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2016届江苏省南通市启东市高三(上)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江苏省南通市启东市高三(上)期末数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.设集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0<x<4},则 A∩B=______. 2.某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查,采用分层抽样的办法抽取样本,该校共有 200 名学生报名参加春季高考, 现抽

取了一个容量为 50 的样本, 已知样本中女生比男生多 4 人,则该校参加春季高考的女生共有______名. 3.如果复数 z= (i 为虚数单位)的实部与虚部互为相反数,那么|z|=______.

4.函数 f(x)=ln(x﹣x2)的单调递减区间为______. 5.如图是一个算法的流程图,则输出的 k 的值是______.

6.若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1,2 两个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则 每个盒子中球数不小于其编号的概率是______. 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3≥6,S5≤20,则 a6 的最大值为______. 8.若 α,β∈(0, 于______. 9.设向量 =(sin ,cos ) , =(sin ,cos ) (n∈N+) ,则 ( ? ) ) ,cos(α﹣ )= ,sin( ﹣β)=﹣ ,则 cos(α+β)的值等

=______. 10.已知直线 l:x﹣2y+m=0 上存在点 M 满足与两点 A(﹣2,0) ,B(2,0)连线的斜率 kMA 与 kMB 之积为﹣1,则实数 m 的取值范围是______. 11.某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形,现一客户定制该圆柱纸筒,并要求该圆柱纸 筒的容积为 27πcm3, 设该圆柱纸筒的底面半径为 r, 则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省 r ______cm 时, 的值为 . 12.已知等比数列{an},首项 a1=2,公比 q=3,ap+ap+1+…+ak=2178(k>p,p,k∈N+) ,则 p+k=______.

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13.设函数 f(x)= 值范围是______.

,若函数 y=f(x)﹣2x+b 有两个零点,则参数 b 的取

14. y> , 对任意实数 x>1, 不等式 p≤

+

恒成立, 则实数 p 的最大值为______.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数 f(x)=2cos2x+ sin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)在△ABC 中,若 C 为锐角,f(A+B)=0,AC=2 ,BC=3,求 AB 的长. 16.如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 是边 BC 上异于 C 的一点,AD⊥C1D. (1)求证:AD⊥平面 BCC1B1; (2)如果点 E 是 B1C1 的中点,求证:平面 A1EB∥平面 ADC1.

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,且右

准线方程为 x=4. (1)求椭圆的标准方程; (2)设 P(x1,y1) ,M(x2,y2) (y2≠y1)是椭圆 C 上的两个动点,点 M 关于 x 轴的对称 点为 N,如果直线 PM,PN 与 x 轴交于(m,0)和(n,0) ,问 m?n 是否为定值?若是, 求出该定值;若不是,请说明理由.

18. 如图, 某景区有一座高 AD 为 1 千米的山, 山顶 A 处可供游客观赏日出. 坡角∠ACD=30°, 在山脚有一条长为 10 千米的小路 BC,且 BC 与 CD 垂直,为方便游客,该景区拟在小路 BC 上找一点 M,建造两条直线型公路 BM 和 MA,其中公路 BM 每千米的造价为 30 万元, 公路 MA 每千米的造价为 60 万元. (1)设∠AMC=θ,求出造价 y 关于 θ 的函数关系式; (2)当 BM 长为多少米时,才能使造价 y 最低?

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19.已知 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=ax﹣1,g(x)=﹣x2+xlna. (1)若 a>1,证明函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数; (2)求函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值; (3)若函数 F(x)的图象过原点,且 F′(x)=g(x) ,当 a>e 时,函数 F(x)过点 A

(1,m)的切线至少有 2 条,求实数 m 的值. 20.已知等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,且数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (1)若 a1=b1=d=2,S3<a1006+5b2﹣2016,求整数 q 的值; (2)若 Sn+1﹣2Sn=2,试问数列{bn}中是否存在一点 bk,使得 bk 恰好可以表示为该数列中 连续 p(p∈N,p≥2)项的和?请说明理由? (3)若 b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中 t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的约数) ,证明数列{bn} 中每一项都是数列{an}中的项. [选修 4-1:几何证明选讲] 21.如图所示,PA,PB 分别切圆 O 于 A,B,过 AB 与 OP 的交点 M 作弦 CD,连结 PC, 求证:

[选修 4-2:矩阵与变换] 22.在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P(1,1)在矩阵 7) ,求 M﹣1. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. 在极坐标系中, 设直线 l 过点 (a>0)有且只有一个公共点,求实数 a 的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.求函数 的最大值. ρ=asinθ , 且直线 l 与曲线 C: 对应的变换下得到点 Q(3,

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25.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,现从中选 2 人.设 ξ 为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数,且 (1)求文娱队的队员人数; (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ) . 26.已知有穷数列{an}共有 m 项(m≥3,m∈N*) ,对于每个 i(i=1,2,3,…,m)均有 ai∈{1,2,3},且首项 a1 与末项 am 不相等,同时任意相邻两项不相等.记符合上述条件的 所有数列{an}的个数为 f(m) . (1)写出 f(3) ,f(4)的值; 2 f m ( )写出 ( )的表达式,并说明理由. .

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2015-2016 学年江苏省南通市启东市高三(上)期末数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.设集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0<x<4},则 A∩B= {x|0<x≤2} . 【考点】交集及其运算. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0<x<4}, ∴A∩B={x|0<x≤2}, 故答案为:{x|0<x≤2} 2.某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查,采用分层抽样的办法抽取样本,该校共有 200 名学生报名参加春季高考, 现抽取了一个容量为 50 的样本, 已知样本中女生比男生多 4 人,则该校参加春季高考的女生共有 108 名. 【考点】分层抽样方法. 【分析】根据样本容量和女生比男生多 4 人,可得样本中女生数,再根据抽取的比例可得总 体中的女生人数. 【解答】解:∵样本容量为 50,女生比男生多 4 人, ∴样本中女生数为 27 人, 又分层抽样的抽取比例为 = ,

∴总体中女生数为 27×4=108 人. 故答案为:108.

3.如果复数 z=

(i 为虚数单位)的实部与虚部互为相反数,那么|z|=



【考点】复数求模. 【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数,解得 a,再利用复数模的计算公 式即可得出. 【解答】解:复数 z= ∴ ∴z= ∴|z|= 故答案为: . + = = 的实部与虚部互为相反数,

=0,解得 a=0. . = .

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4.函数 f(x)=ln(x﹣x2)的单调递减区间为 [ ,1) . 【考点】复合函数的单调性. 【分析】令 t=x﹣x2>0,求得函数的定义域,f(x)=g(t)=lnt,本题即求函数函数 t 在定 义域内的减区间,再利用二次函数的性质可得结论. 【解答】解:令 t=x﹣x2>0,求得 0<x<1,可得函数的定义域为(0,1) , f(x)=g(t)=lnt. 本题即求函数 t 在定义域内的减区间,函数 t 在定义域内的减区间为[ ,1) , 故答案为:[ ,1) .

5.如图是一个算法的流程图,则输出的 k 的值是 4 .

【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,循环可得结论. 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知: 第一次循环,s=5,k=1, 第二次循环,s=13,k=2, 第三次循环,s=13,k=3, 第四次循环,s=29,k=4, 退出循环,输出 k=4. 故答案为:4. 6.若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1,2 两个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则 每个盒子中球数不小于其编号的概率是 .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1,2 两个盒子中,每个盒子的放球数量不限, 先求出基本事件总数,每个盒子中球数不小于其编号的情况是 1 号盒中放 1 个,2 号盒中放 2 个,求出有多少种放法,由此能求出每个盒子中球数不小于其编号的概率.

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【解答】解:将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1,2 两个盒子中,每个盒子的放球数量 不限, 基本事件总数 n=23=8, 每个盒子中球数不小于其编号的情况是 1 号盒中放 1 个,2 号盒中放 2 个,有 法, ∴每个盒子中球数不小于其编号的概率:p= . 故答案为: . =3 种放

7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3≥6,S5≤20,则 a6 的最大值为 10 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由等差数列的前 n 项和公式得到



,由此能求出 a6 的最大值.

【解答】解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3≥6,S5≤20, ∴ ,∴ ,

∴a6=a1+5d=﹣3(a1+d)+4(a1+2d)≤﹣3×2+4×4=10, ∴a6 的最大值为 10. 故答案为:10.

8.若 α,β∈(0, 于 ﹣ .

) ,cos(α﹣

)=

,sin(

﹣β)=﹣ ,则 cos(α+β)的值等

【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】根据题意可得 α﹣ 的值. 【解答】解:∵α,β∈(0, ∴α﹣ =± , ﹣β=﹣ ) ,cos(α﹣ ,∴α=β= )= ,sin( ﹣β)=﹣ , =± , ﹣β=﹣ ,由此求得 α+β 的值, 可得 cos(α+β)

或 α+β=0(舍去) .

∴cos(α+β)=﹣ , 故答案为:﹣ .

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9.设向量

=(sin

,cos

) ,

=(sin

,cos

) (n∈N+) ,则



?



= ﹣1 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】化简 ? =cos .于是根据诱导公式可得 + =

+

=

+

=…=

+

=0,所以



?

)=

+

=cos

+cosπ=﹣1. ? =sin =cos sin +cos +cos cos =cos( + ﹣ )=cos =0, + .

【解答】解: ∴ =0,… + +

=0, 同理,

=0.





?

)=

+

=cos

+cosπ=﹣1.

故答案为﹣1. 10.已知直线 l:x﹣2y+m=0 上存在点 M 满足与两点 A(﹣2,0) ,B(2,0)连线的斜率 kMA 与 kMB 之积为﹣1,则实数 m 的取值范围是 [﹣2 ,2 ] . 【考点】圆方程的综合应用. 【分析】设出 M 的坐标,由 kMA 与 kMB 之积为 3 得到 M 坐标的方程,和已知直线方程联 立,化为关于 x 的一元二次方程后由判别式大于等于 0 求得实数 m 的取值范围. 【解答】解:设 M(x,y) ,由 kMA?kMB=3,得 联立 ,得 5y2﹣4my+m2﹣4=0. ? =﹣1,即 x2+y2=4.

要使直线 l:x﹣2y+m=0 上存在点 M 满足与两点 A(﹣2,0) ,B(2,0)连线的斜率 kMA 与 kMB 之积为﹣1, 则△=(4m)2﹣20(m2﹣4)≥0,即 m2≤20. 解得 m∈[﹣2 ,2 ]. ∴实数 m 的取值范围是:[﹣2 ,2 ]. 故答案为:[﹣2 ,2 ]. 11.某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形,现一客户定制该圆柱纸筒,并要求该圆柱纸 筒的容积为 27πcm3, 设该圆柱纸筒的底面半径为 r, 则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省 时,r 的值为 3 cm. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
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【分析】设底面半径为 r,高为 h,则由题意得 S=2πrh+πr2= 能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时,r 的值. 【解答】解:设底面半径为 r,高为 h, 则由题意得 h= ∴S=2πrh+πr2= ∴S′= , , ,

,由此利用导数

当 0<r<3 时,S′<0,当 r>3 时,S′>0, 故 r=3 时,取得极小值,也是最小值, ∴制作该圆柱纸筒的材料最省时,r 的值为 3. 故答案为:3. 12.已知等比数列{an},首项 a1=2,公比 q=3,ap+ap+1+…+ak=2178(k>p,p,k∈N+) ,则 p+k= 10 . 【考点】数列的求和. 【分析】通过 an=2?3n﹣1 可知 ap+ap+1+…+ak=3p﹣1(3k﹣p+1﹣1) ,利用 2178=32?(35﹣1)比较 即得结论. 【解答】解:依题意,an=2?3n﹣1, 则 2178=ap+ap+1+…+ak = =3p﹣1(3k﹣p+1﹣1) , 又∵2178=9=32?(35﹣1) , ∴ ,即 ,

∴p+k=10, 故答案为:10.

13.设函数 f(x)=

,若函数 y=f(x)﹣2x+b 有两个零点,则参数 b 的取

值范围是 (﹣∞,﹣2]∪(0,2ln2﹣1) . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】由 y=f(x)﹣2x+b=0 得 f(x)=2x﹣b,作出函数 f(x)和 y=2x﹣b 的图象,利用 数形结合进行求解即可. 【解答】解:作出函数 f(x)的图象如图: , 由 y=f(x)﹣2x+b=0 得 f(x)=2x﹣b, 当 g(x)=2x﹣b 经过点(0,2)时,满足两个函数有两个交点, 此时﹣b=2,即 b=﹣2,当﹣b≥2