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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《2.2.1综合法和分析法》导学案3


§ 2.2.1 综合法和分析法(3)
学习目标
1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点; 2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系; 3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:综合法是由 导 复习 2:分析法是由 索

; .

二、新课导学 学习探究 探究任务一:综合法和分析法的综合运用 ? 问题:已知 ? , ? ? k? ? (k ? Z ) ,且 2 sin ? ? cos ? ? 2sin ? ,
sin ? ? cos ? ? sin 2 ? ,
1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? ? . 2 1 ? tan ? 2(1 ? tan 2 ? )

求证:

新知:用 P 表示已知条件、定义、定理、公理等,用 Q 表示要证明的结论,则上述过程可 用框图表示为:

试试:已知 tan ? ? sin ? ? a, tan ? ? sin ? ? b ,求证:
(a2 ? b2 )2 ? 16ab .

反思:在解决一些复杂、技巧性强的题目时,我们可以把综合法和分析法结合使用. 典型例题 例 1 已知 A, B 都是锐角,且 A ? B ?

?
2

, (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ,求证: A ? B ? 45?

变式:已知

1 ? tan ? ? 1 ,求证: 3sin 2? ? ?4 cos 2? . 2 ? tan ?

小结:牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提,本例中,三角公式发挥着重 要作用. 例 2 在四面体 P ? ABC 中, PD ? ?ABC , AC ? BC , D 是 AB 的中点,求证: AB ? PC .

变式:如果 a, b ? 0 ,则 lg

a ? b lg a ? lg b . ? 2 2

小结:本题可以单独使用综合法或分析法进行证明. 动手试试 练 1. 设实数 a , b, c 成等比数列,非零实数 x, y 分别为 a 与 b , b 与 c 的等差中项,求证

a c ? ?2. x y

5 ? 练 2. 已知 A ? B ? ? ,且 A, B ? k? ? (k ? Z ) ,求证: (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 . 4 2

三、总结提升 学习小结 1. 直接证明包括综合法和分析法. 2. 比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用 分析法与综合法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知” (综合) ,双管齐 下,两面夹击,逐步缩小条件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径.

知识拓展 综合法是“由因导果” ,而分析法是“执果索因” ,它们是截然相反的两种证明方法,分 析法便于我们去寻找思路,而综合法便于过程的叙述,两种方法各有所长,在解决问题的问 题中,综合运用,效果会更好,综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的 青睐,在历年的高考中均有体现,成为高考的重点和热点之一.

学习评价

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 给出下列函数① y ? x ? x3 ,② y ? x sin x ? cos x, ③ y ? sin x cos x, ④ y ? 2x ? 2? x , 其中是偶 函数的有( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2. m、n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题( ).

?? // ? ?? ? ? ①? ? ? // ? ;② ? ?m?? ?? // ? ?m // ? ?m ? ? ?m // n ③? ? ? ? ? ;④ ? ? m // ? ?m // ? ?n ? ?

其中为真命题的是 A.①④ B. ①③ C.②③ D.②④ 3. 下列结论中,错用基本不等式做依据的是( ). a b A.a,b 均为负数,则 ? ? 2 b a x2 ? 2 ?2 B. x2 ? 1 C. lg x ? log x 10 ? 2 1 D. a ? R? ,(1 ? a)(1 ? ) ? 4 a 4. 设 α、β、r 是互不重合的平面,m,n 是互不重合的直线,给出四个命题: ①若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β ②若 α⊥r,β⊥r,则 α∥β ③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β ④若 m∥α,n⊥α,则 m⊥n 其中真命题是 . 5. 已知 p : 2 x ? 3 ? 1, q : x( x ? 3) ? 0 , 则 p 是 q 的 条件.





课后作业
1. 已知 a, b, c ? R? , a , b, c 互不相等且 abc ? 1 .求证: a ? b ? c ?

1 1 1 ? ? . a b c


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