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1-1集合的概念与运算


? 1-1 集合的概念与运算

A 全员必做题 1.(2015· 东三省四市联考)集合{1,2}的子集共有( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 )

【解析】 集合{1,2}的子集共有 22=4 个,故选 D. 【答案】 D 2.(2014· 湖南高考)已知集合 A={x|x>2},B={x|1<x<3},则 A∩B=( A.

{x|x>2} C.{x|2<x<3} B.{x|x>1} D.{x|1<x<3} )

【解析】 根据两集合交集的定义求解. ∵A={x|x>2},B={x|1<x<3}, ∴A∩B={x|2<x<3}. 【答案】 C 3 3.(2015· 湖北七市联考)已知全集 U=R,集合 A={x|lg x≤0},B={x|2x≤ 2},则 A∪B=( A.? 1 ? C.? ?3,1? 1? B.? ?0,3? D.(-∞,1] )

【解析】 根据集合并集的定义求解. 1 ∵A={x|0<x≤1},B={x|x≤ } 3 1? ∴A∪B=? ?0,3?,故选 B. 【答案】 B 4.(2015· 济南模拟)已知集合 A={x||x-1|<2},B={x|y=lg(x2+x)},设 U=R,则 A∩(?UB)等于( A.[3,+∞) C.(3,+∞) B.(-1,0] D.[-1,0] )

【解析】 化简集合后利用集合的运算法则求解.解不等式|x-1|<2 得-1<x<3,所以 A={x|-1<x <3}.要使函数 y=lg(x2+x)有意义,则 x2+x>0,解得 x<-1 或 x>0,所以 B={x|x<-1 或 x>0},?UB ={x|-1≤x≤0},所以 A∩(?UB)=(-1,0],故选 B. 【答案】 B 5.(2015· 广州二模)已知非空集合 M 和 N,规定 M-N={x|x∈M 且 x?N},那么 M-(M-N)等于( A.M∪N C.M B.M∩N D.N )

【解析】 如图(1)为 M-N={x|x∈M 且 x?N},则图(2)为 M-(M-N),特别的,当 N?M 时,图(3)为 M-N={x|x∈M 且 x?N},则图(4)为 M-(M-N),∴M-(M-N)=M∩N.

【答案】 B 6.(2014· 江苏高考)已知集合 A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},则 A∩B= ________. 【解析】 运用集合交集的运算定义求解. A∩B={-2,-1,3,4}∩{-1,2,3}={-1,3}. 【答案】 {-1,3} 7.已知集合 A={x|x2-2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 ∵1?{x|x2-2x+a>0}, ∴1∈{x|x2-2x+a≤0}, 即 1-2+a≤0,∴a≤1. 【答案】 (-∞,1] 8.(2015· 宁波模拟)已知集合 A={x|x≤a},B={x|1≤x≤2},且 A∪?RB=R,则实数 a 的取值范围是 ________. 【解析】 ?RB={x|x<1,或 x>2},要使 A∪(?RB)=R,则 a≥2. 【答案】 [2,+∞) 9.已知集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,a2+1},若 A∩B={-3},求 A∪B. 【解析】 由 A∩B={-3}知,-3∈B. 又 a2+1≥1,故只有 a-3,a-2 可能等于-3. ①当 a-3=-3 时,a=0,此时 A={0,1,-3},B={-3,-2,1},A∩B={1,-3}. 故 a=0 舍去. ②当 a-2=-3 时,a=-1, 此时 A={1,0,-3},B={-4,-3,2}, 满足 A∩B={-3},从而 A∪B={-4,-3,0,1,2}. 10.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 【解析】 由已知得 A={x|-1≤x≤3}, B={x|m-2≤x≤m+2}.
?m-2=0, ? (1)∵A∩B=[0,3],∴? ? ?m+2≥3.

∴m=2. (2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2},

∵A??RB,∴m-2>3 或 m+2<-1, 即 m>5 或 m<-3. 因此实数 m 的取值范围是{m|m>5 或 m<-3}. B 能力提升题 1.(2015· 上饶二模)设集合 A={x|y=x -1},B={y|y=x2-1},C={(x,y)|y=x2-1},则下列关系中 不正确的是( ) B.B∩C=? D.A∪B=C
2

A.A∩C=? C.B?A

【解析】 解题的关键是读懂各集合表示的意义.集合 A 为函数 y=x2-1 的定义域,它表示数集,且 A=R,集合 B 为函数 y=x2-1 的值域,它也表示数集,且 B={y|y≥-1},集合 C 为函数 y=x2-1 图象 上的点,它表示点集,结合各选项知 D 错误,故选 D. 【答案】 D 2. (2015· 鹰潭二模)定义 A×B={z|z=xy, x∈A 且 y∈B}, 若 A={x|-1<x<2}, B={-1, 2}, 则 A×B =( ) A.{x|-1<x<2} C.{x|-2<x<2} B.{-1,2} D.{x|-2<x<4}

【解析】 当 x=-1 时,A={x|-1<x<2},由题意 A×B=(-2,1),当 x=2 时,A=(-1,2),由 题意 A×B=(-2,4),所以 A×B=(-2,1)∪(-2,4)=(-2,4),故选 D. 【答案】 D 3.已知 U=R,集合 A={x|x2-x-2=0},B={x|mx+1=0},B∩(?UA)=?,则 m=________. 【解析】 A={-1,2},B=?时,m=0; 1 B={-1}时,m=1;B={2}时,m=- . 2 1 【答案】 0,1,- 2 4.(2014· 福建高考)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0 有 且只有一个正确,则 100a+10b+c 等于________. 【解析】 由集合相等得对应元素相等,结合后面关系式的正确与否得出 a,b,c 的取值. a≠2, ? ? 因为三个关系中只有一个正确,分三种情况讨论:若①正确,则②③不正确,得到?b≠2,由于集合 ? ?c=0, {a,b,c}={0,1,2},所以解得 a=b=1,c=0,或 a=1,b=c=0,或 b=1,a=c=0,与集合的互异 b=2, ? ? 性矛盾;若②正确,则①③不正确,得到?a=2,与集合的互异性矛盾;若③正确,则①②不正确,得到 ? ?c=0,

c≠0, ?a=2, ? ? ? ?a=2,则?b=0,符合题意,所以 100a+10b+c=201. ? ?b≠2, ? ?c=1, 【答案】 201 5.设全集 I=R,已知集合 M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}. (1)求(?IM)∩N; (2)记集合 A=(?IM)∩N,已知集合 B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若 B∪A=A,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3},N={x|x2+x-6=0}={-3,2}, ∴?IM={x|x∈R 且 x≠-3},∴(?IM)∩N={2}. (2)A=(?IM)∩N={2},∵B∪A=A, ∴B?A,∴B=?或 B={2}. 当 B=?时,a-1>5-a,∴a>3;
? ?a-1=2, 当 B={2}时,? 解得 a=3. ?5-a=2, ?

综上所述,a 的取值范围为{a|a≥3}. 6.设集合 A={x|x2+2x-3>0},B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若 A∩B 中恰含有一个整数,求实数 a 的取值范围. 【解析】 A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1 或 x<-3},函数 y=f(x)=x2-2ax-1 的对称轴为 x=a>0, f(-3)=6a+8>0,根据对称性可知,要使 A∩B 中恰含有一个整数,则这个整数解为 2,所以有 f(2)≤0
? ?4-4a-1≤0, 且 f(3)>0,即? ?9-6a-1>0, ?

?a≥4, 3 4 所以? 即 ≤a< . 4 3 4 a < , ? 3
3 4? 故实数 a 的取值范围为? ?4,3?.

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