tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高三新课标理科数学一轮复习课件 第二章 第4讲 函数的单调性与最值


第4讲

函数的单调性与最值

考纲要求

考纲研读 利用函数单调性、图象等方法求

1.会求一些简单函数的值域. 最小值及其几何意义.

一些简单函数的值域或最值;或

2.理解函数的单调性、最大值、 以最值为载体求参数的范围,并 能解决实际生活中的一些优化

问题.

1.函数的单调性的定义 设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 I?A,如果对于区间 I 内

f(x1)<f(x2) 的任意两个值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有__________,那么就说 y 单调增区间 =f(x)在区间 I 上是单调增函数,I 称为 y=f(x)的______________;

f(x1)>f(x2) 如果对于区间 I 内的任意两个值x1,x2,当x1<x2 时,都有________,
那么就说 y = f(x) 在区间 I 上 是单调减函数 ,I 称 为 y = f(x) 的
单调减区间 ____________.

2.用导数的语言来描述函数的单调性

f′(x)>0 设函数 y=f(x),如果在某区间 I 上___________,那么 f(x)为 f′(x)<0 区间 I 上的增函数;如果在某区间 I 上____________,那么 f(x)为
区间 I 上的减函数. 3.函数的最大(小)值 设函数 y=f(x)的定义域为 A,如果存在定值 x0∈A,使得对于

f(x)≤f(x0) 任意 x∈A,有____________恒成立,那么称 f(x0)为 y=f(x)的最大
f(x)≥f(x0) 值;如果存在定值 x0∈A,使得对于任意 x∈A,有___________恒
成立,那么称 f(x0)为 y=f(x)的最小值.

1.函数 y=x2-6x 的减区间是( D ) A.(-∞,2] B.[2,+∞)

C.[3,+∞)

D.(-∞,3]

2.函数 y=(2k+1)x+b 在实数集上是增函数,则( A ) 1 A.k>- 2 C.b>0 1 B.k<- 2 D.b>0

3.已知函数 f(x)的值域是[-2,3],则函数 f(x-2)的值域为( D ) A.[-4,1] C.[-4,1]∪[0,5] B.[0,5] D.[-2,3]

4.若函数f(x)=(m-1)x2+mx+3(x∈R)是偶函数,则f(x)的 [0,+∞) 单调减区间是______________.

5.(2012年安徽)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,
+∞),则a=________. -6

考点1 利用定义判断函数的单调性

a 例1:已知函数f(x)=x2+—(x≠0,a∈R). x
(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数 a 的取值范围.

解:(1)当a=0时,f(x)=x2为偶函数.
当a≠0 时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数. a a 2 2 (2)设 x2>x1≥2,f(x1)-f(x2)=x1+x -x2-x 1 2

x1-x2 = x x [x1x2(x1+x2)-a], 1 2 由 x2>x1≥2 得 x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0,x1x2>0. 要使 f(x)在区间[2,+∞)是增函数只需 f(x1)-f(x2)<0, 即 x1x2(x1+x2)-a>0 恒成立,则 a≤16.

(1)利用增、减函数定义证明或判断函数的单调 性,其步骤是:设出指定区间上的任意两个值→作差→变形→判 符号→定结论. a (2)本题还可以利用导数求解:f′(x)=2x-x2,要使 f(x)在区 间[2,+∞)是增函数,只需当 x≥2 时,f′(x)≥0 恒成立,即 2x a -x2≥0,则 a≤2x3∈[16,+∞)恒成立,故当 a≤16 时,f(x)在区 间[2,+∞)是增函数.

【互动探究】
2x 1.试用函数单调性的定义判断函数 f(x)= 在区间(0,1)上 x-1 的单调性.

解:任取 x1,x2∈(0,1),且 x1<x2. 2?x2-x1? 2x1 2x2 则 f(x1)-f(x2)= - = . x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? 由于 0<x1<x2<1,x1-1<0,x2-1<0,x2-x1>0, 故 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 2x 所以,函数 f(x)= 在(0,1)上是减函数. x-1

考点2 利用导数判断函数的单调性

1 3 1 2 例 2:若函数 f(x)=3x -2ax +(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减
函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数 a 的取值范围. 解题思路:本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题 求解,也可求出整个函数的递增(减)区间,再用所给区间是所求区 间的子区间的关系求解.

解析:函数f(x)的导数为f′(x)=x2-ax+a-1. 令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1. 当a-1≤1即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合 题意.

当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在 (1,a-1)内为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.
依题意应有:当x∈(1,4)时,f′(x)<0. 当x∈(6,+∞)时,f′(x)>0. 所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7,

所以a的取值范围是[5,7].

【互动探究】

1 2.(2010 年天津)设函数 f(x)=x-x,对任意 x∈[1,+∞),f(mx)

m<-1 +mf(x)<0 恒成立,则实数 m 的取值范围是_________.
1+m2 解析: 已知 f(x)为增函数且 m≠0, 所以 2mx2< m .显然 m>0 1 时不符合题意.则 m<0,即有 1+m2<2x2.因为 y=2x2 在 x∈[1, 1 +∞)上的最小值为 2,所以 1+m2<2,即 m2>1,解得 m<-1.

考点3

函数的最值与值域

例3:求下列函数的值域:

3x+2 (1)y= ; x-2 (2)y=-x2-2x+3 (-5≤x≤-2); x2-x (3)y= 2 ; x -x+1 4 (4)y=x+x .

解题思路:关于 x 的一次分式函数,可通过求关于 x 的方程
在定义域内有解的条件来求得值域,也可以经过变形(分离常量), 观察得出结果;关于有理分式函数,去分母化成关于 x 的二次方

B 程,用判别式可求值域,也可把函数解析式化成A+ x2-x+1 (A, B 是常数)的形式来求值域;可用换元法将无理函数化为有理函数
或将已知等式化成关于 x 的二次方程,用判别式求函数的值域.

3x+2 ?3x-6?+8 8 解析:(1)方法一:y= = =3+ , x-2 x-2 x-2 8 由于 ≠0,∴y≠3. x-2 3x+2 ∴函数 y= 的值域是{y|y∈R 且 y≠3}. x-2 3x+2 2?y+1? 方法二:由 y= ,得 x= .∴y≠3. x-2 y-3 (2)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,x∈[-5,-2], ∴其图象是开口向下,顶点为(-1,4). ∴当 x=-5 时,ymin=-12.当 x=-2 时,ymax=3. ∴y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2)的值域是[-12,3].

x2-x 1 (3)方法一:y= 2 =1- 2 . x -x+1 x -x+1 ∵x
2

? 1?2 3 1 1 1 -x+1=?x-2? +4, ∴-3≤1- 2 <1, 即-3≤y<1. ? ? x -x+1

? 1 ? ?- ,1?. 故值域为 3 ? ?

方法二:去分母,整理得(y-1)x2-(y-1)x+y=0. 易知 y≠1,故上式可看作是关于 x 的二次方程. ∵x∈R,∴方程有实根.∴Δ=(y-1)2-4y(y-1)≥0.
? 1 ? 1 解得-3≤y≤1.又 y≠1,故值域为?-3,1?. ? ?

4 (4)方法一:函数 y=x+ x 是定义域为{x|x≠0}的奇函数,故其 图象关于原点对称,故只讨论 x>0 时的最值,即可知 x<0 时的 最值. 4 当 x>0 时,y=x+x ≥2 4 x·=4, x

等号当且仅当 x=2 时取得. 当 x<0 时,y≤-4,等号当且仅当 x=-2 时取得. 综上,函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).

方法二:任取 x1,x2,且 x1<x2, 4 ? ?x1-x2??x1x2-4? 4 ? ∵f(x1)-f(x2)=x1+x -?x2+x ?= , x1x2 ? 2? 1 ∴当 x≤-2 或 x≥2 时,f(x)递增. 当-2<x<0 或 0<x<2 时,f(x)递减. 故 x=-2 时,f(x)极大值=f(-2)=-4; x=2 时,f(x)极小值=f(2)=4. ∴所求函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).

常用的求值域的方法有: ①代入法:适用于定义域为有限集的函数. ②分离系数法:若函数y=f(x)解析式中含有|x|,x2, x , sinx,cosx等元素,又能用y表示出来,则利用这些元素的有界性 解出y的范围. ③配方法:适用于二次函数类的函数. ax+b ④反函数法:适用于形如y= 类的分式函数. cx+d ax2+bx+c ⑤判别式法:适用于形如y= 2 类的函数. mx +nx+p ⑥换元法:主要处理一些根式类的函数. ⑦不等式法:借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最 值. ⑧最值法:通过导数法求出最值.

【互动探究】
3.求下列函数的值域:

3x+2 (1)y= ; 5-4x

(2)y=-x2+x+2;

3x2-1 (3)y= 2 . x +2

3x+2 1 12x+8 解:(1)y= =4× 5-4x 5-4x 1 3?4x-5?+23 3 23 =4× =-4+ . 5-4x 4?5-4x?
? ? 3? ∴值域为?y?y≠-4? ? ? ?

.

(2)y=-x

2

? 1?2 9 +x+2=-?x-2? +4. ? ?

? 9? ∴值域是?-∞,4?. ? ?

3x2-1 (3)由 y= 2 可知,x∈R 且(3-y)x2=2y+1, x +2 当 y=3 时,显然不成立. 2y+1 2y+1 2 ∴y≠3,得:x = .∵x ≥0,∴ ≥0. 3-y 3-y
2

? 1 ? 1 解得:-2≤y<3.∴函数值域为 y∈?-2,3?. ? ?

易错、易混、易漏

6.求函数的单调区间时没有考虑定义域
例题:(2010 年广东珠海北大希望之星实验学校)函数 f(x)= log2(4x-x2)的单调递减区间是( C ) A.(0,4) B.(0,2) C.(2,4) D.(2,+∞)

正解:由4x-x2>0 得0<x<4,又由u=4x-x2=-(x-2)2+4
知函数u 在(2,4)上是减函数,根据复合函数的单调性知函数f(x) =log2(4x-x2)的单调递减区间是(2,4).故选C. 【失误与防范】易忽略 x 需满足4x-x2>0 这个条件.

求函数值域的常用方法有:配方法、分离变量法、单调性法、

图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域,
都必须考虑函数的定义域.

1.在研究函数的单调性时,对单调区间的表述要准确.如函

1 ? ? ? ? ?-∞,0? 和 ?0,+∞? ,而不能表述为 数 f(x)= x 的单调减区间为 ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? -∞,0?∪?0,+∞?. ? ? ?

2.并不是所有的函数都有最值,有的函数只有最大值而无最 小值,如 y=-x2;有的函数只有最小值而无最大值,如 y=x2; 1 有的函数既无最大值也无最小值,如y=—. x


推荐相关:

2014届高三数学一轮复习专讲:函数的单调性与最值

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...2​0​1​4​​高​三​数​学...课时跟踪检测(六) 函数的单调性与最值 1.下列函数...


...届高考数学一轮复习 第2章 函数的单调性与最值 理

新课标人教A版】2014届高... 暂无评价 4页 免费...2财富值 2014届高考数学一轮复习课... 暂无评价 ...第二章 第三节 函数的单调性与最值一、选择题 1...


一轮复习第二章-2函数的单调性与最值

一轮复习第二章-2函数的单调性与最值_高三数学_...函数 y=x -2x(x∈[2,4])的增区间为___. 2...2018届高三一轮复习课件... 暂无评价 42页 2下载...


2017届高三一轮复习---2.2 函数的单调性与最值

2017届高三一轮复习---2.2 函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。2...1, 练习: (1) 【2015 新课标 II 理-5】设函数 f ( x) ? ? x ?1 ...


...应用第讲函数的单调性与最值习题(新)-课件

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第讲函数的单调性与最值习题(新)-课件_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 第二章 函数、 导数及其应用 ...


...2014届高三数学一轮复习《函数的单调性与最值》理 ...

(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习函数的单调性与最值》理 新人教B版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。[第 5 讲 函数的单调性与最值] (时间:45 分钟 ...


2014届高三数学一轮复习 函数的单调性与最值提分训练题

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...2014届高三数学一轮复习 函数的单调性与最值提分训练...4. 已知函数 f(x)=? x ? ?a 2 , x (a>...


...高三理科数学一轮复习练习2.2函数的单调性与最值.do...

2017届高三理科数学一轮复习练习2.2函数的单调性与最值.doc。祹宝:微微一笑很倾我 第2函数的单调性与最值 【选题明细表】 知识点、方法 函数单调性的判定...


2014届高考数学一轮复习全程测控:函数的单调性与最值

2014届高考数学一轮复习全程测控:函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。...1/4 专题推荐 2014年高考语文新课标I卷... 2014年高考语文北京卷真... ...


2014届高三数学一轮复习专讲专练:2.3 函数的单调性与最值

2014届高三数学一轮复习专讲专练:2.3 函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育...? 3. 答案:C ??a-2?x,x≥2, 4.若函数 f(x)=??1?x ??2? -1,...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com