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函数值域的十一种求法


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函数值域求法十一种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和 对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且 还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可 缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所 涉及到的知识面广, 方法灵活多样, 在高考中经常出现, 占有一定的地位, 若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。 本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 解:∵x ? 0
1 ?0 ∴x y? 1 x

的值域。

显然函数的值域是:(??,0) ? (0,??) 例2. 求函数y ? 3 ? 解:∵ x ? 0
? ? x ? 0,3 ? x ? 3
x

的值域。

故函数的值域是:[??,3] 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 2 例3. 求函数y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。 2 解:将函数配方得:y ? (x ? 1) ? 4 ∵x ?[?1,2] i 由二次函数的性质可知:当x=1 时,y mn ? 4 ,当x ? ?1时,y max 故函数的值域是:[4,8]

?8

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3. 判别式法 例4. 求函数 的值域。 解:原函数化为关于x 的一元二次方程
( y ? 1) x 2 ? ( y ? 1) x ? 0

y?

1 ? x ? x2 1 ? x2

(1)当y ? 1 时,x ? R
? ? (?1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ? 0

1 3 ?y? 2 解得: 2
?1 3? 1? ? , ? (2)当y=1 时,x ? 0 ,而 ? 2 2 ? ?1 3? ? , ? 故函数的值域为? 2 2 ?

例5. 求函数y ? x ? x (2 ? x ) 的值域。 2 2 解:两边平方整理得:2x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 (1) ∵x ? R 2 ∴? ? 4( y ? 1) ? 8y ? 0 解得:1 ? 2 ? y ? 1 ? 2 但此时的函数的定义域由x(2 ? x) ? 0 ,得0 ? x ? 2 2 2 2 由? ? 0 , 仅保证关于x 的方程:x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 在实数集R 有实根, 而不能确保其实根在区间[0, 2]上, 即不能确保方程 (1) 有实根, ? ? 0 由
?1 3? ?2 , 2? 求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为? ? 。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0 ? x ? 2
? y ? x ? x (2 ? x ) ? 0

? y min ? 0, y ? 1 ? 2 代入方程(1)

解得:

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2

? [0,2]

即当 时, 原函数的值域为:[0,1 ? 2 ] 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集 时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2

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4. 反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。 例6.
3x ? 4 求函数 5x ? 6 值域。
x? 4 ? 6y 5y ? 3

解:由原函数式可得: 则其反函数为:
y?

4 ? 6y 3 x? 5x ? 3 ,其定义域为: 5

3? ? ? ? ?, ? 5? 故所求函数的值域为:?

5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主 来确定函数的值域。 例7. 求函数
y? ex ?1 e x ? 1 的值域。 ex ? y ?1 y ?1

解:由原函数式可得: ∵e x ? 0
y ?1 ?0 ∴y ?1

解得:? 1 ? y ? 1 故所求函数的值域为(?1,1) 例8. 求函数 解:由原函数式可得:y sin x ? cos x ? 3y ,可化为:
y 2 ? 1 sin x ( x ? ?) ? 3y

y?

cos x sin x ? 3 的值域。

y ?1 即 ∵x ? R ∴sin x(x ? ?) ?[?1,1]
2

sin x ( x ? ?) ?<