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高考热点练习专题训练模拟数学练习题


1.函数 f ( x) ? A. ??1,1?

1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是( ) 2 2
B. ? ??
? 2 ? ,1? 2 ?

C. ? ? ?1,
?

2? ? 2 ?

D. ? ?

?1, ?
?

2? ? 2 ?

2. ?ABC 各角的对应边分别为 a , b, c ,满足 A. (0,

?
3

]

B. (0,

?
6

]
?
6

C. [

?
3

b c ? ? 1 ,则角 A 的范围是( a?c a?b
D. [



,? )

?

6

,? )


3.要得到函数 y ? 2 cos( x ? A.向左平移 C.向右平移

) 的图象,可把函数 y ? sin x ? cos x 的图象(
B.向右平移

? ? 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 12 12 ? 3 4.已知 cos( ? x) ? ,那么 sin 2 x =( ) 4 5 18 24 7 7 (A) (B) ? (C) ? (D) 25 25 25 25 cos a ? 0 ,则角 ? 是( 5.若 sin a tan a ? 0 ,且 ) tan a
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

5? 个单位长度 12

5? 个单位长度 12

? 4 2 =( 6.若 cos? ? ? , ? 是第三象限的角,则 ? 5 1 ? tan 2
1 ? tan
A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 5

D.-2

7.已知函数 f ( x) ? A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 式是( )

?
2

) 的部分图象如图所示,则函数 y ? f ( x) 的表达

A. f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

)

B. f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

)

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C. f ( x) ? 2sin(2 x ?

2? ) 3

D. f ( x ) ? 2 sin( x ?

?
12

)


8.为了得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只需将函数 y ? cos 2 x 的图象上所有的点( 1 A.向左平移 个单位长度 2 1 B.向右平移 个单位长度 2 C.向左平移 1 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度

cos(2? ? ? ) 2 ? , 则sin ? ? cos? 的值为 ?? 2 ? sin ?? ? ? 4? ? 1 1 7 7 A. ? B. ? C. D. 2 2 2 2 ? 10..在 ?ABC 中,已知 a ? 5 2, c ? 10, A ? 30 ,则角 C ?
9.若 A. 30
?

B. 45

?

C. 135

?

135 D. 45 或

?

?

11.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |? 则只要将 f ( x) 的图像( )

?
2

)的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图像,

? 个单位长度 6 ? B.向右平移 个单位长度 12 ? C.向左平移 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 12 ? ? 12.为了得到 y ? sin( 2 x ? ) 的图像,只需要将 y ? sin( 2 x ? ) ( ) 6 3 ? ? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 2 2 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 4 4 ? ?x ?? 13.将函数 f ? x ? ? 2sin ? + ? 的图象向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 g(x)的 4 ?3 6?
A.向右平移 图象,则 g(x)的解析式为( )

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?x ?? + ? ?1 ?3 4? ?x ? ? C. g ? x ? ? 2sin ? ? ? ? 1 ? 3 12 ?
A. g ? x ? ? 2sin ?

?x ?? ? ? ?1 ?3 4? ?x ? ? D. g ? x ? ? 2sin ? ? ? ? 1 ? 3 12 ?
B. g ? x ? ? 2sin ?

14.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰 角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置 D,测得∠BDC=45°,则塔 AB 的高是( )

A.10m

B.10

m

C.10

m

D.10

m

2 15.已知点 ? a, b ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,则函数 f ? x ? ? a cos x ? b sin x cos x ?

a ? 1 的最小正周期和最小 2

值分别为( A. 2? , ?



3 3 5 5 B. ? , ? C. ? , ? D. 2? , ? 2 2 2 2 16. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别是 a , b , c ,若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ? (
A. 2 3
?



B. 2
?

C. 2 ) C.

D. 1

17. 2 sin 15 cos15 ? ( A .1 B.

1 2

3 2

D.

2 2

18.△ ABC 的三个内角为 A ,B ,C ,若 A.

sin A ? 3cos cos A ? 3sin
D. 2

A 5 π ? C 的最大值为( ,则 sin Bsin ? tan 6 A



3 4

B. 1

C.

1 2

19.在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 BC 边上的高为 大值是 A.8 A. 3 B. 6 C. 3 2 D.4

c b 3 a ,则 ? 的最 b c 6

20.在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,若 a= 2 ,A=45°,B=60°,则 b=( B.



2

C.1

D.2 )

(?2 ? x ? 0) ?kx ? 1, ? ? 21.函数 y ? ? 8? (0 ? ? ? ) 的图象如下图,则( 2 2 sin(?x ? ? ), (0 ? x ? ) ? 3 ?

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1 1 ? ,? ? ,? ? 2 2 6 1 1 ? B、 k ? , ? ? , ? ? 2 2 3 1 ? C、 k ? ? , ? ? 2, ? ? 2 6
A、 k ? D、 k ? ?2, ? ? 2, ? ?

?

3


22.为测树的高度,在水平地面上选取 A、B 两点(点 A、B 及树的底部在同一直线上) ,从 A、B 两点分别 测得树尖的仰角为 30°,45°,且 A、B 两点间的距离为 60m,则树的高度为(

? ? C. ? 15 ? 30 3 ?m
A. 30 ? 15 3 m

? ? D. ? 15 ? 15 3 ?m

B. 30 ? 30 3 m

23. 如图, 某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练, 已知点 A 到墙面的距离为 AB , 某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P ,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 ? 的 ? 大小(仰角 ? 为直线 AP 与平面 ABC 所成的角) ,若 AB ? 15 m , AC ? 25 m , ?BCM ? 30 ,则 tan ? 的最大值是( )

30 30 4 3 B. C. 5 10 9 24. ?ABC 中,若 a ? 1, c ? 2, B ? 30? ,则 ?ABC 的面积为
A. A.

D. (

5 3 9
) .

1 2

B.

3 2

C.1

D. 3

25.如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h 的速度由 A 处出发,沿北偏东 60°方向进行海面巡 逻,当航行半小时到达 B 处时,发现北偏西 45°方向有一艘船 C,若船 C 位于 A 的北偏东 30°方向上, 则缉私艇所在的 B 处与船 C 的距离是( )

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A.5( 6 + 2 ) km

B.5( 6 - 2 ) km

C.10( 6 - 2 ) km D.10( 6 + 2 ) km 26.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄埔江西岸选择 C、D 两观测点,在 C、D 两点测得 塔顶的仰角分别为 45°,30°,在水平面上测得电视塔底与 C 地连线及 C、D 两地连线所成的角为 120°, C、D 两地相距 500 m,则电视塔的高度是( ) A.100 2 m B.400 m C.200 3 m D.500 m 27.如图,从高为 h 的气球 ( A) 上测量铁桥 ( BC ) 的长,如果测得桥头 B 的俯角是 ? ,桥头 C 的俯角是 ? , 则该桥的长可表示为

sin(? ? ? ) ?h sin ? sin ? sin(? ? ? ) ?h (C) cos ? cos ?
(A)

(B)

sin(? ? ? ) ?h cos ? sin ? cos(? ? ? ) ?h (D) cos ? cos ?

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 28 . 过 平 面 区 域 ? y ? 2 ? 0 内 一 点 P 作 圆 O : x ? y ? 1 的 两 条 切 线 , 切 点 分 别 为 A, B , 记 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
?APB ? ? ,则当 ? 最小时 cos ? 的值为( ) 1 19 9 95 A. B. C. D. 2 20 10 10
中 ? ? ? ),此山的高度是(

29.一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到 A 处时测得公路北侧远处一山顶 D 在西偏北 ? 方 向上,行驶 a 千米后到达 B 处,此时测得此山顶在西偏北 ? 方向上,仰角为 ? ,根据这些测量数据计算(其 )

A.

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? tan? sin(? ? ? )

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C.

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

D.

a sin ? tan? sin(? ? ? )

30.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 是常数,A>0,ω >0)的部分图象如图所示,下列结论:

①最小正周期为 π ; ②将 f(x)的图象向左平移 ③f(0)=1;

? 个单位,所得到的函数是偶函数; 6

12? 14? )<f( ); 11 13 5? ⑤f(x)=-f( -x). 3
④f( 其中正确的是( ) A.①②③ B.②③④ C.①④⑤ D.②③⑤
2 2

31.在平面坐标系 xoy 中,直线 l : y ? 2 x ? m(0 ? m ? 1) 与圆 x ? y ? 1 相交于 A, B ,( A 在第一象限) 两个不同的点,且 ?xOA ? ? , ?AOB ? ? , 则 sin(2? ? ? ) 的值是 ( )

4 4 4 4 B. C. ? D. 5 3 5 3 o 32.若 ? ABC 三个内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1, ? B=45 ,S ? ABC=2,则 sinA=( ). 1 2 2 82 (A) (B) (C) (D) 10 82 10 50
A. ? 33.函数 y = sin x ? A .{ 0 }

sin x 的值域是(
B.[ -2 , 2 ]

) C.[ 0 , 2 ] D.[ -2 , 0 ] )

1 1 ? 34.已知点 G 是 ?ABC 的重心,且 AG ? BG, ,则实数 ? 的值为( ? ? tan A tan B tan C 1 1 A. B. C. 3 D. 2 2 3

1 ? cos 2 x 35.函数 f ( x) ? ( ) cos x π π π π A.在 (? , ) 上递增 B.在 (? , 0] 上递增,在 (0, ) 上递减 2 2 2 2

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C.在 (?

π π , ) 上递减 2 2

D.在 (?

π π , 0] 上递减,在 (0, ) 上递增 2 2

36 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ??) 上 是 增 函 数 . 令 a ? f (sin

2? 2? ) , c ? f (tan ) ,则( 7 7 A. b ? a ? c B. c ? b ? a b ? f (cos
37.设函数 A.﹣1 B.0 C. D.

5? ), 7

) C. b ? c ? a D. a ? b ? c )

,则函数 f(x)的最小值是(

38.定义在错误!未找到引用源。上的函数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,当错误! 未找到引用源。时错误!未找到引用源。,则( ) 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 39.在 ?ABC 中,已知 tan ①

A? B ? sin C ,给出以下四个论断 2

tan A ?1 tan B ② 0 ? sin A ? sin B ? 2 2 2 ③ sin A ? cos B ? 1 2 2 2 ④ cos A ? cos B ? sin C
其中正确的是( ) (A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③ 40.如图, D, C , B 三点在地面同一直线上, DC ? a ,从 C , D 两点测得 A 点仰角分别是 ? , ? ?a ? ? ? , 则 A 点离地面的高度 AB 等于( ) A

?
B (A) C

?

D

a sin ? ? sin ? a sin ? ? sin ? (B) sin ?? ? ? ? cos?? ? ? ? a sin ? ? cos ? a cos? ? sin ? (C) (D) sin ?? ? ? ? cos?? ? ? ? 41.若 sin ? cos(? ? ? ) ? cos? sin(? ? ? ) ? m 且 ? 为钝角,则 cos ? 的值为( )
A. ? 1 ? m2 B. 1 ? m2 C. ? m2 ? 1 D. ? 1 ? m2 . , , ,则此人能( ) 42.某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形 C.作出一个直角三角形

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d (0 ? d ? 2? )
D.作出一个钝角三角形 43.已知数列 是首项为 比为( )

{cos an }
,公差为

?1 ?1 1

a1

2
是等比数列,则其公

的等差数列,若数列

{an }

A. B. C. D. 44.若某人在点 A 测得金字塔顶端仰角为 30°,此人往金字塔方向走了 80 米到达点 B,测得金字塔顶端 的仰角为 45°,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)(参考数据 3 ? 1.732 ) A.110 米 B.112 米 C.220 米 D.224 米

45 . 已 知 函 数

? log2 x , ? f ? x? ? ? ? sin( x ), ? ? 4

0? x ? 2 2? x ? 10
, 若 存 在 实 数

x1 , x2 , x3 , x4 满 足


( x3 ? 1) ? ( x4 ? 1) f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? f ( x 4 ) x ? x2 ? x3 ? x4 ,则 x1 ? x2 ,且 1 的取值范围(
A.(20,32) B.(9,21) C.(8,24) D.(15,25) 46.M、N 是曲线 y=π sinx 与曲线 y=π cosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( (A)π (B) 2 错误!未找到引用源。π (C) 3 错误!未找到引用源。π 47.已知函数 f ? x ? ? A. x, f ? ?x ? C. ? )

(D)2π )

?
4

? sin x ?

?

?

? sin x ,则一定在函数 y ? f ? x ? 图象上的点是( 4 B. ? x, ? f ? x ??

?

?? ? x, ? f ?4

? ? ?? ? x ? ?? 4 ?? ?

D. ?

?? ? x, ? f ?4

?? ?? ? ? x?? ?4 ??

48.某人在 C 点测得某塔在南偏西 80°,塔顶仰角为 45°,此人沿南偏东 40°方向前进 10 米到 D,测得塔 顶 A 的仰角为 30°,则塔高为( ) (A)15 米 (B)5 米 (C)10 米 (D)12 米 49. 如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°,与货轮相距 20 海里,随后货轮按北偏西 30° 的方向航行,30 分钟后又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮航行的速度为( )

(A)20(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)海里/小时 (B)20(错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。)海里/小时 (C)20(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)海里/小时 (D)20(错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。)海里/小时 50.已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。-asin 错误!未找到引用源。cos(π -错误!未找到引用源。) 的最大值为 2,则常数 a 的值为( ) (A)错误!未找到引用源。 (B)-错误!未找到引用源。 (C)±错误!未找到引用源。 (D)±错误!未找到引用源。

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ?

?sin x, sin x ? cos x 1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? ? 2 2 ?cos x, sin x ? cos x ? ? ? 3? ? ?sin x, x ? ? ? 4 ? 2k? , 4 ? 2k? ?, k ? z ? ? ? ?? ?cos x, x ? ? ? ? 2k? , 5? ? 2k? ?, k ? z ? ? ? 4 ?4 ? ?

? 2? ? ? 3? ? ?, ? 2k? , ? 2k? ?.k ? z 时, f ( x) ? ?? 1, ? 2 4 ? 4 ? ? ? ? 2? 5? ?? ? 当 x ? ? ? 2k? , ? 2k? ?.k ? z 时, f ( x) ? ?? 1, ?, 2 4 ?4 ? ? ?
当 x ??? 综上 f ( x) 的值域是 ? ? ?1,
? 2 ?. ? 2 ?

考点:求三角函数的值域. 2.A 【解析】 试题分析:由

b c ? ? 1 , 得 b?a ? b? ? c?a ? c ? ? ?a ? c ??a ? b? , 整 理 得 a?c a?b b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ?? b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,由余弦定理得 cos A ? ? ? ,? A ? ? 0, ? . 2bc 2bc 2 ? 3?

考点:余弦定理的应用. 3.D 【解析】 试题分析: y ? sin x ? cos x ? 向左平移 得到 y ?

?
12

?? ?? ? ? 2 cos? x ? ? ,把 y ? sin x ? cos x ? 2 cos? x ? ? 图象 4? 4? ? ?



? ?? ?? ? ? 2 cos? x ? ? ? ? 2 cos? x ? ? ,故答案为 D. 6? ? 12 4 ? ?

考点:三角函数的图象变换. 4.C 【解析】 试题分析:sin2x=cos(

? ? 3 2 7 2 -2x)=2cos ( -x)-1=2? ( ) ? 1 ? ? 2 4 5 25

考点:二倍角公式,三角函数恒等变形 5.D 【解析】 试题分析:若 sin a tan a ? 0 ,则角 ? 在第一、四象限;若 象限,故角 ? 是第四象限角. 考点:三角函数值符号. 6.D
答案第 1 页,总 13 页

cos a ? 0 ,则角 ? 在第三、四 tan a

杨宇恒 20141121

【解析】 试 题















2 c ? ? ? ? ? 1? t a ? n c 2 o ?1 ? s ? 2 2 2 2 4 ? ? 1 ? tan 3 2 ? 且 是第三象限的角,故 sin ? ? ? ,故 ? 5 ? ?2 . ? 3 5 1? 1 ? tan 5 2 2 ? 2 ? 2
考点:同角三角函数基本关系式. 7. A 【解析】 试题分析:由三角函数图象可知 A?2 ,且

1?

?

t

a

?

?

n

?

c

? o

?

s

? s i o 2 s 4 2 cos? ? ? , ,因为? ? s s i 5 i n 2

?

?

n n

?
2

??

5? 2? 2? , 2 ) 的 坐 标 代 入 函 数 f ( x)? 2 s i n ? ?2 , 将 点 ( ? x? ( 2, 12 T ? ? ? 5? ? ? 2? ? ? ? 2k? ? , ? k ? Z ? ,? ? 2k? ? , ? k ? Z ? , 由于 ? ? 得 ? ? ? 所以函数 2 3 3 12 2 ?? ? y ? f ( x) 的表达式为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?

T 11 ? 5 ? ? ? ? ? ,得 T ?? ,故 2 12 12 2
)

考点:求三角函数解析式. 8.A 【解析】 试题分析: y ? cos(2 x ? 1) ? cos 2( x ? ) ,所以应该向左平移 考点:函数图象的变换. 9.C 【解析】

1 2

1 个单位长度,选 A. 2

cos(2? ? ? ) 2 ? , 所以 ?? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ? cos(2? ? ? ) ? cos 2? sin 2 ? ? cos2 ? ? ? ? ? ?? ? 2 sin? ? ? ? sin ? cos ? cos? sin (sin ? ? cos? ) 4 4 4? ? 2 (sin ? ? cos? )(sin? ? cos? ) 2 ? ? 2 (sin ? ? cos? ) ? 2 2 (sin ? ? cos? ) 2 1 所以 sin ? ? cos ? ? 2
试题分析:因为 考点:两角差的余弦公式和二倍角公式 10.D 【解析】
0 试题分析:因为 a ? 5 2, c ? 10, A ? 30? , a ? c, 所以 A ? C , C ? 30 , 根据正弦定理

答案第 2 页,总 13 页

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a c 2 5 2 10 ? ? 135? 得, ,解得 sin C ? ,所以 C ? 45 或 ? 0 sin A sin C 2 sin C sin 30
考点:三角形解得个数及正弦定理 11.A 【解析】 试题分析:由图可知, A ? 1, T ? 4? 图的第三点,

2? ?? ? ? 7? ? ? ? 2 ,由于 ? ,0 ? 为五点作 ? ? ? ? ,故 ? ? T ?3 ? ? 12 3 ?

?2?

?
3

?? ? ? , 解得 ? ?

?
3

, 所以 f ?x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

将函数 f ( x) 的图象向右平移 ?, 3? 6

?

个单位长度 得 y ? sin ?2? x ?

? ? ? ?

?? ??

? sin 2 x ? g ?x ? ,故答案为 A. ?? 6 ? 3? ?

考点:1、由函数图象求函数解析式;2、图象平移. 12.D 【解析】 试

3 ? ? ?? ?? ? ?? ? y ?s ? i2? n x? ?? ? ?s ? i 2 xn ? ? ? 4 ? 3? 2 3? ? ? ?











y ? sin( 2 x ?

?

)









? 4









?? ? ? sin ? 2 x ? ? ,故答案为 D. 6? ?
考点:三角函数的图象平移. 13.A 【解析】 试 题 分 析 : 将 函 数 f ? x ?=2 c o s (?

x ? ? x ? f ? x ?=2cos( ? ? ) ? 2cos( ? ) , 再 向 下 平 移 1 个 单 位 , 得 到 函 数 3 12 6 3 4 ?x ?? ?x ?? g ? x ? ? 2sin ? + ? ? 1 的图象,则 g(x)的解析式为 g ? x ? ? 2sin ? + ? ? 1 .故选 B. ?3 4? ?3 4?
考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 14.D 【解析】 试题分析:设塔高为 x 米,根据题意可知在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x, 从而有 BC =

x 3

?
6

) 图象向左平移 的

? 个单位,得到函数 4

3 2 3 x ,AC = x 3 3

在△BCD 中,CD=10,∠BCD=60°+30°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30°

BC CD ? sin ?BDC sin ?CBD 10 sin 450 3 ? 10 2 = 可得,BC = x 0 3 sin 30 解 得 x ? 10 6
由正弦定理可得, 考点:正弦定理在实际问题中的应用,把实际问题转化为数学问题 15.B.
答案第 3 页,总 15 页

杨宇恒 20141121

【解析】

试题分析:因为点 ? a, b ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,所以 a 2 ? b 2 ? 1 ,可设 a ? cos? , b ? sin ? , 代 入 原 函 数

f ? x ? ? a cos 2 x ? b sin x cos x ?

a ?1 2









1 1 1 f ( x) ? cos ? cos 2 x sin ? sin x cos x ? cos ? ? 1 ? cos ? (2 cos 2 x ? 1) ? sin ? sin 2 x ? 1 2 2 2 1 1 1 cos ? cos 2 x ? sin ? sin 2 x ? 1 ? cos( 2 x ? ? ) ? 1 , 故函 数 f ( x) 的 最小正 周期为 2 2 2 2? 1 3 T? ? ? ,函数 f ( x) 的最小值 f ( x) min ? ? ? 1 ? ? .故应选 B. 2 2 2 ?
考点:二倍角公式;两角和的余弦公式;三角函数的周期与最值. 16.B. 【解析】

2sin A cos A ,∴ cos A ? 试题分析:∵ B ? 2 A ,∴ sin B ?sin2 A ?
又∵ A ? (0, ? ) ,∴ A ?

?
6

, B ? 2A ?

?
3

,C ? ? ? A? B ?

?
2

sin B b 3 , ? ? 2sin A 2 a 2
2 2

,∴ c ? a ? b ? 2 .

考点:正余弦定理解三角形. 17.B 【解析】 试题分析:由二倍角公式得 2 sin 15? cos15? ? sin30°= 考点:二倍角公式. 18.C 【解析】

1 .故选 C. 2

sin A ? 3 cos A 5? ? 3 , 所以 ? tan(? ? ) ? ? ?? 6 6 3 cos A ? 3 sin A ? 1 又因为 0 ? A ? ? ,则 A ? ,故 sin B ? sin C = sin B cos B = sin 2 B ? 2 2
试题分析: 因为 tan 考点:1、诱导公式;2、正弦二倍角公式. 19.D 【解析】

3 o s , 故c 3 1 . 2

A 0? ,

1 3 1 a ? bc sin A ,即 a2 ? 2 3bc sin A ,又由 2 6 2 2 2 2 2 2 ?A 2 ? b, c 以 余 弦 定 理 得 a ? b ? c ? 2bc cos A , 即 a ? 2 b c o s 所 2 2 c b b ?c 2 3bc sin A ? 2bc cos A ? ? ? b c bc bc ? = 2 3 sin A ? 2cos A = 4 sin(A ? ) ? 4 . 6
试题分析:由已知得,在△ ABC 中, a ? 考点:1、三角形面积公式;2、余弦定理. 20.A 【解析】 试题分析:根据正弦定理,得 考点:正弦定理.
答案第 4 页,总 15 页

a b ? , 将 a= 2 ,A=45°,B=60°代入,得 b= 3 . sin A sin B

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21.A 【解析】 试题分析:在 y 轴左侧,图象过点 ?? 2,0? , ? ?2k ? 1 ? 0 ,解得 k ?

1 ,在 y 右侧, 2

? 8? 5? ? T ? 4? ? ? ? 4? , 3 ? ? 3 ? 2? 1 ? 5? ? 5? 1 ?? ? ? , ? ,0 ? 为五点作图第三个点,? ? ? ? ? ? ,解得 ? ? ,故答案 6 T 2 ? 3 ? 3 2
为 A. 考点:利用函数图象求函数解析式 22.B 【解析】 试题分析:如图, ,设 CD ? x ,则 BD ? x, CB ? 2x, AC ? 2x ,在 ?ABC 中,由余弦定 理得: cos 30 ?
0

? 2x?

2

? 602 ?

?

2x

?

2

2 ? 60 ? 2 x

,解得 x ? 30 ? 30 3 .

考点:余弦定理. 23.D 【解析】 试题分析:由勾股定理知, BC ? 20 ,过点 P 作 PP? ? BC 交 BC 于 P? ,连结 AP? ,

? (0 ? ? ? 依 题 意 , t an
BP? ? x( x ? 0) ,
在 Rt ?AP P ? 中, AP ?

?

2

) 取 最 大 值 , 点 P? 在 点 B 的 左 边 , 则 t a n ??

PP? ,设 AP?

? 因为 ?BCM ? 30 ,则 CP? ? 3x ? 20 ,

x , tan ?

x 2 ) ? 15 2 ? ( 3 x ? 20) 2 , tan ? 2 x 1 2 ? 整理得 tan ? ? , 2 225? ( 3x ? 20) 625 40 3 ? ?3 x2 x 27 1 4 3 2 27 1 4 3 625 40 3 ) ? 令 f ( x) ? 2 ? ,当 ? 时 f ( x ) min ? , ? 3( x ? 0) ? 625( ? 25 x 125 x 125 25 x x 25 5 3 2 所以 tan ? 的最大值为 ,即 tan? 的最大值是 9 27
在 Rt ?AB P ? 中由勾股定理得 ( 考点:三角函数的定义,函数的最值,难度中等. 24.A 【解析】 试题分析:根据三角形面积公式 S ?

1 1 ac sin B 可得面积为 . 2 2

考点:三角形面积公式的选择和计算.
答案第 5 页,总 15 页

杨宇恒 20141121

25.C 【解析】由题意,知∠BAC=60°-30°=30°,∠ABC=30°+45°=75°,∠ACB=180°

1 2 2 2 = 20(km) .由余弦定理,得 BC = AC + AB - 2 2 2 2AC?AB?cos∠BAC=20 +20 -2?20?20?cos30°=800-400 3 =400(2- 3 ),
-75°-30°=75°,∴ AC = AB =40? ∴BC= 400 2 ? 3 = 200

?

?

?

3 ? 1 =10 2 ( 3 -1)=10( 6 - 2 )(km).

?

2

26.D 【解析】由题意画出示意图,设塔高 AB=h,在 Rt△ABC 中,由已知 BC=h,在 Rt△ABD 中, 由已知 BD= 3 h,在△BCD 中,由余弦定理 BD =BC +CD -2BC?CDcos∠BCD,得 3h =h 2 +500 +h?500,解得 h=500 m.
2 2 2 2 2

27.A 【解析】

h .又在中, sin? BC AB ? ∠ C= β , ∠ BAC= α - β , 由 正 弦 定 理 , 得 ∴ BC = sin(? ? ? ) sin? hsin(? ? ? ) AB ? sin(? ? ? ) h ? sin(? ? ? ) ? 即桥梁 BC 的长度为 ,故选 A. sin? ? sin? sin? sin? ? sin?
试题分析:过 A 作垂线 AD 交 CB 于 D,则在 Rt△ADB 中,∠ABD=α ,AB= 考点:解三角形的实际应用. 28.C 【解析】

r 1 ? , 2 OP OP 2 ? ?? ? ?? cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 1 ? , 因为 ? ? ? 0, ? , 而函数 y ? cos ? 在 ? 0, ? 上是减函数, 2 OP ? 2? ? 2? 2 2 所以当 ? 最小时 1 ? 最大,因为 1 ? 为增函数则此时 OP 最大。根据不等式表示的 2 OP OP 2
试 题 分 析 : 因 为 OP ? AP , 所 以 在 Rt ?AOP 中 sin

?

?

可 行 域 可 知 当 P ? ?4 , 2 ? 时 OPmax ?

? ?4? ? ? ?2?
2

2

?2 5 。综上可得 ? 最小时

答案第 6 页,总 15 页

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(cos ? )max ? 1 ?

?2 5 ?

2

2

? 1?

1 9 ? 。故 C 正确。 10 10

考点:1 二倍角公式;2 直线与圆相切;3 函数的单调性。 29.D 【解析】 试 题 分 析 : 设 此 山 高 h ( m ) , 则 AC=

h , 在 △ ABC 中 , tan?
, 解 得

根据正弦定理得 ?B ? ? ? ? , C ? ? ? ,? ? A B (a ? k ) m h a AC AB = , 即 ? sinB sinC sin(? ? ? ) ? tan ? sin( ? ? ? ) a ?s ? ? i? ? n ? a (? ? ? ? ) t a n h? ? s ?? i? n ( ? ?? ) s i

s n (

i

n )

t

a

考点:解三角形的实际应用 30.C 【解析】由图可知,A=2, φ =2kπ +

? ? ? ? ? ,k∈Z.f(x)=2sin(2x+ )?f(0)= 3 ,f(x+ )=2sin(2x+ + ) 3 3 6 3 3 2? k? ? 5? =2sin(2x+ ),对称轴为直线 x= + ,k∈Z,一个对称中心为( ,0),所以 3 2 12 6 13? 13? 12? ②、 ③不正确; 因为 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 且 f(x)的最大值为 f( ), 12 12 11 13? ? 13? 14? ? 12? 14? - = > - = , 所以 f( )<f( ), 即④正确; 设(x, f(x)) 12 12 ? 11 12 13 13 ? 12 11 13 ? 5? 5? 为函数 f(x)=2sin(2x+ )的图象上任意一点, 其关于对称中心( , 0)的对称点( - 3 6 3 ? 5? x,-f(x))还在函数 f(x)=2sin(2x+ )的图象上,即 f( -x)=-f(x)?f(x)=- 3 3 5? f( -x),故⑤正确.综上所述,①④⑤正确.选 C. 3
31.A 【解析】

T 7? ? ? 7? 3? = - = ?T=π ?ω =2,2? +φ =2kπ + , 4 12 3 4 12 2

? ?ACO ? ? B O ? ? ?A C O ? 试 题 分 析 : 如 图 , 则 ?x O A ,A ∴
2? ? ? ? 2?ACO ? ? ,
答案第 7 页,总 15 页

? ??
2

, 即

杨宇恒 20141121

∴ sin(2? ? ? ) ? sin(2?ACO ? ? ) ? ? sin(2?ACO) ,由题意得, tan ?ACO ? 2 , 又∵ 0 ? ?ACO ?

?
2

,∴ sin ?ACO ?

2 1 , , cos ?ACO ? 5 5
4 . 5

∴ sin(2? ? ? ) ? ? sin(2?ACO) ? ?2sin ?ACO cos ?ACO ? ?

考点:三角恒等变形的具体运用. 32.A 【解析】 试 题 分 析 : S?

1 ? a ? c ? sin B ? 2 ? c ? 4 2 , 根 据 余 弦 定 理 : 2

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos

?

4

, 代 入 数 字 , b?5 , 再 根 据 正 弦 定 理 :

a b 2 .故选 A. ? ? sin A ? sin A sin B 10
考点:正余弦定理解三角形 33.D 【解析】 试题分析: ∵y=sinx+|sinx|= ?

?2sinx, sinx ? 0 , 根据正弦函数的值域的求解可得 0≤y≤2, ?0, sinx<0

故答案为:[0,2]. 考点:正弦函数的定义域和值域 34.B 【解析】

A

2k B 2m G E C mF k

答案第 8 页,总 15 页

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试题分析:由已知得, ? ? tan C (

sin 2 C 2c 2 1 1 ? )? ? 2 ,延长 tan A tan B cos C sin A sin B a ? b 2 ? c 2 AG, BG 分 别 交 BC , AC 于 点 E , F , 由 重 心 的 性 质 , 设 AG ? 2k ,GE ? k , 8k 2 ? 8m2 1 ? 2 2 16k ? 16m 2

BG ? 2m,G F ? m ,则 c ? 2 m2 ? k 2 , a ? 2 4m2 ? k 2 , b ? 2 m2 ? 4k 2 ,代入得,

??

考点:1、重心的性质;2、勾股定理;3、正弦定理和余弦定理. 35.D 【解析】

? 1 ? cos x sin x 试题分析: f ? x ? ? ,当 x ? ( ? , 0] 时, f ? x ? ? ? tan x ,单调递减, ? 2 cos x cos x ? 当 x ? (0, ) 时, f ? x ? ? tan x ,单调递增. 2
2

考点:同角间的基本关系式,正切函数的单调性. 36.A 【解析】 试题分析:sin

0 ? cos

2? 7 2? f( c o s 7

5? 2? ? ? sin ? , 7 7 4 2? 2? ? sin ? 1 ? tan 7 7 2? ? )f ( s? i n f ) 7

2? ? ? ,由正弦函数, 正切函数, 余弦函数的性质可知, 7 2

, , 又 f ( x) 在 区 间 [ 0??
2? ( t ab n? a ?)c . ,可得 7

) 是 增 函 数 , 故 上

考点:三角函数的取值范围,函数的单调性. 37.B 【解析】由 当 时,0≤sinx≤1,
2



f(x)=sinx+cos2x=﹣2sin x+sinx+1= 此时当 sinx=1 时 f(x)有最小值为 当 时,﹣1≤sinx<0,
2

. ;

f(x)=﹣sinx+cos2x=﹣2sin x﹣sinx+1= 此时当 sinx=﹣1 时 f(x)有最小值 综上,函数 f(x)的最小值是 0. 故选 B. 38.C 【解析】 .



试题分析:设 x ?? ?1,1? ,则 x+4 ??3,5? ,所以 f ? x ? 4? ? 2 ? x ? 4 ? 4 ? 2 ? x 又 f ? x ? 2? ? f ? x ? ,所以 f ? x ? ? f ? x ? 4? ? 2 ? x 其图象如下图所示

答案第 9 页,总 15 页

杨宇恒 20141121

因为 0 ? sin 因为 因

?
6

?

1 ? 3 ? cos ? ? 1 ,所以 2 6 2

?? ? ?? ? f ? sin ? ? f ? cos ? ,A 选项不正确. 6? 6? ? ?

?
4

?1?



2 ? cos1 ? sin1 ? 1 ,所以 f ?sin1? ? f ? cos1? ,B 选项不正确; 2 2 ? 3? 2? 3 ? 2 1 ? 1? ?1? f ?? ? ? f ? ? ? f ? 所 s i ?n ?? , c ,o s ? 2 ? ? 3 2 3 2 ? 2? ?2? ? ? ,?

?



? ? ,C 选项正确; ? ? ? ?? ? 因为 sin 2 ? sin ?? ? 2 ? , cos 2 ? ? sin ? 2 ? ? , 0 ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 2 2? ? ?? ? 所以 0 ? sin ? 2 ? ? ? sin 2 ? sin ?? ? 2 ? ? 1 , 2? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? f ? cos 2 ? ? f ? ? sin ? 2 ? ? ? ? f ? sin ? 2 ? ? ? ? f ?sin ?? ? 2 ? ? ? f ?sin 2 ? 所以,D 选 2 ?? 2 ?? ? ? ? ?
项不正确; 故选 C 考点:1、函数的图象与性质;2、三角函数诱导公式. 39.B 【解析】

2? ? f ? sin 3 ?

2? ? ? ? ? f ? cos 3 ? ?

C cos A? B ? C 1 2 ? 2sin C cos C ,因为 试题分析:由 tan ? sin C ? tan( ? ) ? ? C C 2 2 2 2 2 tan sin 2 2 C cos ? 0 2 C C ?1 ? 2sin 2 ? 1 ? 2sin 2 ? 0 ? cos C ? 0 ? C ? 900 , 所 以 2 2 ? 1 tan A t B? a n ?A ? t , a n ? tan 2 A ( 不 一 定 ) 为 1 , ① 错 ; 又 2 At tan a B n ? cos B ? cos( ? A) ? sin A ,所以 sin2 A ? cos2 B ? 2 sin2 A 也不一定等于 1 ,③错;而 2 2 2 cos A ? cos B ? cos2 A ? sin 2 A ? 1 ? sin 2 C , ④ 正 确 ; 因 为 0 sin A ? sin B ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? 45 ) , 0? ? A ? 90? ? 45? ? A ? 45? ? 135?
答案第 10 页,总 15 页

{cos an }
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?

2 ? sin( A ? 450 ) ? 1 ? 1 ? 2 sin( A ? 450 ) ? 2 2 0 ? sin A ? sin B ? 2 ,所以②正确;综上可知选 B.













考点:1.三角恒等变换;2.同角三角函数的基本关系式;3.两角和差公式;4.三角函数的图 像与性质. 40.A 【解析】 试题分析:设 AB ? x ,则在 Rt ?ABC 中, CB ?

x x ,所以 BD ? a ? ,又因为在 tan ? tan ? x x x Rt ?ABD 中 , BD ? , 所 以 BD ? a ? , 从 中 求 得 ? t a?n t a ?n ?t a n a a tan ? tan ? x? ? 1 1 tan ? ? tan ? ? tan ? tan ? a sin ? sin ? a sin ? sin ? ,故选 A. ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? sin( ? ? ? )

考点:解三角形. 41.D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

sin ? cos(? ? ? ) ? cos? sin(? ? ? ) ? m
2 2







sin ? cos(? ? ? ) - cos? sin(? - ? ) ? m, sin ? ? m. 因 为 s i ? n ?c o ? s ? 1, 所 以
2 c o ? s ? 1 ? m 2 . 因为 ? 为钝角,所以 cos? ? ? 1 ? m2 .

考点:两角差正弦公式,同角三角函数公式 42.D 【解析】 设三角形的面积为 S, 其三边长分别是 a,b,c,其相应边上的高分别为 则 S= a? ,即 a=26S;同理可得另两边长 b=22S,c=10S. = = <0,即 A 为钝角. , , ,

由余弦定理得 cosA= 所以能作出一个钝角三角形. 43.B 【解析】

2 试题分析:因为数列 是等比数列,所以 cos (a1 ? d ) ? cos a1 ? cos(a1 ? 2d ), cos2 (a1 ? d ) ? cos(a1 ? d ? d ) ? cos(a1 ? d ? d ) ? cos2 (a1 ? d )cos2 d ? sin 2 (a ? d )sin 2 d , cos(a1 ? d ) cos(a1 ? ? ) q? ? ? ?1. 2 cos a1 cos a1 sin d ? 0,sin d ? 0, 因为 0 ? d ? 2? ,所以 d ? ? . 公比

考点:等比数列 44.A 【解析】 试题分析:由题意得: ?A ? 30 , ?CBD ? 45 ,??ACB ? 15 , AB ? 80据正弦定理得:
0 0 0

80 BC 160 2 160 故字塔 ? ? BC ? ,? ?CBD ? 45 0 ,?CD ? BC ? 0 0 sin15 sin 30 2 6? 2 2 3 ?2
答案第 11 页,总 15 页

杨宇恒 20141121

的高度最接近于 110 米. 考点:解三角形应用. 45.B 【解析】 试题分析:如图:

- log2 x1 ? log2 x2 ? log2 x1 ? log2 x2 ? 0 ? log2 x1 x2 ? 0 ? x1 x2 ? 1 , x3 与 x4 关 于 x ? 6 对称, 所以 x3 ? x4 ? 12 ,
2

, - x3 ? 12x3 ? 11 ? ??x3 ? 6? ? 25, x3 ? ?2,4? ,? ?x3 ? 1??x4 ? 1? ? ?9,21? ,故选 B.
2 2

??x3 ? 1??x4 ? 1? ? x3 x4 ? ?x3 ? x4 ? ? 1 ? x3 x4 ? 11 ? x3 ?12 ? x3 ? ? 11 ? ?x3 ? 12x3 ? 11 , x3 ? ?2,4?

考点:1.分段函数的图像;2.三角函数的对称性;3.函数求值域. 46.C 【解析】两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,

设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1=

π 5 错误!未找到引用源。,x2= 错误!未找到引用源。π , 4 4

|x1-x2|=π , |y1-y2|=|π sinx1-π cosx2|

2 2 错误!未找到引用源。π + 错误!未找到引用源。π 2 2 = 2 错误!未找到引用源。π ,
= ∴|MN|=错误!未找到引用源。 π ? 2π = 3 错误!未找到引用源。π .故选 C. 47.C. 【解析】
2 2

试题分析:根据 f ? x ? 的解析式,求出 f ? ? x ? ,判断函数的奇偶性,由函数 f ? x ? 的奇偶性 去 上 判 . 断 四 个 选 项 是 否 在 图 象 . ?

?f

? ??

?

? f ? x ? ? ? f ? ?x ? ,

x s 4

? i

nx ? 4

?

? ?? s

x i

? nf 4

?

,? x

?

4

x ?s

?? ? ? f ? x ? 为奇函数,? f ? ? x ? ? ? f ?4 ?

? ? ?? ? ? x ? ? ,? ? ? x, ? f 4? ?4 ?

? ?? ? ? x ? ? ? 在图象上.故选 C. 4 ?? ?

答案第 12 页,总 15 页

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考点:函数的奇偶性. 48.C 【解析】 【思路点拨】作出图形确定三角形,找到要用的角度和边长,利用余弦定理求得. 解:如图,设塔高为 h 米,在 Rt△AOC 中,∠ACO=45°,则 OC=OA=h.

在 Rt△AOD 中,∠ADO=30°,则 OD=错误!未找到引用源。h, 在△OCD 中,∠OCD=120°,CD=10, 由余弦定理得: 2 2 2 OD =OC +CD -2OC?CD?cos∠OCD, 2 2 2 即(错误!未找到引用源。h) =h +10 -2h?10?cos 120°, 2 ∴h -5h-50=0,解得 h=10 或 h=-5(舍去). 【方法技巧】测量高度的常见思路 解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和 三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特别注意高度垂直 地面构成的直角三角形. 49.B 【解析】由题意知 SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°, ∴∠MSN=30°. 在△MNS 中利用正弦定理可得,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴MN=错误!未找到引用源。=10(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)(海里), ∴货轮航行的速度 v=错误!未找到引用源。=20(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用 源。)(海里/小时). 50.C 【解析】 【思路点拨】 先利用公式进行三角恒等变形,把 f(x)化成 f(x)=Asin(ω x+φ )的形式, 再利用最大值求得 a. 解:因为 f(x)=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。asinx =错误!未找到引用源。(cosx+asinx)=错误!未找到引用源。cos(x-φ )(其中 tanφ =a),所 以错误!未找到引用源。=2,解得 a=±错误!未找到引用源。.

答案第 13 页,总 15 页


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