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函数值域的十一种求法


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函数值域求法十一种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和 对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且 还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可 缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所 涉及到的知识面

广, 方法灵活多样, 在高考中经常出现, 占有一定的地位, 若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。 本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 解:∵x ? 0
1 ?0 ∴x y? 1 x

的值域。

显然函数的值域是:(??,0) ? (0,??) 例2. 求函数y ? 3 ? 解:∵ x ? 0
? ? x ? 0,3 ? x ? 3
x

的值域。

故函数的值域是:[??,3] 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 2 例3. 求函数y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。 2 解:将函数配方得:y ? (x ? 1) ? 4 ∵x ?[?1,2] i 由二次函数的性质可知:当x=1 时,y mn ? 4 ,当x ? ?1时,y max 故函数的值域是:[4,8]

?8

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3. 判别式法 例4. 求函数 的值域。 解:原函数化为关于x 的一元二次方程
( y ? 1) x 2 ? ( y ? 1) x ? 0

y?

1 ? x ? x2 1 ? x2

(1)当y ? 1 时,x ? R
? ? (?1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ? 0

1 3 ?y? 2 解得: 2
?1 3? 1? ? , ? (2)当y=1 时,x ? 0 ,而 ? 2 2 ? ?1 3? ? , ? 故函数的值域为? 2 2 ?

例5. 求函数y ? x ? x (2 ? x ) 的值域。 2 2 解:两边平方整理得:2x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 (1) ∵x ? R 2 ∴? ? 4( y ? 1) ? 8y ? 0 解得:1 ? 2 ? y ? 1 ? 2 但此时的函数的定义域由x(2 ? x) ? 0 ,得0 ? x ? 2 2 2 2 由? ? 0 , 仅保证关于x 的方程:x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 在实数集R 有实根, 而不能确保其实根在区间[0, 2]上, 即不能确保方程 (1) 有实根, ? ? 0 由
?1 3? ?2 , 2? 求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为? ? 。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0 ? x ? 2
? y ? x ? x (2 ? x ) ? 0

? y min ? 0, y ? 1 ? 2 代入方程(1)

解得:

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2

? [0,2]

即当 时, 原函数的值域为:[0,1 ? 2 ] 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集 时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2

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4. 反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。 例6.
3x ? 4 求函数 5x ? 6 值域。
x? 4 ? 6y 5y ? 3

解:由原函数式可得: 则其反函数为:
y?

4 ? 6y 3 x? 5x ? 3 ,其定义域为: 5

3? ? ? ? ?, ? 5? 故所求函数的值域为:?

5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主 来确定函数的值域。 例7. 求函数
y? ex ?1 e x ? 1 的值域。 ex ? y ?1 y ?1

解:由原函数式可得: ∵e x ? 0
y ?1 ?0 ∴y ?1

解得:? 1 ? y ? 1 故所求函数的值域为(?1,1) 例8. 求函数 解:由原函数式可得:y sin x ? cos x ? 3y ,可化为:
y 2 ? 1 sin x ( x ? ?) ? 3y

y?

cos x sin x ? 3 的值域。

y ?1 即 ∵x ? R ∴sin x(x ? ?) ?[?1,1]
2

sin x ( x ? ?) ?

3y

?1?

3y y2 ? 1

?1
? 2 2? , ?? ? ? ? 故函数的值域为? 4 4 ?



2 2 ? ?y? 4 解得: 4

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6. 函数单调性法 x ?5 例9. 求函数y ? 2 ? log 3 x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。 x ?5 解:令y1 ? 2 , y 2 ? log 3 x ? 1 则y1 , y 2 在[2,10]上都是增函数 所以y ? y1 ? y 2 在[2,10]上是增函数 当x=2 时, 当x=10 时,y max
y m ? 2 ?3 ? l g o n i
3

2 ?1 ?

1 8

? 2 5 ? log 3 9 ? 33

?1 ? ? ,33? 故所求函数的值域为:? 8 ?

例10. 求函数y ?

x ? 1 ? x ? 1 的值域。

x ?1 ? x ?1 解:原函数可化为: 令y1 ? x ? 1, y 2 ? x ? 1 ,显然y1 , y 2 在[1,??] 上为无上界的增函数 所以y ? y1 ,y 2 在[1,??] 上也为无上界的增函数 2

y?

2

所以当x=1 时,y ? y1 ? y 2 有最小值 2 ,原函数有最大值 显然y ? 0 ,故原函数的值域为(0, 2 ]

? 2

2

7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式 含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之 一,在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数y ? x ? x ? 1 的值域。 解:令x ? 1 ? t ,(t ? 0) 则x ? t 2 ? 1
1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? 2 4 ∵

又t ? 0 ,由二次函数的性质可知 当t ? 0 时,y min ? 1 当t ? 0 时,y ? ?? 故函数的值域为[1,??)

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例12. 求函数y ? x ? 2 ? 1 ? (x ? 1) 的值域。 2 解:因1 ? (x ? 1) ? 0 2 即(x ? 1) ? 1 故可令x ? 1 ? cos ?, ? ?[0, ?]
2

∴y ? cos ? ? 1 ?

1 ? cos 2 ? ? sin ? ? cos ? ? 1

? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4



0 ? ? ? ?,0 ? ? ?

? 5 ? ? 4 4

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4 ? ? 0 ? 2 sin(? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 4 ??

故所求函数的值域为[0,1 ?
y?

2]

例13. 求函数

x3 ? x x 4 ? 2x 2 ? 1 的值域。 y? 1 2x 1 ? x2 ? ? 2 1 ? x2 1 ? x2

解:原函数可变形为:

2x 1? x2 ? sin 2?, ? cos 2 ? x ? tg? ,则有1 ? x 2 1? x2 可令

1 1 ? y ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin 4? 2 4



?? ??

k? ? 1 ? y mx ? a 4 2 8 时, k? ? 1 ? ym ? ? n i 2 8 时, 4

当 而此时tan ? 有意义。

? 1 1? ?? , ? 故所求函数的值域为? 4 4 ?

例14. 解:y ? (sin

? ? ?? x ? ?? , ? 求函数y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1) , ? 12 2 ? 的值域。
x ? 1)(c x ? 1) os

? sin x cos x ? sin x ? cos x ? 1

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令sin x ? cos x ? t ,则

si x cos x ? n

1 2 ( t ? 1) 2

1 1 y ? (t 2 ? 1) ? t ? 1 ? (t ? 1) 2 2 2

由t ? sin x ? cos x ?
? ? ?? x ? ?? , ? 且 ? 12 2 ?

2 sin(x ? ? / 4)

可得: ∴当t ?

2 ?t? 2 2
2 时,

y mx ? a

3 2 ? 2 t? 2 ,当 2

时,

y?

3 2 ? 4 2

?3 ? 2 3 , ? 2? ? ? ?。 ? ? 故所求函数的值域为? 4 2 2

例15. 求函数y ? x ? 4 ? 5 ? x 的值域。 解:由5 ? x 2 ? 0 ,可得| x |? 5 故可令x ? 5 cos ?, ? ?[0, ?]
2

? y ? 5 cos ? ? 4 ? 5 sin ? ? 10 sin(? ? ) ? 4 4 ∵0 ? ? ? ?
? ? 5? ? ??? ? 4 4 4

当? ? ? / 4 时,y max ? 4 ? 10 i 当? ? ? 时,y mn ? 4 ? 5 故所求函数的值域为:[4 ?

5 ,4 ? 10 ]

8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直 线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然, 赏心悦目。 例16. 求函数y ?
( x ? 2) 2 ? ( x ? 8) 2

的值域。

解:原函数可化简得:y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 | 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2) B(?8) 间的距离之和。 ,

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由上图可知,当点P 在线段AB 上时,y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB|? 10 y 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB|? 10 故所求函数的值域为:[10,??] 例17. 求函数y ? x ? 6x ? 13 ? 解:原函数可变形为:
2

x 2 ? 4x ? 5 的值域。

y ? ( x ? 3) 2 ? (0 ? 2) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2

上式可看成x 轴上的点P(x,0) 到两定点A(3,2), B(?2,?1) 的距离之和, 由 图 可 知 当 点 P 为 线 段 与 x 轴 的 交 点 时 ,
y min ?| AB |? (3 ? 2) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 43 ,

故所求函数的值域为[

43,??]

例18. 求函数y ?

x 2 ? 6x ? 13 ? x 2 ? 4x ? 5
2 2

的值域。
2 2

解:将函数变形为:y ? (x ? 3) ? (0 ? 2) ? (x ? 2) ? (0 ? 1) 上式可看成定点A (3, 到点P 2) (x, 的距离与定点B(?2,1) 到点P(x,0) 0) 的距离之差。 即:y ?| AP | ? | BP | 由图可知: (1)当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点 ' P' , 则 构 成 ?A B P , 根 据 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 , 有
|| AP' | ? | BP' ||?| AB |? (3 ? 2) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 26

即:? 26 ? y ? 26 (2)当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有|| AP | ? | BP ||?| AB |? 综上所述,可知函数的值域为:(? 26 , 26 ]

26

注:由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B

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两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B 两点在x 轴的同侧。 如:例17 的A,B 两点坐标分别为: (3,2) (?2,?1) ,在x 轴的同侧; , 例18 的A,B 两点坐标分别为(3,2) (2,?1) ,在x 轴的同侧。 , 9. 不等式法 ? 3 利用基本不等式a ? b ? 2 ab , a ? b ? c ? 3 abc (a, b, c ? R ) ,求函数的最值, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值, 不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数 解:原函数变形为:
y ? (sin 2 x ? cos 2 x ) ? ? 1 ? ces 2 x ? sec 2 x ? 3 ? tan 2 x ? cot 2 x ? 3 3 tan 2 x cot 2 x ? 2 ?5

y ? (si x ? n

1 2 1 2 ) ? (c x ? os ) ?4 si x n c x os 的值域。

1 1 ? 2 sin x cos 2 x

当且仅当tan x ? cot x 即当 故原函数的值域为:[5,??) 例20. 求函数y ? 2 sin x sin 解:y ? 4 sin x sin x cos x
? 4 sin 2 x cos x

x ? k? ?

? 4 时(k ? z) ,等号成立

2x 的值域。

y ? 16 sin 4 x cos 2 x ? 8 sin 2 x sin 2 x (2 ? 2 sin 2 x ) ? 8[(sin 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin 2 x ) / 3]3 ? 64 27

2 sin 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin 2 x ,即当 3 时,等号成立。 当且仅当



y2 ?

64 8 3 8 3 ? ?y? 9 27 可得: 9

? 8 3 8 3? , ?? ? 9 9 ? ? ? ? 故原函数的值域为:

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10. 一一映射法 原理:因为 量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数
y? 1 ? 3x 2x ? 1 的值域。 y? ax ? b (c ? 0) cx ? d 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变

1 1? ? ?x | x ? ? 或x ? ? ? 2 2? 解:∵定义域为?

由 故

y?
x?

1? y 1 ? 3x x? 2y ? 3 2x ? 1 得 1? y 1? y 1 1 ?? x? ?? 2y ? 3 2或 2y ? 3 2

3 3 y ? ? 或y ? ? 2 2 解得
3? ? 3 ? ? ? ? ?,? ? ? ? ? ,??? 2? ? 2 ? 故函数的值域为?

11. 多种方法综合运用 例22. 求函数 的值域。 解:令t ? x ? 2 (t ? 0) ,则x ? 3 ? t 2 ? 1
y?
y? x?2 x?3

(1)当t ? 0 时,
0? y? 1 2

t 1 1 ? ? t ?1 t ? 1 2 t ,当且仅当t=1,即x ? ?1时取等号,
2

所以 (2)当t=0 时,y=0。
? 1? ?0, ? 综上所述,函数的值域为:? 2 ?

注:先换元,后用不等式法
y? 1 ? x ? 2x 2 ? x 3 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4

例23. 求函数 解:
y?

的值域。

1 ? 2x 2 ? x 4 x ? x3 ? 1 ? 2x 2 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4
? x ? ? ? 1? x2 ?
2

?1? x2 ?? ?1 ? x 2 ?

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2

?1? x2 ? ? x ? tan 2 ? 2 ,则? 1 ? x 令

? ? ? cos ? ?

2

?

x 1 ? sin ? 2 2 1? x

1 1 ? y ? cos 2 ? ? sin ? ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 2 2
1? 17 ? ? ?? sin ? ? ? ? 4? 16 ?
2

∴当 i 当sin ? ? ?1时,y mn
tan

sin ? ?

1 17 y max ? 16 4 时,
? ?2

此时 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用sin ? 的有界性。 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特 征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本 不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 注: 免费送自主招生数学“组合专题和数学思想方法专题”课,可以用馈赠码 U130602 激活注册。 具体步骤如下: 1.在优盟主页左上角登录框下方输入馈赠码,点击“激活” ,按照提示注 册; 2.进入学习空间,点击左侧课程列表,点击“数学自主招生”即可听课。

17 ? ? ? ?? 2, 16 ? ? 2 都存在,故函数的值域为?


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