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1.1.2导数的概念


旧知回顾
平均变化率的定义 我们把式子
f ? x2 ? - f ? x1 ? x2 - x1

称为函数

f(x)从 x1 到 x 2 的平均变化 率 . ( average rate of change)

平均速度不能反映物体在某段 时间里的运动状态,那么用什么来 衡量物体的状态呢?

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新课导入
如何知 道运动员在 每一时刻的 速度呢?

3.1.2 导数的概念

在高台跳水运动中,运动员在不同 时刻的速度是不同的.我们把物体在某一 时刻的速度称为瞬时速度(instaneous velociy).

平均速度粗略地反映了物体运动 时的快慢程度,但要精确地描述非匀 速直线运动,就要知道物体在每一时 刻运动的快慢程度,也即需要通过瞬 时速度来反映.

引例一[变速直线运动的瞬时速度]

如:汽车记速器显示的速度是瞬时速度,它 能更准确地反映汽车每时刻的快慢程度.那 么,如何计算汽车行驶的瞬时速度呢?

设S是某一物体从某一选定时刻到时刻 t 所走过的 现要求任一 路程,则S是 t 的一个函数 S ? S (t ) , 时刻 t 0 的瞬时速度.

[t0 , t0 ? ?t ]
O

?S ? S ?t0 ? ?t ? ? S ?t0 ?
s?t0 ? s?t0 ? ?t ?

s

?t 很小时,以匀速代替变速,那么, ?t 内的平均速度为

v?

?S S ?t0 ? ?t ? ? S ?t0 ? ? ?t ?t

平均速度 v 就越接近于时刻 t 0 的瞬时速度 v?t0 ? ?t 越小, 令 ?t

? 0 ,取极限,得到瞬时速度.

S ?t0 ? ?t ? ? S ?t0 ? ?S v?t0 ? ? lim v ? lim ? lim ?t ?0 ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过
取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.

研究
一小球做自由落体运动,

其运动方程为
1 2 s ? gt , t ? [0,10 ] 2

考察小球在 t ? 2 秒时的 瞬时速度 v(2).

其变化情况见下表 :

t
?t

[1.5,2]

[1.99,2] [1.9999,2]


? ?

2 0

… [2,2.001] [2,2.01]
? ?
0.001 0.01

[2,2.5]

0.5

0.01

0.0001

0.5

?s v? ?t

17.150 19.551

19.600

19.6

19.605

19.649 22.050

从表上可以看出,不同时间段上的平均速度不相等,当时间段

?t 很小时,平均速度 v 很接近某一确定的值19.6 (m/s), 即
小球在 t ? 2 秒时的 瞬时速度为 v(2)

? 19.6m / s.

例题1
还记得上节课讲的关于高台 跳水问题吗?运动员相对于水面 的高度h(单位:米)与起跳后的时 间t(单位:秒)存在函数关系:

h(t) = -4.9t +6.5t +10

2

知道了瞬时速度的概念, 那么在高台跳水运动中,如 何求(比如,t=2)运动员的 瞬时速度?

通过列表看出平均速度的变化趋势 :

△t<0时,在[2+ △t,2]这段时间内

h ? 2 ? ? h ? 2 ? ?t ? 4.9Δt 2 +13.1Δt v? = -4.9Δt - 13.1 = 2 ? ? 2 ? ?t ? -Δt

当△t=-0.01时, v =-13.051; 当△t=-0.001时,v =-13.0951; 当△t=-0.0001时, v =-13.09951; 当△t=-0.00001时, v =-13.099951;

当△t=-0.000001时, v =-13.0999951; …...

△t>0时,在[2,2+ △t]这段时间内

h ? 2 ? - h ? 2 + Δt ? 4.9Δt 2 +13.1Δt v= = -4.9Δt - 13.1 = 2 - ? 2 + Δt ? -Δt

当△t=0.01时, v =-13.149; 当△t=0.001时, v=-13.1049; 当△t=0.0001时,v =-13.10049; 当△t=0.00001时,v =-13.100049;

当△t=0.000001时,v =-13.1000049; …...

观察 当 ?t 趋近于0时,平均速 度 v 有什么样的变化? 我们发现,当Δt 趋近于0时,即 无论t从小于2的一边,还是从大于2 的一边趋近于2时,平均速度都趋近 于一个确定的值-13.1 .

我们用
h(2 + Δt) - h(2) lim = -13.1 ?t ? 0 Δt

表示 “当t=2, Δt趋近于0 时,平均速 度趋于确定值-13.1”.

探究
?那么运动员在某一时刻t0的瞬时速

度怎么表示?

h(t 0 + Δt) - h(t 0 ) lim ?t ? 0 Δt

探究
函数y=f(x)在x=x0处的瞬 时变化率又怎么表示?

导数定义
一般地,函数 y = f ? x ? 在 x = x 0 处的瞬时变化率是
f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

我们称它为函数 y ? f ? x ? 在x ? x0 处的导数(derivative).

一般将导数记作 f ?(x0 ) ,或 者 y? |x?x ,即
0

f(x0 ?Δ x)? f (x0 ) f (x)? f (x0 ) f ?(x0 ) ? lim ? lim Δx?0 x ? x0 Δ x x ? x0
y? |x? x0 表示函数y关 于自变量x在 x0 处的 导数

概念理解

?x ? 0

?y 有极限 ?x

f(x)在点x0处可导 f(x)在点x0处的导数

知识补充
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,

就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限
不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导.

概念理解
Δy f(x0 ? Δx) ? f(x0 ) ? 是函数f(x)在以x0与 Δx Δx x0+Δx 为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])

上的平均变化率,而导数则是函数f (x)在点x0

处的瞬时变化率,它反映了函数随自变量变化
而变化的快慢程度.

知识补充
事实上,导数也可以用下式表示:
f(x) - f(x0 ) f ?(x0 ) = lim x ? x0 x - x0

由导数的意义可知,求函数y=f(x)

在点x0处的导数的基本方法是:
(1)求函数的增量 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0 ).
Δy f(x 0 +Δx) - f(x 0 ) = . (2)求平均变化率 Δx Δx

Δy lim . (3)取极限,求得导数 f ?(x0 ) = Δ x ?0 Δx

注意!

这里的增量不是一般意义上的增量, 它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是 多样的,但不论Δx选择哪种形式, Δy也必 须选择与之相对应的形式.

例题4
求函数y=x2在x=1处的导数.
解: (1)Δy =(1+ Δx)2 -12 = 2Δx+(Δx)2 ,
Δy 2Δx +(Δx)2 = = 2 + Δx, Δx Δx Δy ∴ lim = lim (2 + Δx) = 2,∴ y ?|x=1 = 2. Δx → 0 Δ x Δx → 0

课堂小结
1.瞬时速度的定义
物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度.

2.导数的定义 一般地,函数 y ? f ? x? 在 x ? x0 处的瞬时变化率是
f ? x0 + Δx ? - f ? x0 ? Δf lim = lim Δx ?0 Δx ?0 Δx Δx

我们称它为函数 y ? f ? x ? 在x ? x0 处的导数(derivative).

3.求导数的步骤 (1)求 ?y;
?y (2)求 ?x ;

?y (3)取极限得 f?(x)=lim . ?x? 0 ?x

随堂练习
1.
若f′(x0)=2,则
f ( x0 ? k ) ? f ( x 0 ) lim ? _____ . -1 k ?o 2k

2.
设函数 f(x)可导 ,则 =(B ) A. f ?(1) C. 不存在

f(1+ Δx) - f(1) lim Δx → 0 3Δx

1 B. 3 f ?(1)

D. 以上都不对

3. 设函数f(x)在点x0处可导,求 下列极限值.

f(x0 - Δx) - f(x 0 ) lim . Δx→0 Δx
f(x 0 - Δx) - f(x 0 ) f(x 0 - Δx) - f(x 0 ) 解:(1)原式 = lim = - lim Δx →0 Δx →0 -(-Δx) -Δx = -f ' (x 0 );

4.
求函数y=x+1/x在x=2处的导数.
1 1 - Δx 解:Δy = (2 + Δx) + - (2 + ) = Δx + 2 + Δx 2 2(2 + Δx)

-Δx Δx + Δy 1 2(2 + Δx) = = 1, Δx Δx 2(2 + Δx)

Δy 1 1 3 3 ∴ lim = lim[1] = 1- = ,∴ y ?|x=2 = . Δx → 0 Δ x Δx → 0 2(2 + Δx) 4 4 4

5.
已知函数 y = x 在

1 近有定义,且 y' |x=x0 = ,求 2

x = x0处的附

x0的值.

解 :∵Δy = x 0 + Δx - x 0 ,
x 0 + Δx - x 0 ( x 0 + Δx - x 0 )( x 0 + Δx + x 0 ) Δy ∴ = = Δx Δx Δx( x 0 + Δx + x 0 ) 1 = . x 0 + Δx + x 0

Δy 1 1 ∴ lim = lim = , Δx →0 Δx Δx →0 x 0 + Δx + x 0 2 x 0 1 1 1 由y'|x=x0 = , 得 = ,∴ x 0 = 1. 2 2 x0 2

习题答案
练习(第6页) 解:在第3h和第5h时,原油温度的瞬时变 化率就是f′(3)和f′(5). 根据导数的定义:
Δy f(3 +△x) - f(3) = = △x - 1 Δx △x

Δy 所以,f(3)= ′ lim = -1 x→0Δ x 同理:f(5)= ′ 3
说明在第3h附近,原油的温度大约 以1℃/h的速率下降,原油温度以大约 以3℃/h的速率上升.


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