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两点间、点线间、线线间的距离公式


两点间的距离公式

已知平面上两点 P 1 ( x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y2 ),如何求 P 1、P 2的距离 P 1P 2 呢?

y
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

y

P2 ( x2 , y2 )

y2 y1

y

P3 ( x1 , y2 )

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

x1 o

x2

x

o

x

o

P 1 ( x1 , y1 )

x

x1 ? x2, y1 ? y2,
P 1P 2 ? x1 ? x2

x1 ? x2, y1 ? y2,
P 1P 2 ? y1 ? y2

x1 ? x2 , y1 ? y2

P 1P 2 ??

(3) x1 ? x2 , y1 ? y2 已知平面上两点 P 1 ( x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y 2 ),如何求

P 1、P 2的距离 P 1P 2 呢?

? P (x , y )
2 2 2

x2 ? x1

两点P 间 1 ( x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y2 ) 的距离公式

y

P3 ( x1 , y2 )

o

P 1 ( x1 , y1 )

? ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? x

P 1P 2 ?

x2 ? x1 ? y2 ? y1

2

2

? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
特别地 , 原点 O与任一点 P( x, y )的距离 : | OP |? x2 ? y 2

两点 P 间的距离公式 1 ( x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y2 ) P ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1P 2 ?
2 2

若P 1P 2的斜率为 k , 则: P 1P 2 ? 1 ? k ? x1 ? x2
2

1 或P 1P 2 ? 1 ? 2 ? y1 ? y2 k
? ( y2 ? y1 )2 ? k 2 ( x2 ? x1 )2

y2 ? kx2 ? b

y1 ? kx1 ? b ? y2 ? y1 ? k ( x2 ? x1 )

2 2 ?P P ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) 1 2 2 1 2 1

? ( x2 ? x1 ) 2 ? k 2 ( x2 ? x1 ) 2 ? 1 ? k 2 x2 ? x1

例1:求下列两点间的距离
(1) A(6,0) B (-2,0) (2) C(0,-4) D(0,-1)

(3) P(6,0) Q(0,-2)

(4) M(2,1)
2 2

N(5,-1)

解:

(1) | AB |? (?2 ? 6) ? (0 ? 0) ? 8
2 2

(2) | CD |? (0 ? 0) ? (?1 ? 4) ? 3 (3) | PQ |? (6 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 10
(4) | MN |? (2 ? 5) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 13

例2:求在 x轴上与点 A(5, 12)的距离为13 的点的坐标。
解:不妨设所求点的坐 标为(a,0),由题意可知:
13 ? (a ? 5) 2 ? (0 ? 12) 2 ? a ? 0或10

故所求点坐标为 (0, 0)或(10,0)

例3:已知点 P的横坐标是 7,点P与点N (?1, 5)间的距离等于 10,求点 P的纵坐标。
解:不妨设 P点的坐标为 (7, y),由题意可知:
10 ? (?1 ? 7) 2 ? (5 ? y ) 2 ? y ? ?1或11

故P点纵坐标为 ? 1或11

例4:已知点 A(?1, 2)、B(2,7 )在x轴上求一点 P,使 PA ? PB 并求 PA的值。
解:不妨设点 P( x,0)
? ( x ? 1) 2 ? (0 ? 2) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 7 ) 2

?x ?1

故 PA ? 4 ? 4 ? 2 2

例5:证明直角三角形斜边 的中点到三顶点的距离 相等。
证明:如图:做平面直 角坐标系及三角形 ABC a b 各点坐标为 C(0,0), A(a,0), B(0, b), M( , ) B(0,b) 2 2 a b 2 2 ( , ) a b a ? b M2 2 | AM |? (a ? ) 2 ? (0 ? ) 2 ? 2 2 2 2 2 a b a ? b x 2 2 (0,0) C A | BM | ? ( 0 ? ) ? ( b ? ) ? (a,0) 2 2 2 a 2 b 2 a 2 ? b2 | CM |? (0 ? ) ? (0 ? ) ? 2 2 2
由上可见:AM ? BM ? CM

y

o

例6:证明平行四边形四条 边的平方和等于两条对 角 线的平方和。四条边的平方和为

y
D(b,c) C (a+b,c)

| AB |2 ? | BC |2 ? | CD |2 ? | DA |2 ? 2(| AB |2 ? | BC |2 ) ? 2[ (a ? 0) ? (0 ? 0)
2 2 2

? (a ? b ? a ) ? (c ? 0)
2

2

2

]

? 2(a 2 ? b 2 ? c 2 )

o A(0,0) B(a,0) x

两条对角线的平方和为 | AC |2 ? | BD |2 ? (a ? b ? 0) ? (c ? 0)
2 2 2

? (b ? a) ? (c ? 0)
2

2

2

? 2(a 2 ? b 2 ? c 2 )

点到直线的距离公式

什么是点到直线的距离?
点到直线的距离是指:
过该点(如图所示点P)作直线(图中L)的垂线,点P与垂足Q之间 的线段│PQ│长度. P

Q

L

l : Ax ? By ? C ? 0
P y Q N (x ,y ) 0 2 O l
PM ? PN PQ ? ? MN

AB ? 0 外一点 P( x0 , y0 ) 过P作PQ ? l于Q
过点P分别作 x轴、y轴的平行线交 l与 M ( x1、y0 )、N ( x0、y2 )
| Ax 0 ? By 0 ? C | PM ? x1 ? x0 ? A | Ax 0 ? By 0 ? C | PN ? y2 ? y0 ? B
PM ? PN PM ? PN
2 2

( x0、y0 )

M (x1,y0)

x

PQ是Rt?PMN斜边上的高,由三角形 面积公式可知
? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

y d
O

P(x0,y0) 点到直线的距离公式

x
l:Ax+By+C=0

d?

Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

1.此公式的作用是求点到直线的距离 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的 3.如果A=0或B=0,此公式也成立 4.如果A=0或B=0,一般不用此公式 5.用此公式时直线要先化成一般式。

A ?B 例 1 :求点 P(?1, 2)到直线(1)2 x ? y ? 10 ? 0 (2)3x ? 2 (3)2 y ? 3 ? 0的距离。 (2)(3)用公式验证,结果怎样?
2 2

d?

Ax0 ? By 0 ? C

解(1)根据公式得: d ?

2 ? (?1) ? 2 ? 10 2 ?1
2 2

?2 5

(2)如图,直线 3x ? 2平行于 y轴

y y 3x ? 2 ? 0 P(-1,2) 2 5 P(-1,2) 3 ? (?1) ? 2 5 ? d ? ? (?1) ? O ?d ? ? 3 3 3 x 2y ? 3 ? 320?O 02 l:3x x=2 0 (3)如图,直线 2 y ? 3 ? 0平行于 x轴 l:2y+3=
3 7 ? d ? 2 ? (? ) ? 2 2

?d ?

2? 2 ? 3

7 ? 2 2 2 0 ?2

1 :点 P(3, ? 2)到直线 l : 3x ? 4 y ? 25 ? 0的距离为
d? 3 ? 3 ? 4 ? (?2) ? 25 32 ? 42 24 ? 5

2:直线经过原点,且点 M (5, 0)到直线 l的距离等于 3, 求l的方程。 解:不妨设直线方程: y ? kx 化为一般式: kx ? y ? 0
式时直线要先化成 ? d ?
一般式。

5.用点到直线距离公

3 ? 3? k ? ? 4 k 2 ? (?1) 2

5k ? 0

4:直线 l过点(1, 2), 且两点(2, ? 3)、 (4, ? 5)到l的距离相等, 求l的方程。
另解:两点到直线的距 离相等,可能两点所构 解:设直线方程: y ? 2 ? k ( x ? 1)[点斜式] 成的直线平行 l或两点的中点在直线 l上。 ? kx ? y ? 2 ? k ? 0[一般式] k( )[点斜式 2设直线方程: k ? (?3) ? 2 ? ky ? 2 4? k? (x ?? 5)1? 2?k ] ? ? 3 ?2 (?5) 2 1 : k? ? ?1 k 2 ? (?1) 2 k ? (?1) 2?4 ?k ( ? 1或 k ?? 3) ?( ?? 5)?3 2? 4 2: ? 2 ? k( ? 1) ? k ? ?3 2 2

两平行线间的 距离处处相等

例2:求平行线 2 x ? 7 y ? 8 ? 0与2 x ? 7 y ? 6 ? 0的距离。

y

O

l1:2x-7y+8=0 2 ? 3 ? 7 ? 0 ? 8 14 53 ? l2: 2x-7y-6=0 ? d ? 53 x 22 ? 7 2 P(3,0)
P到l1的距离等于 l1与l2的距离

在l2上任取一点,例如 P (3, 0)

直线到直线的距离转化为点到直线的距离

y
O

P Q

l1

任意两条平行线都可以 写成 l2 如下的形式: l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 x (C1 ? C2 )

则两平行线 l1与l2间的距离公式为: d ?

C1 ? C2 A ?B
2 2

3 5:两条平行线 6 x ? 4 y ? ?5与y ? x间的距离是 2
解:l1 : 6 x ? 4 y ? 5 ? 0
?d ? 5? 0

l2 : 3x ? 2 y ? 0 ? 6 x ? 4 y ? 0

5 13 ? 26 6 2 ? (?4) 2

6:求到直线 l : 3 x ? y ? 4 ? 0的距离为 2的直线方程。
解:不妨设: 3x ? y ? C2 ? 0
?d ? 2 ? C2 ? 4 ( 3 ) 2 ? 12 ? C2 ? 0或C2 ? 8

例3:已知直线 l1 : 7 x ? 8 y ? 9 ? 0, l2 : 7 x ? 8 y ? 3 ? 0且直线 l // l1、 d1 1 l与l1的距离为 d1 , l与l2的距离为 d 2 , 且 ? ,求直线 l的 d2 2 方程。
解:不妨设 l方程: 7x ? 8 y ? C ? 0

d1 ?

C ?9 7 ?8
2 2

d2 ?

C ? (?3) 7 2 ? 82

C ?9 d1 1 ? C ? 21或5 而 ? ? d 2 2 C ? (?3)
? l的方程: 7 x ? 8 y ? 21 ? 0或7 x ? 8 y ? 5 ? 0

例4:求直线 x ? 4 y ? 6 ? 0和8x ? y ? 18 ? 0与两坐标轴围成的 四边形的面积。
y
8x+y-18=0

9 提示: M ( ,0) 4

3 3 13 N (0, ) ? MN ? 2 4

直线MN方程: 4x ? 6 y ? 9 ? 0
x-4y+6=0 N P M

o

x

11 P(2, 2)到直线 MN的距离 d ? 2 13 15 ? S四边形0 MPN ? S ?OMN ? S ?PMN ? 4

例5:已知直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0和6 x ? m y ? 1 ? 0相互平行,则 它们之间的距离是 ( ) 2 13 5 13 7 13 A.4 B. C. D. 13 26 26 解析: ? 3x ? 2 y ? 3 ? 0和6 x ? m y ? 1 ? 0互相平行 ?3 : 2 ? 6 : m ? m ? 4

1 直线6 x ? 4 y ? 1 ? 0即为 : 3x ? 2 y ? ? 0 2 1 ? (?3) 7 13 2 ? 由两条平行线间的距离 公式可得: 2 2 26 3 ?2

例6:在过点 A(2, 1)的所有直线中,距离原 点最远的直线 方程为
解析:当直线 l与OA垂直时,原点到直线 l的距离最大
? kOA 1 ? 2

? kl ? ?2

?方程为: y ? 1 ? ?2( x ? 2)
即: 2x ? y ? 5 ? 0

例7:直线 l在x轴上的截距为 1,又有两点 A(?2, ? 1)、B(4, 5) 到l的距离相等,则 l的方程为
解析: 1?:l ? x轴,l的方程为: x ? 1. 满足题意
2?:设l的斜率为 k,则l的方程为: y ? k ( x ? 1)
即kx ? y ? k ? 0,由点A、B到l的距离相等

?

? 2k ? 1 ? k
2

k ?1 k ?1 ? l的方程为: x ? y ? 1 ? 0
2

?

4k ? 5 ? k

? k ?1

1.点(3,m)到直线 l:x ? 3 y ? 4 ? 0的距离等于 1,则 m等于(

)

3 3 A. 3 B. ? 3 C. ? D. 3或 ? 3 3 2.若点 P( x, y )在直线 x ? y ? 4 ? 0上, O是原点,则 OP 的最小值是 ( A. 10 A.?0,10? B.2 2 B.?0,10? C. 6 ?1 3 ? C.? , ? ? 3 13? D.2 3.若点( 4,a)到直线 4 x ? 3 y ? 1的距离不大于 3,则 a的取值范围 ( D.?? ?,0? ? ?10,? ??

) )

小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是

| P1 P2 |?

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2

2

特别地 , 原 点O与 任 一 点 P ( x , y )的 距 离: | OP |? x ?y
2 2

例4:一直线经过点 P(2, 3), 且和两平行线 3x ? 4 y ? 8 ? 0与

3x ? 4 y ? 7 ? 0都相交,且交点间距离 为3 2,求直线方程。
l2
l1 l
P
M

提示: MN ? 3 2
两平行线间的距离 MT ? 3
MN 2 sin ? ? ? ? ? ? 45? MT 2
N

T

?

Key : 7 x ? y ? 17 ? 0或x ? 7 y ? 19 ? 0


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