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2016届江苏省南通市启东市高三(上)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江苏省南通市启东市高三(上)期末数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.设集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0<x<4},则 A∩B=______. 2.某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查,采用分层抽样的办法抽取样本,该校共有 200 名学生报名参加春季高考, 现抽

取了一个容量为 50 的样本, 已知样本中女生比男生多 4 人,则该校参加春季高考的女生共有______名. 3.如果复数 z= (i 为虚数单位)的实部与虚部互为相反数,那么|z|=______.

4.函数 f(x)=ln(x﹣x2)的单调递减区间为______. 5.如图是一个算法的流程图,则输出的 k 的值是______.

6.若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1,2 两个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则 每个盒子中球数不小于其编号的概率是______. 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3≥6,S5≤20,则 a6 的最大值为______. 8.若 α,β∈(0, 于______. 9.设向量 =(sin ,cos ) , =(sin ,cos ) (n∈N+) ,则 ( ? ) ) ,cos(α﹣ )= ,sin( ﹣β)=﹣ ,则 cos(α+β)的值等

=______. 10.已知直线 l:x﹣2y+m=0 上存在点 M 满足与两点 A(﹣2,0) ,B(2,0)连线的斜率 kMA 与 kMB 之积为﹣1,则实数 m 的取值范围是______. 11.某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形,现一客户定制该圆柱纸筒,并要求该圆柱纸 筒的容积为 27πcm3, 设该圆柱纸筒的底面半径为 r, 则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省 r ______cm 时, 的值为 . 12.已知等比数列{an},首项 a1=2,公比 q=3,ap+ap+1+…+ak=2178(k>p,p,k∈N+) ,则 p+k=______.

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13.设函数 f(x)= 值范围是______.

,若函数 y=f(x)﹣2x+b 有两个零点,则参数 b 的取

14. y> , 对任意实数 x>1, 不等式 p≤

+

恒成立, 则实数 p 的最大值为______.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数 f(x)=2cos2x+ sin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)在△ABC 中,若 C 为锐角,f(A+B)=0,AC=2 ,BC=3,求 AB 的长. 16.如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 是边 BC 上异于 C 的一点,AD⊥C1D. (1)求证:AD⊥平面 BCC1B1; (2)如果点 E 是 B1C1 的中点,求证:平面 A1EB∥平面 ADC1.

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,且右

准线方程为 x=4. (1)求椭圆的标准方程; (2)设 P(x1,y1) ,M(x2,y2) (y2≠y1)是椭圆 C 上的两个动点,点 M 关于 x 轴的对称 点为 N,如果直线 PM,PN 与 x 轴交于(m,0)和(n,0) ,问 m?n 是否为定值?若是, 求出该定值;若不是,请说明理由.

18. 如图, 某景区有一座高 AD 为 1 千米的山, 山顶 A 处可供游客观赏日出. 坡角∠ACD=30°, 在山脚有一条长为 10 千米的小路 BC,且 BC 与 CD 垂直,为方便游客,该景区拟在小路 BC 上找一点 M,建造两条直线型公路 BM 和 MA,其中公路 BM 每千米的造价为 30 万元, 公路 MA 每千米的造价为 60 万元. (1)设∠AMC=θ,求出造价 y 关于 θ 的函数关系式; (2)当 BM 长为多少米时,才能使造价 y 最低?

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19.已知 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=ax﹣1,g(x)=﹣x2+xlna. (1)若 a>1,证明函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数; (2)求函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值; (3)若函数 F(x)的图象过原点,且 F′(x)=g(x) ,当 a>e 时,函数 F(x)过点 A

(1,m)的切线至少有 2 条,求实数 m 的值. 20.已知等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,且数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (1)若 a1=b1=d=2,S3<a1006+5b2﹣2016,求整数 q 的值; (2)若 Sn+1﹣2Sn=2,试问数列{bn}中是否存在一点 bk,使得 bk 恰好可以表示为该数列中 连续 p(p∈N,p≥2)项的和?请说明理由? (3)若 b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中 t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的约数) ,证明数列{bn} 中每一项都是数列{an}中的项. [选修 4-1:几何证明选讲] 21.如图所示,PA,PB 分别切圆 O 于 A,B,过 AB 与 OP 的交点 M 作弦 CD,连结 PC, 求证:

[选修 4-2:矩阵与变换] 22.在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P(1,1)在矩阵 7) ,求 M﹣1. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. 在极坐标系中, 设直线 l 过点 (a>0)有且只有一个公共点,求实数 a 的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.求函数 的最大值. ρ=asinθ , 且直线 l 与曲线 C: 对应的变换下得到点 Q(3,

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25.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,现从中选 2 人.设 ξ 为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数,且 (1)求文娱队的队员人数; (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ) . 26.已知有穷数列{an}共有 m 项(m≥3,m∈N*) ,对于每个 i(i=1,2,3,…,m)均有 ai∈{1,2,3},且首项 a1 与末项 am 不相等,同时任意相邻两项不相等.记符合上述条件的 所有数列{an}的个数为 f(m) . (1)写出 f(3) ,f(4)的值; 2 f m ( )写出 ( )的表达式,并说明理由. .

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2015-2016 学年江苏省南通市启东市高三(上)期末数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.设集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0<x<4},则 A∩B= {x|0<x≤2} . 【考点】交集及其运算. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0<x<4}, ∴A∩B={x|0<x≤2}, 故答案为:{x|0<x≤2} 2.某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查,采用分层抽样的办法抽取样本,该校共有 200 名学生报名参加春季高考, 现抽取了一个容量为 50 的样本, 已知样本中女生比男生多 4 人,则该校参加春季高考的女生共有 108 名. 【考点】分层抽样方法. 【分析】根据样本容量和女生比男生多 4 人,可得样本中女生数,再根据抽取的比例可得总 体中的女生人数. 【解答】解:∵样本容量为 50,女生比男生多 4 人, ∴样本中女生数为 27 人, 又分层抽样的抽取比例为 = ,

∴总体中女生数为 27×4=108 人. 故答案为:108.

3.如果复数 z=

(i 为虚数单位)的实部与虚部互为相反数,那么|z|=



【考点】复数求模. 【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数,解得 a,再利用复数模的计算公 式即可得出. 【解答】解:复数 z= ∴ ∴z= ∴|z|= 故答案为: . + = = 的实部与虚部互为相反数,

=0,解得 a=0. . = .

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4.函数 f(x)=ln(x﹣x2)的单调递减区间为 [ ,1) . 【考点】复合函数的单调性. 【分析】令 t=x﹣x2>0,求得函数的定义域,f(x)=g(t)=lnt,本题即求函数函数 t 在定 义域内的减区间,再利用二次函数的性质可得结论. 【解答】解:令 t=x﹣x2>0,求得 0<x<1,可得函数的定义域为(0,1) , f(x)=g(t)=lnt. 本题即求函数 t 在定义域内的减区间,函数 t 在定义域内的减区间为[ ,1) , 故答案为:[ ,1) .

5.如图是一个算法的流程图,则输出的 k 的值是 4 .

【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,循环可得结论. 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知: 第一次循环,s=5,k=1, 第二次循环,s=13,k=2, 第三次循环,s=13,k=3, 第四次循环,s=29,k=4, 退出循环,输出 k=4. 故答案为:4. 6.若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1,2 两个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则 每个盒子中球数不小于其编号的概率是 .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1,2 两个盒子中,每个盒子的放球数量不限, 先求出基本事件总数,每个盒子中球数不小于其编号的情况是 1 号盒中放 1 个,2 号盒中放 2 个,求出有多少种放法,由此能求出每个盒子中球数不小于其编号的概率.

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【解答】解:将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1,2 两个盒子中,每个盒子的放球数量 不限, 基本事件总数 n=23=8, 每个盒子中球数不小于其编号的情况是 1 号盒中放 1 个,2 号盒中放 2 个,有 法, ∴每个盒子中球数不小于其编号的概率:p= . 故答案为: . =3 种放

7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3≥6,S5≤20,则 a6 的最大值为 10 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由等差数列的前 n 项和公式得到



,由此能求出 a6 的最大值.

【解答】解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3≥6,S5≤20, ∴ ,∴ ,

∴a6=a1+5d=﹣3(a1+d)+4(a1+2d)≤﹣3×2+4×4=10, ∴a6 的最大值为 10. 故答案为:10.

8.若 α,β∈(0, 于 ﹣ .

) ,cos(α﹣

)=

,sin(

﹣β)=﹣ ,则 cos(α+β)的值等

【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】根据题意可得 α﹣ 的值. 【解答】解:∵α,β∈(0, ∴α﹣ =± , ﹣β=﹣ ) ,cos(α﹣ ,∴α=β= )= ,sin( ﹣β)=﹣ , =± , ﹣β=﹣ ,由此求得 α+β 的值, 可得 cos(α+β)

或 α+β=0(舍去) .

∴cos(α+β)=﹣ , 故答案为:﹣ .

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9.设向量

=(sin

,cos

) ,

=(sin

,cos

) (n∈N+) ,则



?



= ﹣1 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】化简 ? =cos .于是根据诱导公式可得 + =

+

=

+

=…=

+

=0,所以



?

)=

+

=cos

+cosπ=﹣1. ? =sin =cos sin +cos +cos cos =cos( + ﹣ )=cos =0, + .

【解答】解: ∴ =0,… + +

=0, 同理,

=0.





?

)=

+

=cos

+cosπ=﹣1.

故答案为﹣1. 10.已知直线 l:x﹣2y+m=0 上存在点 M 满足与两点 A(﹣2,0) ,B(2,0)连线的斜率 kMA 与 kMB 之积为﹣1,则实数 m 的取值范围是 [﹣2 ,2 ] . 【考点】圆方程的综合应用. 【分析】设出 M 的坐标,由 kMA 与 kMB 之积为 3 得到 M 坐标的方程,和已知直线方程联 立,化为关于 x 的一元二次方程后由判别式大于等于 0 求得实数 m 的取值范围. 【解答】解:设 M(x,y) ,由 kMA?kMB=3,得 联立 ,得 5y2﹣4my+m2﹣4=0. ? =﹣1,即 x2+y2=4.

要使直线 l:x﹣2y+m=0 上存在点 M 满足与两点 A(﹣2,0) ,B(2,0)连线的斜率 kMA 与 kMB 之积为﹣1, 则△=(4m)2﹣20(m2﹣4)≥0,即 m2≤20. 解得 m∈[﹣2 ,2 ]. ∴实数 m 的取值范围是:[﹣2 ,2 ]. 故答案为:[﹣2 ,2 ]. 11.某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形,现一客户定制该圆柱纸筒,并要求该圆柱纸 筒的容积为 27πcm3, 设该圆柱纸筒的底面半径为 r, 则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省 时,r 的值为 3 cm. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
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【分析】设底面半径为 r,高为 h,则由题意得 S=2πrh+πr2= 能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时,r 的值. 【解答】解:设底面半径为 r,高为 h, 则由题意得 h= ∴S=2πrh+πr2= ∴S′= , , ,

,由此利用导数

当 0<r<3 时,S′<0,当 r>3 时,S′>0, 故 r=3 时,取得极小值,也是最小值, ∴制作该圆柱纸筒的材料最省时,r 的值为 3. 故答案为:3. 12.已知等比数列{an},首项 a1=2,公比 q=3,ap+ap+1+…+ak=2178(k>p,p,k∈N+) ,则 p+k= 10 . 【考点】数列的求和. 【分析】通过 an=2?3n﹣1 可知 ap+ap+1+…+ak=3p﹣1(3k﹣p+1﹣1) ,利用 2178=32?(35﹣1)比较 即得结论. 【解答】解:依题意,an=2?3n﹣1, 则 2178=ap+ap+1+…+ak = =3p﹣1(3k﹣p+1﹣1) , 又∵2178=9=32?(35﹣1) , ∴ ,即 ,

∴p+k=10, 故答案为:10.

13.设函数 f(x)=

,若函数 y=f(x)﹣2x+b 有两个零点,则参数 b 的取

值范围是 (﹣∞,﹣2]∪(0,2ln2﹣1) . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】由 y=f(x)﹣2x+b=0 得 f(x)=2x﹣b,作出函数 f(x)和 y=2x﹣b 的图象,利用 数形结合进行求解即可. 【解答】解:作出函数 f(x)的图象如图: , 由 y=f(x)﹣2x+b=0 得 f(x)=2x﹣b, 当 g(x)=2x﹣b 经过点(0,2)时,满足两个函数有两个交点, 此时﹣b=2,即 b=﹣2,当﹣b≥2,即 b≤﹣2 时,满足条件,
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当 g(x)=2x﹣b 与 f(x)=ex﹣1 相切时, 由 f′(x)=ex=2 得 x=ln2,y=eln2﹣1=2﹣1=1,即切点坐标为(ln2,1) , 此时 2ln2﹣b=1,即 b=2ln2﹣1, 当直线 g(x)=2x﹣b 经过原点时,b=0, ∴要使两个函数有两个交点, 则此时 0<b<2ln2﹣1, 综上 0<b<2ln2﹣1 或 b≤﹣2, 故实数 b 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪(0,2ln2﹣1) , 故答案为: (﹣∞,﹣2]∪(0,2ln2﹣1)

14. y> , 对任意实数 x>1, 不等式 p≤ 【考点】函数恒成立问题. 【分析】根据不等式 p≤ +

+

恒成立, 则实数 p 的最大值为 8 .

恒成立,转化为求

+

的最小值即可,利

用换元法,结合基本不等式进行求解即可. 【解答】解:设 a=2y﹣1,b=x﹣1, ∵x>1,y> , ∴a>0,b>0,且 x=b+1,y= (a+1) ,



+

=

+

≥2×

=2×

=2 (

+

+

)≥2×(2

+

)=2(2+2)=8,

当且仅当 a=b=1,即 x=2,y=1 时,取等号.
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∴p≤8, 即 p 的最大值为 8, 故答案为:8. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数 f(x)=2cos2x+ sin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)在△ABC 中,若 C 为锐角,f(A+B)=0,AC=2 ,BC=3,求 AB 的长. 【考点】余弦定理;三角函数的周期性及其求法. 【分析】 (1)由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f(x)=2sin(2x+ 利用周期公式可求 f(x)的最小正周期 T. (2)由已知可得 sin(2A+2B+ A+B= )=﹣ ,由 A,B 是△ABC 的内角,解得:A+B= ,由余弦定理即可求得 AB 的值. sin2x=2sin(2x+ )+1,…4 分 或 )+1,

,结合 A+B+C=π,C 为锐角,可得 C=

【解答】解: (1)∵f(x)=2cos2x+ ∴函数 f(x)的最小正周期 T= (2)∵f(A+B)=0, ∴sin(2A+2B+ )=﹣ ,

sin2x=cos2x+1+ .…7 分

∵A,B 是△ABC 的内角, ∴2A+2B+ = ,或 2A+2B+ ,或 C= , = , ,解得:A+B= 或 A+B= ,

∵A+B+C=π,∴C=

∵C 为锐角,∴可得 C= ∵AC=2 ,BC=3,

∴由余弦定理可得:AB2=AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC=12+9﹣2× 即 AB= .…14 分



16.如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 是边 BC 上异于 C 的一点,AD⊥C1D. (1)求证:AD⊥平面 BCC1B1; (2)如果点 E 是 B1C1 的中点,求证:平面 A1EB∥平面 ADC1.

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【考点】直线与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定. 【分析】 (1)由于正三棱柱中,CC1⊥平面 ABC,得到 AD⊥CC1 又已知 AD⊥C1D,利用 线面垂直的判断定理得到结论. (2)连结 A1C,交 AC1 于 O,连结 OD,推导出 OD∥A1B,由点 E 是 B1C1 的中点,可得 BD EC1,即 BE∥DC1,由 BE∩A1B=B,DC1∩OD=D,即可证明平面 A1EB∥平面 ADC1. 【解答】 (满分为 14 分) 解: (1)在正三棱柱中,CC1⊥平面 ABC,AD? 平面 ABC, … ∴AD⊥CC1. 又 AD⊥C1D,CC1 交 C1D 于 C1,且 CC1 和 C1D 都在面 BCC1B1 内, … ∴AD⊥平面 BCC1B1. (2)连结 A1C,交 AC1 于 O,连结 OD, ∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D 在棱 BC 上,AD⊥C1D. 平面 C1AD⊥平面 B1BCC1, ∴D 是 BC 中点,O 是 A1C 中点, ∴OD∥A1B,… ∵点 E 是 B1C1 的中点,D 是 BC 中点, ∴BD EC1, ∴四边形 BDEC1 为平行四边形,BE∥DC1,… ∵BE∩A1B=B,DC1∩OD=D,且 A1B,BE? 平面 A1EB,DC1,OD? 平面 ADC1, ∴平面 A1EB∥平面 ADC1.…

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 准线方程为 x=4. (1)求椭圆的标准方程;

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,且右

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(2)设 P(x1,y1) ,M(x2,y2) (y2≠y1)是椭圆 C 上的两个动点,点 M 关于 x 轴的对称 点为 N,如果直线 PM,PN 与 x 轴交于(m,0)和(n,0) ,问 m?n 是否为定值?若是, 求出该定值;若不是,请说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【分析】 (1)由椭圆的离心率为 ,且右准线方程为 x=4,列方程组解得 a=2,c=1,由此能 求出椭圆的标准方程. (2)由 P(x1,y1) ,M(x2,y2) ,得 N(x2,﹣y2) ,求出直线 PM 的方程和直线 PN 的方 程,分别令 y=0,得 m 和 n,由此能推导出 m?n 为定值. 【解答】解: (1)由题意,得 解得 a=2,c=1, ∴ = , ,且 ,

∴椭圆的标准方程为



(2)由 P(x1,y1) ,M(x2,y2) ,得 N(x2,﹣y2) , ∴ + =1, ,

直线 PM 的方程为 y﹣y1=



直线 PN 的方程为 y﹣y1=

(x﹣x1) ,

分别令 y=0,得 m=

,n=



∴mn=

=

=

=4

为定值, ∴m?n 为定值 4. 18. 如图, 某景区有一座高 AD 为 1 千米的山, 山顶 A 处可供游客观赏日出. 坡角∠ACD=30°, 在山脚有一条长为 10 千米的小路 BC,且 BC 与 CD 垂直,为方便游客,该景区拟在小路

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BC 上找一点 M,建造两条直线型公路 BM 和 MA,其中公路 BM 每千米的造价为 30 万元, 公路 MA 每千米的造价为 60 万元. (1)设∠AMC=θ,求出造价 y 关于 θ 的函数关系式; (2)当 BM 长为多少米时,才能使造价 y 最低?

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数解析式的求解及常用方法;在实际问题 中建立三角函数模型. 【分析】 (1)容易求得 MA=2,可说明△AMC 为 Rt△,从而可以得出 ,这样根据题意即可求出 ; ,

(2)可求导数得到

,可以判断导数符号,从而可以得出

时y

取到最小值,可求出此时 BM 的长度. 【解答】解: (1)在 Rt△ACD 中,∠ACD=30°,AD=1; ∴AC=2; BC⊥CD,BC⊥AD; ∴BC⊥平面 ACD,AC? 平面 ACD; ∴BC⊥AC; ∴ ∴ ( ) ; = , , ;

(2)

=



令 y′=0 得,cosθ= ; ∵ ∴ ∴ ; 时, ,1﹣2cosθ<0,y′<0, 时,y′>0; ;

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时,y 有最小值,此时



∴当 BM 长为

米时,才能使造价 y 最低.

19.已知 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=ax﹣1,g(x)=﹣x2+xlna. (1)若 a>1,证明函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数; (2)求函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值; (3)若函数 F(x)的图象过原点,且 F′(x)=g(x) ,当 a>e 时,函数 F(x)过点 A

(1,m)的切线至少有 2 条,求实数 m 的值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)求函数的导数,根据函数单调性和导数的关系进行证明. (2)求函数的解析式,根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解. (3)求出函数 F(x)的解析式,结合导数的几何意义进行求解. 【解答】解: (1)h(x)=f(x)﹣g(x)=ax﹣1+x2﹣xlna, 则 h′(x)=(ax﹣1)lna+2x, ∵a>1,∴当 x>0 时,ax﹣1>0,lna>0, ∴h′(x)>0,即此时函数 h(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数. (2)由(1)知,当 a>1 时,函数 h(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数, 则在区间(﹣∞,0)上是单调减函数, 同理当 0<a<1 时,h(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数, 则在区间(﹣∞,0)上是单调减函数, 即当 a>0,且 a≠1 时,h(x)在区间[﹣1,0)上是减函数,在区间([0,1)上是增函数, 当﹣1≤x≤1 时,h(x)的最大值为 h(﹣1)和 h(1)中的最大值, ∵h(1)﹣h(﹣1)=(a﹣lna)﹣( +lna)=a﹣ ﹣2lna, ∴令 G(a)=a﹣ ﹣2lna,a>0, 则 G′(a)=1+ ﹣ =(1﹣ )2≥0,

∴G(a)=a﹣ ﹣2lna,在 a>0 上为增函数, ∵G(1)=1﹣1﹣2ln1=0, ∴a>1 时,G(a)>0,即 h(1)>h(﹣1) ,最大值为 h(1)=a﹣lna, 当 0<a<1 时,G(a)<0,即 h(﹣1)>h(1) ,最大值为 h(﹣1)= +lna. (3)∵F(x)的图象过原点,且 F′(x)=g(x)=﹣x2+xlna, ∴设 F(x)=﹣ x3+ x2lna+c, ∵F(x)的图象过原点,∴F(0)=0, 即 c=0,则 F(x)=﹣ x3+ x2lna.

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设切点为 B(x0,﹣ x03+ x02lna) ,则 B 处的切线方程为: y﹣(﹣ x03+ x02lna)=﹣(﹣x02+x0lna) (x﹣x0) , 将 A 的坐标代入得 m﹣(﹣ x03+ x02lna)=﹣(﹣x02+x0lna) (1﹣x0) , 即 m= x03﹣(1+ lna)x02+x0lna (※) ,

则原命题等价为关于 x0 的方程(※)至少有 2 个不同的解, 设 φ(x)= x3﹣(1+ lna)x2+xlna, 则 φ′(x)=2x02﹣(2+lna)x+lna=(x﹣1) (2x﹣lna) , ∵a>e ,∴ >1, ,+∞)时,φ′(x)>0,此时函数 φ(x)为增函数,

当 x∈(﹣∞,1)和( 当 x∈(1,

)时,φ′(x)<0,此时函数 φ(x)为减函数,

∴φ(x)的极大值为 φ(1)= ﹣1﹣ lna+lna= lna﹣ , φ(x)的极大值为 φ( lna)= 设 t=lna,则 t> , ln3a﹣ ln2a(1+ lna)+ ln2a=﹣ ln3a+ ln2a,

则原命题等价为

对 t>

恒成立,

∴由 m≤ t﹣ 得 m≤ , ∵s(t)=﹣ ∴由 m≥﹣ t3+ t2 的最大值为 s(4)= , t3+ t2,得 m≥ ,即 m= , 时,函数 F(x)过点 A(1,m)的切线至少有 2 条,此时实数 m 的值

综上所述当 a>e 为 .

20.已知等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,且数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (1)若 a1=b1=d=2,S3<a1006+5b2﹣2016,求整数 q 的值; (2)若 Sn+1﹣2Sn=2,试问数列{bn}中是否存在一点 bk,使得 bk 恰好可以表示为该数列中 连续 p(p∈N,p≥2)项的和?请说明理由?

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(3)若 b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中 t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的约数) ,证明数列{bn} 中每一项都是数列{an}中的项. 【考点】等比数列的性质;等比数列的前 n 项和. 【分析】 (1)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 a1=b1=d=2,S3<5b2+a88﹣180,借助于通项 公式得到 q 的值. (2)在(1)的条件下,假设数列{bn}中存在一项 bk,使得 b,k 恰好可以表示为该数列中连 续 P(P∈N,P≥2)项和,然后推理证明. (3)若 b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中 t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的约数) ,要证明数列 {bn}中每一项都是数列{an}中的项,只要分析通项公式的特点可以得到. 【解答】解: (1)由题意知 an=2+(n﹣1)×2=2n, ∵S3<a1006+5b2﹣2016,∴b1+b2+b3<a1006+5b2﹣2016, ∴b1﹣4b2+b3<2012﹣2016, ∴q2﹣4q+3<0, 解得 1<q<3,又 q 为整数, ∴q=2. (2)由 Sn+1﹣2Sn=2,得 Sn﹣2Sn﹣1=2,n≥2, 两式相减得 bn+1﹣2bn=0,n≥2, ∵等比数列{bn}的公比为 q,∴q=2, 又 n=1 时,S2﹣2S1=2,∴b1+b2﹣2b1=2, 解得 b1=2,∴ . ,

数列{bn}中存在一点 bk,使得 bk 恰好可以表示为该数列中连续 p(p∈N,p≥2)项的和, 即 bk=bn+bn+1+bn+2+…+bn+p﹣1, ∵ ,∴bk>bn+p﹣1,∴2k>2n+p﹣1,

∴k>n+p﹣1,∴k≥n+p, (*) 又 = =2n+p﹣2n<2n+p,

∴k<n+p,这与(*)式矛盾, ∴假设不成立,故数列{bn}中不存在一点 bk,使得 bk 恰好可以表示为该数列中连续 p(p∈ N,p≥2)项的和, 证明: (3)∵b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中 t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的约数) , ∴b2=b1q=arq=as=ar+(s﹣r)d, ∴d= ,∴ ,

∵as≠ar,∴b1≠b2,∴q≠1, 又 ar≠0,∴q= ,

∵t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的约数, ∴q 是正整数,且 q≥2, 对于{bn}中的任一项 bi(这里只讨论 i>3 的情形) ,
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有 = =

= )

=



由于(s﹣r) (1q+…+qi﹣1)+1 为正整数, ∴bi 一定是数列{an}中的项. [选修 4-1:几何证明选讲] 21.如图所示,PA,PB 分别切圆 O 于 A,B,过 AB 与 OP 的交点 M 作弦 CD,连结 PC, 求证:

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】由相交弦定理知 DM?CM=AM?MB=AM2.直角三角形 AMO∽直角三角形 PMA, 所以 = ,进一步证明△CMP∽△OMD,即可证明结论.

【解答】证明:因为 PA、PB 分别切圆 O 于点 A、B,OP 与 AB 交于 M 所以 OP 垂直平分 AB 又圆 O 中 AB,CD 交于 M, 由相交弦定理知 DM?CM=AM?MB=AM2. 连接 OA,因为 AP 为圆 O 切线,所以∠OAP=90° 又∠AMP=90°,所以∠OAM+∠MAP=∠MAP+∠APM=90° 所以∠OAM=∠APM 所以直角三角形 AMO∽直角三角形 PMA 所以 =

所以 PM?OM=AM2, 又 DM?CM=AM?MB=AM2, 所以 PM?OM=DM?CM, 所以 ,

又∠CMP=∠ODM 所以△CMP∽△OMD 所以 .

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[选修 4-2:矩阵与变换] 22.在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P(1,1)在矩阵 7) ,求 M﹣1. 【考点】几种特殊的矩阵变换. 【分析】由矩阵的变换求得 a 和 b 的值,求得丨 M 丨及 M*,即可求得 M﹣1. 【解答】解:由 ∴ M= ,解得: , = , , 对应的变换下得到点 Q(3,

丨 M 丨=1×4﹣2×3=﹣2 M﹣1= × = ,

M﹣1=



[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. 在极坐标系中, 设直线 l 过点 ρ=asinθ , 且直线 l 与曲线 C:

(a>0)有且只有一个公共点,求实数 a 的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】求出点 A,B 的直角坐标,利用点斜式方程得出直线 l 的直角坐标方程,再求出曲 线 C 的普通方程,求出圆心和半径,利用 d=r 构建出 a 的方程,解出 a 的值. 【解答】解:由直线 l 过点 可得 A,B 的直角坐标为 A( , ) ,B(0,3) , ,

直线 AB 的斜率 k=

=



即有直线 l 的方程为:y﹣3=

x,即 y=

x+3,

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由曲线 C:ρ=asinθ(a>0) , 可得曲线 C 的普通方程为 x2+y2﹣ay=0, 即有圆心 C(0, ) ,r= = ,

直线 l 与曲线 C:ρ=asinθ(a>0)有且只有一个公共点 即直线和圆相切,可得 解得 a=2 或﹣6, 由 a>0,可得 a=2. [选修 4-5:不等式选讲] 24.求函数 的最大值. ,

【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】函数的最值转化为基本不等式 从而解得. 【解答】解:∵ ≤ =1, ≤ =1,

(当且仅当 x﹣5=7﹣x,即 x=6 时,等号成立) , ∴ 故函数 ≤2, 的最大值为 2.

25.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,现从中选 2 人.设 ξ 为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数,且 (1)求文娱队的队员人数; (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ) . 【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (Ⅰ)设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则该演出队的总人数为(7﹣x)人,那么只 会一项的人数是(7﹣2x)人,由已知得 P(ξ=0)=1﹣P(ξ>0)=1﹣ = ,由此能求出 .

该演出队的总人数. (Ⅱ)由已知得 ξ 的可能取值为 0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和 Eξ. 【解答】解: (Ⅰ)设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队的总人数为(7﹣x)人,那么 只会一项的人数是(7﹣2x)人, ∵ξ 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P(ξ>0)=
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∴P(ξ=0)=1﹣P(ξ>0)=1﹣

=



∴P(ξ=0)=

=

,解得 x=2,

∴该文娱队的总人数为 5 人. (Ⅱ)由已知得 ξ 的可能取值为 0,1,2, P(ξ=0)= ,

P(ξ=1)=

= ,

P(ξ=2)=

=



∴ξ 的分布列为: ξ P Eξ=

0

1

2

= .

26.已知有穷数列{an}共有 m 项(m≥3,m∈N*) ,对于每个 i(i=1,2,3,…,m)均有 ai∈{1,2,3},且首项 a1 与末项 am 不相等,同时任意相邻两项不相等.记符合上述条件的 所有数列{an}的个数为 f(m) . (1)写出 f(3) ,f(4)的值; (2)写出 f(m)的表达式,并说明理由. 【考点】排列、组合的实际应用;排列与组合的综合. 【分析】 (1)由题意可知: (1)f(3)=3×2×1=6,f(4)=3×2×2+3×3×1×1=18 种, m (2)猜想 f(m)=2 +2?(﹣1)m, (*) ,利用数学归纳法即可证明. 【解答】解: (1)f(3)=3×2×1=6, f(4)=3×2×2+3×3×1×1=18 种, (2)f(m)=2m+2?(﹣1)m, (*) 理由如下:当 m=3 时,f(3)=6,符合(*)式, ①假设当 m=k 时, (*)成立,即 f(k)=2k+2?(﹣1)k, 那么 m=k+1 时, 因为 a1 有 3 种取法,a2 有 2 种取法,…,ak 有 2 种取法,ak+1 若仅与 ak 不同,则有 2 种取 法, 一种与 a1 数不同,符合要求,有 f(k+1)个, 一种与 a1 数相同,不符合要求,当相当与 k 项有穷数列的个数,有 f(k)个,则有 3×2k=f (k+1)+f(k) , ∴ak+1=﹣ak+3×2k=﹣2k﹣2(﹣1)k+3×2k=2k+1+2(﹣1)k+1, 即 n=k+1 时, (*)也成立, 由①②可知, (*)成立.
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2016 年 9 月 16 日

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