x ? 2y ? 0 ? 三、已知实数 x 、 y 满足如下条件: ? x ? 2 y ? 0 ,求 x ? y 的最小值. ?? x ? 2 y ?? x ? 2 y ? ? 4 ?

解:x+2y>0,

x-2y>0, (x+2y)(x-2y)=4} (1),

x>2|y| ……

x2-4y2=4… … (2) 由对称性,只需考虑 y≥0. 又 x>0,∴只需求 x-y 的最小值. 令 u=x-y,代入(2)得 3y2-2uy+(4-u2)=0 …… (3)

∵u∈R,∴△=4u2-12(4-u2)≥0 解得,u≤- 3 根 3,或 u≥ 3 . 由(1)知 x>|y|,所以 u=x-y>0,从而 u≥ 3 将 u= 3 代入(3),得 y= 3 /3; 再代入(2),得 x=4 3 /3.

故当 x=(4 3 )/3,y= 3 /3 时, (|x|-|y|)|min= 3

四、如图:在凹六边形 ABCDEF 中, ?A 、 ?B 、 ?D 、 ?E 均为直角, p 是凹六边形

ABCDEF 内一点, PM 、 PN 分别垂直于 AB 、 DE ,垂足分别为 M 、 N ,图中每条
线段的长度如图所示(单位是米) ,求折线 MPN 的长度(精确到 0.01 米).

附:

五、求满足不等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 的最大正整数 n ,其中 ? x ? 表示不超过实 2 3 11 13 数 x 的最大整数.

?n? ? ?

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?n? ? ?

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2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题 (2009年12月6日)

一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分) 1、对于任意实数a,b,定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5,则实数a 的值是 。

2、在三角形ABC中, AB ? b2 ?1, BC ? a2 , CA ? 2a ,其中a,b是大于1的整 数,则b-a= 。

3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可 能是 。

4、 已知关于x的方程 x4 ? 2x3 ? (3 ? k ) x2 ? (2 ? k ) x ? 2k ? 0 有实根, 并且所有 实根的乘积为?2,则所有实根的平方和为 。

5、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜边 AB上一动点。PE⊥BC,PF⊥CA,则线段EF长的最小

B P

E

值为



C

F
第 题 五 图

A

6、设a,b是方程 x2 ? 68x ? 1 ? 0 的两个根,c,d是方程 x2 ? 86 x ? 1 ? 0 的 两个根,则(a+ c)( b + c)( a ? d)( b ? d)的值 。

7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2),函数y=kx?1 的图像与 线段PQ 延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 。

8方程xyz=2009的所有整数解有

组。

9如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,∠ABC=78°,∠BCD=162°。设 AD,BC延长线交于E ,则∠AEB=
A


C

D
D

B C
第 题 九 图

E

M A 第 题 十 图 B

10、如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BCD= 90°,AB=BC=10, 点M在BC上,使得ΔADM是正三角形,则ΔABM与ΔDCM的面积和 是 。

二、(本题15分)如图,ΔABC 中

B

C

A D 第 大 图 二 题 E

∠ACB =90°,点D在CA上,使得CD=1, AD=3,并且∠BDC=3∠BAC, 求BC的长。

三、 (本题15分)求所有满足下列条件的四位数 abcd ,abcd ? (ab ? cd )2 其中数字c可以是0。

四、 (本题15分) 正整数n满足以下条件: 任意n个大于1且不超过2009 的两两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的n。

五、(本题15分)若两个实数a,b,使得, a 2 ? b 与 a ? b2 都是有理数,称 数对(a,b)是和谐的。 ①试找出一对无理数,使得(a,b)是和谐的; ②证明:若(a,b)是和谐的,且a+b是不等于1的有理数,则a,b都是有 理数; ③证明:若(a,b)是和谐的,且 是有理数,则a,b都是有理数;
a b

2009年新知杯上海市初中数学竞赛 参考解答
一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分) 1、 对于任意实数a,b, 定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5, 则实数a的值是 【答案】4, ?
13 2



2、在三角形ABC中, AB ? b2 ?1, BC ? a2 , CA ? 2a ,其中a,b是大于1的整数,则 b-a= 。 【答案】0

3、 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形, 它的周长可能是 【答案】50,94 解:两个正三角形合成一个小平行四边形,则有46个小平行四边形,



所以这个大平行四边形可以是边长为46,1或23,2, 所以其周长为94或50. 故应填94,50. 4、已知关于x的方程 x4 ? 2x3 ? (3 ? k ) x2 ? (2 ? k ) x ? 2k ? 0 有实根,并且所有实根 的乘积为?2,则所有实根的平方和为 【答案】5
B P



E

C

F
第 题 五 图

A

5、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点。PE⊥BC, PF⊥CA,则线段EF长的最小值为 【答案】
2 5 5



6、设a,b是方程 x2 ? 68x ? 1 ? 0 的两个根,c,d是方程 x2 ? 86 x ? 1 ? 0 的两个根, 则(a+ c)( b + c)( a ? d)( b ? d)的值 【答案】2772 。

7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2),函数y=kx?1 的图像与线段PQ 延 长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 1 3 【答案】 ? k ? 3 2 。

8方程xyz=2009的所有整数解有

组。

【答案】72 解:这个2009可以看做是(整数)1×1×2009,1×7×287,7×7×41,1×49 ×41. 其中又有三个未知数一正两负和三正两种情况, 先说xyz在三正的情况下,有三个可能的解集,分别为1×1×2009,1×2009×1, 2009×1×1, 在三未知数一正两负的情况下原本的 x、y、z就会出现3种可能; 如1×1×2009=1× (-1) (-2009) (-1) (-1) × = × ×2009= (-1) ×1× (-2009) ,

所以在一正两负的情况下原本的三个可能的解集就会衍生出9个可能的解集. 那么得出结论,1×1×2009这样的分组共有12个可能的解集, 在7×7×41时,也有类似的12个可能的解集. 但当1×7×287时,因为三个数值均不同,所以和上面两组不同,在三正的情况 下有6个可能的解集,两正一负的情况下又有18个可能的解集. 同理1×49×41也有24个可能的解集. 综上所述,xyz=2009共有72组整数解. 9如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,∠ABC=78°,∠BCD=162°。设AD,BC延长 线交于E ,则∠AEB= 【答案】21°
D
A



C

D B C
第 题 九 图

M
E

A 第 题 十 图

B

10、如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BCD= 90°,AB=BC=10,点M在BC 上,使得ΔADM是正三角形,则ΔABM与ΔDCM的面积和是 【答案】 300 ? 150 3 。

二、(本题15分)如图,ΔABC 中∠ACB =90°,点D在CA上,使得CD=1, AD=3, 并且∠BDC=3∠BAC,求BC的长。 解:设BC=x,则 BD ? x2 ? 1 , 如图, 作∠ABD平分线BE, C AB ? x2 ?16 , 则 ? BDE ?? ADB ,因此
BD2 ? DE ? DA ? 3DE 。

B

A D 第 大 图 二 题 E

由角平分线定理可知 因此 x 2 ? 1 ?

DE BD DE BD 3BD ? ? ? ? DE ? 。 AE AB AE ? DE AB ? BD AB ? BD

9 x2 ? 1 x 2 ? 16 ? x 2 ? 1

,解得 BC ? x ?

4 11 11

三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数 abcd , abcd ? (ab ? cd )2 其中数 字c可以是0。 解:设 x ? ab, y ? cd ,,则 100 x ? y ?( x ? y) 2 ,故 x2 ? (2 y ?100) x ? ( y 2 ? y) ? 0 有整 数解,由于10< x < 100,故y≠0。因此 ?x ? (2 y ?100)2 ? 4( y2 ? y) ? 4(2500 ? 99 y) 是完全平方数, 可设 t 2 ? 2500 ? 99 y ,故 99 y ? (50 ? t )(50 ? t ) ,0≤50- t<50+ t之和为100,而且其 中有11的倍数,只能有50?t= 1或50?t=45,相应得到y=1,25,代入解得

? x ? 98 ? x ? 20 ? x ? 30 ,? ,? ? 因此 abcd ? 9801, 2025,3025 。 ? ? y ? 1 ? y ? 25 ? y ? 25
四、(本题15分)正整数n满足以下条件:任意n个大于1且不超过2009的两两互

素的正整数中,至少有一个素数,求最小的n。 解:由于 22 ,32 ,52 ,72 ,112 ,132 ,172 ,192 , 232 , 292 ,312 ,372 , 412 , 432 这14个合数都小于 2009且两两互质,因此n≥15。 而n=15时,我们取15个不超过2009的互质合数 a1 , a2 ,?, a15 的最小素因子

p1 , p2 ,?, p15 ,则必有一个素数≥47,不失一般性设 p15 ? 47 ,由于 p15 是合数 a15
的最小素因子,因此 a15 ? p152 ? 47 ? 2009 ,矛盾。因此,任意15个大于1且不超 过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述,n最小是15。 五、(本题15分)若两个实数a,b,使得, a 2 ? b 与 a ? b2 都是有理数,称数对(a,b) 是和谐的。 ①试找出一对无理数,使得(a,b)是和谐的; ②证明:若(a,b)是和谐的,且a+b是不等于1的有理数,则a,b都是有理数;
a 是有理数,则a,b都是有理数; b 1 1 解:①不难验证 (a, b) ? ( 2 ? , ? 2) 是和谐的。 2 2

③证明:若(a,b)是和谐的,且

②由已知 t ? (a2 ? b) ? (a ? b2 ) ? (a ? b)(a ? b ?1) 是有理数, a ? b ? s 是有理数,因 此a ?b ?
t 1? t ? ,解得 a ? ? s ? ? 是有理数,当然b=s?a也是有理数。 a ? b ?1 2? s ?1 ?
a 是 有 理 数 , 因 此 a ? (a ? b 2 ) ? b 2 也 是 有 理 数 。 若 b

③ 若 a ? b2 ? 0 , 则 b ? ?

a a2 ? b 2 a ? b ? 0 ,由已知 x ? ? b 2 a a?b b

? ? ? ? 1b ? 是有理数, y ? a 也是有理数,因此 b ? ?? 1b ? ? 1
2

xy ? 1 1 y2 ? x ,故 b ? 2 是有理数,因此 a ? (a ? b2 ) ? b2 也是有理数。 ? y ?x b xy ? 1

2010 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷
(2010 年 12 月 12 日
题 得 评 复 号 分 卷 核 一 (1~10)

上午 9:00~11:00)
二 总分

11

12

13

14

解答本试卷可以使用计算器 一、填空题(第 1~5 小题,每题 8 分,第 6~10 小题,每题 10 分,共 90 分) 1 1 1 10 5 1. 已知 x ? ? 3 ,则 x ? x ? 5 ? 10 ? _________。 x x x

2. 满足方程 ?x ? 3? ? y 2 ? ?x ? y ? ? 3 的所有实数对 ?x,y ? 为__________。
2 2

3. 已知直角三角形 ABC 中, ?C ? 90 ,BC ? 6,CA ? 3 ,CD 为 ?C 的角平分线,则
?

_________。

4. 若前 2011 个正整数的乘积 1 ? 2 ? ? ? 2011 能被 2010 整除,则正整数 k 的最大值为
k

________。

5. 如图,平面直角坐标系内,正三角形 ABC 的顶点 B,C 的坐标分别为(1,0)(3,0) , , 过坐标原点 O 的一条直线分别与边 AB,AC 交于点 M,N,若 OM=MN,则点 M 的坐标为 _________。
y A M O B N C x

6. 如图,矩形 ABCD 中,AB=5,BC=8,点 E,F,G,H 分别在边 AB,BC,CD,DA 上, 使得 AE=2,BF=5,DG=3,AH=3,点 O 在线段 HF 上,使得四边形 AEOH 的面积为 9,则 四边形 OFCG 的面积是_________。
A E O B F G C H D

7. 整数 p,q 满足 p ? q ? 2010, 且关于 x 的一元二次方程 67x 2 ? px ? q ? 0 的两个根均 为正整数,则 p ? ________。

8. 已 知 实 数 a,b,c 满 足 a ? b ? c,a ? b ? c ? 0 且 a ? 0 。 设 x1,x2 是 方 程

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根, 则平面直线坐标系内两点 A?x1,x2 ? B?x2,x1 ? 之间的距 ,
离的最大值为_______。

9. 如图,设 ABCDE 是正五边形,五角星 ACEBD(阴影部分)的面积为 1,设 AC 与 BE 的交点为 P,BD 与 CE 的交点为 Q,则四边形 APQD 的面积等于_______。
A

B

P

E

Q C D

10. 设 a,b,c 是整数,1 ? a ? b ? c ? 9 ,且 abc? bca ? cab ? 1 能被 9 整除,则 a ? b ? c 的最小值是_________,最大值是__________。

二、 解答题(每题 15 分,共 60 分)
11. 已知面积为 4 的 ?ABC 的边长分别为 BC ? a,CA ? b,AB ? c,c ? b , 是 ? A 的 AD 角平分线,点 C ' 是点 C 关于直线 AD 的对称点,若 ?C' BD 与 ?ABC 相似,求 ?ABC 的周 长的最小值。

A C' B D C

12. 将 1,2,…,9 这 9 个数字分别填入图 1 中的 9 个小方格中,使得 7 个三位数

abc, , , , 和 aei 都能被 11 整除,求三位数 ceg 的最大值 def ghi beh cfi

a b c d e f g h i
13. 设实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 0 ,且 ?x ? y ? ? ? y ? z ? ? ?z ? x? ? 2 ,求 x 的最大
2 2 2

值和最小值

b 14. 称具有 a ? 161 形式的数为“好数”,其中 a, b 都是整数
2 2

(1)证明:100,2010 都是“好数”。 (2)证明:存在正整数 x, y ,使得 x
161

? y161 是“好数”,而 x ? y 不是“好数”。

2010 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷详解
解答本试卷可以使用计算器 一、 填空题(第 1~5 小题,每题 8 分,第 6~10 小题,每题 10 分,共 90 分) 1 1 1 10 5 1. 已知 x ? ? 3 ,则 x ? x ? 5 ? 10 ? 15250 x x x 1 解:? x ? ? 3 x
1 1 ?(x ? ) 2 ? x 2 ? 2 ? 2 x x x3 ?
即x ?
2

1 ?7 x2

1 1 1 1 ? ( x 2 ? 2 ) ( x ? ) - ( x ? ) ? 21 ? 3 ? 18 3 x x x x

x4 ?

1 1 ? x 3 ? 3 ? 2 ? 49 ? 2 ? 47 4 x x
1 1 1 1 ? ( x 4 ? 4 ) ( x ? ) - x 3 ? 3 ? 47*3-18=123 5 x x x x

x5 ?

x 10 ?
故x
10

1 1 ? ( x 5 ? 5 ) 2 ? 2 ? 1232 ? 2 ? 15127 10 x x
? x5 ? 1 1 ? 10 ? 15250 5 x x
2 2

2. 满足方程 ?x ? 3? ? y 2 ? ?x ? y ? ? 3 的所有实数对 ?x,y ? 为 解:由题意知, 2 x ? (6 ? 2 y) x ? 2 y ? 6 ? 0
2 2

(-2,-1)

? ? (6 ? 2 y) 2 ? 8(2 y 2 ? 6) ? ?12( y ? 1) 2 ? 0
故 y ? 2 y ?1 ? 0
2

y ? ?1

可得 x ? ?2

3 已知直角三角形 ABC 中, ?C ? 90 ,BC ? 6,CA ? 3 ,CD 为 ?C 的角平分线,
?

则 CD= 2 2

B

D

解:令 CD=x 由面积正弦定理可知

S abc ? 9 ?

1 1 ? 3 ? x ? sin 45 ? ? 6 ? x sin 45 2 2

故 x= 2 2

4 若前 2011 个正整数的乘积 1 ? 2 ? ? ? 2011 能被 2010 整除,则正整数 k 的最大值为 30
k

解: 2010 ? 2 ? 3 ? 5 ? 67

[

2010 ] ? 30 67

故 k max= 30

5 如图,平面直角坐标系内,正三角形 ABC 的顶点 B,C 的坐标分别为(1,0)(3,0) , , 过坐标原点 O 的一条直线分别与边 AB,AC 交于点 M,N,若 OM=MN,则点 M 的坐标为

5 3 ( , ) 4 4
解;

y A M O B N C x

OB CA NM ? ? ?1 BC AN MN ? AN ? 1 ? C (1,0) A(2, 3 5 3 ? N( , ) 2 2 5 3 M( , ) 4 4

6 如图,矩形 ABCD 中,AB=5,BC=8,点 E,F,G,H 分别在边 AB,BC,CD,DA 上, 使得 AE=2,BF=5,DG=3,AH=3,点 O 在线段 HF 上,使得四边形 AEOH 的面积为 9,则 四边形 OFCG 的面积是 6.5 解 :

连接 AO,OD,BO,OC 面积比如图 2 所示

且已知

? a ? b ? 2 .5 ? ?c ? d ? 4 ?2c ? 3a ? 9 ?

? 2d ? 3b ? 2.5 * 3 ? 4 * 2 ? 9 ? 6.5

2 7 整数 p,q 满足 p ? q ? 2010, 且关于 x 的一元二次方程 67x ? px ? q ? 0 的两个根均

为正整数,则 p ? -2278

解:令 p=67a, q=67b, 可知 a+b=30

p ? ? x1 ? x 2 ? ? 67 ? ? a ? 由根与系数的关系可知, ? ?x x ? q ? b ? 1 2 67 ?

x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? a ? b ? 30 ( x1 ? 1)(x 2 ? 1) ? 31
故?

设?

? x1 ? 1 ? 1 ? x 2 ? 1 ? 31

? x1 ? 2 ? ? x 2 ? 32

?a ? ?34 ?b ? 64

p=67a=-2278

8. 已 知 实 数 a,b,c 满 足 a ? b ? c,a ? b ? c ? 0 且 a ? 0 。 设 x1,x2 是 方 程

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根, 则平面直线坐标系内两点 A?x1,x2 ? B?x2,x1 ? 之间的距 ,
离的最大值为 3 2 解 :

AB ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? 2 x1 ? x 2 ? 2
?a ? b ? c c ? ? a ? ?2c 2 c 1 ?2? ? ? a 2
? a ? ?a ? c ? c

b 2 ? 4ac c ? 2 (1 ? ) a a

(a ? 0)

AB max ? 2 (1 ? 2) ? 3 2
9. 如图,设 ABCDE 是正五边形,五角星 ACEBD(阴影部分)的面积为 1,设 AC 与 BE 的交点为 P,BD 与 CE 的交点为 Q,则四边形 APQD 的面积等于 1/2 解: 连结 RQ,四边形 APQR 为平行四边形, 易知 1=6S1+2S2 故 S APQD ? 3S 1 ? S 2 ?

1 2

1 10 设 a,b,c 是整数, ? a ? b ? c ? 9 , abc? ba ? c b ? 1 能被 9 整除, a ? b ? c 的 且 则 c a
最小值是 8 ,最大值是 23 解:易知 a+b+c 被 9 除余 2 或 5 或 8 所以(a+b+c)min= 1+2+5=8 (a+b+c)max= 9+8+6=23

三、 解答题(每题 15 分,共 60 分)
11 Δ BDC’相似于Δ BCA 情况(1)若 DC’ ∕∕AC 令∠DAC=α ,则∠BAC=∠BC’D=2α 易知 AC’=C’D=CD=AC=b 显然 DC’=AC 矛盾(DC’应小于 AC) 情况(2)∠BC’D=∠C 又∠DC’A=∠C 故∠BC’D=∠C=900 在面积为 4 的直角三角形中,显然,等腰直角三角形周长最小 证法如下: a ? b ? c ? a ? b ? 又 a ? b ? 2 ab

a 2 ? b 2 ? a ? b ? (a ? b) 2 ? 16

即 a ? b ? 4 2 当且仅当 a ? b ? 2 2 成立

所以 a ? b ? c ? 4 2 ? 4 12 这是一道技巧题 显然 11(a ? c ? b ? d ? f ? e ? g ? i ? h)

?11[(a ? b ? c ? d ? e ? f ? g ? h ? i ? 2(b ? e ? h)] ?11[45 ? 2(b ? e ? h)]
? (b ? e ? h) ? 6(mod11)
又? b ? h ? e(mod11)

?e ? 3(mod11)

即 e=3

所以 b+h, d+f, a+I 只能取 14 或 3, 因为 14=5+9=8+6 所以 a,e,i,b,h,d,f 必须使用数字 1,2,9,5,8,6,3, c,g 只能取 7,4

故 ceg 的最大值取 734,不考虑旋转,图 2 是唯一合理填法

13 将 z ? ? x ? y 代入

?x ? y?2 ? ? y ? z ?2 ? ?z ? x?2 ? 2 ,
3 y 2 ? 3xy ? 3x 2 ? 1 ? 0 若有解 ? ? 9x 2 ? 12(3x 2 ? 1) ? 0
?? 2 2 ?x? 3 3 2 1 xmax ? , 当 y ? z ? ? 满足 3 3 1 2 xmin ? ? , 当 y ? z ? 满足 3 3

14(1)显然

100 ? 102 ? 1 6 ? 02 1 2010 ? 432 ? 161? 12

所以,100,2010 是好数 (2)161=7*23

a 2 ? 161? b 2 除以 7 的余数可以是 0,1,2,4
所以构造 x、y 时,最好让 x+y 除以 7 余 3 又 [ p( p
161

? 1)]161 ? ( p161 ? 1)161 ? ( p161 ? 1)161 ( p161 ? 1) ? ( p161 ? 1)162 是平方数
161

可以令 x ? 3(3 易知 x 又3
161 161

? 1)

y ? 3161 ? 1

? y161 ? (3161 ? 1)162 ? [(3161 ? 1)81 ]2 ? 161? 02 是好数

? 5(mod7)

x ? y ? 3 ? (3161 ? 1) ? 3161 ? 1 ? 3 ? (5 ? 1) ? 6 ? 3(mod7)
所以 x+y 不是好数,得整。

2011 年新知杯上海市初中数学竞赛试题
一、填空题(每题 10 分,共 80 分) 1.已知关于 x 的两个方程: -x+3m=0??①, +x+m=0??②,其中 m≠0.若方程① 有一个根是方程②的一个根的 3 倍,则实数 m 的值是_________。 2.已知梯形 ABCD 中 AB‖CD,∠ABC=90°,BD⊥AD,BC=5,BD=13,则梯形 ABCD 的面 积为______。 3.从编号为 1、2、3、4、5、6 的六张卡片中任意抽取三张,则抽出的卡片编号都大于 2 的概率为________. 4.将 8 个数,-7,-5,-3,-2,2,4,6,13 排列为 a,b,c,d,e,f,g,h,使得 + 的值最小,则这个最小值为________.

5.已知正方形 ABCD 边长为 4,E、F 分别在 AB,BC 上,AE=3,BF=2,AF,DE 交于 G,则 四边形 DGFC 的面积为。 6.在等腰直角三角形 ABC 中, ∠ACB=90°, 是△ABC 内一点, P 使得 PA=11, PB=7, PC=6, 则 AC 边长为____________。 7.有 10 名象棋选手进行单循环赛,规定每场比赛胜方得 2 分,负方得 0 分,平局各得 1

分,比赛结束后发现每位选手得分各不同,且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 , 则第二名选手得分是_______。 8.已知 a, c, 都是素数 b, d (可以相同) 并且 abcd 是 35 个连续正整数之和, a+b+c+d , 则 的最小值为_________.

二、解答题(第 9、10 题每题 15 分,第 11、12 题每题 20 分,共 70 分) 9.如图,矩形 ABCD 的对角线交于 O,已知∠DAC=60°,∠DAC 的平分线与 DC 交于 S,直线 OS,AD 相交于 L,直线 BL 与 AC 交于 M。求证:SM‖LC.

10.求所有正整数组 a≥b≥c≥d≥e≥f,使得 a!=b!+c!+d!+e!+f! 。

11.①求证:存在整数 x,y,满足 +4xy+ ②是否存在整数 x,y,满足 +4xy+

=2022

=2011?请证明你的结论。

12、整数 n ? 1 ,它的所有不同的素因子为 p1 , p2 ,? pk ,对于每个 1 ? i ? k ,存在正整数 ai 使得 pi ai ? n ? pi ai ?1 。记 p ? n? ? p1a1 ? p2a2 ?? pk ak ,例如 p(100) ? 26 ? 52 ? 89 。 ① 试找出一个正整数 n ,使得 p ? n ? ? n ; ② 证明:存在无穷多个正整数 n ,使得 p ? n ? ?
11 n 10

2011 年新知杯上海市初中数学竞赛试题
一、填空题(每题 10 分,共 80 分) 1.已知关于 x 的两个方程: x ? x ? 3m ? 0 ??①, x ? x ? m ? 0 ??②,其中 m ? 0 .
2 2

若方程①有一个根是方程②的一个根的 3 倍,则实数 m 的值是_________。 【解析】-2 2. 已 知 梯 形 A B C D中 AB / / CD , ?ABC ? 90? , BD ? AD, BC ? 5, BD ? 13, 则 梯 形

ABCD 的面积为______。
【解析】略 65

5 24

3.从编号为 1、2、3、4、5、6 的六张卡片中任意抽取三张,则抽出的卡片编号都大于 2 的 概率为________. 【解析】 总取法数C6 ? 20, 三张都大于或等于2的取法数C5 ? 10, p ?
3 2

1 2

4.将 8 个数,-7、-5、-3、-2、2、4、6、13 排列为 a, b, c, d , e, f , g , h ,使得

(a ? b ? c ? d )2 ? (e ? f ? g ? h)2 的值最小,则这个最小值为________.
【 解 析 】

x?

,

a?

+

2

b?

2 注意“ ”取不到, , c?

x2 ? y2 >32,奇偶相同,可以取到 34= 32 +52 .
5.已知正方形 ABCD 边长为 4, E , F 分别在 AB, BC 上, AE ? 3, BF ? 2, AF , DE 交于

G ,则四边形 DGFC 的面积为。
【 解 析 】 【 方 法 一 】

MB ?

4 10 FG FM 5 5 40 7 , FM ? , ? ? , S?FGD ? S?ADF ? , SGDCF ? 7 . 3 3 GA AD 6 11 11 11

M B 1 E

2 F

C

G 3

4

A 4
【方法二】

D

AE 3 8 32 128 128 7 ? , GH ? ? 4 ? , S ?DGM ? , SGFCD ? ?4?7 DM 8 11 11 11 11 11

M

F B E G H C

A

D

6. 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?A C B 9 0 ,是 ? A B一 点 , 使 得 ? ? P 内 C

PA ? 11, PB ? 7, PC ? 6 ,则 AC 边长为____________。
【解析】本题的两种方法在我的几何专题中应用多次 【方法一】 ?CBP 绕 C 逆时针旋转

900 到?CNA,PN ? 6 2, PN 2 ? AN 2 ? PA2 ? PN ? AN , 作CM ? AM , CM ? MN ? 3 2,

AC ? CM 2 ? AM 2 ? 85 ? 42 2 ,

M C 6 7 11 A
【方法二】坐标法(略) 7.有 10 名象棋选手进行单循环赛,规定每场比赛胜方得 2 分,负方得 0 分,平局各得 1 分, 比赛结束后发现每位选手得分各不同,且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 第二名选手得分是_______。 【解析】最后五名选手得分之和为 5 的倍数,而第一名最多得 18 分,而最后五名选手之间 要比赛 10 场,则得分总和最少为 20 分,易知第二名得分为 16 分.

N

6

7 P B

4 ,则 5

8.已知 a+b+c+d =5+7+3+7 ? 22最小. 都是素数(可以相同) ,并且 abcd 是 35 个连续正 整数之和,则 a ? b ? c ? d 的最小值为_________. 【 解 析 】

a

=

为 个连续整数的中间数 ,设 ? b 3

c

5

?d 满足要求 (

二、解答题(第 9、10 题每题 15 分,第 11、12 题每题 20 分,共 70 分) 9.如图, 矩形 ABCD 的对角线交于 O , 已知 ?DAC ? 60 , ?DAC 的平分线与 DC 交于 S , 直线 OS , AD 相交于 L ,直线 BL与AC 交于 M 。求证: SM / / LC .
?















? AO ? AD, 3 2 3 ? AD ? a, 则DS ? a, CS ? a, ??DAS ? ?OAS , ? ?DAS ? ?OAS ? LO ? AC , 3 3 ? AS ? AS ?

AL ? 2a, ?CBM ? ?ALM ?

CM CB 1 2 1 CS CM ? ? , ? CM ? a, OM ? a, ? ?2? , AM AL 2 3 3 DS OM

? SM / / LC .

L

S D a 300 M 300 0 30 600 O

C

A

B

10.求所有正整数组 a ? b ? c ? d ? e ? f , 使得a ! ? b!? c !? d !? e!? f !.

? 【解析】显然 a ? b, 且a ! ? 5b!, 当a ? 6时,a ! ? 6! ? 5b! ? b!? c!? d !? e!? f !; 当a ? 2时,a! ? 2! ? b!? c!? d !? e!? f !;当a ? 3时,b ? 2, c ? d ? e ? f ? 1;


a ? 4时, 无解;当a ? 5时,由5! ? 5b!,? b=4,? 96=c!? d !? e!? f !, ? b ? c ? d ? e ? 4,

综上所述,满足条件的正整数组为 (5, 4, 4, 4, 4, 4),(3, 2,1,1,1,1).

11.①求证:存在整数 x, y, 满足x2 ? 4 xy ? y 2 ? 2022, ②是否存在整数 x, y, 满足x2 ? 4xy ? y 2 ? 2011 ?请证明你的结论。 【解析】○ 1 【 方 法 一 】

使得?x

1 y2

? 6

y2

为平方数,设 ?4

y2 可令 ( ?

2

?



k (3k ? 2) ? (n ? 15)(n ? 15), 2k ? 2 ? 30, k ? 16 (舍),k=14,y=43,x=1满足条件要求。

【方法二】显然 x, y ? 44, 2022 ? 2(mod 4), 必有x2 ? y 2 ? 1(mod 4), 讨论求解, 【方法三】 ( x ? 2 y) ? 2022 ? 3 y , 易观察, 2025=45 ,y ? 1,
2 2 2

2 ○

.











若?x ? 16 y2 ? 4( y2 ? 2011) ? 4(3y2 ? 2011)为平方数,3y2 ? 2011 ? 2或3(mod 4),?
? x 不可能为平方数,故原方程无整数解。
【方法二】 x ? 4xy ? y ? 0,1, 2(mod 4), 2011 ? 3(mod 4),?原方程无整数解.
2 2

12.整数 n ? 1 ,它的所有不同的素因子为 p1 , p2 ,?, pk , 对于每个1 ? i ? k ,存在正整数
a a ai ,使得 piai ? n ? piai ?1 。记 p(n) ? p1a1 ? p2 2 ? ? ? pk k ,例如 p(100) ? 26 ? 52 ? 89 .

①找出一个正整数 n ,使得 p(n) ? n ; ②证明:存在无穷多个正整数 n ,使得 p ( n) ?

11 n. 10

【解析】○送分 p(12) ? 23 ? 32 ? 17 ? 12, 1 2 ○ 由 已 知

piai ?


n 1 1 1 a a , ? p(n) ? p1a1 ? p2 2 ? ? ? pk k ? n( ? ? ? ? ), pi p1 p2 pk


1 + 2

?

只要n

为正整数 则 的素因子中含有



1 + 3

?

1 1 1 1 11 11 p ( n) ? n( ? ? + ) ? n. 综上所述,存在无穷多个正整数 n ,使得 p ( n) ? n. 2 3 5 7 10 10

2012 上海市初中数学竞赛(新知杯)

一、填空题.(每题 10 分)
1. ?ABC 底边 BC 的高为 3,直线 l1 , l2 平行于 BC 将三角形的面积等分为三部分;那么 l1 , l2 之间的距离为__________.

(1) (2) (3) (4) (5) 2.设 P( n ) 为两个骰子顶面上的数字之和为 n 的概率,求 P +P +P +P +P = ________.

3.在平面直角坐标系中点 A 的坐标为 (1, 0), B 在直线 y ? 3x 上;求所有的 B 的坐标 ___________________,使得 ?OAB 为等腰三角形.

AD ? 5, AB ? 9, AE ? EG ? 3, DF ? BH ? 4, P 为矩形 ABCD 内一点且 4.矩形 ABCD 中,

S AEPH ? 15, 那么SPFCG =_____________.
A H B G E P D F C

4 2 5. m ? 3m ? 9 为素数,那么满足要求的 m 有___________个.

6.线段 AB ? 10, P到AB的距离为3;已知PA ? PB最小,求PA ? PB =_____________.

7. 梯形 ABCD的 上 底、 高、 下底 为从 小到 大的 三个 连续 的正 整数 且这 三个 正整 数使

x3 ? 30x2 ? ax(a为常数) 的值为同样顺序的三个连续正整数;那么梯形 ABCD 的面积为
__________. 8. 把 所 有 除 以 4 余 2 或 者 3 的 正 整 数 从 小 到 大 排 成 一 行 , S( n)为前n个 之 和 , 求

? S1 ? ? ? S2 ??? ? ? S2 0 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?
_______________. 二:解答题: 9.( 本 题 15 分 ) 正 方 形

ABCD







P





P



PM ? BC, PN ? CD且垂足为M、N ; 连接AP, 若AP ? MN ,
试证明: AP ? MN或者AP ? BD .

?ab ? c ? d ? 3 ?bc ? a ? d ? 5 ? ? ?cd ? a ? b ? 2 ? 10. (本题 15 分)解方程组: ?da ? b ? c ? 6

? ?a?? ?n ? ?n?? ? ? ? ; 其中n为正整数,a为正实数 P ( n) ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 11. (本题 20 分)设
(1).若 P(5) ? 5, 求a 的取值范围;

(2).求证: P(n) ?

a ?1.

12. (本题 20 分 )证明:在任 意 2013 个 互不相同的实数中 ,总存在两个数 x, y 满 足

2012 x ? y 1? xy ? (1? x2 )(1? y2 )


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