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【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量章末优化总结课件 新人教A版必修4


第二章

平面向量

章末优化总结

平面向量的概念与性质 理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹 角等概念.突显向量“形”的特征是充分运用向量并结合数 学对象的几何意义解题的重要前提.

关于平面向量 a,b, c 有下列三个命题: ①若 b⊥ c,则 (a+ c)· b= a·

b; ②若 a=(1, k),b=(-2,6), a∥ b,则 k=-3; ③非零向量 a 和 b 满足 |a|= |b|= |a- b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60° .

①② . (写出所有真命题的序号 ) 其中真命题的序号为 ________

[解析 ] ①因为 b⊥ c,所以 b· c= 0,, 所以 (a+ c)· b= a· b + c· b= a· b; 1 k ② a∥ b,且 a≠ 0? b= λa? = ? k=- 3; -2 6 ③ |a|= |b|= |a- b|? a,b,a- b 构成等边三角形,a 与 a+ b 的 夹角应为 30° . 所以真命题为①② .

平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫作向量 的线性运算,主要是运用它们的运算法则、运算律,解决三 点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题. 2.理解向量的有关概念[如平行向量(共线向量)、相等与相反 向量、平面向量基本定理、单位向量等]及其相应运算的几何 意义,并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则 等,是求解有关向量线性运算问题的基础.

→ → → 1→ 如图,在△ ABC 中, AQ =QC,AR= AB, BQ 与 CR 3 相交于点 I, AI 的延长线与边 BC 交于点 P. → → → → (1)用AB和 AC分别表示BQ 和CR; → → → → → (2)如果AI=AB+ λBQ =AC+ μCR,求实数 λ 和 μ 的值; (3)确定点 P 在边 BC 上的位置.

[解 ]

→ 1→ → → → → 1→ → (1)由AQ = AC, 可得BQ =BA+AQ =-AB+ AC, 又AR 2 2

1→ → → → → 1→ = AB,所以CR=CA+ AR=-AC+ AB. 3 3 → → 1→ → → 1→ (2)将BQ =-AB+ AC,CR=-AC+ AB, 2 3 → → → → → 代入AI=AB+ λBQ =AC+ μCR, → 1→ ? → → 1→ ? → ? ? 则有AB+ λ -AB+2AC =AC+ μ -AC+3AB ,

?

?

?

?

→ 1 → 1 → → 即 (1- λ)AB+ λ AC= μ AB+ (1- μ)AC. 2 3

? ? 所以? 解得? 1 3 ?2λ =1-μ, ?μ= 5.
1 1- λ= μ, 3

4 λ = 5

→ → → → → 1→ 2→ (3)设BP= mBC, AP= nAI.由 (2),知AI= AB+ AC, 5 5 1 → 2 → ? → 2n → → → → → → ? 所以BP=AP-AB= nAI-AB= n 5AB+5AC - AB= AC+ ? ? 5 → → → → ?n-1 ?AB ?5 ? = mBC= mAC-mAB, n 2 - m= - 1, m= , 5 3 BP → 2→ 所以 解得 所以BP= BC,即 = 2. 3 PC 5 2n n= . m= , 3 5 即点 P 是 BC 上靠近点 C 的三等分点.

? ? ?

? ? ?

平面向量的数量积
求平面向量的数量积的方法有两个:一个是根据数量积的定 义,另一个是根据坐标.定义法是 a· b= |a||b|· cos θ,其中 θ 为 向量 a, b 的夹角;坐标法是 a= (x1, y1), b= (x2, y2)时, a· b = x1x2+ y1y2.利用数量积可以求长度,也可判断直线与直线的 关系(相交的夹角以及垂直),还可以通过向量的坐标运算转化 为代数问题解决.

(1)设单位向量 m=(x, y), b= (2,-1).若 m⊥b,则 |x 5 + 2y|= ________ . (2)已知两个单位向量 a, b 的夹角 θ 为 60° ,c=ta+ (1- t)b, 2 若 b· c=0,则 t=________ .
[解析 ] (1)因为单位向量 m= (x,y), 则 x2+ y2=1.① 若 m⊥b, 则 m· b= 0,即 2x- y=0.② 1 由①②解得 x = , 5
2

5 所以 |x|= , |x+2y|= 5|x|= 5. 5 (2)法一:因为 b· c=0, 所以 b· [ta+ (1- t)b]= 0, 即 ta· b+ (1- t)b2= 0. 又因为 |a|= |b|= 1,θ =60° , 1 所以 t+ 1- t= 0,所以 t= 2. 2 法二:由 t+ (1- t)= 1 知向量 a, b, c 的终点 A、 B、 C 共线,

1 3 在平面直角坐标系中设 a= (1,0), b=? , ?,则 c= ?2 2 ? 3? ?3 . ,- ?2 2 ? 把 a、 b、 c 的坐标代入 c= ta+ (1- t)b,得 t= 2.

平面向量的应用
平面向量的应用主要体现在两个方面, 一是在平面几何中的应 用,向量的加法运算和平行,数乘向量和相似,距离、夹角和 数量积之间有着密切联系, 因此利用向量方法可以解决平面几 何中的相关问题. 二是在物理中的应用, 主要是解决力、 位移、 速度等问题.

如图所示, G 为△ AOB 的中线 OM 的中点, 过点 G 作直 OP OQ 1 线分别交 OA, OB 于点 P, Q,设 = m, = n,试推断 OA OB m 1 + 是否为定值. n

→ → [解 ] 设OA= a,OB= b, → 1→ 则OG= OM= 2 1 → → 1 1 (OA+OB)= a+ b. 4 4 4 1 → → → 1 所以PG=OG-OP= a+ b- ma 4 4 1 1 ? = 4- m ?a+ b. ? ? 4 → → → → → PQ=OQ- OP= nOB- mOA= nb- ma. → → → → 因为PG与PQ共线,所以PG= λPQ(λ∈ R),

1 1 ? ? 即 4- m a+ b= λ(nb-ma). ? ? 4

? 所以? 1 ?4=λn.

1 - m=-λm, 4

1 m 1 1 消去 λ 得 - m=- ? - 1=- . 4 4n 4m 4n 1 1 所以 + = 4 为定值. m n

质量 m=2.0 kg 的木块在平行于斜面向上的拉力 F=10 N 的作用下,沿斜面角 θ=30° 的光滑斜面向上滑行|s|= 2.0 m 的距离,如图所示 (g 取 9.8m/s2).

(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功; (2)在这一过程中,物体所受各力对物体做的功的代数和是多 少; (3)求物体所受合外力对物体所做的功, 并指出它与物体所受各 个力对物体做功的代数和之间有什么关系.

[解 ]

(1)木块受三个力的作用,重力 G,拉力 F 和支持力 FN,

如题图所示,拉力 F 与位移 s 方向相同,所以拉力对木块所做 的功为 WF= F· s= |F||s|cos 0° = 20(J). 支持力对木块所做的功为 WF = FN· s= 0.
N

重力 G 对物体所做的功为 W G = G· s= |G||s|cos(90° + θ)=- 19.6(J).

(2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W= WF+ WF + WG=0.4(J).
N

(3)物体所受合外力的大小为|F 合 |= |F|- |G|sin 30° =0.2(N). 所以,物体所受合外力对物体所做的功为 W= F 合 ·s= 0.4(J). 所以,物体所受合外力对物体所做的功,与物体所受各力对物 体做功的代数和相等.

1. O 为平面上的一个定点, A、 B、 C 是该平面上不共线的三 → → → → → 点,若 (OB-OC)· ( OB+OC- 2OA)=0,则△ ABC 是 ( B ) A.以 AB 为底边的等腰三角形 B.以 BC 为底边的等腰三角形 C.以 AB 为斜边的直角三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形

→ → → → → → → → 解析:由题意知 (OB-OC)· ( OB+OC- 2OA)=CB· (AB+AC) = 0,如图所示,

→ → → 其中AB+AC= 2AD (点 D 为线段 BC 的中点),所以 AD⊥ BC, 即 AD 是 BC 的中垂线,所以 AB= AC,即△ ABC 为等腰三角 形.故选 B.

2 2.已知 e 为单位向量, |a|=4, a 与 e 的夹角为 π ,则 a 在 e 3 -2 方向上的投影为________ .
2π 解析:根据定义知 a 在 e 方向上的投影为|a|cos =- 2. 3

1? ? 3.已知向量 a= (6,2), b= - 4,2 ,直线 l 过点 A(3,-1) ? ?

2x-3y-9=0 且与向量 a+ 2b 垂直,则直线 l 的方程为_________________.
→ 解析:设 B(x,y)为 l 上任意一点,则AB= (x- 3,y+1),又 a 1? → ? + 2b=(6, 2)+2 - 4,2 = (-2,3),由题意得AB· (a+ 2b) ? ? = 0,所以 (x-3, y+ 1)· (-2, 3)=- 2(x- 3)+3(y+ 1)=0,即 2x- 3y- 9= 0.

4.设向量 a, b 满足 |a|= |b|=1,且 |2a-b|= 5. (1)求 |2a- 3b|的值; (2)求 3a- b 与 a- 2b 的夹角.

解:(1)因为 |2a- b|2= 4a2- 4a· b+ b2 = 4- 4a· b+ 1= 5, 所以 a· b= 0. 因为|2a- 3b|2= 4a2+9b2= 4+ 9= 13, 所以|2a- 3b|= 13.

(2)设 3a- b 与 a- 2b 的夹角为 θ, ( 3a-b) · ( a- 2b) 3a2+ 2b2 5 2 则 cos θ= = = = , |3a-b|· |a- 2b| 10· 5 5 2 2 π 又因为 θ∈[0, π],所以 θ= 为所求. 4

→ → 5.如图,平行四边形 ABCD 中, AB= a,AD = b, H、 M 分 1 别是 AD、 DC 的中点, BC 上一点 F 使 BF= BC. 3

→ → (1)以 a、 b 为基底表示向量AM与 HF; → → (2)若 |a|= 3, |b|=4, a 与 b 的夹角为 120° ,求AM·HF.

→ → → 1 解:(1)由已知得AM=AD +DM= a+ b. 2 2 1 → → → → 1 HF=HD+ DC+CF= b+ a+ (- b)= a- b. 2 3 6 1 (2)由已知得 a· b= |a||b|cos 120° =3×4×(- ) 2 =-6, 1 1 1 2 11 1 2 1 → → 从而AM· HF= ( a+b)· (a- b)= |a| + a· b- |b| = × 32+ 2 2 12 6 2 6 11 1 11 2 × (- 6)- × 4 =- . 12 6 3


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