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【精品】数学奥林匹克竞赛高中训练题集【共36份】


奥林匹克数学竞赛高中训练题集
目 录
数学奥林匹克高中训练题(01) ........................................................................................................................... 1 数学奥林匹克高中训练题(02) ....

....................................................................................................................... 3 数学奥林匹克高中训练题(03) ........................................................................................................................... 4 数学奥林匹克高中训练题(04) ........................................................................................................................... 6 数学奥林匹克高中训练题(05) ........................................................................................................................... 8 数学奥林匹克高中训练题(06) ........................................................................................................................... 9 数学奥林匹克高中训练题(07) ......................................................................................................................... 11 数学奥林匹克高中训练题(08) ......................................................................................................................... 13 数学奥林匹克高中训练题(09) ......................................................................................................................... 15 数学奥林匹克高中训练题(10) ......................................................................................................................... 17 数学奥林匹克高中训练题(11).......................................................................................................................... 18 数学奥林匹克高中训练题(12) ......................................................................................................................... 20 数学奥林匹克高中训练题(13) ......................................................................................................................... 22 数学奥林匹克高中训练题(14) ......................................................................................................................... 24 数学奥林匹克高中训练题(15) ......................................................................................................................... 25 数学奥林匹克高中训练题(16) ......................................................................................................................... 26 数学奥林匹克高中训练题(17) ......................................................................................................................... 28 数学奥林匹克高中训练题(18) ......................................................................................................................... 30 数学奥林匹克高中训练题(19) ......................................................................................................................... 31 数学奥林匹克高中训练题(20) ......................................................................................................................... 33 数学奥林匹克高中训练题(21) ......................................................................................................................... 35 数学奥林匹克高中训练题(22) ......................................................................................................................... 37 数学奥林匹克高中训练题(23) ......................................................................................................................... 39 数学奥林匹克高中训练题(24) ......................................................................................................................... 41 数学奥林匹克高中训练题(25) ......................................................................................................................... 43 数学奥林匹克高中训练题(26) ......................................................................................................................... 45 数学奥林匹克高中训练题(27) ......................................................................................................................... 47 数学奥林匹克高中训练题(28) ......................................................................................................................... 49 数学奥林匹克高中训练题(29) ......................................................................................................................... 52 数学奥林匹克高中训练题(30) ......................................................................................................................... 54 数学奥林匹克高中训练题(31) ......................................................................................................................... 55 数学奥林匹克高中训练题(32) ......................................................................................................................... 57 数学奥林匹克高中训练题(33) ......................................................................................................................... 59 数学奥林匹克高中训练题(34) ......................................................................................................................... 61 数学奥林匹克高中训练题(35) ......................................................................................................................... 63 数学奥林匹克高中训练题(36) ......................................................................................................................... 65 本站资源汇总[优秀资源,值得收藏] ............................................................................................................. 67

数学奥林匹克高中训练题(01)
第一试
一、选择题(本题满分30分,每小题6分) 1.(训练题06)设 f1 ( x ) ? (C). (A)

x 1 ? x2

,对任意自然数 n ,定义 f n ?1 ( x) ? f1 ( f n ( x)) ,则 f1993 ( x) 的解析式为

1993 x 1 ? x2
x y

(B)

x 1993 ? x 2

(C)

x 1 ? 1993 x 2

(D)

1993x 1 ? 1993 x 2

2.(训练题06)若 2 ? 3 ? 5 ? 1 ,则 2 x,3 y ,5 z 从小到大的顺序是(A).
z

(A) 3 y ? 2 x ? 5 z

(B) 5 z ? 2 x ? 3 y
2 2

(C) 2 x ? 3 y ? 5 z
2 2

(D) 5 y ? 3 y ? 2 x

3.(训练题06)自然数 m, n, p, q 满足等式 m ? n ? p ? q ,则 m ? n ? p ? q (B). (A)是质数 (B)是合数 (C)可能是质数,也可能是合数 (D)既不是质数,也不是合数 4.(训练题06)一圆台的上底半径为 1cm ,下底半径为 2cm ,母线 AB 为 4cm ,现有一蚂蚁从下底面圆周 的 A 点,绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的 B 点爬行的最短路线是 (A). (A) 4 3 ?

2? 3

(B) 4 3 ?

4? 3

(C) 2 3 ?

2? 3

(D) 2 3 ?

4? 3

5 . ( 训 练 题 06) 若 复 数 z 的 共 轭 复 数 是 z , 且 z ? 1 又 A ? (?1,0), B ? (0,?1) 为 定 点 , 则 函 数

f ( x) ? ( z ? 1)( z ? i ) 取最大值时在复平面上以 Z , A, B 三点为顶点的图形是(C).
(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形

6.(训练题06)若 ?ABC 是钝角三角形,则 arccos(sin A) ? arccos(sin B ) ? arccos(sin C ) 的值域是(C). (A) (0,

? ] 2

(B) { }

? 2

(C) (

? 3? , ) 2 2

(D) (0,

3? ) 2

二、填空题(本题满分30分,每小题5分) 1.(训练题06)满足不等式 logx y ? log x xy 的点 ( x, y) 的集合是 {(x, y)| x ?1 且 y ? x}?{(x, y)|0 ? x ?1且 y ? x}.
y

2.(训练题06)一个圆锥和一个圆柱,下底面在同一平面上,它们有公共的内切球,记圆锥的体积为 V1 , 圆柱的体积为 V2 ,且 V1 ? kV2 ,则 k 的最小值是

4 3



3.(训练题06)一个三位自然数 a1a2 a3 称为凹数,如果同时有 a1 ? a2 , a3 ? a2 (例如 104,525,849 都是凹 数而 123,684,200 都不是凹数) ,则所有的凹数的个数是 285 . D
数学奥林匹克高中训练题(01) 第 1 页 共 68 页

y
P

C

A

O

B

x

x2 4.(训练题06)如图,已知椭圆 ? y 2 ? 1, DA ? AB, CB ? AB, 且 DA ? 3 2 , CB ? 2 ,动点 P 在 ? AB 2
上移动,则 ?PCD 的面积的最小值是
4 3 2

4? 6



5.(训练题06)四次方程 x ? 20 x ? kx ? 384 ? 0 的四个根当中的两个的积是24,则 k 的值是 140 . 6.(训练题06)四个正数之和为4,平方和为8,则这四个数中最大的那个数的最大值是 三、(训练题06)(本题满分20分) a1 , a2 , a3 ?a n 是互不相等的自然数, 证明: (a1 ? a2 ? a3 ???an ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a n ) ? 2( a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a n ) .
5 5 5 5
3 3 3 3 2

1? 3



7

7

7

7

四、(训练题06)(本题满分20分)设 P, M 分别在正方形 ABCD 的边 BC , CD 上, PM 与以 AB 为半径的圆 相切,线段 PA 与 MA 分别交对角线 BD 于 Q, N ,证明:五边形 PQNMC 内接于圆. A Q O N T M C P D

B

五、(训练题06)(本题满分20分)100个火柴盒,标号为1至100.我们可以问其中任15个盒子总共含有的火柴 为奇数或偶数,至少要问几才能确定1号盒子里的火柴数的奇偶性. (3个问题)

第二试
一、(训练题06)(本题满分35分)右图中 ?ABC , ?BCD, ?CDE 都是正三角形,线段 FG∥BA,连 DG , EF 相 交于 O ,连 CO 并延长与 AB 的延长线相交于 P ,证明: CP ? EF . P

B F O

D

A

G

C

E

二、(训练题06)(本题满分35分)假定 a1 , a2 , a3 ?a10 和 b1 , b2 , b3 ?b10 都是由不相等的复数所组成的序列, 已 知 对 i ? 1,2,? ,10 均 有 (a1 ? bi ) ? ( a2 ? bi ) ?? ? ( a10 ? bi ) ? 100 . 证 明 : 对 任 何 j ? 1,2,? ,10 , 乘 积
数学奥林匹克高中训练题(01) 第 2 页 共 68 页

(b1 ? a j )(b2 ? a j ) ? (b10 ? a j ) 都等于同一常数,并求出此常数.
三、(训练题06)(本题满分35分)证明任意 28 个介于 104 和 208 之间(包括104和208)的不同的正整数,其 中必有两个数不互素(即此二数的最大公约数大于1).

数学奥林匹克高中训练题(02)
第一试
一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 1 . ( 训练题 07) 十个元素组成的集合 M ? {19, 93, ?1, 0, 25, ?78, ?94,1,17, ?2} . M 的所有非空子集记为

M i (i ? 1, 2,?,1023) ,每一非空子集中所有元素的乘积记为 mi (i ? 1,2,?,1023) .则 ? mi ? (C) .
i ?1

1023

(A)0

(B)1

(C) -1

(D)以上都不对

2.(训练题07) ?ABC △ABC 的三个内角 A, B, C 依次成等差数列,三条边 a, b, c 上的高 ha , hb , hc 也依次成 等差数列.则 ?ABC 为(B) (A)等腰但不等边三角形 (B)等边三角形 (C)直角三角形 (D)钝角非等腰三角形 3.(训练题07)对一切实数 x ,不等式 x ? ( a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立.则 a 的取值范围是(A)
4 2

(A) a ? ?1

(B) a ? 0

(C) a ? 3

(D) a ? 1

4.(训练题07)若空间四点 A, B, C , D 满足 AB ? CD ? 8, AC ? BD ? 10, AD ? BC ? 13 ,则这样的三棱锥

ABCD 共有(A)个.
(A)0 (B)1
2

(C)2

(D)多于2

5.(训练题07)已知不等式 x ? log m x ? 0在x ? (0, ) 时恒成立,则 m 的取值范围是(B) (A) 0 ? m ? 1
2

1 2

(B)

1 ? m ? 1 (C) m ? 1 16

(D) 0 ? m ?

1 16

6.(训练题07)方程 ax ? b x ? c ? 0(a, b, c ? R, a ? 0) 在复数集内根的个数为 n .则(C) (A) n 最大是2 (B) n 最大是4 (C) n 最大是6 (D) n 最大是8 二、填空题(本题满分30分,每小题5分) 1.(训练题07)函数 y ?

3x ? 6 ? 8 ? x 的值域是___ [ 10, 2 10] _____

2. (训练题07)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1, 焦点为 F1 ,F2 ,P 为椭圆上任意一点 (但 P 点不在 x 轴上) ,?PF1 F2 9 8 S?PAB 9 ? ___ _____. S ?PF1F2 16

的内心为 I ,过 I 作平行于 x 轴的直线交 PF1 , PF2 于 A, B .则 3.(训练题07) A, B, C 为 ?ABC 的三个内角,且 cot

A B C ? cot ? cot ? 2(cot A ? cot B ? cot C ) ? T .则 2 2 2

Tmax ? ___ 3 __.
数学奥林匹克高中训练题(02) 第 3 页 共 68 页

4.(训练题07)实数 a, b, c 满足 a ? b ? 2c ? ?3, a ? b ? 2c ? 8c ? 5 .则 ab 的最小值是__
2 2 2

25 __. 16

5.(训练题07)在一次足球冠军赛中,要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛,每场比赛胜队得2 分,平局各得1分,败队得0分.已知有一队得分最多,但它胜的场次比任何一队都少.若至少有 n 队参赛, 则 n =__6____. 6.(训练题07)若 2 ? 2 ? 2 是一个完全平方数,则自然数 m ?
10 13 m

14



三、(训练题07)(本题满分20分)若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4,求这个正三棱 锥的体积的最大值.(18) 四、(训练题07)(本题满分20分)一个点在 x 轴上运动的速度为2米/秒,在平面其它地方速度为1米/秒.试 求该点由原点出发在1秒钟内所能达到的区域的边界线. 五、(训练题07)(本题满分20分)已知 x 为虚数,且 x ? 值范围.( a ? 2 ? 2 2或a ? 5 )

1 2 是方程 y ? ay ? a ? 1 ? 0 的实根.求实数的取 x

第二试
一、(训练题07)(本题满分20分)在 ?ABC 中, M 为 BC 边上的任一点, ME ? AB 于 E , MF ? AC 于 F , AN ? EF 交 BC 于 N . 求证: AM ? AN ?

BM ? BN ? CM ? CN ? AB ? AC .
n

二、(训练题07)(本题满分35分)用 n 个数(允许重复)组成一个长为 N 的数列,且 N ? 2 .证明:可在 这个数列中找出若干个连续的项,它们的乘积是一个完全平方数. 三、(训练题07)(本题满分35分)空间中有100个点,其中每四点都不在同一平面上,每三点都不在同一条 直线上,每一点都与其它33点连红线,与另33点连黄线,与最后的33点连蓝线.证明:一定会出现一个三 边均不同色的三角形.

数学奥林匹克高中训练题(03)
第一试
一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 1.(训练题08)若 a ? 1 ,且 a (A) x ? y
?x

? log a y ? a ? y ? log a x ,则正实数 x 和 y 之间的关系适合(A) .
(C) x ? y (D)不能确定,与 a 有关.

(B) x ? y
2

2.(训练题08) 若 f (x) ? ax ?bx( a 和 b 均为非零常数)存在两个不等的虚根 x1, x2 ,使 f (x1) ? f (x2) ?c?R,则

b 2 ? 4ac 与零的关系适合(C)
(A) b ? 4ac ? 0
2

(B) b ? 4ac ? 0
2

(C) b ? 4ac ? 0
2

(D)不能确定

3.(训练题08) 长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB1=2 2 ,AD1= 17 。则 AC 的取值范围是(C) (A) 17 ? 2 ? AC ? 5 (B) 3 ? AC ? 17 ? 2 2
数学奥林匹克高中训练题(03) 第 4 页 共 68 页

(C) 3 ? AC ? 5
2 2

(D)

17 ? 2 2 ? AC ? 17 ? 2 2
2 2

4.(训练题08) 已知 A(a, a ), B(b, b )(a ? b) 两点的坐标满足 a sin? ? a cos? ?1, b sin? ? b cos? ? 1 ,记 原点到直线 AB 的距离为 d,则其的取值范围适合(B) (A) d ? 1 (B) d ? 1 (C) d ? 1

(D)不能确定
n ??

5.(训练题08) 等比数列 {an } 中, q 为公比 (0 ? q ? 1) , Sn 为前 n 项和, S ? lim S n ,则下列命题中, 正确的是(A) (A) S n ? S (1 ? q )
n

(B) an ? S (1 ? q )
n

(C) an 单调减少趋于零 (D) Sn 单调减趋于 S
m 2 n 2

6.(训练题08) 若 m, n 是不大于6的非负整数,则 C6 x ? C6 y ? 1 表示不同的椭圆(D)个. (A) P7
2

(B) P6

2

(C) C4

2

(D) P4

2

二、填空题(本题满分30分,每小题5分) 1.(训练题08) 已知集合 N ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1} 是集合 M ? {x | ?2 ? x ? 5} 子集,则 a 的值域为 ____ {a | a ? 3} ____. 2.(训练题08) 在 ?ABC 的三边上分别取点 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6 ,? ,使 P 1, P 4, P 7 ,?在 AC 上, P 2, P 5, P 8 ,? 在

AB 上, P3 , P6 , P9 ,? 在 BC 上,且 AP 1 ? AP 2 , BP 2 ? BP 3 , CP 3 ? CP 4 , AP 4 ? AP 5 , BP 5 ? BP 6 ,

CP6 ? CP7 ,……,则 P2 P 1994 =____0____.
3.(训练题08)能过点 M (1,1) 的直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于3,这样的直线有 4 条. 4. (训练题08)若自然数 n 与 k 之间的函数关系 k ? f (n) 由等式 2(1 ? 9 ? 9 ? 9 ? ? ? 9
2 3 n ?1

) ? k (k ? 1) 确定,

则 f ( n) 的表达式为___ f ( n) ?

1 n (3 ? 1) ____. 2

5.(训练题08) 将正方体的八个顶点两两连线,其中成异面的直线的有___210___对. 6.(训练题08) 有一批零件,其直径最小为12mm,最大为12.5mm.若从中任意抽取 x 个,都有2个零件的直 径之差小于0.01mm,则 x 最小值为 52 . 三、(训练题08)(本题满分20分)棱长为 a 的正方体 ABCD 一 A1B1C1D1中。X 是正方形 AA1BB1的中心,Y 是 正 方形 BB1C1C 的中心,Z 在对角线 BD 上,且 DZ=3ZB,求过 X,Y,Z 的截面面积. (
2 2

2 2 a ) 2

四、(训练题08)(本题满分20分)若双由线 y -x =1与 值.( 1, ?1, 0,

xy ? x ? y ? 1 ? k 有唯一的公共点,求 k 的所有可取 x 2 ? 3x ? 2

五、(训练题08)(本题满分20分)定义在 x>0上的函数 f(x)满足: (1)存在 a>1,使 f(a) ? 0 , (2)对任 b 2 意的实数 b,有 f(x )=bf(x).求证:对于 x>2,有不等式 f(x-1)f(x+1)<[f(x)] .
数学奥林匹克高中训练题(03) 第 5 页 共 68 页

4 ,1 ? 2,1 ? 2 ) 5

第二试
一、(训练题08)(本题满分35分)在 ?ABC 中,AD,BE,CF 分别是边 BC,AC,AB 上的高,若 AE+AF=BC, BD+BF=AC,CD+CE=AB。求证: ? ABC 是正三角形. 二、(训练题08)(本题满分35分)批零兼营的文具店规定:凡购铅笔51支以上的(包括51支)按批发价结 算,而购买50支以下的(包括50)按零售价结算。批发价每购60支比零售价60支出降价1元。现有班长小 王同学来购买铅笔,若给全班每人买一支,则必须按零售价结算,需用 m 元(m 为正整数) ;但若多买10 支则可按批发价结算,恰好也是用 m 元。问小王班上共有多少学生? 0 三、(训练题08)(本题满分35分)在时钟的表盘上作9个别120 的记扇形,每一个都覆盖4个数字,每两个 覆盖的数字不全相同。求证:一定可以找3个扇形,恰好覆盖整个表盘。举一个反例说明,作8个扇形将不 具有上述性质.

数学奥林匹克高中训练题(04)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题09)由 ( 3 x ? 3 2) (A) 50 (B) 17
100

展开所得的 x 的多项式中,系数为有理数的共有(B)项. (C) 16 (D) 15

2.(训练题09)已知 z 满足 z ? 5 ? 12i ? 3 .则 z 的最大值是(D) (A) 3 (B) 10 (C)20 (D)16

3.(训练题09)正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a , E 为 CD 的中点, F 为 AA1 的中点,过 E , F , B1 的截面面积是(C) (A)

55 5 2 a 192
x

(B)

29 2 a 4
x

(C)

11 29 2 a 48

(D)

7 29 2 a 8

4.(训练题09)方程 sin ? ? cos ? ? 1(0 ? ? ? (A) 0 (B) 1 (C) 2

? ) 的解的个数是(B) . 2
3

(D) 大于2

5.(训练题09)设 a 是正整数, a ? 100 ,并且 a ? 23 能被24整除.那么,这样的 a 的个数为(B) . (A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 10

6.(训练题09)从 1, 2,? , 49 中取出六个不同的数,其中至少有两个是相邻的,所有的取法种数是(D) . (A) C49
6

(B) C44

6

(C) C49 ? C44
6 5

(D) C49 ? C44
5 6

二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题09)已知 z1 , z2 在复平面上对应点分别为 P, Q ,且 z2 ? 4, 4 z1 ? 2 z1 z2 ? z2 ? 0 .则 P, Q 与原
2 2

点 O 所成的 ?OPQ 面积等于___ 2 3 _____. 2.(训练题09)设四面体 ABCD 的体积为 V , E 为棱长 AD 的中点, F 在 AB 的延长线上,且 BF ? AB ,
数学奥林匹克高中训练题(04) 第 6 页 共 68 页

过 C , E , F 三点的平面交 BD 于 G .则四面体 CDGE 的体积为___

V _____. 3

3.(训练题09)设 x, y , z ? 0 且 x ? y ? z ? 1 .则

1 4 9 ? ? 的最小值为___36_____. x y z
1 ____. 2

4.(训练题09)函数 f ( x ) ? x ? a 在区间 ?1 ? x ? 1 内的最大值 M (a ) 的最小值是____
2

5 . ( 训 练 题 09) 对 于 正 整 数 m , 它 的 个 位 数 码 用 f ( m) 表 示 , 记 an ? f (2

n ?1

? 1)(n ? 1, 2,?) . 则

a1994 ? _____7___.
6.(训练题09) n( n ? 3) 条直线中恰有 p ( p ? 2) 条互相平行,而且 n 条直线中没有3条相交于同一点,则这 条直线将平面分割成的块数是___

1 2 (n ? p 2 ? n ? p ? 2) _____. 2

第二试
一、(训练题09)(本题满分25分)已知圆的方程为 x ? y ? 4 .试在坐标平面上求两点 A( s, t ), B ( m, n) ,
2 2

使下列两条件满足: (1) 圆上任意一点到 A 点的距离与到 B 点的距离之比为定值 k ; (2) s ? m, t ? n ,且 m, n 均为自然数.( (2, 2), (1,1) ) 二、(训练题09)(本题满分25分)求满足条件的实系数多项式 f ( x ) ; (1) 对于任意的实数 a ,有 f ( a ? 1) ? f (a ) ? f (1) ; (2) 存在某一实数 k1 ? 0 ,使 f ( k1 ) ? k2 , f ( k2 ) ? k3 ,? , f ( kn ?1 ) ? kn , f ( kn ) ? k1 ,其中 n 为 f ( x ) 的 次数.( f ( x ) ? x ) 三、(训练题09)(本题满分35分)正整数 n 的所有约数之和用 f ( n) 表示,(比如 f (4) ? 1 ? 2 ? 4 ? 7 ).试 答下列各问: (1) 证明:如果 m 和 n 互质,那么 f ( mn) ? f (m) f ( n) ; (2) 当 a 是 n 的约数 ( a ? n) ,且 f (n) ? n ? a ,试证 n 是质数,其次,如果 l 是正整数, 2 ? 1 是质
l

数,试证 l 也是质数; (3) 设 n ? 2 m ( k 为正整数, m 为奇数),且 f ( n) ? 2n .试证存在质数 p 使得 n ? 2
k

p ?1

(2 p ? 1) .

四、(训练题09)(本题满分35分)数列 1,1,3,3,3 ,3 ,? ,3

2

2

1992

,31992 是由两个1,两个3,两个 32 ,…,两个

数学奥林匹克高中训练题(04) 第 7 页 共 68 页

31992 按从小到大顺序排列,数列各项的和记为 S ,对于给定的自然数 n ,若能从数列中选取一些不同位置
的项,使得这些项之和恰等于 n ,便称为一种选项方案,和数为 n 的所有选项方案的种数记为 f ( n) .试 求: f (1) ? f (2) ? ? ? f ( s ) 的值.( f (1) ? f (2) ? ? ? f ( s ) ? 4
1993

?1)

数学奥林匹克高中训练题(05)
第一试
一、选择题(本题满分42分,每小题7分) 1.(训练题10) ? , ? 为锐角,且 ? ? ? ?

? cos ? x cos ? x , x ? R, f ( x ) ? ( ) ?( ) ,则(D) . 2 sin ? sin ?
(B) f ( x ) 在 [0, ?? ) 内为增函数,在 (??, 0] 内为减函数 (D) f ( x ) 在 (??, 0] 内为增函数,在 [0, ?? ) 内为减函数

(A) f ( x ) 在定义域内是增函数 (C) f ( x ) 在定义域内是减函数

2.(训练题10) 设 a, d 为非负实数, b, c 为正实数,且 b ? c ? a ? d .则

b c ? 的最小值是(C) c?d a?b

(A) 1 (B)

1 2

(C) 2 ?

1 (D) 2 2
3 3 2 2 2 3 3 5 2 2

3.(训练题10) 设 a ? b ? 0, A ? (a 2 ? b 2 ) 3 , B ? (a 3 ? b 3 ) 2 , C ? (a 2 ? a 6 b 3 ) 3 .则 A, B, C 的大小关系是 (D) (A) A ? B ? C (B) B ? C ? A (C) C ? A ? B (D) A ? C ? B
o

4.(训练题10) 三棱锥 A ? BCD 中, ?BAC ? ?CAD ? ?DAB ? 60 , AB ? 1, AC ? 2, AD ? 3 ,则三棱 锥体积是(A) (A)

2 2

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 其他

5.(训练题10) 八个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是(A) (A) 204 (B) 144 (C) 72 (D) 24 6.(训练题10) 方程

1 1 1 ? ? 2 的整数解 ( x, y ) 有(B) y 2( x ? y ) y
(C) 有限组(多于1组) (D) 无穷多组

(A) 0组 (B) 1组 二、填空题(本题满分48分,每小题8分)

1.(训练题10) 已知 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 64 .则 Q ?

a1 a3 a5 3 ? ? 的最小值是___ ___. a2 a4 a6 4

2.(训练题10) 将数列2,6,10,14,…按顺序分组,第一组2项(2,6) ,第二组6项(10,14,…,30) ,…
数学奥林匹克高中训练题(05) 第 8 页 共 68 页

第 k 组有 4k ? 2 项,则1994属于第 16 组. 3. (训练题10) ?ABC 的面积为 S ,?A ? 45 , 直线 MN 分 ?ABC 的面积为相等的两部分, 且 M 在 AB
o

上, N 在 AC 上,则 MN 的最短长度为 4.(训练题10)设 0 ?? ?

2( 2 ? 1) S

.

? 1 2 ,使不等式 sin ? ? 3m cos? ? 6m ? 4 ? 0 恒成立的实数 m 取值范围是_ m ? ? _. 2 2
2 2

5.(训练题10) 对不同的实数 m ,方程 y ? 6my ? 4 x ? 9m ? 4m ? 0 表示不同的抛物线,一条直线与这

所有的抛物线都相交,且截得的弦长均为
6 5

8 5 1 .则这条直线的方程是___ y ? 3 x ? ___. 9 3

6.(训练题10) 若复数 z 满足 3 z ? 2iz ? 2 z ? 3i ? 0 .则 z ?

z ?1



第二试
一、(训练题10)(本题满分20分)设 an ? (2 ? 3) .求证:对一切 n ? N ,[ an ] 为奇数( [ x ] 表示不超过
n

x 的最大整数) .
二、(训练题10)(本题满分20分)在自然数1,2,3,…,n,…中去掉所有含数字0,7,8,9的那些自然 数,得数列{an}:1,2,3,4,5,6,11,12,…,16,21,22,….求证:

?a
n ?1

?

1
n

?

49 . 8

三、(训练题10)(本题满分30分)在 ?ABC 中, AB ? AC ,点 M 在 AB 上,且 MA ? MC ,点 N 在 AC 上,且 CN ? CB, ?A : ?NBA ? 2 : 3 .求 ?NMC 的度数.( ?NMC ? 30 )
o

四、(训练题10)(本题满分30分)平面上给定1994个点,其中任何三点不共线,将以这些点为端点的每条 线段都标上+1或-1,如果以这些点为顶点的三角形三边所标的数乘积为-1,称三角形为负的.试证明负三 角形个数为偶数.

数学奥林匹克高中训练题(06)
第一试
一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 1.(训练题11)若 x, y ? R ,则实数集 P ? {s | s ? x ? 3 x ? 1} 与 Q ? {t | t ? y ? 3 y ? 1} 具有的关系是(D).
2 2

(A) P ? Q ? ? 2.(训练题11)方程

(B) P ? Q

(C) Q ? P

(D) P ? Q

y

1 1 ? ? 2 的图象是(C). log y ?1 x log 2 x

y

y

y


-1

.O . x 1
(A)

-1

.O . x 1

(B)

数学奥林匹克高中训练题(06) -1 1 第 9 页 共 68 页 O



。 .



x

-1



(C)

(D)

. -1

O

. 1 x

3.(训练题11)在 ?ABC 中, cos 2 B ? cos 2 A 是 A ? B 的(C). (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要的条件 4.(训练题11)圆台两底面半径分别为 R 和 r ( R ? r ) ,平行底面的截面将圆台的侧面分成面积相等的两部 分.那么,截面圆半径是(B). (A)

Rr

(B)

R2 ? r 2 2

(C)

R?r 2

(D) 无法确定

5.(训练题11)等差数列 {an } 中, n ? 2 ,公差 d ? 0 ,前 n 项和是 Sn .则有(C). (A) S n ? na1 (B) S n ? nan
2

(C) nan ? S n ? na1

(D) na1 ? S n ? nan

6.(训练题11)过抛物线 y =4x 的焦点作直线与此抛物线交于 P,Q 两点。那么,线段 PQ 中点的轨迹方程是 (B). (A) y ? 2 x ? 1
2

(B) y ? 2 x ? 2
2

(C) y ? ?2 x ? 1
2

(D) y ? ?2 x ? 2
2

二、填空题(本题满分30分,每小题5分) 1.(训练题11)已知函数 f ( x) ? ?

? ? x, 0 ? x ? 1, ? x ? 1, x ? (0,1] ?1 则它的反函数是 f ( x) ? ? . ?1 ? x, ? 1 ? x ? 0. ? ? x, x ? [?1, 0]
11

2.(训练题11)已知复数 z 的模 z ? 1 且, z ? z ? 1 ,则 z ?

1 (1 ? 3i ) . 2
7 6

3.(训练题11)某市电话号码从六位升至七位,这一改可增加 10 ? 10 个拨号. 4.(训练题11) arctan x ? arctan

1? x 的值是 1? x

3 1 ? ?或 ? 4 4



5. (训练题11)平面 ? 内有圆 ABC (如图) AB 是直径, C SA ? ? , 是? AB 上一点.若 AC: AB: SA?1:2:2 ,则二面角 C ? SB ? A 的平面 角的余弦值是

S F
?

E C B

15 5



A

6.(训练题11) ?ABC 顶点在以 x 轴为对称轴,原点为焦点的抛物线上,已知 A( ?6,8) ,且 ?ABC 的重心 在原点,则过 B,C 两点的直线方程为 4 x ? y ? 8 ? 0 . 三、(训练题11)(本题满分20分) 如图,四棱锥 S ? ABCD 的顶点在 底面的射影恰是底面对角线的交点 O , 已知棱锥 S ? ABCD 的高恒为

S

数学奥林匹克高中训练题(06) 第 10 页 共 68 页

D
O A B

C

3,VS ? ADO ? m , VS ? BCO ? n (m, n ? R , m ? n) .问当四棱锥 S ? ABCD 取得最小体积时,底面 ABCD 是
2 2

?

怎样的四边形? 四、(训练题11) (本题满分20分) 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点是 F .问:是否存在内接等腰直角三角
2

形,该三角形的一条直角边过 F 点?如果存在,存在几个?如果不存在,说明理由 五、 (训练题11)(本题满分20分)数列 {an } 的首项 a ? 0 , 该数列是公比为 ? a 的等比数列. 记 bn ? an lg an ,

S n ? ? bi .
i ?1

n

(1) 证明: 当 a ? ?1 时,对一切 n ? N ,都有 S n ?

a lg a [1 ? (?1)n ?1 (1 ? n ? na )a n ] . 2 (1 ? a)

(2) 当 0 ? a ? 1 时,是否存在自燃数 m ,使得对任何自然数 n ,都有 bn ? bm .

第二试
一、(训练题11)(本题满分35分) H 为 ?ABC 的垂心, D, E , F 分别是 BC , CA, AB 中点,一个以 H 为圆 心的 ? H 交直线 EF , FD, DE 于 A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 .求证: AA 1 ? AA 2 ? BB 1 ? BB 2 ? CC 1 ? CC2 . 二、(训练题11)(本题满分35分)若 n 是素数,证明存在 0,1, 2,? , n ? 1 的一个排列 (a1 , a2 ,? , an ) ,使得

a1 , a1a2 , a1a2 a3 ,? , a1a2 ? an 被 n 除的余数各不相同.
三、(训练题11)(本题满分35分)某组学生进行一次考试,共有3道选择题,每题有四个选择支.已知这组 学生中任何两人的答案都至多有一题相同,而且只要再加一人,则无论该人答案如何,上述性质都不再成 立.问这组学生最少有多少人?

数学奥林匹克高中训练题(07)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题12)在数 3 , 4 ,5 , 6 中,最大的一个是(B). (A) 3
8

8

7

6

5

(B) 4

7

(C) 5

6

(D) 6

5

2.(训练题12)设 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? i, z3 ? 3 ? i .则 arg(?10 3 ? z1 z2 z3 ) 等于(D). (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

2? 3

(D)

5? 6

3.(训练题12)甲命题:平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? ,则平面 ? //平面 ? . 乙命题:平面 ? 上不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则平面 ? //平面 ? .
数学奥林匹克高中训练题(07) 第 11 页 共 68 页

则(D). (A) 甲是真命题,乙是真命题 (C) 甲是假命题,乙是真命题 4.(训练题12)若 an ?[(

(B) 甲是真命题,乙是假命题 (D) 甲是假命题,乙是假命题

3? 17 n ) ](n ?1,2,3,? ) ,其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则是数列 {an } (C). 2
(B) 各项均为偶数 (D) 奇数项是偶数,偶数项是奇数

(A) 各项均为奇数 (C) 奇数项是奇数,偶数项是偶数 5.(训练题12)方程 x ? x ?1 ? xe
2 x2 ?1

? (x 2 ?1)e x 的解集为 A (其中, e 是无理数,e ? 2.71828?).则 A 中
(C)2
100

的所有元素的平方和等于(C). (A)0 (B)1

(D)4

6.(训练题12)在平面直角坐标系中,由不等式 y 面积等于(A). (A) 50π (B) 40π (C) 30π 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

?

1 1 ? x100 ? 100 , x 2 ? y 2 ? 100 所限定的图形的 100 y x

(D) 20π

1.(训练题12)若 a, b, c 均为整数,且使得 9 ? 8 sin 50 ? a ? b sin C .则
? ?

a?b ? c

1 2



2 . ( 训 练 题 12) 如 果 关 于 x 的 不 等 式 x ? a ? x ? x ?1 的 解 集 为 一 切 实 数 , 那 么 a 的 取 值 范 围 是

?1 ? a ? 0



3. (训练题 12)已知棱长为1的 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,则异面直线 AC1 与 B1C 之间的距离 等于

6 . 6
4. (训练题12)数 2 x,1, y ? 1 按指出的顺序成等差数列, 并且 y ? 3, x ? 1 ? x ? 1 ,cos(arccos x) 按指出的顺 序成等比数列.则 x ? y ? xy ? 3 .

5.(训练题12)在年龄彼此不等的30个人中选出两组,第一组12个人,第二组15个人,使得第一组中年龄最 长的人比第二组中年龄最小的人的年龄要小.那么,选取方法数共有 4060 种. 6.(训练题12)若 x 是实数,则方程 x ? [ ] ? [ ] ? [ ] ? ? ? [ 示不超过 x 的最大整数).

x 2

x 3

x 4

x x ] ?[ ] 的解集是 ?0, 4,5? (其中 [ x] 表 1993 1994

第二试
一、(训练题12)(本题满分30分)设 f ( x) ? x ? (4a ? 2) x ? 6a 在区间 [0,1] 上的最小值为 m .试写出用 a
2 2

表示 m 的表达式 m ? F ( a ) .并回答: 当 a 为何值时,m 取得最大值?这个最大值是多少? (a ? 0, m ? 0)
数学奥林匹克高中训练题(07) 第 12 页 共 68 页

? ? 二、(训练题12)(本题满分30分)在三棱锥 A ? BCD 中 ? 又 D AB?? BAC?? D AC?90, ? AD B?? BDC?? AD C?90.

知 DB ? a, DC ? b .试求在三棱锥 A ? BCD 内所容体积最大的球的半径.( r ?

ab ) 2(a ? b)

三、(训练题12)(本题满分30分) 已知集合 M ? {2,3,4,5,6 ? ,1993,1994} .证明: M 中任意取出15个两 两互素的元素,其中至少有一个是质数. 四、(训练题12)(本题满分30分)用 m ? n 个非负实数排成如下一个 m 行 n 列的矩形数表:

a11 , a 21 ,


a12 , a 22 ,


a13 , a 23 ,


……, ……,

a1n , a2 n ,

G1 G1


……, … ……, ……,

a m1 ,

am2 ,

a m3 , A3 ,

a mn , An

Gm

A1 ,

A2 ,

分 别 写 出 各 行 诸 数 的 集 合 平 均 数 G1 , G2 ,? , Gm , 在 写 出 各 列 诸 数 的 算 术 平 均 值 A1 , A2 , ? , An . 令

A(G1 , G2 ,? , Gm ) ?

1 (G1 ? G2 ? ? ? Gm ) , G ( A1 , A2 ,? , An ) ? n A1 ? A2 ?? ? An . m

求证: G ( A1 , A2 , ? An ) ? A(G1 , G 2 , ? , G m ) .

数学奥林匹克高中训练题(08)
第一试
一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 1.(训练题13)设 P0 ( x0 , y0 ) 为圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上任意一点,欲使不等式 x0 ? y0 ? c ? 0 恒成立,则 c 的
2 2

取值范围是(B). (A) [0, ?? ) (B) [ 2 ? 1, ??) (C) (??, 2 ? 1] (D) [1 ? 2, ??)

2.(训练题13)设有三个函数,第一个函数是定义在实数集上的单调函数记为 y ? f ( x) ,它的反函数是第 二个函数,而第三个函数与第二个函数的图象关于直线 x ? y ? 0 对称,那么,第三个函数是(B). (A) y ? ? f ( x ) (B) y ? ? f ( ? x)
? m m

(C) y ? ? f
m

?1

( x)

(D) y ? ? f

?1

(? x)

3.(训练题13) a, b, c ? R 且满足 a ? b ? c ,1 ? m ? 2 .如果以 a, b, c 作为三角形的三边,那么所得的 结果是(C).
数学奥林匹克高中训练题(08) 第 13 页 共 68 页

(A) 不能构成三角形 (C) 可构成钝角三角形

(B) 可构成锐角三角形 (D) 可构成锐角或钝角三角形

4.(训练题13)若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的实函数,它既关于直线 x ? 1 对称,又关于直线 x ? 3 对称,那 么函数 f ( x ) (D). (A)不是周期函数 (B)是周期为1的函数 (C)是周期为2的函数 (D)是周期为4的函数

5.(训练题13)已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,且各侧棱与底面所成的角分别为 ? , ? , ? .那么,

sin 2? ? sin 2 ? ? sin 2? ? (C).
(A) (B) (C)1 (D)
3 2 3 2

6.(训练题13)数 ? , ? 满足如下等式: ? ? 3? ? 5? ? 1, ? ? 3? ? 5? ? 5 ,那么, ? ? ? 的值为(B). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题(本题满分30分,每小题5分) 1 . ( 训 练 题 13) 设 f ( x ) ? a sin( x ? ? ) ? b cos( x ? ? ) , 其 中 a, b, ? 为 常 数 , 则函 数 f ( x ) 的 最 大值 是

a 2 ? b 2 ? 2ab sin(? ? ? ) .
2.(训练题13)已知 0 ? ? ?

? ? ? ? , 0 ? ? ? ,且 sin ? a cos ? ,当 0 ? ? ? ? ? 时, a 的取值范围是 2 2 2 2

0?a?

1 2



3. (训练题13)设 M i ( xi , yi )(i ? 1, 2,3, 4) 为抛物线 y ? ax ? bx ? c( a ? 0) 上相异四点, 当 M1 , M 2 , M 3 , M 4
2

四点共圆时, x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?

?

2b a



y N -N O -N

4.(训练题13)若点 P ( x, y ) 横坐标 x 与纵坐标 y 均为整数,则 P 点称为整点,设

N 为正整数,如图所示的正方形 R 中(包括边界)一共有整点的个数为

N

x

2N ? 2N ?1.
2

5.(训练题13)设一元三次方程 x ? px ? 1 ? 0 的三根在复平面上所对应的点刚好组成一个正三角形,则
3

p?

0

,此正三角形面积为

S?

3 3 4



6.(训练题13)设 p, q,

2 p ? 1 2q ? 1 , 都是整数,且 p ? 1, q ? 1 ,则 p ? q ? q p

8



数学奥林匹克高中训练题(08) 第 14 页 共 68 页

第二试
一 、 ( 训 练 题 13)( 本 题 满 分 25 分 ) 已 知 抛 物 线 方 程 为 y ? ax ? bx ? c( a ? 0) , 在 其 内 作 半 径 为
2

1 a

的 ? C1 内切于抛物线,作 ? C2 与 ? C1 外切且内切于抛物线,作 ? C3 与 ? C2 外切且内切于抛物线,如此下 去,得一列圆 C1 , C2 , C3 ,? Cn ? ,求前 n 个圆的面积之和.( S ?

? n(n ? 1)(2n ? 1) ) 6a 2

二、(训练题13)(本题满分25分)设平面上的凸 n 边形 A1 A2 A3 ? An 各边依次为 a1 , a2 , a3 ,? , an ,其面积为

? n .试证: a12 ? a2 2 ? a3 2 ? ? ? an 2 ? 4? n tan

? .等号成立时当且仅当 n 边形 A1 A2 A3 ? An 为正 n 边形. n

三、(训练题13)(本题满分35分)设 ?ABC 的三边分别为 a, b, c ,且均为整数,若满足 ?A ? 3?B ,试求出 周长的最小值并给出证明. 四、(训练题13)(本题满分35分)圆周上有1994个点,将它们染成若干种不同的颜色,且每种颜色的点数各 不相同,今在每种颜色的点集中各取一个点,组成顶点颜色各不相同的圆内接多边形,为了要使这样的多 边形个数最多,应将1994个点染成多少种不同的颜色?且每种颜色的点集各含有多少个点?

数学奥林匹克高中训练题(09) 第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题14)设 p ? 3 , p 和 p ? 4 都是素数, S ? p ( p ? 4) ,对于 i ? 1, 2,3,? , k ? 1 , Si ?1 表示 Si 的各 位数码之和,若 Sk 是一位数,则 S k ? (B). (A) 3 (B)5 (C)7 (D)9

2. (训练题14)已知 ?ABC 的各个顶点都是整点(横纵坐标为整数的点称为整点), 且 A(0, 0), B (36,15) . 则

?ABC 的面积的最小值是(B). 1 3 (A) (B) 2 2
( i ? 1, 2,3,? ,10 ),则不同放法的总数是(D). (A)

(C)

5 2

(D)

7 2

3.(训练题14)把1995个不加区别的小数分别放在10个不同的盒子里,使得第 i 个盒子中至少有 i 个球

C

10 1940

(B)

C

9 1940

(C)

C

10 1949

(D)

C

9 1949

4 . ( 训 练 题 14) 已 知 P 为 ?ABC 内 一 点 , 直 线 AP, BP, CP 交 BC , CA, AB 于 D, E , F , 且

AP BP CP AP BP CP ? ? ? 1995 ,则 ? ? 的值为(C). PD PE PF PD PE PF
数学奥林匹克高中训练题(09) 第 15 页 共 68 页

(A) 1995
o

(B) 1996
o o o

(C) 1997

(D) 1998

5.(训练题14) cos 6 cos 42 cos 66 cos 78 ? (A). (A)

1 16

(B)

1 8

(C)

1 4

(D) 某个无理数

6.(训练题14)正十二面体有20个顶点,30条棱,每一个顶点是三条棱的交点,这三条棱的另一端是正十 二面体的另外三个顶点,则称这三个顶点与前一个顶点是相邻的.在每个顶点放上一个实数,要求每个顶 点所放的实数恰是与该顶点相邻的三个顶点处所放实数的算术平均值.设 M 和 m 分别是这20个实数中最 大的和最小的,则 M ? m = (A). (A)0 (B)1 (C)12 (D) 不能确定 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1. (训练题14)设函数 f(x)的定义域和值域都是 R , 且对任意的 a, b ? R 有 f [ af (b)] ? ab , 则 f (1995) 的 值是 1995 .

2.(训练题14)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过 F 的任一直线交双曲线的右支于 M , N ,MN 垂 t t
FP MN ? 2 2 ?1 ? 7i 2


直平分线交 x 轴于 P .当 t 取不等于0的任意正实数时,

3.(训练题14)设 z 是1的7次方根, z ? 1 .则 z ? z ? z 的值是
2 4 2



4.(训练题14)设 f ( x) ? ax ? bx ? c( a, b, c ? R, a ? 0) .如果在 x ? 1 时, f ( x) ? 1 ,则在 x ? 1 时,

2ax ? b 的最大值等于

4



5.(训练题14)设 xi ? {0,1, 2} , i ? 1, 2,? , n ,且 T1 ?

? x ,T ? ? x
i ?1 i 2 i ?1

n

n

2

i

,…, Tk ?

?x
i ?1

n

k

i

.设 T1 ? a ,

T2 ? b ,用 a, b 表示 Tk ,则 Tk ?

(2k ?1 ? 1)b ? (2k ?1 ? 2)a



6.(训练题14)在六条棱长分别是 2,3,3,4,5,5的所有四面体中,最大的体积是

8 2 3



第二试 一、(训练题14)(本题满分25分) M 为 ?ABC 内一点,满足 ?AMC ? 90 , ?AMB ?150 , ?BMC ?120 ,设
o o o

P, Q, R 分别为 ?AMC , ?AMB 和 ?BMC 的外心,求证: S ?PQR ? S ?ABC .
二、(训练题14)(本题满分25分)设 {an } 为等差数列, d 为公差,且 a1 和 d 均为实数,它的前 n 项和记作

Sn .设集合 A ? {(an ,

Sn 1 ) | n ? N }, B ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 1, x, y ? R} . n 4
数学奥林匹克高中训练题(09) 第 16 页 共 68 页

下列结论是否正确?如果正确,请给予证明;如果不正确,请举一个例子说明. (1)以集合 A 中的元素为坐标的点都在同一直线上; (2) A ? B 至少有一个元素; (3) a1 ? 0 时,一定有 A ? B ? ? . 三、(训练题14)(本题满分35分)对于正整数 n( n ? 1) 的每个质约数,考虑其不超过 n 的最高次幂,所有这 些方幂的和记为 f ( n) ,例如 f (100) ? 2 ? 5 ? 89, f (120) ? 2 ? 3 ? 5 ? 170 .
6 2 6 4 2

证明:存在无穷多个 n ,使得 f ( n) ? n . 四、(训练题14)(本题满分35分)某桥牌俱乐部规定:仅当四人中无二人曾经相互作过伙伴时才能一起玩, 在一次有14人参加的集会中,他们每人都曾与其他5人作过伙伴,玩3局之后,按规定只能停止.正当他们 准备离开时,他们都不认识的一个新会员来了,证明这时至少还有一局可以玩.

数学奥林匹克高中训练题(10) 第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题15)正方体表面正方形的对角线中存在异面直线,如果其中两条异面直线距离是1,那么,正方 形的体积(C). (A) 1 (B) 3 3 (C) 1 或 3 3 (D) 3 3 或 3 2

2.(训练题15)设有长度为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的五条线段,其中任何三条线段都能组成一个三角形,共组成了 10个三角形,这些三角形中(A). (A) 必有一个锐角三角形 (B) 必有一个直角三角形 (C) 不可能有锐角三角形 (D) 是否存在锐角三角形与已知线段长有关 3. (训练题15)在锐角 ?ABC 中,?A, ?B, ?C 为其内角, 设 T ? cot 2 A ? cot 2 B ? cot 2C , 则一定有(C). (A) T ? 0 (B) T ? 0
18

(C) T ? 0
18

(D) T ? 0

4.(训练题15) C 为复数集,设 A ? {z | z ? 1, z ?C} , B ? {? | ? ? 1,? ? C} , D ? {z? | z ? A, ? ? B} .则

D 中的元素的个数为(D)个.
(A)864 (B)432 (C) 288 (D) 144 5.(训练题15)已知正数 a, b, c ,满足 ab ? bc ? cd ? 1995 ,则 (A) 1995 (B) 3 665

ab bc ca + + 的最小值为(B). c a b
(D)

(C) 2 665

665

6.(训练题15)已知函数 f ( x) 在 (0, ??) 上有定义且为增函数,并满足 f (x) f ( f (x) ? ) ?1.则 f (1) ? (D).

1 x

(A)1

(B)0

(C)

1? 5 2

(D)

1? 5 2

二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
数学奥林匹克高中训练题(10) 第 17 页 共 68 页

1.(训练题15)已知抛物线方程 y ? ?

x ? h(h ? 0) ,点 P (2, 4) 在抛物线上,直线 AB 在 y 轴上的截距大于 2 64 3 . 9


0, 且与抛物线交于 A, B 两点, 直线 PA 与 PB 的倾斜角互补, 则 ?PAB 的面积的最大值是 2.(训练题15)设 p 是一个素数, p 的各正约数之和是一个完全平方数,则 p =
4

p?3

3.(训练题15)方程 a cos( x ? 1) ? b cos( x ? 2) ? c cos( x ? 3) ? 0 在开区间 (0, ? ) 内至少有两个根,则此方 程的所有根为 一切实数 .
2

4.(训练题15)设 x1 , x2 是实系数方程 x ? 2kx ? 4 ? 0 的两个非零实根,且满足 (

x1 2 x2 2 ) ? ( ) ? 7 ,则 k 取 x2 x1

值范围是

k ? 5或k ? ? 5



5.(训练题15)设多项式 p ( x ) 的次数不超过3次,且 p (0) ? 1, p (3) ? 0, p (2 ? x) ? p (2 ? x) .若 p ( x ) 的 首项系数为负数,则 p ( x ) ?

1 ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) 6



6.(训练题15)在一次网球比赛中, n 个女子和 2n 个男子参加,并且每个选手与其他所有选手恰好比赛一 次,如果没有平局,女子胜的局数与男子胜的局数之比7:5,则 n ? 3 . 第二试

1 ? y ? arcsin(sin ) ? ? ? ? x 一、(训练题15)(本题满分25分)求所有的 a 的值, a ? ( ? , ) ,使方程组 ? , 2 2 ? y ? tan ? ( x ? 1 ) ? 10? ?
在x?

1 的条件下恰有10个解. 10?
2

n2 二、(训练题15)(本题满分25分)已知 A, n 均为自然数,其中 n ? 1, A ? n ,且 n | [ ] ? 1 .求 A 的值. A
三、(训练题15)(本题满分35分) 某厂第一天产品不超过 a 件,以后每天日产量都有所增加,但每日增产 数量也不超过 a 件,且设 b ? aq ? r , 0 ? r ? a ,证明,当日产量达到 b 件时,工厂生产产品总数不少于

(q ? 1)(qa ? 2r ) 件. 2
四、(训练题15)(本题满分35分) 平面上有 n 个点,其中每两个点之间的连线均染成红色或黑色,若图中 总存在两个没有公共边的同色三角形,求 n 的最小值.

数学奥林匹克高中训练题(11)
第一试
数学奥林匹克高中训练题(11) 第 18 页 共 68 页

一、选择题(每小题6分,共36分) 1.(训练题16)一元二次复系数方程 x ? ax ? b ? 0 恰有两个纯虚根,则(C) .
2

(A) a 是零, b 是负实数 (B) a 是零, b 是纯虚数 (C) a 是纯虚数, b 是实数 (D) a 是纯虚数, b 是纯虚数 2. (训练题16) n 是一个正整数, x ? xy ? y ? n 的整数组解的数目是(B) .
2 2

(A)4的倍数

(B)6的倍数(C)2的倍数

(D)8的倍数

3.(训练题16)满足 2 x ? x ? x ? 1 ? x ? x ? x ? 1 的所有实数 x 在(D) . (A) ( ,3 )内 (B) (3,+∞)内 (C) (-∞,
4 3 2

1 3

1 1 )内 (D) (-∞, )∪(3,+∞)内 3 3

4.(训练题16) f (x) ? x ? ax ? bx ? cx ? d ,这里 a, b, c, d 是实数.已知 f (1) ? 5, f (2) ? 10, f (3) ? 15, 则

f (8) ? f (?4) 是(C) .
(A)2500 (B)不确定的 (C)2540 (D)860

5.(训练题16)平面内,设函数 f ( x ) 的图象与 y ? ?2 x 的图象关于直线 y ? 2 x ? 3 对称,则 f ( x ) 的解析 表达式是(A) . (A) 3 y ? 4 x ? 6 ? ? (C) 3 y ? 4 x ? ?

2 (4 y ? 3x ? 12) 2 5

(B) 3 y ? 4 x ? 6 ? ?10( 4 y ? 3 x ? 12)

2

2 (4 y ? 3x) 2 5

(D) 3 y ? 4 x ? 6 ? ?

2 (4 y ? 3x ? 12) 2 5

6.(训练题16) n ? 3, 方程

x1 x2 ?xn?1 x1 x2 ?xn?1 xn x x ?xn ? ? ?? 2 3 ? n 的有序整数组解一共有(B) . xn xn?1 x1
(B) 2
n ?1

(A)n 组



(C) 2 组

n

(D) 2

n ?1



二、填充题(每小题9分,共54分) 1.(训练题16)任意整数 x, y , z , 满足等式 ax ? by ? cz ? bx ? cy ? az ? cx ? ay ? bz ? x ? y ? z 的所 有实数 a, b, c 是

(1, 0, 0), ( ?1, 0, 0), (0,1, 0), (0, ?1, 0), (0, 0,1), (0, 0, ?1) 共6组



2.(训练题16)使得 x ? y ? z ,

1 1 1 ? ? 和 xyz 都是整数的全部正有理数组( x, y, z ) ( x ? y ? z ) 是 x y z


(1,1,1), (1, 2, 2), (2,3, 6), (2, 4, 4), (3, 3,3) 共5组

3.(训练题16)圆台上的上底半径 r 与下底半径 R(R.>r)之和是母线 l 的6倍,而上底面积、侧面积、下底 面积成等比数列,此圆台的高为20 ? 3r ,此圆台体积的最大值是
2

500 (2 ? 3)? 9



数学奥林匹克高中训练题(11) 第 19 页 共 68 页

x 4 ? kx 2 ? 1 4.(训练题16)设 f ( x) ? 4 ( x ∈R) ,对任意三个实数 a,b,c,已知存在一个三角形,三边长分别 x ? x2 ?1
为 f ( a ), f (b), f (c ), 则满足上述条件的所有实数 k 的范围是 5.(训练题16)设 f ( z ) ? 3 z (cos 示点 f ( 4i ) ,则∠ABC=

1 (? , 4) 2



? ? ? i sin ), 这里 z 是复数,用 A 表示点 f (1 ? 3i ), B 表示点 f (0), C 表 6 6 ? 6


6.(训练题16) a, b 是正实数, x 0 ? a, x1 ? b, x n ?1 ? 则 a,b 必须满足条件

1 1 ( x n ?1 ? ), 这里 x∈N。如果这序列是周期序列, 2 xn

ab ? 1

. 第二试

一、(训练题16)(满分25分)已知 f (1) ? 2, 对于正整数 n, f ( n ? 1) ? ( f ( n)) ? f ( n) ? 1. 求证:当正整
2

数 n ? 2 时,有 1 ?

1 2
n?1

?

1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2n . f (1) f (2) f ( n) 2
* *

二、(训练题16)(满分25分)给定一个△ABC,A 是点 A 关于直线 BC 的对称点,B 是 B 关于直线 CA 的对称 * * * * 点,C 是 C 关于直线 AB 的对称点。求△ABC 的充分必要条件,使得△A B C 是一个等边三角形。 2 三、(训练题16)(满分35分)是否存在正整数 n>1,使得1,2,3,…,n 能放在一个 n×n 方格表内,使得 每行的乘积是相同的?证明你的结论. 四、(训练题16)(满分35分) a1 , a 2 , ? , a n 是一个数列,对每个 k,1≤k≤n, a k ∈{1,0} 。如果 a k , a k ?1 两数不同,写 bk ? 1 ;如果 a k , a k ?1 两数相同,写 bk ? 0 。于是得到一个新数列 b1 , b2 , ? , bn ?1 , 其中 bk ∈{1,0} (1≤k≤n ? 1 ) 。重复上述方法,得到一个由0及1两个数字组成的三角形数表,最后一行仅 一个数字,求这张数字表中1的和的最大值.

数学奥林匹克高中训练题(12)
第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.(训练题17)方程 x 1 ? y ? y 1 ? x ? 1 所对应的曲线图形是(D)
2 2

(A)

(B)

(C)

(D)

2. (训练题17)在数列 ?x n ? 中,x1 ? 2, x 2 ? 7, 且当 n ≥1时,x n ? 2 等于 x n x n ?1 的个位数字。 则 x1995 等于 (B)
数学奥林匹克高中训练题(12) 第 20 页 共 68 页

(A)2

(B)4

(C)6

(D)8

? a ? 3b ? 2c ? 0 ? b ? 3c ? 2d ? 0 ? 3.(训练题17)已知四边形 ABCD 的四边长 a, b, c, d 满足 ? ,则四边形 ABCD 一定是(D) ?c ? 3d ? 2a ? 0 ? ?d ? 3a ? 2b ? 0
(A)梯形 (B)圆内接四边形 (C)矩形
2

(D)菱形

4.(训练题17)如果 (3 x ? (A)4 (B)5

1 n ) 的展开式中含常数项,则正整数 n 的最小值是(B) 2x3
(C)6 (D)8
?

5.(训练题17)已知 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数, a, b, c ? R , a ? b ? c ? 1 ,记 M ?

3a ? 1 ?

3b ? 1 ? 3c ? 1 ,则 ?M ? 的值为(B)
(A)3 (B)4 (C)5
2 2

(D)6

6.(训练题17)如果关于 x 的方程,2 x ? 3ax ? a ? a ? 0 至少有一个模等于1的根,那么实数 a 的值(C) (A)不存在 (B)有一个 (C)有三个 二、填空题(每小题9分,共54分) 1.(训练题17)求值 cot 10? ? 4 cos 10? ? (D)有四个

3



2.(训练题17)已知函数 y ? 2 cos ?x ?0 ≤ x ≤ 2 ? 和 y ? 2? x ? R ? 的图象围成一个封闭的平面图形。则这 个图形的面积是 4 。
2 2

3.(训练题17)实数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,设 S ? x ? 6 x ? y ? 2 y . 则 S min ?

-5



4.(训练题17)已知 ?ABC 的面积 S 与内角 A 均为定值.则 BC 边的长 a 的取值范围是 [2 S tan 5.(训练题17)设由模为1的 n (2< n <6)个复数满足下面2条组成一个集合 S . (1) 1 ? S ; (2)若 z1 ? S , z 2 ? S , 则 z1 ? 2 z 2 cos ? ? S ,其中 ? = arg 则集合 S =

A , ??) . 2

z1 . z2

{1, ?1, i, ?i}



6.(训练题17)今有壹角币1张,贰角币1张,伍角币1张,壹元币5张,伍元币2张。则可以付出不同数目的 款额(不包括不付款的情况)的种数是 127 .

第二试
一、(训练题17)(满分25分)已知 a, b, c ? R . 求证:
?

a b c ? ? ≤1 1 ? a ? ab 1 ? b ? bc 1 ? c ? ca
数学奥林匹克高中训练题(12) 第 21 页 共 68 页

x2 y2 二、(训练题17)(满分25分)设点 P 是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1( a >0, b >0)上任意一点,过点 P 的直 a b
线与两渐进线 l1 : y ?

PP b b x , l 2 : y ? ? x 分别交于点 P1 , P2 ,设 ? = 1 . a a PP2

求证: S

?OP1 P2

=

2 (1 ? ?) ab 4|? |

三、(训练题17)(满分35分)在△ ABC 的边 AB 上任取一点 P ,过 P 作 AC 的平行线交 BC 于 Q ,过 P 作 BC 的平行线交 AC 于 R ,是否存在 C 点以外的一个定点 M ,使得 C , Q, R, M 四点共圆?证明你的结 论。 四、(训练题17)(满分35分)在公差 d >0的正项等差数列 ?a n ? : a1 , a 2 , …, a 3n 中,任取 n ? 2 个数。试 证明其中必存在两个数 a i , a j 满足不等式

1<

| ai ? a j | nd

<2.

数学奥林匹克高中训练题(13) 第一试(总分90分)
一、选择题(每小题6分,共36分) 1.(训练题18)已知集合 P ? ?a1 , a 2 , … , a n ,… 又知集合 Q ? n ?1 ? i ? (A) P ? Q

?

,且满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? 4?n ? 1? ?n ? N , n ? 1? .

?

2n

? 2 n i, n ? N 则 P, Q 的关系是(A)
(C) P ? Q (D) P ? Q ? ?

?

(B) P ? Q

2.(训练题18)若关于 x 的方程 k cos x ? arccos

? ? 0 有实数解,且 x 属于第三象限,则(C) 4 ? 4
(D)

(A) k ≥―arccos

? 4

(B) k <

2 2

(C) k >arccos

? ? <k < 4 2

3.(训练题18)两枚红色棋子、两枚白色棋子、两枚绿色棋子摆成一圈.则不同的摆法有(B)种 (A)15 (B)18 (C)24 (D)90 4.(训练题18)方程 7 ? 3 ? 2 ? 1 的正整数解的组数为(C)
x y

(A)4

(B)3

(C)2

(D)1

数学奥林匹克高中训练题(13) 第 22 页 共 68 页

5.(训练题18)关于 x 的方程 1997 ? (A)1996 (B)4 (C)2

1996 k ?1

? ?? 1? ?1997 ? k ?x
k

k

? 0 的实根的个数为(D)

(D)0
2 2

6.(训练题18)已知 x, y 都是自然数,且 x ? y ? 6 是 xy 的整数倍.则

x2 ? y2 ? 6 是一个(B) xy

(A)完全平方数 (B)完全立方数 (C)完全四次方数 (D)素数 二、填空题(每小题9分,共54分) 1.(训练题18)中国足球甲 A 联赛共有12个足球俱乐部参加,实行主客场双循环赛制,即任何两队分别在 主场和客场各比赛一场,胜一场得3分,平一场各得1分,负一场得0分,在联赛结束后按积分的高低排出 名次.则在积分榜上位次相邻的两支球队积分差距最多可达 46 分. 2. (训练题18)若 log?

? <2 , 则使关于 x 的函数 y ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? )( x ? R ) 为偶函数的 ?

?的

个数是 10 个. 3.(训练题18)在平面上,一条抛物线至多把平面分成两部分,两条抛物线至多把平面分成七部分.则10 条抛物线至多把平面分成 191 部分. 4.(训练题18)过双曲线 ? x ? 2 ? ?
2

y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交该双曲线于 A, B 两点.如果 AB ? 4 ,则这 2

样的直线的条数为

3

条.

5.(训练题18)设 x, y , z , w 是不全为零的实数,且满足 xy ? 2 yz ? zw ≤ A x ? y ? z ? w
2 2 2

?

2

? ,则 A 的最

小值是

2 ?1 2



6.(训练题18)一张正方形的纸被一条直线分成两部分,其中一部分再被一条直线分成两部分,再把三分 之一被一条直线分成两部分,如此下去,最后得到了19个96边形和其他一些多边形.则至少要切割 1766 次.

第二试(总分120分)
一、(训练题18)(25分)在三棱锥 A ? BCD 中, ?DAB ? ?BAC ? ?DAC ? 90? , ?ADB ? ?BDC ? ?ADC ? 90? 试证:二面角 A ? BC ? D 的度数大于 70? 二、(训练题18)(25分)设 a i >0, i ? 1,2, …, n, n ≥2,求证:
n 2n ? 1 3 5 7 1 ? ? ?…? < 4? a1 a1 ? a 2 a1 ? a 2 ? a3 a1 ? a2 ? ? ? an i ?1 a i

三、 (训练题18) (35分) 给定 n 个 ( n ≥5) 互不相等的实数 a1 < a 2 <…< a n , 所有的 C n 个和 a i ? a j (1
2

≤ i , j ≤ n , i ? j )中互不相同的数恰好有 2n ? 3 个的充分必要条件是 a1 , a 2 , ?, a n 成等差数列. 四、(训练题18)(35分)对给定的自然数 m 与 n , m < n ,任意一个由 n 个连续整数组成的集合都含有两 个不同的数,它们的乘积能被 mn 整除.
数学奥林匹克高中训练题(13) 第 23 页 共 68 页

数学奥林匹克高中训练题(14) 第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题19)四面体 ABCD 的所有二面角皆为锐角,相对的棱都两两相等,该四面体的6个二面角的平 面角为 ? i (i ? 1, 2,? , 6) ,则 (A) 1 2.(训练题19)若方程组 ? (A)0

? cos?
i ?1

6

i

= (B). (C)4 (D) 不是定值

(B)2

? x2 ? y 2 ? r 有唯一的实数解 ( x, y ) ,则 r 的值是(C). ?x ? y ? a ? r
(B)1 (C)

1 2
2 2

(D) ?
2

1 2

IA IB IC 3.(训练题19)若 ?ABC 三边的长为 a, b, c ,内心为 I ,则 ? ? 的值为(A). bc ca ab
(A)1 (B)2
t t

(C)

1 2
t

(D) 不是定值

4.(训练题19) 若函数 f ( x) ? sin x sin tx ? cos x cos tx ? cos 2 x ,对所有的实数 x 恒为常数,则正整数

t 的值为(A).
(A) 3 5.(训练题19)设 f ( x ) ?
5

(B) 1

(C) 3或1
12

(D) 不存在

?x
i ?0

i

, f ( x ) ? a (mod f ( x)) .则 a 等于(D). (C)3 (D) 6

(A)1 (B)2 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

1.(训练题19)已知函数 y ? f ( x) 的反函数是 ? ( x ) ,且 ? ( x ) ? log sec2 ? ( 程 f ( x ) ? 1996 的解是 -1 .

1996 ? ? sin 2 ? ), (? ? (0, ) .则方 x 2

2.(训练题19)椭圆 范围是

x2 y 2 ? ? 1 的任意两点连线的垂直平分线如果与 x 轴相交于 P( x0 , 0) 点,则 x0 的取值 16 4


(-3,3)

3.(训练题19) arcsin

1 7 7 ? arccos ? arctan ? arccot10 ? 31 10 50

? 4



4.(训练题19)把1996分成96个正整数的和,这96个正整数的乘积的最大值是

2020 ? 2176



5.(训练题19)一副扑克牌共有52张(除去两张王) ,将牌发给4个人,每人13张,则某人获得13张牌四种
数学奥林匹克高中训练题(14) 第 24 页 共 68 页

花色齐全的全部情况是

13 1 13 2 13 3 13 C52 ? C4 C39 ? C4 C26 ? C4 C13

种(用组合数表示) .

6 . ( 训 练 题 19) Δ ABC 三 边 为 a, b, c , 若 a ? b ? a ? c , a ? b ? b ? c , 则

b 的取值范围是 a

(

5 ?1 5 ?1 , ). 2 2

第二试
一、 (训练题15)(本题满分25分)设直线 l 满足条件: (1) l 过抛物线 C :y ? 4 x 的焦点; (2) l 的斜率 k ? 2 .
2

若直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点, AB 的中点 M 到直线 Lm : 3 x ? 4 y ? m ? 0(m ? ?3) 的距离为

m 的取值范围. ( ?3 ? m ? 2 )
二、(训练题15)(本题满分25分)设实数 xi ? 0(i ? 1, 2,? , n) 满足
N

1 ,求 5

?x
i ?1

n

i

? 1 ,对正数 m ,求证:

n ? m ? ? 1 ? mxi2 ? n 2 ? m .
I ?1

四、(训练题15)(本题满分35分)设整数 x, y , z , t 满足 x ? y ? z
14 14

14

? t14 .求证: 7 | xyzt .

数学奥林匹克高中训练题(15) 第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 2.(训练题20)把直线 L 沿 Y 轴平移 sin? ? cos? ? 0 个单位,再沿 x 轴平移 单位,所得到的直线与原直线重合,则原直线的斜率为(B). (A) 不存在 (B)

2sin2? ? sin? ? cos? ? 0 个

? cos ? ? ? sin ?

(C)

? sin ? ? ? cos ?

(D)

cos ? ? sin ?

3.(训练题20)三棱锥 A ? BCD 中, AB ? 平面 BCD .则 ?CAD 与 ?CBD 的关系为(D). (A) ?CAD ? ?CBD (B) ?CAD ? ?CBD (C) ?CAD ? ?CBD (D) 不确定 4.(训练题20)设递增正数列 a1 , a2 ,? , an 是分母为60的既约真分数.则

? cos a ? ?
i ?1 i

n

(A).

(A) 0 (B)8 (C) 16 (D) 30 5.(训练题20)从正方体的8个顶点中取出3个顶点使至少有两个顶点在同一棱上,其取法数为(B). (A)44 (B)48 (C)50 (D) 52 6.(训练题20)存在 x1 , x2 ,?, xn 满足 xk 2 ? 1 ? 0 ,且使

x1 x2 x x ? ?? n?1 ? n ? 0 成立的充要条件是(B). x2 x3 xn x1

数学奥林匹克高中训练题(15) 第 25 页 共 68 页

(A) 2 | n

(B) 4 | n

(C) 6 | n

(D) 8 | n

二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题20)已知 f ( x ) ? tan(

? 1? 3 3 ? 2 ? arctan x) 则 f ( 3 )? 4 1? 3 ? 2
x1 ? x2 ? 1

3

3? 2



2.(训练题20)递推数列, ?
1996

?

? xn ? 2 ? axn ?1 ? bxn (n ? N )

, 若 T ? 1996 是使 xT ?1 ? xT ? 2 ? 1 的最小自然数,



?x =
i ?1 i

0



3.(训练题20)在平面 ? 上有一个 ?ABC , ?ABC ? 105 , AC ? 2( 6 ? 2) .在平面 ? 的两侧分别有一
o

点 S , T ,满足 SA ? SB ? SC ?
2 2

41, TA ? TB ? TC ? 5 .则 ST ?

8


2 2

5.(训练题20)在双曲线 x ? y ? 2 上任取三点 A, B, C ,则 ?ABC 垂心 H 的轨迹方程为 x ? y ? 2 . 6.(训练题20)对复数 x ,解析式 u ? x ? x ? i ? x ? 3 的最小值为

7



第二试 一、(训练题20)(本题满分25分)在 ?ABC 的 AB 边上任取一点 D 作 DE // AC 交 BC 于 E ,连 CD .求 证: ?CDE 的面积不超过原三角形面积的

1 . 4

二、(训练题20)(本题满分25分)求证:对于任给的正数 a ,必存在一个自然数 N ,使每一个大于 N 的自然 数 n 都有唯一的自然数 f ( n) ,使

10n 10n ?a? . f ( n) ? 1 f ( n)

三、 (训练题20)(本题满分35分)对于坐标平面上的整点集 S ? {( x, y ) |1 ? x ? y ? 6, x ? N , y ? N } , 求证: 从中任取11个点时必存在3个点,两两之间连线的斜率存在且不为零. 四、(训练题20)(本题满分35分)设 S n ? {1, 2,? , n}( n ? 5) .取 X ? S n , Y ? S n (无顺序),若 X ? Y 或

Y ? X 时,则称 X , Y 为”包含子集对”,否则称为非包含子集对,问 S n 中包含子集对多还是非包含子集
多?证明你的结论.

数学奥林匹克高中训练题(16)
第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.(训练题 21)集合 M 由两个以上连续自然数构成,其元素之和为 1996.这样的集合 M(B) . (A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 有两个 (D) 有三个以上 2.(训练题 21) x ? [0, ? ] , y ? sin(cos x ) 最小值为 a , y ? cos(sin x ) 最小值为 b , y ? tan(sin x ) 最小值
数学奥林匹克高中训练题(16) 第 26 页 共 68 页

为 c , y ? cot(cos x ) 最小值为 d .则 a , b, c, d 大小关系是(C) (A) d ? a ? c ? b (B) c ? a ? b ? d
sin x

(C) a ? d ? c ? b (D) b ? a ? d ? c

3.(训练题 21)若方程 2 a9 (A) a ? 0 或 a ? ?8

? 4a3sin x ? a ? 8 ? 0 有解,则 a 的取值范围是(D)
(B) a ? 0 (C) 0 ? a ?
2

8 31
2

(D)

8 72 ?a? 31 23

4.(训练题 21)椭圆长轴为 6,左顶点在圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 上,左准线为 y 轴.则椭圆离心率 e 的取 值范围是(A) (A)

3 3 ?e? 8 4

(B)

1 3 ?e? 4 8

(C)

1 1 ?e? 4 2

(D)

1 3 ?e? 2 4

5.(训练题 21)设 I ? {1, 2,? ,100} . M 表示 I 中最大元素为 66 的子集个数, N 表示 I 中最小元素为 33 的子集个数, P 表示 I 中最大元素为最小元素 3 倍的子集个数.则(B) (A) M ? N ? P (B) M ? P ? N (C) N ? P ? M (D) P ? M ? N 13 1 3 4 6.(训练题 21)设复数 z≠1,z =1.则 z +z +z +z9+z10+z12 的值为(B) (A) 有理数 (B) 无理数 (C) 虚数 (D) 纯虚数 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.(训练题 21)设实数 x, y 满足方程 9 x ? 4 y ? 3 x ? 2 y ? 0 .则 z ? 3 x ? 2 y 的最大值是____1____.
2 2

2. ( 训练题 21) 设 M , N 是线段 AB 上两点,

AM 1 AN 3 ? , ? ,以 AB 为斜边任作 Rt ?ABC .再作 MB 4 NB 2 MD ? ME ? NF ? NG MD ? BC 于 D , ME ? AC 于 E , NF ? BC 于 F , NG ? AC 于 G . 则比值 y ? AB ? BC ? AC

之最大可能值为___

10 ? 4 3 _____. 5

3.(训练题 21) 动直线 l 交 y 轴于 A ,交 x 轴于 B ,设 ?AOB 面积 S 为定值.过原点 O 作 l 垂线,垂足为

P ( x, y ) .则 P 点的轨迹方程是

( x 2 ? y 2 )2 ? 2 S xy

.

4. (训练题 21) 正四棱锥 S ? ABCD . 延长底面一边 CD 至 E , 使 DE ? 2CD . 过 B, E 和棱 SC 中点 F 作 一平面,这个平面将四棱锥分为两部分.则这两部分体积之比为____31:29___. 5.(训练题 21) 把 ( 7 ? 6) 写成 N ? 1 ?
6

N 的形式, N 为则自然数。则 N =___76545000___.

6.(训练题 21) 从 1,2, …, 1996 中,选出 k 个数,使其中任意两数之和不能被这两数之差整除。则 k 的最 大可能值是 666 .

第二试
一、(训练题 21)(本题满分 25 分)设 f ( x ) 是 x 的整系数多项式 f ( x) ? 17 有五个互不相同的整数根.证 明:方程 f ( x ) ? 0 没有整数根.
数学奥林匹克高中训练题(16) 第 27 页 共 68 页

二、(训练题 21)(本题满分 25 分)空间有 n 个平面( n ? 4 ),任意两个不平行,任意三个不共线,它们两 两交线中,最多能有多少对异面直线? 3Cn
k

三 、 ( 训 练 题 21) ( 本 题 满 分 35 分 ) 过 圆 外 两 点 C1 , C2 分 别 作 圆 的 切 线 C1 A1 , C1 B1 和 C2 A2 , C2 B2 ( A1 , A2 , B1 , B2 为切点). (1)两弦 A1 B1 和 A2 B2 相交于圆内某点 P 充要条件什么?(2 ) 若 A1 B1 和 A2 B2 相交 于圆内 P 点,过 P 作弦 AB // C1C2 .求证: PA ? PB . 四、(训练题 21)(本题满分 35 分)某校有微机 n 台,分别放在 n 个房间,各房间开钥匙互不相同。某期培 训班有学员 m 人( m ? n ),每晚恰有 n 人机房实习操作,为保证每人一台机,至少应准备多少把钥匙分给 这 m 个学员,使得每晚不论哪 n 个人进机房,都能用自己分到的钥匙打开一间机房的门进去练习,并按分 得钥匙少的人先开门的原则,能保证每人恰可得到一个房间.

数学奥林匹克高中训练题(17)
第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.(训练题 22)集合 {n | ?

1 1 ? log 1 2 ? ? , n ? N } 的真子集的个数是(A). 2 3 n

(A) 7 (B)8 (C)31 (D)32 2.(训练题 22)从 1 到 9 这九个自然数中任取两个,分别作为对数的真数和底数,共得不同的对数值(B). (A) 52 个 (B) 53 个 (C) 57 个 (D) 72 个 3.(训练题 22)空间有四张不同的平面,则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C). (A) {1, 2,3, 4, 5, 6} (B) {0,1, 2,3, 4,5, 6} (C) {0,1, 3, 4,5, 6} (D) {0,1, 2,3,5, 6}
?1 ?1

4.(训练题 22) 函数 y ? f (x), y ? g(x) 的定义域及值域都是 R ,且都存在反函数,则 y ? f ( g ( f ( x))) 的 反函数是(B). (A) y ? f ( g ( f
?1

( x))) (B) y ? f ?1 ( g( f (x))) (C) y ? f ?1 ( g ?1 ( f (x))) (D) y ? f (g ?1 ( f ?1 (x)))
o o

5.(训练题 22) 若 ? ? cos 40 ? sin 40 ,则 ? ? 2? ? 3? ? ? ? 9?
2 3

9 ?1

等于(D). (D)

(A)

1 cos 20o 18

(B)

1 sin 40o 9

(C)

1 cos 40o 9

2 sin 20o 9

6.(训练题 22) 当 0 ? x ? 1 时,

sin x sin x 2 sin x 2 ,( ) , 2 的大小关系是(B). x x x
(B) (

(A)

sin x sin x 2 sin x 2 ?( ) ? x x x2

sin x 2 sin x sin x 2 ) ? ? x x x2

数学奥林匹克高中训练题(17) 第 28 页 共 68 页

sin x 2 sin x sin x 2 (C) ? ?( ) x2 x x
1 2

sin x 2 sin x 2 sin x (D) ?( ) ? 2 x x x
?1 ?1

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1. (训练题 22) 已知 f (x) ? x2 , g( x) ? ? x ? 5, g ?1 (x) 表示 g ( x ) 的反函数, 设 F(x) ? f (g (x)) ?g ( f (x)) . 则 F ( x) 的最小值是

70 3



2.(训练题 22) 在 1000 和 9999 之间由四个不同数字组成,且个位数字与千位数字之差的绝对值是 2 的整 数共有 840 个. 3.(训练题 22) 四面体 P ? ABC 中, PC ? 面ABC , AB ? 8, BC ? 6, PC ? 9, ?ABC ? 120 ,则二面角
o

B ? AP ? C 的余弦值是

11 111 148



4.(训练题 22) 设 P ? {不少于3的自然数} ,在 P 上定义函数 f 如下:若 n ? P, f (n) 表示不是 n 的约数 的最小自然数,则 f (360360) ? 16 .
n

5.(训练题 22) n 为不超过 1996 的正整数,如果有一个 ? ,使 (sin ? ? i cos ? ) ? sin n? ? i cos n? 成立, 则满足上述条件的 n 值共有 498 个. 6.(训练题 22)在自然数列中由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染 1;再染两个偶数 2,4;再 染 4 后最邻近的三个连续奇数 5,7,9;再染 9 后最邻近的四个连续偶数 10,12,14,16;再染此后最邻 近的五个连续奇数 17,19,21,23,25,按此规则一直染下去,得一红色子列 1,2,4,5,7,9,10, 12,14,16,17,…,则红色子列中由 1 开始数起的第 1996 个数是 3929 .

第二试
一、(训练题 22)(本题满分 25 分) 点 M 是正三角形内一点,证明:由线段 MA, MB 和 MC 为边组成的三 角形面积不超过原正三角形面积的

1 . 3
2 2

二、(训练题 22)(本题满分 25 分) 若 2 x ? y ? 1 ,试求函数 u ? y ? 2 y ? x ? 4 x 的最小值. ?

9 5

三、(训练题 22)(本题满分 35 分) 证明:从任意四个正整数中一定可以选出两个数 x 和 y ,使得如下不等 式成立 0 ?

x? y ? 2? 3 . 1 ? x ? y ? 2 xy

四、(训练题 22)(本题满分 35 分)连结圆周上九个不同点的 36 条弦要么染成红色,要么染成蓝色,我们称 它们为“红边”或“蓝边” ,假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边” ,证明:这九个 点中存在四个点,两两连结的六条边都是红边.

数学奥林匹克高中训练题(17) 第 29 页 共 68 页

数学奥林匹克高中训练题(18)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题23) 1996 ? 1 除以 1996 ? 1997 所得的余数是(D).
3

(A) 1

(B) 1995
2

(C) 1996

(D) 1997

2.(训练题23)若在抛物线 y ? ax ( a ? 0) 的上方可作一个半径为 r 的圆与抛物线相切于原点 O ,且该圆与 抛物线没有别的公共点,则 r 的最大值是(A). (A)

1 2a

(B)

1 a

(C) a

(D) 2a

3.(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线(共四条线段) ,则正确的命 题是(B). (A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边. (B)任何三条线段都可组成一个三角形,其中每个内角都是锐角. (C)任何三条线段都可组成一个三角形,其中必有一个是钝角三角形. (D)任何三条线段都可组成一个三角形,其形状是“锐角的”或者是“非锐角的” ,随长方体的长,宽, 高而变化,不能确定. 4.(训练题23)若 0 ? x ? (A) ?? ?,?? ?

? 1 1 ,则 tan x ? cot x ? ? 的取值范围是(D). 2 sin x cos x 1 (B) ?0,?? ? (C) ( ,??) (D) ?1,?? ? 2
(B) (D)

5.(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻,则其可能的排法个数是(A).

7!?6! 10!?3! (C) 4! 7! 6.(训练题23)使得 n sin 1 ? 5 cos 1 ? 1 成立的最小正整数 n 是(B).
(A) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

8!?7! 5!

10!?7! 3!

1 . ( 训 练 题 23) 设 a ? R , 若 函 数 y ? f ( x), y ? 10 ? 3 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 且 y ? f ( x ) 与
x

y ? lg( x 2 ? x ? a ) 有公共点,则 a 的取值范围是
? 2

a ? ?6



2.(训练题23)设 a, b ? R , i ? ?1 且存在 z ? C ,适合 ? 3.(训练题23)设 0 ? ? ? 90 ,若 1 ? 3 tan(60 ? ? ) ?
? ? ' ' ' '

? ? z ? z z ? a ? bi 则 ab 的最大值等于 z ?1 ? ? 1 ,则 ? 等于 sin ?
30o 或50o

1 8




4.(训练题23)设 ABCD ? A B C D 是棱长为1的正方体,则上底面 ABCD 的内切圆上的点 P 与过顶点

数学奥林匹克高中训练题(18) 第 30 页 共 68 页

A ' , B ' , C ' , D ' 的圆上的点 Q 之间的最小距离 d ?

3? 2 2



5.(训练题23)如图,在直角坐标系 xOy 中,有一条周期性折线(函数)l1 : y ? f ( x). 现把该曲线绕原点 O 按逆时针方向旋转 45 得到另一条曲线 l 2 ,则这两条曲线与 y 轴及直线 x ? n?n ? N ? 围成的图形的面积等
?



n n n (1 ? [ ])( 2n ? [ ]) ? 2 2 2

y . A -3 A -1

A1

A3

A5

A7 x

-3 -2 -1

O1 2 3 4 5 6 7 8 4

6.(训练题23)设 a, b 都是正整数,且 a ? b 2 ? (1 ?

2 )100 则 a ? b 的个位数等于



第二试
一、(训练题23)(本题满分25分) 求证:在复平面上,点集 S ? {z ? C : z ? z ? 1 ? 0} 中,除去某一个点外
3

的所有的点都在圆环

13 5 ? z ? 中. 3 4
2

二、 (训练题23)(本题满分25分)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0), 其焦点为 F .试问: 是否存在过 F 点的弦 AB ( A, B 均在抛物线上,且 A 在第一象限内) ,以及 y )轴正半轴上的一点 P ,使得 P, A, B 三点构成一个 以 P 为 直 角 顶 点 的 等 腰 直 角 三 角 形 ? 证 实 你 的 回 答 . 如 果 回 答 是 肯 定 的 , 请 求 出 直 线 AB 的 方 程. y ?
4

3 p (x ? ) 4 2

三、 (训练题23)(本题满分35分)平面上给定 ?A1 A2 A3 及点 P0 , 构造点列 P0 ,P1 ,P2 ? , 使得 P3 k ?1 为点 P3k 1 绕中心 A1 顺时针旋转 150 时所到达的位置, 而 P3k ? 2 和 P3k ?3 为点 P3k ?1 和 P3k ? 2 分别绕中心 A2 和 A3 顺时针 旋转 105 时所到达的位置, k ? 0,1,2,3,? .若对某个 n ? N ,有 P3 n ? P0 ,试求 ?A1 A2 A3 的各个内角的度
? ?

数及三个顶点 A1 , A2 , A3 的排列方向. 四、(训练题23)(本题满分35分)设 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n , 0 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,且
n n

? a ? ? b 又存在
i ?1 i i ?1 i

n

n

k (1 ? k ? n) 使得当 i ? k 时有 bi ? ai ,当 i ? k 时,有 bi ? a i .求证: ? ai ? ? bi .
i ?1 i ?1

数学奥林匹克高中训练题(19)
第一试
数学奥林匹克高中训练题(19) 第 31 页 共 68 页

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.(训练题 24) 对于每一对实数 x, y ,函数 f 满足方程 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 1 ? xy ,且 f (1) ? 1 .那 么, f ( n) ? n( n ? 1) 的整数 n 的个数共有(B)个. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2.(训练题 24)有六个座位连成一排,三人就座,恰有两个空位相邻的排法种数为(A). (A)72 (B)96 (C) 48 (D) 以上都不对 3.(训练题 24)在一次体育比赛中,红白两队各有 5 名队员参加,比赛记分办法是:队员在比赛中获第几 名就为本队得几分,且每个队员的得分均不同,得分少的队获胜,则可能获胜的分数是(C). (A)29 (B)28 (C) 27 (D) 13 4.(训练题 24)现有下面四个命题: ①底面是正多边形,其余各面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥. ②底面是正三角形,相临两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ③有两个面互相平行,其余四个面都是全等的等腰梯形的六面体是正四棱台. ④有两个面互相平行,其余各个面是平行四边形的多面体是棱柱. 其中,正确的命题的个数是(D). (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)0 5. (训练题 24)设 f : N ? N , 且对所有正整数 n , 有 f ( n ? 1) ? f ( n), f ( f ( n)) ? 3n .f (1997) 的值为(C). (A)1997 6.(训练题 24) ? (B)1268 (C)3804 的解 ( x, y ) 共有(B)组. (C)1 (D)0 (D)5991

? (1 ? x)(1 ? x 2 )(1 ? x 4 ) ? 1 ? y 7
2 4 7 ?(1 ? y )(1 ? y )(1 ? y ) ? 1 ? x

(A)4 (B)2 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

1.(训练题 24)数列 {an } 的前 14 项是 4,6,9,10,14,15,21,22,25,26,33,34,35,38,….按 此规律,则 a16 ? 46 .

2.(训练题 24)函数 f ( x) ? ( x ?

1 1 1 )( x ? 1 ? ) ? 的值域是 x x ?1 x

(0,1)



3.(训练题 24)方程 x ?
2

1 2 30 x ? 1 ? x2 ? x ? 1 ? 1 ? 的解是 2 3 6

13 ? 2 30 7



4.(训练题 24)若方程 x ? (1 ? 2i ) x ? 3m ? i ? 0( m ? R ) 有一实根、一虚根,则此虚根是
2

1 ? ? 2i 2



5 . ( 训 练 题 24) 平 面 上 有 四 点 A, B, C , D , 其 中 A, B 为 定 点 , 且 AB ?

3, C , D 为 动 点 , 且

AD ? DC ? BC ? 1 , 记 S?ABD ? T 为?BCD 的 面 积 . 则 S 2 ? T 2 的 取 值 范 围 是

数学奥林匹克高中训练题(19) 第 32 页 共 68 页

2 3 ?3 7 ? S2 ?T 2 ? 4 8
6.(训练题 24)使不等式 1997 .



1 1 1 1 ? ?? ? ? a ? 1995 对一切自然数 n 都成立的最小自然数 a 是 n ?1 n ? 2 2n ? 1 3

第二试
一、(训练题 24)(本题满分 25 分)已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, c 为半焦距,弦 a 2 b2

AB 过焦点 F2 .求 ?F1 AB 的面积的最大值.
二、(训练题 24)(本题满分 25 分)若 xi ? 0,

? xi ? 1, xi ?1 ? x1 , n ? 6 ,求证: ?
i ?1

n

1 ? n!. i ?1 x ? x i i ?1
n

三、(训练题 24)(本题满分 35 分)已知 ?ABC 是等腰三角形, AB ? AC , CD 是腰 AB 上的高线, CD 的中 点为 M , AE ? BM 于E , AF ? CE于F .求证: AF ?

1 AB . 3

四、(训练题 24)(本题满分 35 分)46 个国家派代表队参加一次国际竞赛,比赛共 4 个题,结果统计如下: 做对第一题的选手 235 人,做对第一、二的选手 59 人,做对第一、三的选手 29 人,做对第一、四的选手 15 人,全做对的 3 人.存在这样的选手,他做对了前三题,但没有做对第四题.求证:存在一个国家,这 个国家派的选手中至少有 4 个人,他们只做对了第一题.

数学奥林匹克高中训练题(20)
第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.(训练题 25)已知函数 y ? ? (A) 2

x?a 的反函数的图象关于点 ( ?1,3) 成中心对称图形,则实数 a 等于(A). x ? a ?1
(C)-2 (D)-4

(B)3

5 ?1 x2 y2 2.(训练题 25)我们把离心率等于黄金比 的椭圆称之为“优美椭圆” .设 2 ? 2 ? 1( a >b>0)为 2 a b
优美椭圆, F , A 分别是它的左焦点和右端点, B 是它的短轴的一个端点,则 ?ABF 等于(C). (A) 60
o

(B) 75

o

(C) 90

o

(D) 120

o

3.(训练题 25)已知 ?ABC 三边的长分别是 a, b, c ,复数 z1 , z2 满足 z1 ? a, z2 ? b, z1 ? z2 ? c ,那么复数

z1 一定是(C). z2
数学奥林匹克高中训练题(20) 第 33 页 共 68 页

(A)是实数

(B)是虚数

(C)不是实数

(D)不是纯虚数

x 1 ? (?1)1?C2 x ? Px5? 2 4.(训练题 25)函数 f ( x) ? 6 2 的最大值是(D). 2 2 1 ? C3 ? C4 ? ? Cx ?1

(A) 20

(B) 10

(C) ?10

(D) ?20

5.(训练题 25)以 O 为球心,4 为半径的球与三条相互平行的直线分别切于 A, B, C 三点.已知 S ?BOC ? 4 ,

S?ABC ? 16 ,则 ?ABC 等于(B).
(A)

? 12

(B)

5? 12

(C)

7? 12

(D)

11? 12

6.(训练题 25)在集合 M ? {1, 2,3,? ,10} 的所有子集中,有这样一族不同的子集,它们两两的交集都不是 空集,那么这族子集最多有(B). (A) 2 个
10

(B) 2 个

9

(C) 10 个

2

(D) 9 个

2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.(训练题 25)在直角坐标系中,一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴,且两直角边上的中线 所在直线方程分别是 y ? 3 x ? 1 和 y ? mx ? 2 ,则实数 m 的值是

3 或12 4



2 . ( 训 练 题 25) 设 f ( x) ?

ax (a ? 0, a ? 1) , [m] 表 示 不 超 过 实 数 m 的 最 大 整 数 , 则 函 数 1? ax
{?1, 0}


1 1 [ f ( x) ? ] ? [ f (? x) ? ] 的值域是 2 2

3 . ( 训 练 题 25) 设 a, b, c 是 直 角 三 角 形 的 三 条 边 长 , c 为 斜 边 长 , 那 么 使 不 等 式

a 2 (b ? c) ? b 2 (c ? a) ? c 2 (a ? b) ? kabc 对 所 有 直 角 三 角 形 都 成 立 的 k 的 最 大 值 是

2?3 2

. A1 D

C1 B1

4.(训练题 25)如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各条棱长都是 1,截面 BCD1 在 棱 AA1 上 的 交 点 为 D , 设 这 个 截 面 与 底 面 ABC 和 三 个 侧 面

C B

ABB1 A1 , BCC1 B1 , CAA1C1 所 成 的 二 面 角 依 次 为 ?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , 若 A cos ?1 ? cos ? 2 ? cos ? 3 ? cos ? 4 ,则截面的面积等于
3 3 8


5.(训练题 25)已知 f ( x ) 是定义域在实数集的函数,且 f ( x ? 2)[1 ? f ( x )] ? 1 ? f ( x ).若f (1) ? 2 ? 3 ,则

f (1949) 的值是

3?2


数学奥林匹克高中训练题(20) 第 34 页 共 68 页

6. (训练题 25)设 x1 是方程 3 sin x ? 3 cos x ? 2a ? 1 的最大负根,x2 是方程 2 cos x ? 2 sin x ? a 的最小
2 2

正根,那么,使不等式 x1 ? x2 成立的实数 a 的取值范围是

1 ? 3 ? a ? ?1或a ? 2 2



第二试
一、(训练题 25)(本题满分 25 分)某眼镜车间接到一任务,需要加工 6000 个 A 型零件和 2000 个 B 型零件, 这个车间有 214 名工人, 他们每一个人加工 5 个 A 型零件的时间可加工 3 个 B 型零件.将这些人分成两组 同时工作,每组加工同一型号的零件,为了在最短的时间完成,应怎样分组?77 二、(训练题 25)(本题满分 25 分)已知一个四边形的各边长都是整数,并且任意一边的长都能整除其余三边 之和.求证:这个四边形必有两边相等. 三、(训练题 25)(本题满分 35 分)实数数列 a1, a2 , a3 ,?, a1997 满足: a1 ?a2 ? a2 ?a3 ??? a1996 ?a1997 ?1997.若 数列 ?bn ? 满足: bk ? 能值. 四、(训练题 25)(本题满分 35 分)给定两个七棱锥,它们有公共的底面 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 ,顶点 P 1, P 2 在底 面的两侧.现将下述线段中的每一条染红,蓝两色之一: P 1, P 2 ,底面上的所有的对角线和所有的侧棱.求 证:图中心存在一个同色三角形.

a1 ? a2 ? ? ak (k ? 1, 2?1997) .求 b1 ? b2 ? b 2 ?b3 ? ? ? b1996 ? b1997 的最大可 k

数学奥林匹克高中训练题(21)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题26) z1 ? 为(B). (A) z1 ? z2 (B) z1 ? z2
2

1 1 cos ? ? i sin ? cos ? ? i sin ? ? , z2 ? ? 的关系 1 ? cos ? ? i sin ? 1 ? cos? ? i sin ? 1 ? cos ? ? i sin ? 1 ? cos ? ? i sin ?
(C) z1 ? z2 (D)不能比较大小

2.(训练题26)已知函数 y ? 2 x 在 [ a, b] ( a ? b) 上的值域为 [0, 2] ,则点 (a, b) 的轨迹为图中的(A). (A)线段 AB, BC (C)线段 OA, BC (B)线段 AB, OC (D)线段 OA, OC
2 2

B C

A

y 1 O x

-1

3.(训练题26)设三角形三个内角的对边分别为 a, b, c ,如果 a ? b(b ? c), b ? c(c ? a ) ,那么,下列等式 中不成立的是(D).

1 2 2 2 (D) sin A ? sin B ? sin C ? 2 2 1 1 4.(训练题26)与三角式 2(cos 2? ? cos ? ? )(cos 4? ? cos 3? ? cos ? ? ) 恒等的是(A). 2 2
(A) ?A ? 2?B ? 4?C (B) (C) cos C ? cos B ? cos A ?
数学奥林匹克高中训练题(21) 第 35 页 共 68 页

1 1 1 ? ? a b c

1 1 1 1 (B) cos6? ? cos3? ? (C) cos 5? ? cos 4? ? (D) cos 5? ? cos 4? ? 2 2 2 2 5.(训练题26)给定四棱锥 S ? ABCD ,其中底面四边形 ABCD 不是平行四边形,用平面截四棱锥得四边
(A) cos6? ? cos3? ? 形 A1 B1C1 D1 ( A1 , B1 , C1 , D1 分别在侧棱 SA, SB, SC , SD 上) , 记集合 M ? {四边形 A1 B1C1 D1 为平行四边形}, 则有(B). (A) M 为空集 (B) M 为无穷集合 (C) M 为单元集合 (D) M 的元素与底面形状有关,不能确定 6.(训练题26)红,黄,蓝变色灯的拉线开关是这样设计的:接上电源即出红色,拉第一次开关时灯色由红 变黄, 拉第二次时灯色由黄变蓝, 拉第三次开关时灯色由蓝变红, 如此循环往复. 现对编号为 1, 2,3,? ,1997 的 1997 盏变色灯通上电源,先将编号为2的倍数的灯线拉一下,然后将编号为3的倍数的灯拉一下,最后 将编号为5的倍数的灯拉一下后,拉完后黄色灯的盏数为(C). (A) 1530 (B) 1464 (C) 932 (D) 866

二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题26)已知 (?1) 2 ? bn (mod 9), 0 ? bn ? 8 ,则 bn 的值域为
n n

1



2.(训练题26)如图,三棱柱上有一个空间五边形 ABCDE , AB 的中点为 A1 , BC 的中点为 A2 , CD 的中点为

A3 , DE 的中点为 A4 ,连 A1 A3 , A2 A4 , M 是 A1 A3 的中点, N 是 A2 A4 的中点,则

MN ? AE

1 4
D



A A4 A1 E M N C A2 3.(训练题26)双曲线 y ? x ?1与 y ?
2 2

A3

?x2 B ?x1 ? 0, ? ? 2 2, ? 4x ? 2 ?x3 ? ?2 2 ? 5, ? ?x4 ? ?2 2 ? 5, 的交点为 ? . ? ? ? x? 2 ? y2 ? 3; ? y ? 2 ? 10; y ? 2 ? 10. ? y1 ?1; ? ? ? 3 ? 4
k

4. (训练题26)对 S n ? {1, 2,? , n} 的每一个非空子集 A , 我们将 A 中每一个元素 k (1 ? k ? n) 都乘以 (?1) 然 后求和.则所有的这此和的总和为

(?1) n [n ?

1 ? (?1) n n ? 2 ]? 2 2
{x |



5.(训练题26)不等式 lg x ? lg 4 x ? lg 2 x 的解集为

2 1 ?x? } 4 2



6.(训练题26)有 n( n ? 6) 名乒乓球选手进行单循环赛(无和局) ,比赛结果显示:任意5人中既有1人胜于 其余4人,又有1人负于其余4人.则恰胜两场的人数为
2 2 2

1
2

个.
2

三、(训练题26)(本题满分20分)对于曲线 C1 : 3( x ? 2 y ) ? 2( x ? 4 y ) 上原点之外的每一点 P ,求证存
数学奥林匹克高中训练题(21) 第 36 页 共 68 页

在过 P 的直线与椭圆 C2 : x ? 2 y ? 2 相交于两点 A, B ,使 ?AOP与?BOP 均为等腰三角形.
2 2

四、(训练题26)(本题满分20分)已知直线 l1 , l2 , l3 两两成异面直线,问是否存在直线 l 同时与 l1 , l2 , l3 相交? 证明你的结论. 五、(训练题26)(本题满分20分) 某县位于沙漠地带,人与自然长期进行顽强的斗争,到1996年底全县的绿 化率已达到30%(成为绿洲) ,从1997年开始,每年将出现这样的局面,原有沙漠面积的16%被栽上树,改 造为绿洲,而同时,原有绿洲的面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.(1)设全县面积为1,1996年底绿洲面积为

a1 ?

3 4 4 ,经过 n 年绿洲面积为 an ?1 ,求证: an ?1 ? an ? .(2)至少需经过多少年的努力才能使全县的 10 5 25

绿化率超过60%(年取整数)? 5

第二试
一 、 ( 训 练 题 26)( 本 题 满 分 50 分 ) 在 锐 角 ?ABC 中 , BD 是 AC 上 的 高 , E 是 AB 边 上 一 点 , 满 足

?AEC ? 45? , BD ? 2CE ,求证: DE // BC 的充要条件是 CE ? AC ? AD .
二、(训练题26)(本题满分50分)已知复数 z 的模为1,求 u ?

( z ? 4) 2 ? ( z ? 4) 2 的最大值. 4i

三、(训练题26)(本题满分50分)将直线上的 a 点染成红色, b 点染成黄色, c 点染成蓝色,使同色点互不相 邻,其染色方法的种数记为 F ( a, b, c ) ,显然有

F (1,1,1) ? 6;

? 0,当 a ? b ? 1时, ? F (a, b,0) ? ? 1,当 a ? b ? 1时, ?2,当 a ? b ? 0时; ?

?0, 当a ? 1时, F (a,0,0) ? ? ?1,当a ? 1时;
(1)证明:对不全为 1 的自然数 a, b, c 有

F (a, b, c) ? F (a ? 1, b ? 1, c) ? F (a ? 1, b, c ? 1) ? F (a, b ? 1, c ? 1) ? 2 F (a ? 1, b ? 1, c ? 1)
(2)利用上述递推关系求解下题: 书架上有 4 本不同的数学书,5 本不同的物理书,3 本不同的化学书,全部竖起排成一行,如果要求 同类书本身互不相邻邦,共有多少种排法?

数学奥林匹克高中训练题(22)
第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
数学奥林匹克高中训练题(22) 第 37 页 共 68 页

1.(训练题 27) 方程 1 ? lg sin x ? cos x 的实根个数是(A). (A) 0 2.(训练题 27) (B)1 (C)2 (D) 大于 2

x2 y2 ? ? 1 的切线交 x 轴于 A 、交 y 轴于 B ,则 AB 的最小值为 (B). a 2 b2
2

(A) 2 a ? b
2

(B) a ? b

(C) 2ab

(D) 4 ab

3.(训练题 27)在 ?ABC 中, lg tan A ? lg tan C ? 2 lg tan B .则 ?B 的范围是(B). (A) 0 ? ?B ?

? 3

(B)

? ? ? ?B ? 3 2

(C) 0 ? ?B ?

? 6

(D)

? ? ? ?B ? 6 2

4. (训练题 27)设 X ? {?1, 0,1}, Y ? {?2, ?1, 0,1, 2} , 且对 X 的所有元素 x , 有 x ? f ( x ) 均为偶数. 则从 X 到 Y 的映射 f 的个数是(C). (A)7 (B)10 (C)12 (D)15

5.(训练题 27)复数 z1 , z2 , z3 , z4 满足 z1 ? z2 ? z3 ? z4 ? 1 ,且 z1 ? z2 ? z3 ? z4 ? 0 .则以四个复数对应 的点为顶点的四边形一定是(D). (A) 梯形 (B) 正方形 (C) 平行四边形 (D) 矩形 6.(训练题 27)一只猴子在一架共有 n 级的梯子上爬上爬下,它每次或者上升 16 级,或者下降 9 级.如果 它能从地面爬到最顶上一级,然后又回到地面则 n 的最小值是(C). (A)22 (B)23 (C)24 (D) 大于 24 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.(训练题 27)

lim 1 1 1 1 ( ? ? ? ? )? 3 3 3 3 n ?? 3 n 1? 2 ? 4 4?3 6?3 9 (n ?1)2 ? 3 n(n ?1) ? 3 n2

1



2. ( 训练题 27) 设 m, n ? N ,且 m ? n ,集合 A ? {1, 2,3,? , m}, B ? {1, 2,3,? , n} ,又 C ? A .则满足

B ? C ? ? 的 C 的个数是

2m ? n (2n ? 1)



D

C

D P

C

3.(训练题 27)如图, ABCD 是正方形, E 是 AB 的中点, 如将 ?DAE 和 ?CBE 分别沿虚线 DE 和 CE 折起, 使 AE 和 BE 重合,记 A 与 B 重合后的点为 P ,则面 PCD 与面

ECD 所成的二面角为

30o



A

E

B

A

E

B

4.(训练题 27)设 M 为所有满足 x ? a ? a ? 总和等于

1 的整数 x 的集合, N 为所有满足 x ? 2a (a ? N ) 的整数的 2

a (2a ? 1)



5.(训练题 27)在不透明的正方体的每一个面上都写着一个自然数,如果正方体的几个(一个、两个或三个) 面可以同时看见,则求出这几个面上的数之和.用这种方法最多能够的到 26 个不同的数. 6.(训练题 27)设正整数列 a1 , a2 , a3 , a4 是等比数列,其公比 r 不是整数而且 r ? 1 .这样的数列中 a4 可取到
数学奥林匹克高中训练题(22) 第 38 页 共 68 页

最小值是 27 . 三、(训练题 27)(本题满分 20 分)三棱锥 S ? ABC 的底面是正 ?ABC ,这个三角形的边长为 4.又已知

AS ? BS ? 19 ,而 CS ? 3 .求这个三棱锥的外接球的表面积.

268 ? 11
2

四、 ( 训练题 27)(本题满分 20 分)函数 f n ( x)( n ? 1, 2,3,?) 定义如下: f1 ( x ) ? 4( x ? x )(0 ? x ? 1) ,

f n ?1 ( x) ? f n ( f1 ( x))(n ? 1, 2,3,?) .设在 [0,1] 上使 f n ( x) 取最大值的 x 的个数为 an ,取最小值的 x 的个数
为 bn .试把 an 和 bn 用 n 表示,并用数学归纳法证明. 五、(训练题 27)(本题满分 20 分) 设 S ? { 定存在 z ? S ,使得 x ? z ? y .

mn | m, n ? N } .求证:如果 x, y ? S ,且 x ? y ,那么一 m ? n2
2

第二试
一、(训练题 27)(本题满分 50 分)设 ABCD 是圆内接四边形, ?A, ?B 的角平分线交于 E ,过 E 作平行于

CD 的直线,与 AD 交于 L ,与 BC 交于 M .求证: AL ? BM ? LM .
二、(训练题 27)(本题满分 50 分)已知两条对称轴互相平行的抛物线 L1 和 L2 ,它们相交于两点 A0 和 B0 , 在 L1 上任取 2n 个点 A1 , A2 ,?, A2 n ,在 L2 上取这样 2n 个点 B1, B2 ,?, B2n ,使 A0 A1 // B0 B1 , A1 A2 // B1 B2 ,

? , A2 n ?1 A2 n // B2 n ?1 B2 n .求证: A2 n B0 // B2 n A0 .
三、(训练题 27)(本题满分 50 分)证明:对任意的 n ? N , n ? 2 ,都存在 n 个互不相等的自然数组成的集合

M ,使得对任意的 a ? M 和 b ? M , a ? b 都可以整除 a ? b .

数学奥林匹克高中训练题(23)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题28)对 x1 ? x2 ? 0,1 ? a ? 0 ,记 y1 ? 为(C). (A) x1 x2 ? y1 y2 (B) x1 x2 ? y1 y2
2

x1 ax ax1 x ? 2 , y2 ? ? 2 .则 x1 x2 与 y1 y2 的关系 1? a 1? a 1? a 1? a
(C) x1 x2 ? y1 y2

(D)不能确定,与 a 有关

2.(训练题28)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a ? 4 的定义域为 R ,值域为 [1, ?? ) .则 a 的取值为(D). (A)区间 [ ?1,3] (B)区间 (1 ? 5,1 ? 5) (C)区间 (??, ?1) ? (3, ??) (D)集合 {?1, 3}

数学奥林匹克高中训练题(23) 第 39 页 共 68 页

3. (训练题28)如图1, 几何体 ABC ? A1 B1C1 中,AB ? A1 B1 , 则 AA1 , BB1 , CC1 三线共点的充要条件是(C). (A) BC // B1C1且AC // A1C1 (C) AA1 ? BB1且?BAA1 ? ?B1 A1 A (B) BC ? B1C1且AC ? A1C1 (D)面 ABC 与面 A1 B1C1 不平行

4.(训练题28) {an } 是公差为 d 的等差数列,则数列中任(不同)两项之和仍是这个数列中一项的充分必 要条件是(A). (A)存在整数 m ? 1 ,使得 a1 ? md (C) a1 为整数, d ? 1 (B) an ? 0( n ? 1, 2,3,?) (D) a1 ? a2 ? 1, an ? 2 ? an ?1 ? an
2

5. (训练题28) A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D ( x4 , y4 ) 是抛物线 y ? ax ? bx ? c( a ? 0) 上的四点, 且满足

x1 ? x4 ? x2 ? x3 .则有(A).
(A) AD // BC (B) AD ? BC
4n?2

(C) AD 与 BC 相交但不垂直 (D)不能确定,与字母取值有关

6.(训练题28)已知 (1 ? ix) (A) (?1) 2
n 2 n ?1

( x ? R) 展开式中的实部是关于 x 的多项式,则此多项式的和为(B).
(B)0 (C) 2
2 n ?1

(D) ?2

2 n ?1

二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题28)已知 M ? cos5 sin15 sin25 sin35 , N ? sin5 cos15 cos25 cos35 .则
o o o o o o o o

M ? N
C

1



2.(训练题28)不等式 x ? 4 x ? 4 ? 16 ? x 的解的集合为
2 2

{?4, 0}



3. ( 训练题 28) 如图 2 ,直三棱柱 ABC ? ABC 1 1 1 中,底面是等腰直角三角形,

A

B C1

?A1B1C1 ? 90 , A1C1 ? 1 , AA1 ? 2 ,连 AB1 , AC1 ,则平面 AA1 B1 与平面
o

AB1C1 所成二角面的平面角为

arctan 2
b

(用反三角函数表示) . A1 10 . 0

4.(训练题28)已知 a ? lg a ? 10, b ? 10 ? 10 ,则 a ? b ? 5.(训练题28)已知 1 ?

B1

1 1 1 1 n ? ? ? ...... ? ? ( n, m ? N ) .则 n ? 2 3 4 1996 m

(mod1997) .

6.(训练题28)有五个匣子,每个匣子有一把钥匙,并且钥匙不能通用.如果随意在每个匣子内放入一把钥 匙,然后把匣子全部锁上,现允许砸开一个匣子,使得能相继用钥匙打开其余4个匣子,那么钥匙的放法 有 24 种. 三、(训练题28)(本题满分20分)已知直线 l : y ? kx ? h( k , h ? 0) 与 x 轴

交于 A 点, 与 y 轴交于 B 点, 且与椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 没有公共点. 求 A a 2 b2
G

D

N

C B F E C1 B1

数学奥林匹克高中训练题(23) 第 40 页 共 68 页

M D1 A1

证: AB ? a ? b . 四、(训练题28)(本题满分20分)如图3,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? ABC 切去它的 1 1 1D 1 中,沿 ACB 1, ABD 1 两角,再沿面 BDC1, ACD1 切去两角.求所剩下几何体的体积.

1 3 a 2

五 、 ( 训练题 28)( 本题满分 20分) 已知 a0 , a1 , a2 ,? , an 为等 差数列, f ( x) ?

bx (b ? 0) , 求证 : bx ? b

? a C [ f ( x)] [ f (1 ? x)]
k ?0 k k n k

n

n?k

? a0 f (1 ? x) ? an f ( x) .

第二试
一、(训练题28)(本题满分50分)梯形 ABCD 中, CD // AB, ?ABC 与 ?BAD 均为锐角,连对角线 AC, BD , 求证:必可把 ?ABC 分成4个互不重叠的三角形 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ,把 ?ABD 也分成4个互不重叠的三角形

Y1 , Y2 , Y3 , Y4 ,使得 X i ? Yi (i ? 1, 2,3, 4) . 1 ? a ? , 1 ? ? 2 二、(训练题28)(本题满分50分)已知数列 ? ?a ? 1 (a a ? a a ? ? ? a a ? a a ). n 1 n ?1 2 n ?2 n ?2 2 n ?1 1 ? 3n ? 1 ?
求证: an ?1 ? an . 三、(训练题28)(本题满分50分)凸66边型内角中,必存在两个角 ? , ? ,使得 cos a ? cos ? ?

1 . 1997

数学奥林匹克高中训练题(24)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题29) 1 ? sin 1997 ? 1 ? cos 1997等于 (D).
2 2

(A) cos1997 ? sin1997 (B) ? cos1997 ? sin1997 (C) ? cos1997 ? sin1997 2.(训练题29)复数 z 满足 z ? (A) 1个

(D) cos1997 ? sin1997

1 ? R 且 z ? 2 ? 2 ,则这样的复数有(D). z
(C) 3个 (D) 4个

(B) 2个

3.(训练题29)已知 a, b 都是正实数.则 x ? y ? a ? b 且 xy ? ab 是 x ? a 且 y ? b 的(B). (A)充分不必要条件 (B)必要不充分件 (C)充要件 (D)既不充分也不必要条件

4.(训练题29) a, b 是两个正整数,最小公倍数为465696.则这样的有序正整数对 (a, b) 共有(D) 个.
数学奥林匹克高中训练题(24) 第 41 页 共 68 页

(A)144
2

(B)724

(C)1008

(D)1155

5.(训练题29)方程 2x ? px ? q ? 0 的根是 sin? 和 cos?.则在 poq 坐标平面上,点 ( p, q) 的图形是(B).

q
1 .

q
2. 5 1 . 1

q
. .
2

q
. .
1 2

. .
-2

o

. .
2


-1

p

. .
-2

o


-1

1

2 2

p

. .
-2 -1

o

p

. .
-2 -1

o

. .
1 2

p

(A)

(B)

(C)

-2. 5

(D)

6. ( 训练题 29) 对一个棱长为 1 的正方体木块 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,在过顶点 A1 的三条棱上分别取点

P, Q, R ,使 A1 P ? A1Q ? A1 R .削掉四面体 A1 ? PQR 后,以截面 ?PQR 为底面,在立方体中打一个三
棱柱形的洞, 使棱柱侧面都平行于体对角线 A1C . 当洞打穿后, 顶点 C 处被削掉, 出口是一个空间多边形. 则 这个空间多边形共有(B) 条边. (A)3 (B)6 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题29) n ? 111 ?? 11 , f (n) ? 90n ?? ?? ?
1999 个1

(C)8
2000

(D) 9 1 .

? 20n ? 1997 .则 f (n) 被3除的余数是

2.(训练题29)函数 f ( x ), g ( x ) 是 R 上定义的函数,且 f ( x ) ? 0 的解集为 {x |1 ? x ? 2}, g ( x ) ? 0 的解集是 空集,则不等式 f ( x ) g ( x ) ? 0 的解集是

{x | x ? 1或x ? 2}



3.(训练题29)棱锥 S ? ABC 的底面是正三角形 ABC ,侧面 SAC 垂直于底面,另两个侧面同底面所成的 二面角都是 45 ,则二面角 A ? SC ? B 的值是
o

arctan 7
2

( 用反三角函数表示).

4.(训练题29)若 2 x ? y ? 1 ,则函数 u ? y ? 2 y ? x ? 4 x 的最小值等于
2

?

9 5



5.(训练题29)六个正方形 A, B, C , D, E , F 放置如图所示,若 A, B, C

三个

S 正方形面积之和为 S1 , D, E , F 三个正方形面积之和为 S2 ,则 1 ? S2
3 .

C F A

E D

B

6.(训练题29)已知 a, b, c 是一个直角三角形三边之长,且对大于2的 数 n ,成立 ( a ? b ? c ) ? 2( a
n n n 2 2n

自然 .

? b 2 n ? c 2 n ) .则 n ?

4

三、(训练题29)(本题满分20分)棱锥 S ? ABC 中, SA ? 4, SB ? 7, SC ? 9, AB ? 5, BC ? 6, AC ? 8 .试求 棱锥 S ? ABC 体积的最大值. 四、(训练题29)(本题满分20分)数列 {an } ,适合条件 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 4, a5 ? 5, a6 ? 119 ,当 n ? 5
数学奥林匹克高中训练题(24) 第 42 页 共 68 页

时, an ?1 ? a1a2 ? an ? 1 ,证明 a1 ? a2 ? ? ? a70 ? a1a2 ? a70 .
2 2 2

五 、 ( 训 练 题 29)( 本 题 满 分 20 分 ) 已 知 f ( x ), g ( x ) 和 h( x ) 都 是 关 于 x 的 二 次 三 项 式 , 证 明 : 方 程

f ( g (h( x))) ? 0 不能有根1,2,3,4,5,6,7,8.

第二试
一、 ( 训练题 29)( 本题满分50分)有限数集 S 的全部元素的乘积,称为数集 S 的“积数” .今给出数集

1 1 1 1 1 M ? { , , ,? , , } ,试确定 M 的所有偶数个(2个,4个,…,98个)元素子集的“积数”之和 2 3 4 99 100
的值.24.255 二、(训练题29)(本题满分50分)凸四边形 ABCD 的对角线交点为 O .证明: ABCD 是圆外切四边形的充 分必要条件是 ?AOB 、?BOC 、?COD 、?DOA 的内切圆半径 r1 , r2 , r3 , r4 满足关系式

1 1 1 1 ? ? ? . r1 r3 r2 r4

三、(训练题29)(本题满分50分) a1 , a2 ,? , a11 ; b1 , b2 ,? , b11 是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11的两 种不同的排列.证明: a1b1 , a2b2 ,? , a11b11 中至少有两个被11除所得的余数相同.

数学奥林匹克高中训练题(25)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题30)设 A ? {1, 2} ,则从 A 到 A 的映射中,满足 f [ f ( x )] ? f ( x ) 的个数是(C). (A) 1个 (B)2个 (C) 3个 (D)4个

2.(训练题30)在顶点为 (1997, 0) , (0,1997) , ( ?1997, 0) , (0, ?1997) 的正方形 R (包括边界)中,整点 的个数为(B) 个. (A)7980011

(B)7980013

(C)7980015

(D)7980017

3.(训练题30)设 M ? {( x, y ) | xy ? 1, x ? 0}, N ? {( x, y ) | arctan x ? arc cot y ? ? } ,那么(B). (A) M ? N ? {( x, y ) | xy ? 1} (C) M ? N ? N (B) M ? N ? M (D) M ? N ? {( x, y ) | xy ? 1且x, y不同时为负数}

4.(训练题30)在四面体 ABCD 中,面 ABC 及 BCD 都是边长为 2a 的等边三角形,且 AD ? 2 2a, M , N 分别为棱 AB, CD 的中点,则 M 与 N 在四面体上的最短距离为(A). (A) 2a (B)

3 a 2

(C) a

(D)

5 a 2

5.(训练题30)已知三个三角形 ?, ?1 , ? 2 的周长分别为 p, p1 , p2 .若 ? ? ?1 ? ? 2 ,且较小的两个三角形 ?1
数学奥林匹克高中训练题(25) 第 43 页 共 68 页

和 ? 2 可以互不重叠地放入大三角形 ? 的内部,则 p1 ? p2 的最大值是(B). (A) p (B) 2 p (C) 3 p (D) 2 p

6.(训练题30)以正 n 边形顶点为顶点的不相同的三角形的个数等于(D). (A) [

n2 ] 10

(B) [

n2 ] 11

(C) [

n2 ] 12

(D)非上述答案

二、填空题(本题满分42分,每小题7分) 1.(训练题30)设 p, q ? N ,且 1 ? p ? q ? n ,其中 n 是不小于3的自然数,则形如

p 的全体分数之和为 q

1 n(n ? 1) 4



2.(训练题30)在 ?ABC 中,已知三个角 A, B, C 成等差数列.若其对边分别为 a, b, c ,并且 c ? a 等于 AC 边上的高 h ,则 sin

C?A ? 2

1 2



3.(训练题30)若 2 f (1 ? x ) ? 1 ? xf ( x ) ,则 f ( x ) ?

x?3 x ?x?4
2



4. (训练题30)在 ?ABC 中,D 在 BC 上,BD : DC ? 3 : 2 ,E 在 AD 上,AE : ED ? 5 : 6 , 延长 BE 交 AC 于 F ,则 BE : EF ?

9:2


2

5.(训练题30)数列 {an } 满足 a1 ? p, an ?1 ? an ? 2an ,则通项 an ?

( p ? 1)2 ? 1

n?1



6.(训练题30)已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5, 6}, B ? {6, 7,8,9} ,从 A 中选3个元素, B 中选2个元素,能够组成 90 个有5个元素的新集合.
2

三 、 ( 训 练 题 30)( 本 题 满 分 23 分 ) 已 知 M 是 抛 物 线 y ? 2 px 的 动 弦 AB 上 的 点 , O 为 坐 标 原 点 ,

OA ? OB, OM ? AB ,求点 M 的轨迹方程. ( x ? p ) 2 ? y 2 ? p 2 ( x ? 0)
四、(训练题30)(本题满分24分)黑板上写着11和13这两个数,现在从事如下操作:(1)将某个数重写一遍; (2)将两数相加,写上和数.试证明:①119这个数永远不会出现在黑板上;②任何大于119的自然数均可经 过有限次操作在黑板上出现. 五、(训练题30)(本题满分25分)已知 m ? 0, f (x) ? x2 ? mx ? m ?1 ,求证:对一切 x1 , x2 ,?, xn ? R? .均有

f ( n x1 x2 ? xn ) ?

n

f ( x1 ) f ( x2 )? f ( xn ) 等号当且仅当 x1 ? x2 ? ? ? xn 时成立.

数学奥林匹克高中训练题(25) 第 44 页 共 68 页

第二试
一、 ( 训练题 30)( 本题满分50分)已知 ?ABCD 为任意凸四边形,分别以 AD, BC 为边在四边形外作正

?ADH 和正 ?BCF ;以 AB, CD 为底边在四边形作顶角为1200的等腰三角形 ?ABE 和 ?CDG .求证:
FH ? EG ,且 FH ? 3EG .
二、(训练题30)(本题满分50分) 若干个同学参加数学竞赛,其中任何 m( m ? 3) 个同学都有唯一的公共朋 友(当甲是乙的朋友时,乙也是甲的朋友) ,问有多少同学参加数学竞赛. 三、(训练题30)(本题满分50分) ? 是个循环小数, f k ( m) 表示 ? 的小数点后第 k 位开始,连续 m 位上的数 字之积,证明存在自然数 p, q ,对任意的 s, t 均有 [ f p ( s )] s ? [ f q (t )]t .
1 1

数学奥林匹克高中训练题(26)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题59)已知 x, y 是两个不等的正数,则 A ?

x2 ? y2 x ? y 2 x? y ? ,B? 的 ? xy , C ? xy ? 1 1 2 2 2 ? x y
(C) B ? A ? C (D) B ? C ? A

大小顺序是(C). (A) A ? B ? C

(B) A ? C ? B

2 . ( 训练题 59) 函数 y ? f (x) 与 y ? g ( x) 有相同的定义域,对定义域中任何 x ,有 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

g ( x) g (? x) ? 1 ,且当 x ? 0 时, g ( x) ? 1 ,则 F ( x) ?
(A)奇函数 (B)偶函数

2 f ( x) ? f ( x) 是(B). g ( x) ? 1
(D)非奇非偶函数

(C)既是奇函数又是偶函数

3.(训练题59)已知 a, b 为非零常数,若 M ? a sin ? ? b cos ? , N ? 意的 ? (C). (A) M ? N (B) M ? N (C)仅当 a ? 0 时, M ? N

b a 2 ? b 2 sin(? ? arctan ) ,则对任 a
(D)仅当 b ? 0 时 M ? N

4.(训练题59)如图1,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E、F 分别是面 BB1C1C 和 ABCD 的 D1 C1 中心,则异面直线 EF 与 A1C1 的距离为(C). A1 B1 (A)

a 2

(B)

2 a 2

(C)

3 a 3

(D)

6 a 4
D A

E C

F

B

数学奥林匹克高中训练题(26) 第 45 页 共 68 页

5.(训练题59)已知周期数列 {xn } 满足 xn ? xn ?1 ? xn ? 2 (n ? 3) ,若 x1 ? 1, x2 ? a ? 0 ,则当该数列的周期 最小时,数列的前2002项的和是(B). (A)2002 (B)1335 6.(训练题59)设点 F1 , F2 分别为椭圆 (C)1949 (D)1428

x2 y2 ? ? 1 的左右两焦点, l 为右准线,若在椭圆上存在点 M ,使 a 2 b2

MF1 , MF2 ,点 M 到 l 的距离 d 成等比数列,则椭圆离心率 e 的取值范围是(A).
(A) [ 2 ? 1,1) (B) (0, 2 ? 1] (C) [

2 ,1] 2

(D) (0.

2 ] 2

二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1 . ( 训 练 题 59) 已 知 复 数 z1 , z2 , 满 足 z1 ? 1, z2 ? 2,3 z1 ? z2 ? 2 ? 3i , 则 2 z1 ? z2 ?

3 ? 3i或 ?

9 13 3 ? i 7 7



2.(训练题59)已知 x ? 0, x ? ( y ? 4) ? 4 ,设 w ?
2 2

x 2 ? 3xy ? 2 y 2 ,则 w 的取值范围是 x2 ? y 2
o

2?w?

5 . 2

3.(训练题59)已知在三棱锥 S ? ABC 中,底面三角形每个顶点处的三个面角和均为 180 ,底面三角形三 边分别是 3 、 2 和 5 ,则该三棱锥的体积是

6 3



4.(训练题59)设 f1 ( x) ?

f (0) ? 1 2 ,定义 f n ?1 ( x) ? f1[ f n ( x)] ,且 an ? n ,则 a100 ? 1? x f n (0) ? 2

?

1 2101



x2 5.(训练题59)已知焦点在 x 轴上的椭圆 ? ky 2 ? 1 ,点 A, B 是过原点的直线与椭圆的两个交点,若数 k 2
使得在椭圆上还存在另一点 C ,使 ?ABC 为正三角形,则对所有这样的 k , ?ABC 的面积最大值是

2 3 3



? x y ? ? ?1 6.(训练题59)已知方程组 ? a b ,有且仅有整数解,则满足题意的实数对 (a, b) 的个数是 60 . 2 2 ? ? x ? y ? 50
三、(训练题59)(本题满分20分)已知 ai ? R ,且 ai ? ai ?1 , i ? 1, 2,? , n ? 1 ,求证:
?

an a1 a2 n ? ?? ? ? . a1 ? a2 a2 ? a3 an ? a1 2
数学奥林匹克高中训练题(26) 第 46 页 共 68 页

四、(训练题59)(本题满分20分)给定空间不共面的 n 个点 ( n ? 4) .试问:是否一定存在这样一个平面,仅 过这 n 个点的其中三个?并请证明你的结论. 五、(训练题59)(本题满分20分)如果在一条平面曲线上存在四点,使得这四点构成的图形是一个菱形,则称 该曲线存在内接菱形. 现已知双曲线 c1 :

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 , 双曲线 c : ? ?1, 其中 a ? b, a ? 0, b ? 0 . 证 2 a 2 b2 b2 a 2

明:在双曲线 c1 与 c2 中有且仅有一条存在内接菱形.

第二试
一、(训练题59)(本题满分50分)如图2,点 P, Q 是 ?ABC 的外接圆上(异于 A, B, C )的两点,点 P 关于直 线 BC , CA, AB 的对称点分别是 U , V , W ,连线 QU , QV , QW 分别与直线 BC , CA, AB 交于 D, E , F ,求 证: (1) U , V , W 三点共线; (2) D, E , F 三点共线. W A

U B F Q 二、(训练题59)(本题满分50分)已知 xi ? 0(i ? 1, 2,?, n), n ? 2 ,且 最大值和最小值. 三、 ( 训练题 59)( 本题满分 50 分 ) 已知 (a1 , a2 ,? , an ) 是自然数 1, 2,? , n 的一个排列,且满足:对任意 D P

CE

V

? xi 2 ? 2
i ?1

n

n k x x ? 1 ,试求 xi 的 ? k j ? 1?k ? j ?n j i ?1

1 ? i ? n ? 1 ,均有 ai ? i ? ai ?1 ? i ? 1 . (1) 若记 xi 为数 i (1 ? i ? n) 在排列中所处位置的序号(如排列

(1,3, 4, 2) 中 , x1 ? 1, x2 ? 4, x3 ? 2, x4 ? 3 ) . 求 证 : 对 每 一 个 满 足 题 意 的 排 列 (a1 , a2 ,? , an ) , 均 有

xi ? i ? xi ?1 ? i ? 1 (1 ? i ? n ? 1) 成立.(2)试求满足题意的排列的个数 A( n ) .

数学奥林匹克高中训练题(27)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1 . ( 训 练 题 57) 若 f ( x ) 是 R 上 的 减 函 数 , 且 f ( x ) 图 像 经 过 点 A(0, 3) 和 点 B (3, ?1) , 则 不 等 式

f ( x ? 1) ? 1 ? 2 的解集为(D).
(A) ( ??,3) (B) ( ??, 2) (C) (0, 3) (D) ( ?1, 2)

数学奥林匹克高中训练题(27) 第 47 页 共 68 页

2.(训练题57)若函数 f ( x) ? a sin 2 x ? ( a ? 2) cos 2 x 的图像关于直线 x ? ?
2

? 对称,则 a 的值等于(C). 8

(A) 2 或 ? 2

(B) 1 或 ? 1

(C) 1 或 ? 2

(D) ? 1 或 2

3.(训练题57)设椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1, A(0, ?1) 为短轴的一个端点,M , N 为椭圆上相异两点,若总存 3
(C) ( ?1,1) (D) [ ?1,1]

在以 MN 为底边的等腰 ?AMN ,则直线 MN 的斜率 k 的取值范围是(C). (A) ( ?1, 0] (B) [0,1]

4.(训练题57) f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且对任意的 x 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) .已知当 x ? (2,3] 时,

f ( x ) ? x .那么,当 x ? (?2, 0] 时, f ( x ) 的表达式为(C).
(A) f ( x ) ? x ? 4 (B) f ( x) ? ?

? x ? 4, x ? (?2, ?1] ?? x ? 2, x ? (?1, 0] ?? x ? 1, x ? (?2, ?1] ? ? x ? 3, x ? (?1, 0]

(C) f ( x) ? ?

? x ? 4, x ? (?2, ?1] ? ? x ? 3, x ? (?1, 0]

(D) f ( x) ? ?

5.(训练题57)已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是边长为1的正方体, P 为线段 AB1 上的动点,Q 为底面 ABCD 上 动点.则 PC1 ? PQ 的最小值为(A). (A) 1 ?

2 2

(B) 3

(C) 2

(D)

1 5 ? 2 2

6.(训练题57)已知在数列 {an } 中, a1 ? 1, S n 为前 n 项的和,且满足 S n ? n 2 an ( n ? 1, 2,?) .则 an 的表达 式为(D). (A)

1 ( n ? 2) n?2

(B)

1 (n ? 3) n(n ? 1)

(C)

1 (n ? 4) 2(n ? 1)

(D)

2 n(n ? 1)

二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题57)在 ?ABC 中, AD ? BC 于 D ,且 2.(训练题57)已知函数 y ?

a?x 的反函数图像关于点 ( ?1, 4) 成中心对称.则实数 a 的值 3 x ? a ?1

AD 1 AC AB 的最大值为 ? .则 ? BC 3 AB AC

13

. .

3.(训练题57)集合 A ? {x | a 2 ? 4 x ? x 2 ? a ( x ? 1)}, B ? {x | x ?

1 1 ? } ,当 A ? B 时,a 的取值范围为 2 2

1? a ? 2



4 . (训练题 57)已知线段 AD // 平面 ? ,且到平面 ? 的距离等于8,点 B 是平面 ? 内的一动点,且满足 AB ? 10 .若 AD ? 21 ,则点 D 与 B 距离的最小值为 17 .
数学奥林匹克高中训练题(27) 第 48 页 共 68 页

5.(训练题57)已知多项式 x ? x ? 1 整除多项式 ax ? bx ? 1 .则实数 a ?
2 5 4

3

,b ?

?5



6.(训练题57)设 S ? [ 1] ? [ 2] ? [ 3] ? ? ? [ 2002] ,其中 [ n ] 表示不超过 n 的最大整数。则 [ S ] 值等于 242 .

三、 (训练题57)(本题满分20分)已知 ?ABC 的三内角平分线分别为 AA1 , BB1 , CC1 . 若向量 AA1 , BB1 , CC1 满 足关系 AA1 ? BB1 ? CC1 ? 0 ,试证: ?ABC 为正三角形. 四、(训练题57)(本题满分20分)已知数列 {an }, S n 表示其前 n 项和.若满足关系 S n ? an ? n 2 ? 3n ? 1 ,求数 列 {an } 的通项公式 an 的表达式.( an ? 2n ?

???? ???? ???? ?

???? ???? ???? ?

1 ) 2n

五、(训练题57)(本题满分20分)已知椭圆的半长轴为 a ,半短轴为 b ,短轴的一个端点为 O , P, Q 为椭圆 上异于点 O 的任意两点, OP ? OQ .若点 O 在线段 PQ 上的身影为 M ,试求点 M 的轨迹.

第二试
一、 ( 训练题57)( 本题满分50 分 ) 如图,已知在 Rt ?ABC 中, E G

C

AC ? BC , ?C ? 90o , O 为斜边 AB 的中点,CH 为斜边 AB
高,延长 CH 到 D ,使得 CH ? DH , F 为中线 CO 上任意一 过 B 作 BE ? AF 的延长线于 E ,连结 DE 交 BC 于 G .求

F H O A

上的 点, 证:

B

CF ? GF .
x? 1 x

D

二、(训练题57)(本题满分50分)设 x ? 0 .求函数 f ( x) ?

1 1 [ x][ ] ? [ x] ? [ ] ? 1 x x

的值域.其中 [ x ] 表示不超

过 x 的最大整数. 三、(训练题57)(本题满分50分)圆周上分布着 2002 个点,现将它们任意地染成白色或黑色,如果从某一点 开始,依任一方向绕圆周运动到任一点,所经过的(包括该点本身白点总数恒大于黑点总数,则称该点为 好点.为确保圆周上至少有一个好点.试求所染黑点数目的最大值.

数学奥林匹克高中训练题(28)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题38)已知连结 A(-3,0) ,B(0,-3) ,C(

15 24 , )的三角形与圆 x2+y2=R2(R>0)总有公 7 7

数学奥林匹克高中训练题(28) 第 49 页 共 68 页

共点. 则圆半径 R 的取值范围是(B). (A) ? 0,

? ? ?

? 3 10 ? ? 3 89 ? , ?? ? ? ? ? ? 10 ? ? ? 7 ?

(B) ?

? 3 10 3 89 ? ? 10 , 7 ? ? ? ?

(C) ? 0,

? ? ?

3 2? ? ? (3, ??) 2 ? ?

? ? (D) ? 3 2 ,3 ? ? 3 ? ? ?
C1 B1

2.(训练题38)如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1中 AB、DB1、 D1 A1D1、CC1两两成异面直线. 现作一对相交直线 l1、l2,使 l1 与 AB、DB1均相交,l2与 A1D1、CC1均相交,这样的相交直线 A1 有(D). (A)0对 (B)1对 (C)多于1的有限对 (D)无限对 D 3.(训练题38)如图,过⊙O 外一点 A 作圆的两条切线 AB、 AC,连 BC. 则△ABC 的周长 P 与劣弧 BC 的长 l 之间的关系 A 为(A). (A)P>2l (B)P=2l (C)P2<l (D)不能确定,与 A 的位置有关 4.(训练题38)已知 x 为锐角. 则 sin x ? cos x ?
3 3

C B

B l O

2 ? 是 x ? 的(C). A 2 4

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 C (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 5.(训练题38)如图1,矩形 B1BCC1由正方形 B1BAA1与 A1ACC1拼接而成. 现将图形沿 A1A 对折成直二面角; 如图2,取线段 B1C 内一点 P,记 P 到 AB A1 C A1 B F 的距离为 PE,P 到 A1C1的距离为 PF,则 B C PE 与 PF 的关系为(B). (A)PE>PF (B)PE=PF (C)PE<PF P (D)不能确定,与点 P 的位置有关 6.(训练题38)对 b>a>0,取第1象限的 B A A C B C 点 Ak(xk,yk) (k=1,2,…,n) ,使 a, 图 图 x1,x2,…, xn,b 成等差数列,而 a, y1,y2,…,yn,b 成等比数列. 则各点 A1、A2、…、An 与射线 l∶y=x(x>0)的关系为(C). (A)各点均在射线 l 的上方 (B)各点均在射线 l 上 (C)各点均在射线 l 的下方 (D)不能确定 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) x x x x 1.(训练题38)方程 log5(3 +4 )=log4(5 -3 )的解集合为 {2} . 2.(训练题 38)在直角坐标系上,Rt△OAB 三个顶点的坐标为 O(0,0) ,A (1,0) ,B(1,2).在斜边上任取一点 C(x,2x) (0<x<1) ,过 C 作 CD⊥OA 于 D,作 CE⊥AB 于 E. 记△OCD 的面积为 S1(x),矩形 CDAE 的面 积为 S2(x), △CEB 的面积为 S3(x) (如图) ; 又对同一个 x, 记 f(x)为 S1(x), S2(x),S3(x)中的最大值.当 C 在线段 OB 内变化时,f(x)的最小值为 S2 C S1 O D S3 1 x E y B

4 9



3.(训练题38)满足(an-1)(an+1+1)=0(n=1,2,…,99)的不同数列 a1,a2,…,a100共有 无穷 个. 4.(训练题38)已知纯虚数 x1,x2,…,x1999的模均为1. 则 x1x2+x2x3+…+x1998x1999+x1999x1被4除所得的余数为 1 .
数学奥林匹克高中训练题(28) 第 50 页 共 68 页

5.(训练题38)身高两两不等的10个人排成一列,每个人都比前面的人高或都比前面的人矮. 则符合条件 的排法数有 512 种(用数字作答) . 6.(训练题38)用1,2,…,n,组成无重复数字的 n 位数,规定2不得与1或3相邻时共得2400个不同的 n 位数. 则 n= 7 . 2 2 2 三、(训练题38)(本题满分20分)已知抛物线 S:y=ax +bx+c(a≠0)与二次曲线 ax +y +bx+ay+c+a=0的4个 不同的交点,由草图3、4可以看出,下面三个结论是成立的,请给出证明. (1)两曲线的 4 个交点中,至少有两个交点位于 x 轴的下方; (2)抛物线 S 必与 x 轴有两个不同的交点,记为(x1,0) , (x2,0) ,x1≠x2; (3)两曲线的 4 个交点中,必存在一点(x0,y0) ,使(x0-x1)(x0-x2)<0. 注:对 a、b、c 的不同取值会有无 数个图形, 此处仅就 a<b, 0<a<1 各给出一个示意图,同时也就限制 “由图看出”的解答. -1 O x -1 图4 O C O x y y

图3 四、(训练题38)(本题满分20分)如图,点 O 表示太阳,△ABC 表示一个三角形遮阳栅, 点 A、 B 是地面上南北方向的两个定点, 正西方向射出的太阳光线 OCD 把遮阳栅投射到地面得出遮影△ ABD. 已知光线 OCD 与地面成锐角 θ. (1)遮阳栅与地面成多少度角时,才能使遮影△ABD 面积 最大? (2)当 AC=3,BC=4,AB=5,θ=30°时,求出遮影△ABD 的最大面积. 五、 (训练题38)(本题满分20分)由草图可见, 方程 log 5 (1 ? 有且仅有一个解. 请证明这个结论. A

B

D

x ) ? log16 x

y

x

第二试
一、 (训练题38)(本题满分50分)已知直角梯形 ABCD 的直角腰 AB 存在一 A
数学奥林匹克高中训练题(28) 第 51 页 共 68 页

D

E B C

点 E,使△CDE 为正三角形,又

AE AE 4 . 求 的值. ? CD 4 AB

二、(训练题38)(本题满分50分) 圆周上有 n 个点(n≥2) ,用弦两两连结起来,其中任何3条弦都不在圆 内共点. 现将由此形成的互不重叠的圆内区域的个数记为 an. (1)直接画图求出 a2,a3,a4,a5,a6; (2)确定 an 的表达式. 三、(训练题38)(本题满分50分)求证:数列 an ? 3 cos( n arccos )( n ? 1, 2,?) 的每项都是整数,但都不
n

1 3

是3的倍数.

数学奥林匹克高中训练题(29)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1. (训练题39)若 ? 是空集, 对于一特殊集合 T ? {? , {? }} 来说, 下列命题: ⑴? ? T , ⑵? ? T , ⑶ {? } ? T , ⑷ {? } ? T 中正确的个数为 (D). (A) 1 (B) 2
x

(C) 3

(D) 4

2.(训练题39)已知函数 f ( x) ? (

1 1 a ? 1) , f (lglog8 1000) ? 8 ,则 ? ) cosx ? b sin x ? 6 (a, b为常数,且 a ?1 2

f (lg lg 2) 的值是(B).
(A) 8
1000

(B) 4

(C) ? 4

(D)与 a, b 的值无关

3.(训练题39)计算: (A) ? 2
1998

? (?1)
k ?0 9

k

2k ? 31000 ? k C 2000 ? (B).

(B) ? 2

1999

(C) 2
1999

1998

(D) 2

1999

4.(训练题39)已知 f ( x) ?

?x
k ?0

k

,则多项式 f ( x

) 除以 f ( x) 后,所的余式为(A).
9

(A) 0

(B) 1

(C) f ( x) ? x

(D) f ( x) ? x ? 1
9

5.(训练题39)如图,有 1999 个圆分别与 ?MON 的两边都相切,而这些圆依次一个相切于另一个,如果 最大圆与最小圆的半径分别为 1998,222 .那么,它们中的正中间的圆的半径为(C). (A) 1110 (B) 1776 (C) 666 (D)不能确定

M O O O
y

O19 N

6.(训练题39)如图,一个粒子在第一象限运动,在第一秒内它从原点运动到

(0,1) ,尔后它接着按图所示在与 x 轴, y 轴的平行方向上来回运动,且每一
数学奥林匹克高中训练题(29) 第 52 页 共 68 页

O

x

秒移动一个单位长度,那么, 1999 秒后,这个粒子所在位置为(D). (A) ( 44,25) (B) ( 45,26) (C) ( 26,45) (D) ( 25,44)

二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题39)计算: sin 35 ? sin 85 ? cos 5 cos 55 ?
2 0 2 0 0 0

3 4




2.(训练题39) 1999

2000

除以 10 ,余数是
2

10

996000001

3? ? 2 , arg( x ? 2 3 ) ? ,则 x 的值为 ? (1 ? i ) . 4 6 4.(训练题39)设任意实数 a ? b ? c ? d ? 0 ,要使 log b 1999 ? log c 1999 ? log d 1999 ? m log d 1999 恒
3.(训练题39)已知 x ? C , arg( x ? 2) ?
a b c a

成立,则 m 的最小值是 9



5.(训练题39)已知两点 A(0,1) , B (6,9) .若有一整点 C (注:横,纵坐标均为整数的点称为整点) ,使得

?ABC 的面积最小,则 ?ABC 的面积的最小值为
2

1



6.(训练题39)已知平面直角坐标系中有两动点 P (sec ? , tg? ) ,Q (sin ? , cos ? ? 5) ,其中 ? , ? 为任意实 数,则 P, Q 之间的最小距离为

2 5 ?1


2 n?1

三、(训练题39)(本题满分20分)已知正数数列 {a n } 满足 an an?1 ? an an?2 ? 3 an an?1 ? a

? 2 an an?1 且

1, (n ? 1) ? ? n ?1 a1 ? 1 , a 2 ? 3 .求 {a n } 的通项公式. an ? ? k 2 ?? [(3 ? 1) ? 1].(n ? 1) ? k ?1
四、 (训练题39)(本题满分20分)能被 5 整除的 m 个不同的正偶数与能被 3 整除的 n 个不同的正奇数的总和为

M .对于所有这样的 m, n , 5m ? 3n 的最大值为 123 .问 M 的最大值为多少?请证明你的结论. (1998)
五、(训练题39)(本题满分20分)已知 0 ? a i ?
4 ? (i ? 1,2,3,4) ,且 ? sin 2 ? i ? 1 . 4 i ?1

求证:

sin 2 ? i ? 2. ? i ?1 cos 2? i
4

第二试
一、(训练题39)(本题满分50分)在不超过 2000 的自然数中,任意选取 601 个数,则这 601 个数中一定存在 两数,其差为 3 或 4 或 7 . 二、(训练题39)(本题满分50分)已知距离为 15cm 的 A, B 两点在直线 l 的同侧,且 A, B 到直线 l 的距离分别 为 4cm,16cm .问能否作出经过 A, B 两点且与直线 l 相切的圆?若能,请写出作法,画图并求出圆的半径, 若不能,说明理由.
数学奥林匹克高中训练题(29) 第 53 页 共 68 页

三、 (训练题39)(本题满分50分)若百分位数字为 9 的 n 位自然数 N 的各位数字之和为 M , 其中 n ? 3 , 当 的值最小时, N 是多少?(1999)

N M

数学奥林匹克高中训练题(30)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题37) a 是由 1998 个 9 组成的 1998 位数, b 是由 1998 个 8 组成的 1998 位数,则 a ? b 的各位数字 之和为(C). (A) 19980 (B) 19971 (C) 17982 (D) 17991 2.(训练题37)已知 x ? (0,2? ) ,则方程 3ctg x ? 8ctgx ? 3 ? 0 的所有根的和为(C).
2

(A) 3? (B) 4? (C) 5? (D) 6? 3.(训练题37)已知三个正数 a 、 b 、 c 之和为10,如果它们之中没有一个大于其余数的 2 倍,那么 abc 的 最小值是(B). (A) 32 4.(训练题37)已知 x n ? (B) 31

1 4

(C) 27

7 9

(D) 7

13 16

1 [(2 ? 3 ) n ? (2 ? 3 ) n ] (n ? N ) , x n 为正整数,则 x19981999 的个位数字为(B). 2 (A) 1 (B) 2 (C) 6 (D) 7 A B C 5.(训练题37)已知 ?ABC 中, lg tg , lg tg , lg tg 成等差数列,则 ?B 的取值范围是(B). 2 2 2 ? ? ? 2? 2? (A) 0 ? ?B ? (B) 0 ? ?B ? (C) ? ?B ? (D) ? ?B ? ? 6 3 3 3 3
6.(训练题37)一只小球放入一长方形容器内,且与共点的三个面相接触,小球上有一点到这三个面的距离 分别是 3cm , 3cm , 6cm ,则这只小球的半径(D). (A)只为 3cm (B)只为 6cm (C)只为 9cm (D)以上说法不对 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题37)已知 1998 | 1999! ,则正整数 n 的最大值为
n

55



2.(训练题37)已知 ? O0 是正 ?ABC 的内切圆, ? O1 与 ? O0 外切且与 ?ABC 的两边相切,…, ? On ?1 与

? On 外切且与 ?ABC 两边相切 (n ? N ) . 那么, 在 ?ABC 内所有这些可能的圆 (包括 ? O0 , ? On (n ? N ) )
的面积之和与 ?ABC 的面积之比为

11? 24 3



3.(训练题37) P 是边长为 2 的正 ?ABC 所在平面上的一动点,且 PA ? PB ? PC ? 16 ,则动点 P 的
2 2 2

轨迹为 以正 ?ABC 的中心为圆心,2为半径的圆



4.(训练题37)已知方程 x ? 8 y ? 8 z ? n( n ? N ) 有 666 组正整数解 ( x, y , z ) .那么 n 的最大值是 304 . 5.(训练题37)已知正四面体 ABCD 的六条棱的长分别为 4cm , 7cm , 20cm , 22cm , 28cm , xcm 。 则 [ x ] 的最小值为 8 .
数学奥林匹克高中训练题(30) 第 54 页 共 68 页

6.(训练题37)已知对于每一个实数 x 和 y ,函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? xy .若 f (1) ? m , 则满足 f (n) ? 1998 的正整数对 (m, n) 共有 16 个.

三、(训练题37)(本题满分20分)已知不等式组 围?( 1 ? a ? 2 )

?x 2 ? x ? a ? a 2 ? 0 的整数解恰好有两个,求 a 的取值范 ? ? x ? 2a ? 1
2

四、(训练题37)(本题满分20分)当 x 为何实数时, y ? x ? x ? 1 ? 大值是多少? x ? ?2,1; ymin ? 9

2( x ? 3) 2 ? 2( x 2 ? 5) 2 有最小值,最

五、(训练题37)(本题满分20分)已知函数 f ( x ) 在 R 上有定义,且满足下列条件:① f ( x ) 在 R 严格递减, 且 f ( x) ?

?

?

1 1 2 3 ? ;②在 R 上恒有 f ( x ) f ( f ( x ) ? 2 ) ? f (1) . 2 x x

(1) 求函数值 f (1) ; ( 2) (2) 给出一个满足提设条件的函数 f ( x) .

第二试
一、(训练题37)(本题满分50分)已知如图, AD 是锐角 ?ABC 的角平分线, ?BAC ? ? , ?ADC ? ? , A 且 cos ? ? cos ? .求证 AD ? BD ? CD .
2
2

二、(训练题37)(本题满分50分)求 2

1999

的末四位数. (4688)

B

三、 ( 训练题 37)( 本题满分 50 分 ) 已知 n 是正整数, m 是正奇数, a, b 是正常数,且 a ? b ? 1 ,函数

D

C

f ( x, n) ? ? x ? ax
i ?1

2n

1 m

2 n ?1 m

? b .若实数 s, t 满足 f ( s, n) ? f (t , n ? 1) ? 0 求证: s ? t .

数学奥林匹克高中训练题(31)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题31)方程 ( (A)0

3 x 5 11 ) ? ( ) x ? ( ) x ? 2 x ? 1 实根的个数是(B). 19 19 19
(B)1 (C)2 (D) 无穷多

2.(训练题31)已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为1,点 A 关于直线 A1C 、 BD1 的对称点分别为 P 、

Q ,则 P 、 Q 两点间的距离是(A).
数学奥林匹克高中训练题(31) 第 55 页 共 68 页

(A)

2 2 3

(B)

3 2 2

(C)

3 2 4

(D)

4 2 3

? ? cos ? cos 2 ? 2 ? 1 .则 cos ? ? cos ? 的值等于(A). 3.(训练题31)已知 ? ? cos(? ? ) cos( ? ? ) 2 2
cos ? cos
(A) 1 4.(训练题31)设 ? ? cos
4 3 2

(B)

1 2

(C)

2

(D)

2 2

? ? ? i sin .则 ? x ? ? ??x ? ? 3 ??x ? ? 7 ??x ? ? 9 ? 的展开式是(C). 5 5
4 2

(A) x ? x ? x ? x ? 1 (B) x ? x ? x ? 1
2 2

(C) x ? x ? x ? x ? 1
4 3 2

(D) x ? x ? x ? 1
4 2

5.(训练题31)在圆 x ? y ? 5 x ? 0 内,过点 ( , ) 恰有 n 条弦的长度成等差数列.如果公差 d ? ( , ] , 那么, n 取值的集合是(D). (A){4,5,6} (B){6,7,8,9} (C){3,4,5} (D){3,4,5,6} 6.(训练题31)给定平面内的五个点 A、B、C、D、E, 任意三点不共线,由这些点连成4条线段,每个点 至少是一条线段的端点,则不同的连结方式有(D). (A)120种 (B)125种 (C)130种 (D)135种 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
2 ? x ? 1? 1.(训练题31)函数 f ? x ? ?

5 3 2 2

1 1 6 3

x2 ?1

的递增区间是

[?1,1]



2.(训练题31)已知四面体 ABCD 的体积为 V , E 为棱 AD 的中点,延长 AB 到 F ,使 BF ? AB ,设过

C、E、F 三点的平面交 BD 于 G ,则四面体 CDGE 的体积是
3.(训练题31)满足 sin ? x ? sin x ? ? cos? x ? cos x ? 的锐角 x =

1 V 3



? 4



4. (训练题31)设 S n 是集合 A ? {1, , ?, n ?1 } 的含有3个元素的所有子集的元素之和, 且 lim 极坐标方程 ? ?

1 1 2 4

1 2

4S n ? a. 则 n ?? n 2

1 表示的曲线是 2 ? a cos ?

a ? 4 ,双曲线的右支



5.(训练题31)已知 A、B、C 是平面上任意三点,且 BC ? a, CA ? b, AB ? C .则 y ? 是

c b ? 的最小值 a?b c

2?

1 2



6.(训练题31)如图,有矩形 A1 A2 B2 B1 中,已知 A1 A2 ? 2a, B1 B2 ?

2a .以

边 A1 A2 为长轴作椭圆 C ,C 的短轴长等于 2 A1 B1 . 在 C 上任取一点 P(不
数学奥林匹克高中训练题(31) 第 56 页 共 68 页

同于长、短轴的端点) . 设 直 线 PB1 , PB2 于 A1 A2 的 交 点 分 别 为 M 1 , M 2 . 则 A1M 2 ? A2 M 1 ?
2 2

4a 2



三、(训练题31)(本题满分20分)设 n 为正整数.求证: 1 ?

1 1 1 1 1 2 ? ? ?? ? ? ? . 2 3 4 2 n ? 1 2n 2 8an (n ? 2) . 求 an 的 表 达 4 ? an 2

四 、 ( 训 练 题 31)( 本 题 满 分 20 分 ) 在 数 列 {an } 中 , a1 ? 2 3, an ?1 ? 式. an ? 2 tan

? 3 ? 2n ?1
2

五 、 ( 训 练 题 31)( 本 题 满 分 20 分 ) 经 过 点 M (2, ?1) 作 抛 物 线 y ? x 的 四 条 弦 PQ i i (i ? 1, 2,3, 4) , 且

P 1, P 2, P 3, P 4 四点的纵坐标成等差数列.求证:

P 1M MQ1

P2M ? MQ ? 2

P 3M MQ3

P4 M ? MQ . 4

第二试
一、 (训练题31)(本题满分50分)设 CD 为 Rt?ABC 斜边 AB 上的高,O, O1 , O2 分别是 ?ABC, ?ACD, ?BCD的内 心。求证: ?OO1O2 的外接圆半径与 ?ABC 的内切圆半径相等. 二、 (训练题31)(本题满分50分)设 (a, b) 和 [ a, b] 分别表示整数 a, b 的最大公约 数和最小公倍数.求满足 ( a, b) ? 9[ a, b] ? 9( a ? b) ? 7 ab 的所有整正数解. 三、(训练题31)(本题满分50分)如图, ?ABC 的三条内线段 AD, BE , CF 交于 点 P .用红、兰两种颜色对 ?ABC 的三条边线和三条内线段染色,是同色的 三线不交于一点.证明:在途中所有的三角形中,至少存在两个同色三角形, 且它的各边或延长线被另一线截得的两线段之比的和大于3.

数学奥林匹克高中训练题(32)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题32)设 k 为整数,则 (?1) (A) -4或-2
k 2 ?1997

? (?1) k

2

?19 k ?97

? (?1)k

2

?199 k ? 7

? (?1)k

2

?1997 k

的值为(B).

(B) -2或0

(C) 0或2

(D) 2或4

2.(训练题32) ?ABC 的三边长 a , b, c 满足 b ? c ? 2 a, a ? c ? 2b . 则 (A) (0, ?? )

b 取值范围是(C). a
(D) (0, 2)

(B) (

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

(C) ( , 2)

1 2

数学奥林匹克高中训练题(32) 第 57 页 共 68 页

3.(训练题32)正方体八个顶点的两两连线中,异面直线共有(C)对. (A)114 (B)138 (C)174 4.(训练题32)以椭圆

(D)228

x2 y2 ? ? 1 的长轴为底的内接梯形最大面积是(A). a 2 b2
(B)

(A)

3 3 ab 4

3 ab 2

(C)

3 2 a 6

(D)

3 2 a 8

5.(训练题32)集合 S ? {1, 2, 3, ? ,18} 的五元子集 S1 ? {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } 中,任何两元素之差不为1.这样 子集 S1 的个数为(D).
4 (A) C17 4 (B) C15 5 (C) C13 5 (D) C14

B

6.(训练题32)如图,从 A 到 B (方向只能从左 ? 右或从下 ? 上或从左下 ? 右上) ,不同走法路线种数为(D). A (A)16 (B)18 (C)20 (D)22 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题32)能被9整除且商恰是各位数字平方和的三位数是 315 .

M

2 . ( 训 练 题 32) 方 程 sin(3cos x) ? 2 sin(3cos x) ? sin(2 cos y ) ? 1 ? 0 的 实 数 解 ( x, y ) ?

(2k? ? arccos

? ? , 2k? ? arccos ), k ? Z 6 4



3.(训练题32)数列 1,1, 2,1, 2,3,1, 2, 3, 4,1, 2,?? ,前1997项之和是

42654



4.(训练题32)正三棱锥 V ? ABC 底面边长为 a ,侧棱长为 b , M 为高 VO 上一点, 平行于侧棱 VA 及底边 BC 的平面,则平面截正三棱锥所得截面面积为

VM a ? .过 M 作 MO b


2ab2 (3a ? b) 9(a ? b) 2

5.(训练题32)积乘

? (1 ? 2 cos
k ?1

7

2k? )? 7

3



6. ( 训练题 32) 已知 P( x) ? x5 ? a1 x4 ? a2 x3 ? a3 x2 ? a4 x ? a5 ,且 k ? 1, 2, 3, 4 ,时, P ( k ) ? k ?1997 .则

P (10) ? P ( ?5) ?

75315



三、 (训练题32)(本题满分20分)数列 {xn }: x1 ? 1, xn?1 ? 3xn3 ? 2 xn 2 ? xn . 数列 {yn}: yn ? 前 n 项乘积为 P , {z n } 前 n 项和为 S .求证: S ? P ? 1 .

1 . 若 { yn } 1? 2xn ? 3xn2

四、(训练题32)(本题满分20分)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上有16个点,顺次为 P 1, P 2, P 3 ,? , P 16 , F 为左焦点,每相 52 4 2
数学奥林匹克高中训练题(32) 第 58 页 共 68 页

邻两点与 F 连线夹角都相等 (?PFP 1 2 ? ?P 2 FP 3 ? ?P 3 FP 4 ? ? ? ?P 16 FP 1 ) .设 P 1 到左准线的距离为

di (i ? 1, 2,3,? ,16) .求 ?
i ?1

16

1 . (3) di
a1 ? a2 ? ....... ? a6 , 6

五 、 ( 训 练 题 32)( 本 题 满 分 20 分 ) 给 定 六 个 实 数 a1 ? a2 ? ....... ? a6 . 令 x ?

y?

a12 ? a 2 2 ? ...... ? a 2 6 .求证: a6 ? a1 ? 2 3 y ? x 2 . 6

第二试
一、(训练题32)(本题满分50分)证明:存在一个1997的整数倍,它不超过11位,且各位数字不含有2,3,4, 5,6,7. 二、(训练题32)(本题满分50分)正方形 ABCD 的边长为1,以顶点 C 为圆心,CB 为半径作圆,在 AB 上取

1 过 P 作圆的切线交 AD 于 Q , 切点为 E , 连 CE 交对角线 BD 于 k , 连 AK 交 PQ 于 M . 求 AM BP ? , 5 13 的长. ( ) 30
三、(训练题32)(本题满分50分)证明:在任意 2n ? 2 人中,可以找到两个人 A, B ,使得其余 2n 个人中,至 少有 n 个人,他们中的每一个,或者都认识 A, B ;或者都不认识 A, B .

数学奥林匹克高中训练题(33)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题33)方程 x ? 1 ?
2

x2 ? 2 ? 1 ?

1
3

x2 ? 1

的解集是(D).

(A) {1,5, 2 2}

(B) {

1 1 , } 10 2
2

(C) { , ? }

1 ?

(D) ?

2.(训练题33)一个三角形的三条边恰为 m ? m ? 1, 2m ? 1, m ? 1 ,则这个三角形中最大角为(B).
2

(A)

? 3

(B)

2? 3

(C)

3? 4

(D)

5? 6
2

3.(训练题33)己知 f ( x ) 是 R 上的奇函数, g ( x ) 是 R 上的偶函数 , 若 f ( x) ? g ( x) ? x ? 2 x ? 3 , 则

f ( x) ? g ( x) ? (A).
(A) ? x ? 2 x ? 3
2

(B) x ? 2 x ? 3
2

(C) ? x ? 2 x ? 3
2

(D) x ? 2 x ? 3
2

数学奥林匹克高中训练题(33) 第 59 页 共 68 页

? x 2 ? y 2 ? 14 x ? 10 y ? 58 ? 0, ? 4 . ( 训 练 题 33) 满 足 方 程 组 ? 的数组 2 2 2 2 x ? y ? 16 x ? 12 y ? 100 ? x ? y ? 4 x ? 20 y ? 104 ? 2 29. ? ?
( x, y ) 是(C).

(A)

217 ? 5 415 180 ? 2 415 , 29 29
217 ? 5 415 180 ? 2 415 , 29 29
5? 的(A). 4

(B)

180 ? 2 415 217 ? 5 415 , 29 29

(C)

(D)

180 ? 2 415 217 ? 5 415 , 29 29

5.(训练题33) tan x ? 1 是 x ?

(A)必要条件, 但非充分条件. (B)充分条件, 但非必要条件. (C)充分条件, 也是必要条件. (D)非充分条件, 也非必要条件. 6.(训练题33)正方形纸片 ABCD , 沿对角线 AC 对折, 使 D 点在面 ABC 外, 这时 DB 与面 ABC 所成 的角一定不等于(D). (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题33)若 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? x ? 3 x ? 6 x ? 1 , 则 f ( 2 ? 1) ?
10 9 8 7 6 2

4 .



2.(训练题33) n ? N ,则 1 ?

1 1 1 ? ?? ? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ?? ? n
1

2n n ?1


3.(训练题33)若 z ?

(1 ? i ) 2000 (6 ? 2i ) ? (1 ? i )1998 (3 ? i ) ,则 z ? (1 ? i )1996 (23 ? 7i ) ? (1 ? i )1994 (10 ? 2i )
2 2001

4.(训练题33)多项式 ( x ? 2 x ? 2) 之和为 -1 .

? ( x 2 ? 3 x ? 3)2001 展开后合并同类项,所得结果中 x 的奇次项系数

5.(训练题33)正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱长为1, E 是 DC 中点, F 是 BB1 中点,则四面体 AD1 EF 的 体积是

5 24



6.(训练题33)在坐标平面上,由条件 ?
o

? y ? ? x ? 1, ? 所限定的平面区域的面积是 ? ? y ? ?2 x ? 3

16



三、(训练题33)(本题满分20分) tan 5 是有理数还是无理数?请证明! 四、(训练题33)(本题满分20分)公差为4的有限项的等差数列,它的首项的平方与其余所有项之和不超过 100.请你回答,这个等差数列最多可以有多少项?(8) 五 、 ( 训 练 题 33)( 本 题 满 分 20 分 ) a, b, c 均 为 实 数 , a ? b, b ? c, c ? a . 证 明 :

数学奥林匹克高中训练题(33) 第 60 页 共 68 页

3 a ? b ? 2c ? b ? c ? 2a ? c ? a ? 2b ? ? 2. 2 a ?b ? b?c ? c?a

第二试
一、(训练题33)(本题满分50分) O, H 分别是锐角 ?ABC 的外心与垂心,点 D 在 AB 上, AD ? AH ,点 E 在 AC 上, AE ? AO .证明: DE ? AE . 二、(训练题33)(本题满分50分)某工厂的 m 位工人共提了 n 条 (n ? 1) 不同的合理化建议.经统计发现,每 两个工人提的合理化建议中都至少有一条相同的建议,但没有两个工人所提的建议完全相同.证明:

m ? 2 n ?1 .
三、(训练题33)(本题满分50分)在圆上有21个点.证明:以这些点为端点组成的所有弧中,不超过 120 的 弧不少于100条.
o

数学奥林匹克高中训练题(34)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 2 1 . ( 训 练 题 34) 对 于 一 切 实 数 x , 所 有 的 二 次 函 数 f(x)=ax +bx+c(a < b) 的 值 恒 为 非 负 实 数 . 则

M=

a +b+c 的最小值是(D). b-a

1 1 (B) (C)2 (D)3 2 3 2 2.(训练题34)已知曲线 y =ax 与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点. 如果过这两个交点的 直线的倾斜角为45°,那么实数 a 的值是(A). 1 1 (A)2 (B)4 (C) (D) 2 4 2 3.(训练题34)已知△ABC 的三边长 a、b、c 满足关系式 a -a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0. 则△ABC 最大 内角的度数是(B). (A)150° (B)120° (C)90° (D)60° 4 3 2 4.(训练题34)设 f(x)=x +ax +bx +cx+d,其中 a、b、c、d 为常数. 如果 f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,那 1 么 [f(4) + f(0)] 的值是(C). 4 (A)1 (B)4 (C)7 (D)8
(A) 5.(训练题34)设函数 y ? f ( x) ?

x2 ? x ? n n ?1 (x ? R 且 x ? , n ? N * ) 的最小值为 an,最大值为 bn,记 2 x ? x ?1 2
(B)是公比不为1的等比数列 (D)不是等差数列也不是等比数列
数学奥林匹克高中训练题(34) 第 61 页 共 68 页

cn=(1-an)(1-bn). 则数列{cn} (C). (A)是公差不为零的等差数列 (C)是常数列

6.(训练题34)设 M 是集合 S={1,2,3,…,1998}的子集,且 M 中每一个正整数(元素)仅含有一个0. 则集合 M 所含元素最多有(D). (A)324个 (B)243个 (C)495个 (D)414个 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 2 2 1. (训练题34)已知关于 x 的实系数方程 x -2x+2=0和 x +2mx+1=0的四个不同的根在复平面内对应的点共 圆,则 m 取值的集合是

? 3? ?m ?1 ? m ? 1 , or , m ? ? ? 2? ?



2.(训练题34)已知

sin 3α cos3α kπ = = 3(a ? , k ? Z) . 则 tan2α的值是 π π 4 sin( - 3α) cos( - 3α) 6 6

3 4



x2 y 2 ? ? 1 的中心作两条互相垂直的弦 AC 和 BD,顺次连结 A、B、C、D 得一四边 9 4 形. 那么四边形 ABCD 面积 S 的最大值是 12 .
3.(训练题34)自椭圆 4. (训练题34)设正数数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且存在正数 t, 使得对于所有的正整数 n 有 tS n ? 成立. 如果

t ? an 2

lim
n ??

Sn < t ,那么 t 的取值范围是 an

t?

3

2 2



5.(训练题34)已知球内接四棱锥 S—ABCD 的底面是矩形 ABCD,且 SA=4,SB=8,SD=7,∠SAC=∠SBC=∠ SDC. 则 BD 的长是 BD=9 . 6.(训练题34)已知正整数 m、n 满足 m+n=19. 则关于 x 的方程 cosmx=cosnx 在区间[0,π]上的解的个 数的最大值是 .

?| z1 |? 1, ?| z |? 1, 2 ? ? 三、(训练题 34)(本题满分 20 分)复数 z1、z2、z3、z4、z5 满足 ?| 2 z3 - ( z1 ? z2 ) |?| z1 - z2 | ,求|z5|的最大 ?| 2 z - ( z ? z ) |?| z - z | 1 2 ? 4 1 2 ? ?| 2 z5 - ( z3 ? z4 ) |?| z3 - z4 |
值. 四、(训练题34)(本题满分20分)设 t1、t2是方程 t -(5a-2)t-3a -7a+1=0的两个不等的实根. 求实数 a 的值,使得对于任何非零实数 m,函数 f(x) = cos(mπx)cos[(t1 五、(训练题34)(本题满分20分)如图,三棱锥 P—ABC 的底面 ABC 与圆锥 SO 的底面⊙O 都在平面α上,且 ⊙O 过点 A,又⊙O 的直径 AD⊥BC,垂足为 E. 设三 棱锥 P—ABC 的所有棱长都是1, 圆锥的底面直径与母 线长也都是1. 求圆锥的顶点 S 到三棱锥 P—ABC 的三 个侧面的距离. D
3
2 2

+ t3 2 ) ? πx] 是周期函数.
S P

C O A E B

数学奥林匹克高中训练题(34) 第 62 页 共 68 页

第二试
一、(训练题34)(本题满分50分)设0<x1<x2<…<xn<1. 求 证
2 n ? x1 ? x2 xn (1- x n )2 ? + + ? + < 1. . 2 2 3 2 n +1 2 ? (1- x n ) ? ? (1- x1 ) (1- x 2 )



E P F Q A

D

二、 (训练题 34)(本题满分 50 分)设凸六边形 ABCDEF 的六个内角 均为钝角,且 AB∥DE,BC∥EF,CD∥FA. 以三边 AB、CD、 EF 为边向内各作一个矩形,使它们的顶点两两重合,构成 △PQR(如图). 求证:矩形 ABRQ、CDPR、EFQP 的面积之比等于 sin2C∶ sin2E∶sin2A. 三、(训练题34)(本题满分50分)给定平面上 n(n≥2)个相异的点.

C R B

1 1 3 证明:其中距离为1的点对不超过 n + n2. 4 2

数学奥林匹克高中训练题(35)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题35)|b|≤1是关于 x 的不等式 acosx+bcos3x>1没有解的(A). E (A)必要但不充分条件 (B)充分但不必要条件 D (C)充分必要条件 (D)不充分也不必要条件 A C 2.(训练题35)三棱锥 S—ABC 中,SA⊥平面 ABC,AB⊥AC,SA=AB,SB=BC, E 为 SC 中点, ED⊥SC 交 AC 于 D. 则二面角 E—DB—C 的度数为(C). y B (A)30° (B)45° (C)60° (D)75° ④ 3.(训练题35)图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率 ③ 分别为 e1、e2、e3、e4. 其大小关系为(C). (A)e1<e2<e3<e4 (B)e2<e1<e3<e4 ① ② (C)e1<e2<e4<e3 (D)e2<e1<e4<e3 O x 4. (训练题35)设 a、 b、 c∈R . 则 f ? x ? ?
+

S

x2 ? a ?

?c ? x?

2

?b

的最小值是(D). (A) a ? c ? b
2

(B) c ? a ? b
2 0.5

(C)

2 c? a ? b 2

(D) c ?
2

?

a? b

?

2

5.(训练题35)设 x ? 0.82 (A)x<y<z

, y ? sin1 , z ? log 3 7 . 则 x、y、z 的大小关系是(B).
(C)z<x<y (D)z<y<x
数学奥林匹克高中训练题(35) 第 63 页 共 68 页

(B)y<z<x

6.(训练题35)(a,b)表示两正整数 a、b 的最大公约数. 设(a,b)=1,则(a +b ,a +b )为(C). (A)1 (B)2 (C)只能1或2 (D)可能大于2 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题35)如果 x -x+2是 ax +bx +1的因式,则 a=
2 9 8

2

2

3

3

?

3 256



2.(训练题35)四个城市各派3名政协委员参加 k 个小组考察活动(每名委员可参加几个小组) ,规定:① 同一城市的委员不在同一组;②不同城市的任意两名委员恰好共同参加一个组活动. 则 k 的最小值为 9组 . 2 3.(训练题35)坐标平面上横、纵坐标均为整数的点称为整点. 那么抛物线 y=x +1与直线2x-y+81=0 所围成闭区域内(包括边界)的整点个数是 988 . 4 . ( 训 练 题 35) 设 ( x
1997

? x1999 ? 3)1998 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n . 则 a0 ?

a1 a2 a ? ? a3 ? 4 2 2 2

?

a5 a a ? ? ? a3 k ? 3k ?1 ? 3k ?2 ? ? ? an ? 2 2 2

21998



5.(训练题35)正有理数 a>1,写成既约分数 a ? 512 .

q , ( p , q ) ? 1. 则满足 pq=30!的正有理数 a 的个数为 p
ctgC ? ctgA ? ctgB

6.(训练题35)△ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a、b、c. 若 a +b -7c =0,则 三、(训练题35)(本题满分20分)设实数 x , y 满足 x ? y ? 5.
2 2

2

2

2

3



求 f ( x, y ) ? 3 | x ? y | ? | 4 y ? 9 | ? | 7 y ? 3 x ? 18 | 的最大值、最小值.. 四、(训练题 35)(本题满分 20 分)已知坐标平面内点 A(1,1)与直线 l: x=3,动点 P 到点 A 的距离为 m, 到 l 的距离为 n. 若 m+n=4, (1)求 P 点轨迹方程并画出图形; (2)过 A 作倾角为 α 的直线 s,交轨迹 C 于 Q、R 两点,设 f(α)=|QR|.求 f(α)表达式及 α 为何值时,f(α)取最大、最小值.. 五、(训练题35)(本题满分20分)n 为正整数,r>0为实数. 证明:方程 x + rx -r =0没有模为 r 的复 数根.
n+1 n n+1

第二试
一、 (训练题35)(本题满分50分) (1) 求正整数 x、 y, 使

6 1 1 ? ? . (2) 有多少个正整数 n (n<1997) , 1997 x y

能使

n 1 1 ? ? ?(x、y 为正整数) . 1997 x y

E B O A D O1 C

二、(训练题35)(本题满分50分) 图中⊙O 半径为 R,⊙O1的半径为 r (R>r) ,两圆外切于 A,OD 切⊙O1于 D,O1E 切⊙O 于 E,B、C 分别 为 OE、O1D 的中点.(1)证明:B、A、C 三点不共线.(2)若 R=6, r=3,B 为 OE 的中点,连 BA 并延长交 O1D 于 C,求 O1C 之长..
数学奥林匹克高中训练题(35) 第 64 页 共 68 页

三、(训练题 35)(本题满分 50 分)(1)公路上 A、B 两镇相距 5 公里,A、B 往外各有两条叉路成



状. 计划在每条叉路上各建一加油站. 要求每个站到 A、B 镇及到其他站(沿公路经过 A、B 镇)距 离互不相同,且距离均为整数公里,最长不超过 15 公里,此计划能否实现?(2)若 A、B 向外各有 3 条叉路,欲建六个加油站,依然要求站与镇,站与站之间距离互不相同且为整数公里,最长者不 超过 28 公里,能否实现?为什么?.

数学奥林匹克高中训练题(36)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题36)给定三个二次三项式:P1(x)=x2+b1x+c1,P2(x)=x2+b2x+c2,P3(x)=x2+b3x+c3. 则方程|P1(x)|+ P2(x)=| P3(x)|至少有(C)个根. (A)4 (B)6 (C)8 (D)以上都不对 2.(训练题36)函数 f ( x) ? ? log 1 ( x2 ? ax ? a) 在区间 ??,1 ? 3 上是减函数. 则 a 的取值范围是(B).
2

?

?

(A)0≤a≤2

(B) 2(1 ? 3) ≤a≤2 (C)0≤a≤2或 a≤-4

(D) 2(1 ? 3) ≤a≤2或 a≤-4

3. (训练题36)空间中有九个点, 其中任四点不共面, 在这九点间连接若干条线段, 使图中不存在四面体. 则 图中最多有(D)个三角形. (A)21 (B)24 (C)25 (D)27 4.(训练题36)设 A={(x,y)| 0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)| x≤10,y≥2,y≤x-4}是直角坐标平面 xOy 上的点集. 则 C ? ??

?? x1 ? x2 y1 ? y ? ? , ? ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B ? 所成图形的面积是(D). 2 ? ?? 2 ?

(A)6 (B)6.5 (C)2π (D)7 5.(训练题36)a1,a2,…,a6是和为23的六个两两不同的正整数. 那么 a1a2+ a2a3+…+ a5a6+ a6a1的最小值为 (B). (A)62 (B)64 (C)65 (D)67 6.(训练题36)设 a ? R , A ? ?( x, y ) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ?
2 2
?

? ?

4? ? 与 B={(x, y)||x-1|+2|y-2|≤a}是直角坐标 5?

平面 xOy 内的点集. 则 A ? B 的充要条件是(A). (A)a≥2 (B)a≥ 5 (C)a≥ 6 (D)a≥3

二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题36)平坦的桌面上,放有半径分别1,2,2的三个木球,每球与桌面相切,且与其余两球外切另 外,在桌面上还有一个半径小于1的小木球在三球之间,与桌面相切,且与三木球都外切. 那么,这个小木 球的半径为

4?2 3



2 . ( 训 练 题 36) 设 a 1 ≥ a 2 ≥ … ≥ a n 是 满 足 下 列 条 件 的 n 个 实 数 : 对 任 何 整 数 k > 0 , 有
k k a1k ? a2 ? ? ? an ≥0成立. 那么,p=max{|a1|, |a2|,…,|an|}=

a1



3. (训练题36)m 个互不相同的正偶数与 n 个互不相同的正奇数的和为117. 对于所有这样的 m 与 n, 3m+2n
数学奥林匹克高中训练题(36) 第 65 页 共 68 页

的最大值是

37


2 2

4. (训练题36)已知点( a ,b )在曲线 arcsinx=arccosy 上运动,且椭圆 ax 2 +by 2 =1 在圆 x ? y ?

2 的 3

外部(包括两者相切的情形). 那么,arcsinb 的取值范围为

?? ? ? , ? ?6 4? ?
2



5.(训练题36)不等式

1 2 3 ? ? 的解集,是总长为 x ?1 x ? 2 2

的一些不相交的区间的并集.

6.(训练题36)在四张卡片的正反面上分别写有0与1,0与2,3与4,5与6,将其中任三张并排放在一起组 成三位数,总共可得 124 个不同的三位数. 三、(训练题 36)(本题满分 20 分) 证明: (1)对于任何 x,数|sinx|与|sin(x+1)|中至少有一个大于 ( 2)

1 ; 3

| sin10 | | sin11| | sin12 | | sin 29 | 1 ? ? ?? ? ? . 10 11 12 29 6

四、(训练题36) (本题满分20分)通过四面体 ABCD 的棱 AD 和 BC 的中点 K、N 作平面,交棱 CD 点 M, 交棱 AB 于点 L. 证明: (1)|DM|∶|MC|=|AL|∶|LB|; (2)面积 S△KLN=S△KMN. 五、(训练题36) (本题满分20分)在复平面上有三个点: c1=a+bi, c2=m+bi, c3=a+ni,其中 a> m, n>b, C1C2C3(这里 Ci 表示复数 ci 对应的点)组成一个三角.证明:满足 代表的点 Z,位于这个三角形的内部.

1 1 1 ? ? ? 0 的复数 z 所 z ? c1 z ? c2 z ? c3

第二试
一、(训练题 36)(本题满分 50 分)Rt△CDF 中,∠D=90°,DO⊥CF,O 为垂足. 以 C 为圆心、CD 为半径 作一圆, AA′为过 O 点的圆 C 的动弦, E 为直线 A′A 上一点,且 EF⊥ CF.证明:由 A 、 A′至 EF 的 距离的倒数和为定值. 二、(训练题 36)(本题满分 50 分)(1)当 0≤x≤1 时,求函数 h( x ) ? ( 1 ? x ? 1 ? x ? 2) ? ( 1 ? x 2 ? 1) 的 取值范围; (2)证明:当 0≤x≤1 时,存在正数β,使得不等式 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? α=2. 并求此时的最小正数β. 三、(训练题 36)(本题满分 50 分)( 1)对于三点 A1(x1, y1), A2(x2, y2), A3(x3, y3)组成的三角形,有 x1<x2<x3.证明:当 d 适当小时,点 (x2, y2- d)及点 (x2, y2+d),一在形内,一在形外. ( 2) S 是平面上 n(n≥3)个点 Ai 组成的集合, S 中任三点不共线.证明:平面上存在一个含有 2n- 5 个点的集合 P,使 S 中任意三点所组成的三角形内部至少有一个 P 集中的点. 试问:对于怎样的 n 点,这样的 P 集的点数尚可减少?

xa 成立的最小正数 ?

数学奥林匹克高中训练题(36) 第 66 页 共 68 页

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