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空间中平行于垂直的判定与性质练习题


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… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 …

… … … ○ … … … …

1.如图,在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,异面直线 A1D 与 BC1 所成的角为

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

A. 30 ° B. 45 ° C. 60 ° D. 90 ° 2.在下列命题中,不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 3.已知 a , b 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,且 a ? ? , b ? ? ,给出下 列结论: ①若 a ∥ b ,则 ? ∥ ? ; ②若 ? ∥ ? ,则 a ∥ b ; ③若 a ⊥ b ,则 ? ⊥ ? ; ④若 ? ⊥ ? ,则 a ⊥ b 其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是(

) .

A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° 5.若 a , b 是异面直线,直线 c ∥ a ,则 c 与 b 的位置关系是 ( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交 6. 设 l , m 是两条不同的直线, 则下列命题为真命题的是 ( ? , ? 是两个不同的平面, A.若 m // l , m // ? , 则l // ?
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… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

B.若 m ? ? , l ? m, 则l / /? C.若 ? / / ? , l ? ? , m / / ? , 则l ? m D.若 m ? ? , m / / ? , l ? ? , l / /? , 则? / / ? 7.在正方体 ABCD ? A' B' C ' D' 中,下列几种说法正确的是( A、 AC 1 1 ? AD C、 AC1 与 DC 成 45? 角 B、 D1C1 ? AB
? D、 AC 1C 成 60 角 1 1与B



为 2 的正方形, D 为线段 AC 的中点. C1 A1 B1

C A D B

(Ⅰ)求证: BD ⊥平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ)求证:直线 AB1 ∥平面 BC1 D ; (Ⅲ)设 M 为线段

BC1

上任意一点,在 D BC1 D 内的平面区域(包括边界)是否存在

点 E ,使 CE ? DM ,并说明理由. 9.如图所示,在正方体 ABCD ?A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 C1D1,C1C 的中点.给出以下 四个结论:
D1 A1

M
B1

C1

N
C

D

A

B

①直线 AM 与直线 C1C 相交; ②直线 AM 与直线 DD1 异面; ③直线 AM 与直线 BN 平行; ④直线 BN 与直线 MB1 异面. 其中正确结论的序号为 评卷人 三、解答题(题型注释) 得分

(填入所有正确结论的序号) .

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

请点击 8. (本小题满分 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各个侧面均是边长

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

10.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

(1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD.

11. (本题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD, PD ? AD ,AF ⊥PC 于点 F,FE∥CD 交 PD 于点 E.

(1)证明:CF⊥平面 ADF; (2)若 AC ? BD ? O ,证明 FO // 平面 AED

ABCD 是正方形, O 是正方形的中心, PO ? 底面 ABCD , 12. (本题满分 14 分) 如图, E 是 PC 的中点.求证: (1) PA //平面 BDE ; (2)平面 PAC ? 平面 BDE .
P E

C
D
A

O

B

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析:如图所示,连接 B1C,

则 B1C∥A1D,B1C⊥BC1,∴A1D⊥BC1,∴A1D 与 BC1 所成的角为 90°. 故选:D. 考点:异面直线及其所成的角 2.A 【解析】 试题分析:选项 A 是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的. B,C,D 四个命题是平面性质的三个公理,所以选 A. 考点:点,线,面的位置关系. 3.A 【解析】 试题分析: 若两个平面内分别有两条直线平行, 则这两个平面不一定平行, 所以命题?错误; 若两个平面平行,则两个平面内的直线可能平行或异面,所以命题?错误;若两个平面内分 别有两条直线垂直,则这两个平面不一定垂直,所以命题?错误;若两个平面垂直,则两个 平面内的直线可能平行、垂直或异面,所以命题④错误; 考点:直线与直线、平面与平面的平行与垂直的命题判断. 4.D 【解析】 试题分析:由 BD∥B1D1,因此 BD∥平面 CB1D1 成立;AC1 在底面的射影为 AC,由三垂线定 理可得 AC1⊥BD,由三垂线定理可知 AC1⊥B1D1,AC1⊥CB1,因此有 AC1⊥平面 CB1D1;异面 直线 AD 与 CB1 角为 45° 考点:1.空间线面的垂直平行关系;2.异面直线所成角 5.D 【解析】 试题分析:因为 a , b 是异面直线,直线 c ∥ a ,可知 c 与 b 的位置关系是异面或相交,故 选择 D 考点:异面直线 6.C 【解析】 试题分析:若 m //l , m //? ,则 l //? 或 l ? ? ,所以 A 选项是假命题;若 m ? ? ,l ? m ,
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则 l //? 或 l ? ? ,所以 B 选项是假命题;若 ? //? , l ? ? , m //? ,则 l ? m ,所以 C 选项 是真命题;若 m ? ? , m //? , l ? ? , l //? ,则 ? //? 或 ? 与 ? 相交,所以 D 选项是假命 题.故选 C. 考点:空间点、线、面的位置关系. 7. 【解析】 试题分析:由题意画出正方体的图形,结合选项进行分析即可. 由题画出如下图形:

? AD ? A1D1, ??C1A1D1 即为异面直线 A1C1 与 AD 所成的角,而 ?C1A1D1 ? 45? ,所以 A
错; 因为 D1C1 ? CD ,利平行公理 4 可以知道: AB ? CD ? C1D1 ,所以 B 错; 而在 Rt ?C1 AB 中 ,tan ? DC ? AB, ??C1AB ,即为这两异面直线所成的角, ?C1 AB = 2 , 所以 C 错;

? A1C1 ? AC, ??B1CA 即为异面直线 A1C1 与 B1C 所成的角,在正三角形 ? B1CA 中, ?B1CA ? 60?所以 D 正确.
考点:异面直线及其所成的角;棱柱的结构特征. 8. (1)证明如下; (2)证明如下; (3)证明如下; 【解析】 试题分析: (1)由题可知,若证明线面垂直,则从线线垂直入手,若一条直线垂直于平面内 两条相交直线,则线面垂直; (2)证明线面平行由 3 种方法,平行四边形法,中位线法,构 造辅助平面法,本题采用三角形中位线法,DO 是三角形 AB1C 的中位线,因此直线 AB1 // 平 面 BC1D . (3) 若证明线线垂直, 应该从线面垂直入手, 由 (1) , 我们可知 CE⊥平面 BC1D. 所 以 CE⊥DM. 试题解析: ( Ⅰ ) 证 明 : 因 为 三 棱 柱 的 侧 面 是 正 方 形 , 所 以 CC1 ? BC, CC1 ? AC ,

BC ? AC ? C .所以 CC1 ? 底面 ABC .
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因为 BD ? 底面 ABC ,所以 CC1 ? BD .由已知可得,底面 ABC 为正三角形. 因为 D 是 AC 中点,所以 BD ? AC ,所以 BD ? 平面 ACC1 A1 . 5分

(Ⅱ)证明:如图,连接 B1C 交 BC1 于点 O ,连接 OD .显然点 O 为 B1C 的中点.因为 D 是 AC 中点, 所以 AB1 // OD .又因为 OD ? 平面 BC1D , AB1 // 平面 BC1D ,所以直线

AB1 // 平面 BC1D .
C
1

10 分

A
1

B O C
1

A

D

B

(Ⅲ)在 D BC1 D 内的平面区域(包括边界)存在一点 E ,使 CE ? DM 此时点 E 是在线 段

C1D 上.

证明如下:过 C 作

CE ? C1D 交线段 C1D 于 E ,

由(Ⅰ)可知 BD ? 平面 又

ACC1 A1 ,而 CE ? 平面 ACC1 A1 ,所以 BD ? CE .

CE ? C1D ,所以 CE ⊥平面 BC1 D .
14 分

又 DM ? 平面 BC1D ,所以 CE ? DM . C1 A1 M E A D C B B1

考点:?线面垂直的判定定理?线面平行的判定定理 9.②④ 【解析】 试题分析: 由异面直线判定定理知: ①直线 AM 与直线 C1C 异面; ②直线 AM 与直线 DD1 异面; ④直线 BN 与直线 MB1 异面,因为直线 BN 与直线 AE 平行,(E 为 DD1 中点) ,所以③直线 AM
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与直线 BN 异面. 考点:异面直线判定定理 10. (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)连接 AC,交 BD 于点 O,连接 EO,由底面 ABCD 为矩形可知,对角线交点 O 为 AC 中点,又因为 E 为 PC 中点,所以 EO∥PA,强调直线 PA?平面 EDB,而 EO?平面 EDB, 根据直线与平面平行的判定定理可知, PA∥平面 EDB, 本问主要考查直线与平面平行的知识, 根据线面平行判定定理,只需在平面 EDB 内找到与 PA 平行的直线即可,证明时注意符号的 表示要全,不要遗漏定理的条件; (2)由已知 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC,又根据底面为矩 形得:CD⊥BC,且 PD∩CD=D,则 BC⊥平面 PCD,而 DE?平面 PCD,所以 BC⊥DE,由已知条 件 PA=AD,且 E 为 PC 中点,所以 DE⊥PC,而 BC∩PC=C,所以 DE⊥平面 PBC.所以 DE⊥PB, 又根据已知 EF⊥PB,且 DE∩EF=E,所以 PB⊥平面 EFD.本问多次使用线面垂直判定定理, 要求学生熟练掌握线面垂直判定定理的使用. 试题解析:证明: (1)连接 AC 交 BD 与 O,连接 EO.

∵底面 ABCD 是矩形, ∴点 O 是 AC 的中点. 又∵E 是 PC 的中点 ∴在△PAC 中,EO 为中位线 ∴PA∥EO. 而 EO?平面 EDB,PA?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB. (2)由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是矩形, ∴DC⊥BC, 且 PD∩CD=D, ∴BC⊥平面 PDC,而 DE?平面 PDC, ∴BC⊥DE.① ∵PD=DC,E 是 PC 的中点, ∴△PDC 是等腰三角形,DE⊥PC.② 由①和②及 BC∩PC=C,∴DE⊥平面 PBC. 而 PB?平面 PBC, ∴DE⊥PB. 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E, ∴PB⊥平面 EFD. 考点: (1)线面平行判定定理; (2)线面垂直判定定理. 11. (1)详见解析, (2)详见解析
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【解析】 试题分析: (1)证明线面垂直,一般利用其判定定理,即证线线垂直:由 PD⊥平面 ABCD, 得 PD ? AD 由 AD ? PD, AD ? DC , PD ? DC ? C PD, DC ? 面PDC ? AD ? 平面 PDC
CF ? 面PDC ? AD ? CF





AD ? CF , AF ? CF , AF ? CF ? C AF , CF ? 面ADF ? CF ? 平面 ADF (2)证明

线面平行一般利用其判定定理,即证线线平行:因为 AD=PD,由(1)知,F 为 PC 中点,从 而 AP / / FO ,因此由 AP ? 面ADE, FO ? 面ADE 得 FO // 平面 AED 试题解析: (1)由 PD⊥平面 ABCD,得 PD ? AD (1 分) 由 AD ? PD, AD ? DC , AD ? DC ? C ? AD ? 平面 PDC (3 分,少一个条件扣一分)

? AD ? CF (1 分)


AD ? CF , AF ? CF , AF ? CF ? C ? CF ? 平面 ADF (2 分)

(2) 因为 AD=PD, 由 (1 ) 知, F 为 PC 中点 从而 AP / / FO ,因此由 AP ? 面ADE, FO ? 面ADE 得 FO // 平面 AED ,本小题方法较多,关键采分点是证明线面平行的相关要素 考点:线面垂直判定定理,线面平行判定定理 12.见解析 【解析】 试题分析: (1) 连接 OE, OE||PA, 由直线与平面平行的判定定理, 可证得 PA||平面 BDE; (2) 由 PO ? 底面 ABCD,可得 PO ? BD;底面为正方形,可得 BD ? AC,由直线和平面垂直的判定 定理,可得 BD ? 平面 PAC,由面面垂直的判定定理,可证得平面 PAC ? 平面 BDE. 试题解析: (1)连结 OE Q O 是正方形的中心 \ O是AC 的中点 又 Q E 是 PC 的中点 又 Q OE ?

\ OE 是 VPCA 的中位线 \ OE||PA

平面 BDE, PA ? 平面 BDE \ PA||平面 BDE;

(2) Q PO ? 底面 ABCD , BD ? 平面 ABCD \ PO ? BD 又 Q BD ? AC

AC ? PO

O \ BD ? 平面 PAC
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又 Q BD ? 平面 BDE \ 平面 PAC ? 平面 BDE . 考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.

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