tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

更高更妙的物理:专题25 波动光学与量子理论拾零


专题 25 波动光学与量子理论拾零 本专题简略介绍波动光学、量子物理学的若干知识与方法。 人们发现光的干涉、 衍射与偏振等现象以及测出水中光速小于空气中的光速使光的波动 说有了重要的实验论据;麦克斯韦建立的电磁理论,进一步指出光是一种电磁波:实验测得 的光速与电磁波在真空中的传播速度的理论值 c ?

1

? 0 ?0

/>很好地相符;与电磁波一样,光
14 14

是一种横波,可见光是波长在 400 ~ 760nm 、频率在 4.3 ?10 ~ 7.5 ?10 Hz 之间的电磁 波,各种色光具有一定的频率。 频率相同、 相差恒定的两列光波相遇会发生干涉现象, 历史上著名的获得相干光源的干 涉实验有: 杨氏双缝实验 这是最早以明确形式确立光波叠加原理,用 光的波动性解释干涉现象的一个实验。 杨氏实验示意图如图所示, 根据惠更斯原理,认为双缝 S1 和 S2 是两个发射子波的波源,它们 都是从同一个光源 S 而来并位于同一个子波波面,故它们的相位 总是相同而能构成相干光源。如图所示,若双缝间距离为 d ,缝 屏到光屏 EE ? 间距为 D , 光屏上任一点 P 到双缝的距离为 r1 、r2 , 从 S1 和 S2 到达 P 的光程差为 式中 ? 表示 PO 对双缝中点的张角, 如图所示。 若光程差等 1, 2, ??? , P 点为亮点。 于波长整数倍,即 d sin ? ? k ? , k ? 0, 通常能观察到干涉条纹的情况下? 总是很小,则

?l ? r2 ? r1 ? d sin ? ,

x ds i n ?? d ta ?n? d ? k ? ,故光屏上各级亮纹高中心 O 的 D
距离为

x??

D 1, 2, ??? k ? , k ? 0, d

若光程差满足 d sin ? ? (2k ? 1) 距离为

?

2

, 2, 3 ??? ,P 点为暗点, ,k ? 1 则各级暗纹离中心 O 的

x ? ? (2k ? 1)
两相邻明条纹或暗条纹间距 ?x ? 菲涅尔双棱镜实验

D? , 2, 3 ??? , k ?1 2d

D ? ,即能观察到的干涉条纹是等距离分布的。 d
0

如图所示,双棱镜截面为等

腰三角形,由上、下两顶角 A 、 A? 各约 1 左右、底面 重合的直角三棱镜构成,从狭缝(垂直于纸面,下同) 光源 S 发出的光波,经过这个薄薄的双棱镜,光束向 相反方向偏折,分成的两束光波,好像来自虚线光源 S1 和 S2 ,两虚光源发出的光在画有阴影线的部分叠 加,使这个区域成为干涉区,虚线光源 S1 和 S2 即为相干光源。若双棱镜玻璃折射率为 n , 狭 缝光 源 S 到双 棱镜 距离为 b , 当 从三棱 镜出射 光垂 直于 出射面 时,有 最小 偏向 角 ? min ? (n ?1) A ,这也正是光源 S 发出的光束的半张角,光源 S 发出的沿对称轴的光从双棱 镜射入时入射角 i ? A ,出射时的折射角为 i? ? ( A ?

A )n ? (n ? 1) A ,这也正是虚光源 S1 和 n

一光屏 EE ? ,与杨氏双缝一样,屏上会有明暗相间均匀分布的干涉条纹,相邻明(暗)条 纹间的距离

S2 发出的光束的张角,由此,两相干光源间距离 d ? 2b(n ? 1) A ,若在与光源相距 D 处置
D ?。 2b(n ? 1) A

?x ?

菲涅尔双镜实验 菲涅尔双镜是两个交角很小的 平面镜,如图所示,从狭缝 S 发出的光波,经平面镜 两束光好像来自 M 1 和 M 2 反射后成为两束相干光波, 光源 S 在两镜中所成虚像 S1 和 S2 , S1 和 S2 即为相干 光源, 两光束叠加部分如图中画 部分所示。 若两 镜间很小的夹角为 ? ,图中 SC ? S1C ? S2C ? r , S1 与 S 关于 M 1 对称, S2 与 S 关于 M 2 对称,由几何关系可知狭缝 S 的两虚像 S1 、 S2 对两平 面镜交线 C 的张角为 2? , 故 S1 和 S2 的距离 d ? 2r? ; 若在与两相干光源 S1 和 S2 距离为 D 处置光屏,在两反射光交叠处、如图中屏上 AB 间,可观察到干涉条纹,相邻两明(暗)条 纹间距离为

?x ?

D ?。 2r?

洛埃镜实验 洛埃镜是一种更简单的观察干涉现 象的装置,实验示意如图所示, S1 为狭缝光源,其一 部分光直射在光屏 EE ? ,另一部分几乎与镜面平行地 射向镜面,然后反射光到达屏上,反射光就像来自 S1 的虚像 S2 , S1 与 S2 构成一对相干光源,直射光束与 反射光束重叠区域即可观察到干涉条纹。 在洛埃镜实验中, 平面镜处在两相干光源的对称轴 上,图中 P 点到两波源光程差为零,但此处为一暗条纹,这是因为光从光疏介质射向光密 介质界面而发生反射时, 有半波损失。 屏上各级亮条纹出现在两光源光程差为半波长奇数倍 的那些位置, 各级暗条纹则出现在两光源光程差为波长整数倍的那些位置, 干涉条纹间距的 计算与杨氏实验相同。 上面介绍的各种干涉, 都属于同一类干涉, 即把同一光源发出的同一波面设法分开造成 光程差从而引起干涉;另一类干涉是利用同一入射光波的振幅(能量)通过两个表面的先后 反射加以分解,例如薄膜干涉。 【例 1】 如图所示, 在玻璃基底上涂两层薄膜, 它们的厚度分别用 t1 和

t 2 表示。空气,两层膜以及玻璃的折射率依次为 n0 , n1 , n2 , n3 , 且满足 n0 ? n1 ? n2 ? n3 。波长为 ? 的单色光垂直入射,已知在三个
界面处反射后所得三束光振幅相等。为了使反射光的总强度为零,必 须适当选择所涂薄膜的厚度 t1 和 t 2 。试求 t1 的最小值,以及 t1 取上述 最小值时 t 2 的最小值。 【分析与解】设入射光相位为零,在空气与 n1 界面上的反射光称 反射光 1 , n1 与 n2 界面上的反射光称反射光 2 , n2 与玻璃界面上 的反射光称反射光 3 ,因为三束反射光总光强为零,振幅相同, 故三束反射光两两之相差必为

2 ? ,注意到光从光疏介质射向与 3

光密介质的界面时反射光的半波损失,各光矢量关系如图所示。 当 t1 取最小值时,反射光 2 与反射光 1 光程差为 2t1n1 ,由图知反射光 2 与反射光 1 相位差为

2 2? 2 ? ? 2t1n1 ? ? ,故 t1 ? ? ,则 ;反射光 3 与反射光 1 的光程差为 2t1n1 ? 2t2 n2 ? , ? 3 2 3 6n1 4 2? ? 4 7? (2t1n1 ? 2t 2n 2 ? ) ? ? , 2t1n1 ? 2t2 n2 ? 而相位差由图可知为 ? ,即 ,代入 ? 2 3 6 3 ? 7 1 ? 5? 可得 t2 ? ( ? ) ? 。 t1 ? ? 6n1 6 3 2n2 12n2
【例 2】利用空气劈尖的等厚干涉条纹可测量精密加工工 件表面极小的纹路的深度。在工件表面上放一平板玻璃, 使其形成空气楔,如图甲所示,以单色光垂直照射玻璃表 面,在显微镜中观察干涉条纹。由于工件表面不平,观察 到的条纹如图乙所示,试根据纹路弯曲的方向,说明工件 表面上纹路是凹还是凸?并证明纹路深度可用下式表示

H?

a? 。 b2

【分析与解】本题是光的薄膜干涉应用于精密加工 检验的一个实例。先讨论一下楔形空气薄膜的干涉 原理;如图所示,两块大的平板玻璃一端密合,另 一端嵌一极薄垫层(图中已特别予以放大) ,两板间 即形成顶角为 ? 的楔形空气薄膜,膜的上、下两个 表面即玻璃板内表面。用单色光垂直照射玻璃板, 就可观察到明暗相间、间隔等距的干涉条纹,其发生原因是由于单色光在楔形空气薄膜上、 下两个表面的反射光有相差。在某些点 Pi ,入射光在空气膜上表面反射的反射光相位无变 化,在下表面反射得到的反射光有半波损失,再加上在这空气层一个往返的光程 2 y ,两反 射光在 Pi 点叠加时若有 2 y ?

?
2

2, 3 ??? ,此处两反射光叠加加强,出现亮纹, ? k ? , k ? 1,

而在另一些点 Qi ,两反射光在 Qi 点叠加时若有 2 y ?

1, 2, ??? ,此处 , k ? 0, 2 两反射光叠加减弱,出现暗纹,由于各处厚度均匀增大,即有 y ? x tan ? ,相邻两明(暗) ?x ? ? 条纹间距离为 l ? 。由上讨论可知,楔形空气薄膜干涉中,各级亮、暗条纹 cos ? 2sin ?

?

2

? (2k ? 1)

?

分别出现在膜的厚度 y 为

? ? 奇数倍与 整数倍的那些位置, 每一条纹都与一定的 k 值相当, 4 2

故这样的干涉条纹称为等厚条纹。 用来测量精密加工工件表面极小纹路深度的空气楔 是在被测工件表面上放一平板玻璃 (称平面验规) 而形成, 若工件表面不平,观察到的干涉条纹会有弯曲。本题中我 们看到,条纹是向楔顶方向弯凸的,说明凸处空气膜的厚 度已达到离楔顶稍远处某一条纹所对应的膜厚,故此处被 验表面一定有凹陷,如图所示。根据上面的讨论,等厚条纹间距 ?x ?

?
2

cot ? ? b ,若以 H

表示凹陷最大深度,无凹陷时,该处膜的厚度比距它 a 的那一级条纹所对应的膜厚小 H , 则 H ? a ? tan ? ?

?

2b

?

a? 。 2b

光的直进现象是在衍射不明显时的近似,而衍射才是光波的本性特征之一,能观察到 明显光衍射的条件是孔、缝、障碍物尺寸与光波波长可比。因可见光波长的数量级在几百纳 米,故一般情况下,不易观察到明显的光衍射现象,但在障碍物大小与光波波长差不多时, 光偏离直线路径的现象会很明显。 大气中天然出现的衍射现象—月晕和日晕, 是悬浮在高空

的微粒所导致的:如果高空的水气达到饱和,月光在雾滴上弯折了路径,使得地面上观察者 看到月边上有彩色光环,这就是月晕;著名的日晕发生在喀拉卡火山爆发后,火山爆发后的 灰土被风卷扬至高空,日光经尘埃微粒而弯曲,使人们看到太阳外周出现赤色的光环。一些 助视光学仪器的分辨本领与光的衍射有关, 在上一个专题里, 我们讨论光学仪器的成像与放 大本领时,是基于几何光学的直线传播规律,在那里,似乎只要适当选择透镜的焦距,得到 所需要的放大率,就可以将任何微小物体放大到清晰可见的程度。但实际上,各种光学仪器 由于衍射现象所限制,即使所成的像很大(即对人眼的张角足够大) ,但明晰程度却并不增 加。这是因为物点发出的光通过物镜时,由于衍射,并不能聚焦为几何像点,而是成一衍射 图样, 衍射图样中央亮区是有一定大小的亮魔, 极小的物体两端点相隔极近, 其光通过物镜, 将是两个大部分相重叠的亮魔,则我们仍然不能分辨这两点。恰能分辨两物点,至少应使两 物点的衍射图样中心间的距离等于中央亮魔的半径,这个条件被称为瑞利准则。此时,两物 点在物镜处的张角称为最小分辨角,用 ?? 表示,如图。根据数学分析得出最小分辨角大小 以下式确定为

?? ? 1.22

?
d



即最小分辨角的大小与仪器孔径 d 及光波波长有关。最小分辨角的倒数被称为仪器的 分辨率。 【例 3】一天文望远镜的物镜直径为 2.5m ,试求能够被它分辨的 双星对它张开的最小夹角,设入射光的波长为 550 nm 。若人眼瞳 孔的直径为 2.5mm ,求该望远镜与人眼相比,其分辨率是人眼的 多少倍?

1.22 ? 550 ?10?9 rad ? 2.68 ?10?7 rad 。 d 2.5 ? 1.22 ? 550 ?10?9 ? ? 1.22 ? rad ? 2.68 ?10?4 rad ,望远镜与人 人眼的最小分辨角则为 ?? d? 2.5 ?10?3 ? ?? 眼相比,其分辨率是人眼分辨率的倍数为 N ? ? 1000 倍。
【分析与解】望远镜的最小分辨角 ?? ? 1.22

?

?

??

人们从光的偏振现象认识到光是横波。我们知道,光是电磁波的特例,电磁波被表征 为互相垂直的电场强度矢量与磁场强度矢量的振动(周期性变化) ,光振动指的是电场强度 矢量—光矢量的振动。普通光源发出的光称为自然光,这是因为大量原于发光时,各原子所 发光的光矢量取所有可能的方向,没有哪个方向较其他方向更占优势,平均采看,光矢量的 振动对于光传播方向是对称而又均匀分布的; 激光器所发出的光是偏振光, 即光矢量在一个 固定平面内只沿一个固定方向做振动。光矢量振动方向与光传播方向所成平面称为振动面。 图甲表示沿 z 轴传播的自然光, 对自然光中任何取向的光矢量都分解为相互垂直的两个方向 上的分量,就可以用振动方向互相垂直的两个偏振光来表示自然光,如图乙所示。图中用黑 点表示垂直于纸面的光振动,双箭头短线表示在纸面内的光振动,点、线画成均匀分布,表 示代表自然光的这两个方向的偏振光强度是一样的。图则表示各种偏振光。

自然光在两种介质的界面上反射与折射时, 反射光与折 射光都将成为偏振光,在特定条件下,反射光有可能成为完 全偏振光。如图所示, SO 为自然光入射线,在两种介质的 界面 MM ? 上 O 点反射与折射,反射线为 OA ,折射线为 OB ,反射光与折射光均为部分偏振光,反射光中垂直于入 射面的振动多于平行于入射面的振动,而折射光情况相反。 当我们改变入射角 i ,反射光的偏振化程度也随之改变,当 反射光与折射光互相垂直时, 在反射光中只有垂直于入射面的振动, 而平行于入射面的振动 变为零,即反射光成为完全偏振光,这时的入射角叫全偏振角,若以 i0 示之,由 i0 ? r ? 900 以及折射定律

sin i0 n2 ? ,得 sin r n1
tan i0 ? n2 , n1

这个规律被称为布儒斯特定律, 全偏振角亦称布儒斯特角。 反射光成为全偏振光的布儒 斯特角与两种介质的相对折射率有关。 【例 4】如图所示,一块折射率为 n3 ? 1.50 的平行玻璃板浸在水 中,一束自然光入射到水面上时,反射光是完全偏振光。现要使 玻璃表面的反射光也是完全偏振光,试问玻璃表面与水平面的夹 角 ? 应为多大?水的折射率 n2 ? 1.33 。 【分析与解】 由题给条件知, 自然光对水面的入射角 i 为全偏振角, 即 tan i ?

n2 sin i n2 ,且 i0 ? r ? 900 ,自然光经水面折射后折射角 r 由折射定律 ? ,可得 sin r n1 n1

sin(900 ? r ) n2 ? ? r ? arccot1.33 ? 36056? ;进入水中的折射光到达玻璃板表面,对玻 sin r n1
璃板而盲,为一部分偏振的入射光,要使其经玻璃表面反射后成完全偏振光,其对玻璃的入 射角 i ? 需满足 tan i? ?

n3 ,可得 n2
i? ? arctan 1.50 ? 48038? 。 1.33

由几何关系易得,玻璃表面与水平面的夹角

? ? i? ? r ? 48038? ? 36056? ? 110 42? 。
量子理论创生于上世纪初, 是对辐射与实物的行为、 特别是微观层次上的行为最精确与 完备的描述,它的实际影响广及每一种基于微观世界的细节的器件或观念:诸如晶体管、硅 片和集成电路—因而全部信息和通信技术如计算机、电视机、大部分现代化学与生物学、激 光器、对从超导到中于星的不同实物的理解、原于核物理学、核能和核武器??整个高技术 领域的中心就是一个高度量子化的粒子: 电子。 量子理论是科学家用来研究微观世界的一套 想法, 量子物理学认为自然界的变化是以不连续的方式发生的, 自然界在微观层次上由随机 性支配着,自然界—电子、质子和波同它们的环境是深深地连通着而不可分离的。 量子理论起始于对黑体辐射中“紫外灾难”问题的解释。在专题 15 中我们曾介绍过, 黑体能在任何温度下吸收所有的电磁波辐射, 处于热平衡的黑体有最大的吸收与辐射电磁波 的本领。黑体单位表面积的辐射功率 J 与其绝对温度的四次方成正比,即: J ? ? T ,式
4

中斯忒藩常数 ? ? 5.76 ?10 W / m ? K 。经典理论还指出,当温度升高时,黑体最大发射 本领向短波方向移动,例如,炽热物体在温度不很高时,辐射能量集中在长波区,发出的是 红外线或红赭色光;温度较高时,辐射能量主要在短波区,因而发出白光或紫外线。由这一 理论, 随着波长的减小,发射本领无限增大,这与实验结果不符。事实是, 随着波长的减小, 辐射功率趋向于零!经典理论在短波端遭遇的这个失败被称作“紫外灾难” 。普朗克提出的
?8 2 4

量子假说,得出了与实验完全相符的结论,他假设辐射黑体是由带电的谐振子(如分子、原 于)所组成,由它们的振动而辐射电磁波,每个振子的能量只可能处于某些不连续状态,它 们是一个最小能量的整数倍,这个最小能量就叫量子。如果谐振子的频率为? ,则最小能量 E ? h? , h 为普朗克恒量,其值

h ? 6.63 ?10?34 J ? s 。 谐振子能量只可能是 h? , 2h? , 3h? , ??? , nh? , n 为正整数,称为量子数。这样,
被老师忠告以“年轻人,物理学已经不会有什么发展了,这是一条死胡同”的普朗克以全新 的理念将物理学带进了后牛顿时代。 爱因斯坦推广了普朗克关于辐射的量子概念, 在对光电 效应现象的研究中,指出:光在传播过程中,具有波动的特性,然而在光的发射和吸收中却 有类似粒子的性质,光本身只能一份份地发射,一份份地吸收,这一份能量被称为光子。光 于的能量 ? ? h? ;按照相对论质能关系,光子的质量 m? ?

h? h? h ? 。 ;光子的动量 p ? 2 c c ?

光于假说不再认为光能均匀地分布在波面上, 而是集中在光于上, 从能量守恒出发建立光电 效应方程 h? ?

1 2 mv ? W逸 ,不但对光电效应有了一个成功的解释,同时也使人们认识到光 2

不仅具有波动性,而且具有粒子性。自然界的波粒二象性露出端倪。 X 射线经物质散射实验进一步证实了光于说。康普顿在研究 X 射线通过碳、石蜡等物质散射时,发现散射波中除与原入射线相 同波长的射线外,也有波长大于原射线的,波长的改变量与散射方 向有关。这种波长改变的散射称为康普顿效应。从波动观点采看, 光的散射是由于电磁波通过物体时引起物体内带电粒子的受迫振 动,从而产生散射光,故此,散射光的频率、波长应与入射光相同。 波长变化的康普顿效应,纯波动说难以解释,而要应用光于理论。设自由电子在受光于作用 前是静止的,光于与电于做弹性碰撞,入射光子的动量 p ?

被碰后电子获得动量 pe ? mv ,光于散射角为 ? ,由如图所示动量守恒关系
2

h? h? ? ,散射光子动量 p? ? , c c

h? 2 h? ? 2 2h 2 (mv) ? ( ) ? ( ) ? 2 ?? ? cos ? ; c c c 2 2 静止电子能量 E ? m0c ,碰撞后电子能量 E ? ? mc ,由能量守恒条件有

h? ? m0c2 ? h? ? ? mc2 ,


h(? ?? ?) ? m0c2 ? mc2 ;
m? m0 v2 1? 2 c


根据狭义相对论,电子质量与速度关系为

由以上三式可得 ?? ? ? ? ? ? ? 散射角为 90 时, ?? ?
0

h (1 ? cos? ) 。此式给出了波长改变与散射角的关系,当 m0c

【例 5】频率为? 的光,射到一平面镜上,设单位时间内到达镜面单位面积上的入射光光子 数目为 n ,平面镜的反射率为 r ,光对平面镜的入射角为 ? 。试求:⑴光对平面镜的压力; ⑵光作用在平面镜上的切向力。 【分析与解】光于说认为光于具有动量 p ?

0 h ? 0.024265 A ,与实验观察值符合。 m0c

h? h ? 的观点,除解释康普顿效应外,还可以 c ?

说明光压的作用,即当光子流遇到障碍物时,会对障碍物施加压力的作用,如同气体分子在

容器壁上碰撞形成气体对器壁的压强一样, 光压就是光于流产生的压强。 本题是光子存在动 量的一个例证。 ⑴ 设 ?t 时 间 打 在 平 面 镜 单 位 面 积 上 的 光 子 数 为 n?t , 动 量 的 法 向 分 量 为

h? h? cos ? ,反射的光子数为 rn?t ,动量的法向分量为 p2 ? nr ?t cos ? ,方向 c c 与 p1 相反。由动量定理,光对平面镜单位面积的正压力即光压 p 为 h? h? p ? n cos ? ? nr cos ? c c p1 ? n?t
⑵光作用在平面镜上的切向力由所吸收光于的切向冲量引起,由动量定理

T ? n(1 ? r )

h? sin ? 。 c h ,这种波 mv

对辐射显示出波粒二象性作一对称思考, 法国物理学家德布罗意提出了一个更大胆的假 说, 即将波粒二象性推广到实物粒子—如果用能量和动量来表征实物粒子的粒子性, 用频率 和波长来表征实物粒子的波动性,那么,与实物粒子联系着的波,其波长 ? ?

就是通常所称的物质波。 德布罗意在他提交的博士学位论文中写进了这极具对称与奇异之美 的想法,使博士学位评委会为之噤然,只得将论文寄给爱因斯坦,被青年学者的创见深深打 动的爱因斯坦评论道: “它是照在这个最难解的物理之谜上的第一缕微弱之光” 。今天,我们 从电子干涉或衍射图样中可以认识实物粒子的波动性。 【例 6】电子显微镜的电子波长为 0.0164nm ,试估算所需电子动能的最小值及加速电压。 【分析与解】由德布罗意波波长与动量的关系,电子的动量

p?
而电子的动能

h

?

?

6.63 ?10?34 kg ? m / s ? 4 ?10?23 kg ? m / s ; ?9 0.0164 ?10

Ek ?

p2 (4 ?10?23 )2 ? eV ? 5500eV ; 2m 2 ? 9.11?10?31 ?1.6 ?10?19

则加速电压应为 5500V 。 玻尔在 1913 年分三次发表的被誉为“伟大的三部曲”的长篇论著《论原子构造和分子 构造》成功地把量子观念引入到原于理论中去,制定了量子化的原子模型,成功解释了原子 稳定性问题及发光行为。在玻尔的原于模型中,核外电子的轨道不是任意的,而只能是一些 量子化的轨道,在这些轨道上,电子绕核运动的角动量是芒的整数倍,即

mvr ? n

对氢原子(原子序数 Z ? 1 )和类氢原子,考虑电子绕核运动的动力学方程
2 vn Ze2 k 2 ?m , rn rn

h , n 为量子数,取 1 、 2 、 3 ? 2?

则可能轨道半径

rn ? n2
轨道速度

h2 , 4? 2 me2 Zk

2? e2 Zk vn ? 。 nh
电子在可能轨道上的运动是一种驻波形式的振动,这时的原于是稳定的,称为定态。 处于定态的原子能量是电子动能与原子系统势能的总和

En ?

kZe2 kZe2 kZe2 me4 Z 2 k 2 。 ? ?? ? ?2? 2 2rn rn 2rn n2h2

可见,原子的能量状态也是量子化的,原子处于可能的能量状态称为能级。当原于从 一个较高能级 En 跃迁到一个较低能级 Ek 时, 原于才会辐射单色光, 反之, 原子吸收光子时, 会从较低能级跃迁到一个较高能级,辐射或吸收光子的频率由能量守恒关系决定: h? nk ? En ? Ek 。 【例 7】讨论一个由 ? ? 子和氦核组成的类氢离子, ? ? 子的质量为电子质量的 207 倍,其他 性质与电子相同,对此种离子,玻尔的轨道量子化理论同样适用。若已知氢原子的玻尔半径 为 r1 ? 0.53 A ,基态能量为 E1 ? ?13.6eV ,试求这种类氢离子的玻尔半径 r1? 和基态能量 (略去氦核的运动) E1? 。 【分析与解】根据玻尔理论,氢原子的玻尔半径(量子数为 1 ) r1 ? 类氢离子中 ? ? 子绕氦核运动的可能轨道半径
0 h2 , ? 0.53 A 4? 2 me e2 k
0

取 n ? 1 , Z ? 2 ,则

h2 rn ? n , 4? 2 me2 Zk
2

r1? ? n2

0 r1 h2 ; ? ? 0.0013 A 4? 2 (207me )e2 2k 414

?? 类氢离子的最低能级(基态)的能量 E1
而氢原子基态能量 E1 ? ?

r k ? 2e2 k ? 2e2 k ? 2e2 ,式中 r1? ? 1 , ? ?? 414 2r1? r1? 2r1?

k ? e2 ? ? 828E1 ? ?1.13?103 eV 。 ,故类氢离子基态能量 E1 2r1

玻尔的原子模型是对经典理论的一次量子化改良,有其不足与局限,但正是有此基础, 才有后来的量子力学,更完整准确地描述微观粒子的波粒二象性行为。 量子理论的中心思想是,一切都是由不可预言的粒子构成的,但这些粒子的统计行为 则遵循一种可以预言的波动图样,微观世界具有一种内禀的、可以量化的不确定性。德国物 理学家海森伯发现了这种不确定关系。不确定关系,也称测不准关系,是量子力学中的一个 极其重要而又极其基本的关系。在经典力学中,运动物体具有确定的轨道,任一时刻物体的 运动状态可用在该轨道上确定的位置和动量来描述,我们可以通过实验手段作出精确测定。 然而对微观客体, 由于具有波粒二象性, 微观粒子有别于宏观物体—在某一时刻对应一确定 位置,形成一条运动轨道,由运动轨道可求出每个瞬时的动量。微观粒子在各个时刻出现在 什么位置是不确定的,是随机的,我们只能用几率形式来表示微观粒子的状态,我们可以描 述的只是粒子在空间各点出现的几率,及其动量在某一范围内的几率。即,对于微观粒子而 言,确定其位置所达到的精确度 ?x 和同时测量其动量所达到的精确度 ?px 是受到限制的, 这个限制是

?x ? ?px ? h 。
这就是海森伯“不确定关系”的数学表达式(更精确的不确定关系表达式为

h ) ,其意义是:用经典力学的物理量来描述微观粒子,只能在这样的近似程度 4? 内—粒子在某一方向上位置的不准量和在这方向上动量的不准量的乘积将大于或等于 h 。 不 ?x ? ? p x ?
确定原理告诉我们, 任何粒子都保持它们的位置与动量的总的可能性疆域, 一种不确定性的 减小必使另一不确定性增大同样的程度。 下面我们对这一关系作出论证。为使所涉知识易于读者接受,某些细节会采取模糊处 理。首先,我们研究较为熟悉的波的单缝衍射。如图所示为单缝衍射实验装置示意图,K 为 单缝,缝宽 D ,设平行光(平面波)垂直于单缝入射,根据惠更斯原理,在单缝所在处的 波面 AB 上的各点波源向各个方向发射新的子波,这些波经传播而在空间叠加,并可产生干

D 的 2 波带 AA1 、A 两波带上, 任何两个对应点, 如图中 AA1 1B , 带上的 G 点和 A 1B 带上的 G 1 点所发出的光线的光程差 D l1 ? l2 ? sin ? ,式中角 ? 是子波波线与入射平行光所 2n D ? 2, 3 ??? )时,两波到达屏上 sin ? ? ?(2k ? 1) ( k ? 1, 成的角度, n 是介质折射率。当 2n 2 D sin ? ? k ? 时反相叠加而完全抵消,屏上依次出现第一级暗纹、第二级暗纹?;当 2n 1, 2, 3 ??? )时,两波到达屏上时同相叠加而加强,屏上依次出现中央明纹及其他各 ( k ? 0, 级明纹。由上可知,中央明纹在两个一级暗纹之间的区域,即 ? 适合
涉现象。 若将波面 AB 分割成两个面积相同、 宽度为

sin ? ? n

?
D



再来看看微观粒子—例如电子的单缝衍射。如图所 示,设有一束电子以速度 v 沿 OY 方向射向狭缝 AB , 在屏上可以观察到与伦琴射线衍射图样并无二致的电子 衍射图样,这正是电子波动性的表现,所谓“明纹”是 电子到达几率大的区域,而“暗纹”则是电子到达几率 小的区域。根据上面推得结论,考虑零级最大与第一级 最小之间满足的条件是 sin ? ? 波波长,即 ? ?

?
D

。这里的 ? 应是物质

h 。 p

现在我们想对电子的行为作经典的描述,试图同时确定位置 x 和动量 p 在电子通过狭 缝的瞬时, 电子在 OX 方向上的位置由于缝的限制而被局限于狭缝之间, 它的位置的 x 坐标 不可能超出缝宽 D , 或者说位置测量的不确定性不可能超出 D , 用 ?x 表示决定电子在 OX 方向上的位置的不确定量,那么 ?x ? D 。 此时, 由于衍射, 电子速度的方向有了变化, 动量 p 的 OX 方向分量 px 介于 0 与 p sin ? 之间, 即 0 ? px ? p sin ? , 所以电子在 OX 方向上的动量测量的不确定性不会超过 p sin ? , 用 ?px 表示电子 OX 方向动量的不确定量,有

?px ? p sin ? 。 ? h h h ? 上式中 sin ? ? , ? ? ,得 ?px ? p , D p Dp ?x 于是有 。 ?x ? ? p ?h x
如果把所有次级即电子所有可能到达几率考虑在内,则有 ?x ? ?px ? h 。 对上述关系推广到适合于所有坐标即有 ?x ? ?px ? h , ?y ? ?py ? h , ?z ? ?pz ? h 。 不确定关系告诉我们, 动量和位置的不确定度的乘积在数值上近似等于普朗克恒量, 这 与经典理论很不同。不可能同时确定微观粒子的位置与动量,也就是说,不可能在粒子位置 确定( ?x ? 0 )的情况下赋予粒子确定的动量( ?p ? 0 ) ,假如有一个波,它的波长或动 量确定( ?p ? 0 ) ,则它的位置是完全不确定的( ?x ? ? ) 。因为粒子位于空间不同点的几

率均等,如果粒子位置局域化( ?x ? 0 ) ,那么各粒子对应的是一切可能的波长或动量 ( ?p ? ? ) 。 下面我们运用不确定关系解决两个具体问题。 【例 8】电子枪发射的电子束,打到荧光屏上形成一个亮点,亮点的大小和限制电子束的小 孔直径有关。小孔较大,亮点自然也大,小孔很小,又会出现电子衍射现象,亮点也会变大。 现设电子束的能量为 150eV ,屏与孔相距 1m 。试近似求出使屏上光点最小的孔的直径。 【分析与解】从小孔中射出的电子束,当孔的直径比电子的德布罗意波长大的多时,可认为 电子束是直线前行的,这时,屏上的亮斑与小孔直径一样大。 (不考虑电子间斥力造成的离 散) 当小孔的直径小到与电子的波长可比拟时, 通过小孔的电 子将发生衍射. 在屏离孔很远的情况下, 可认为电子入射速度 与孔平面垂直,如图所示。根据不确定关系: ?y ? ?py ? h , 具体到本问题, ?y ? a , sin ? ?

a?

h R L? ? ?h,R? ,由图可得,亮点的直径可表示为 ? L a L? L? D ?a?2 。则当 a ? 2 , a ? 2L? 时, D 有最大值 a a Dmax ? 2 2L? 。
对于题给 Ek ? 150eV 的能量,不考虑相对论效应,可得电子波长 ? ?

R , ? 为电子衍射角。则 L

h ,则 2mEk

m ? 28? m 。 2 ? 9.1?10?31 ?150 ?1.6 ?10?19 108 【例 8】放射性同位素 A 的衰变时间为 2.4 min ,试求它的能量的不确定性。 Dmax ? 2
【分析与解】海森伯的不确定关系不仅将具有波粒二象性的量子系统的位置与动量联系起 来,而且也把系统的其他运动参量加以联系,其中最有用的是能量的不确定性 ? E 与时间的 不确定性 ?t 之间的联系,能量与时间的不确定关系是 ?E ? ?t ? h 。 这个关系描述了当系统在很长时间间隔内处于一种确定的状态, 那么系统的能量就可以高精 确度地确定; 假如系统只有很短的时间间隔内处于确定状态, 由它的能量就成为不确定的了。 考察微观粒子从一个状态跃迁到另一个状态时,通常使用这个关系式。 本题中的 A 粒子发生衰变,半衰期即状态变化的时间为 2.4 min ,那么确定这个粒子 能量的最大精确度为
108

2 ? 6.63 ?10?34

?E ?

h

?

?

6.63 ?10?34 J ? 4.6 ?10?36 J 。 2.4 ? 60

1、为了减少玻璃表面反射光的成分,在玻璃表面上涂一层薄膜,薄膜的折射率小于玻璃的 折射率。当入射光包含波长 ?1 ? 700nm 和 ?2 ? 420nm 情况下,为使这两种波长的反射光 波最大限度地减弱,在玻璃表面涂有折射率为 n ?

4 的薄膜。试求这种薄膜的最小厚度。 3

2、 一束白光以 i ? 30 角射在肥皂膜上, 反射光中波长为 ?0 ? 500nm 的绿光显得特别明亮,
0

问肥皂膜的最小厚度为多少?从垂直方向观察,薄膜呈什么颜色?肥皂薄膜液体的折射率 n ? 1.33 。

3、在杨氏干涉实验中,波长为 600 nm 的单色光垂直射到两个非常靠近的狭缝。光屏离双缝 的距离为 1.00m ,在光屏上中心峰值与第 10 条亮线的距离是 300mm 。试求 ⑴狭缝的宽度; ⑵将一厚度为 0.02mm 的透明薄膜放到其中一个狭缝上时,光屏上的中心峰值移动了 30mm 。试求薄膜的折射率。

4、如图所示,一个会聚透镜的直径 D ? 5cm ,焦距 f ? 50cm 。沿其直径分成两半,再分 开相距 d ? 5mm ,点光源 S 到透镜距离 u ? 1m 。作图并计算离透镜多远处可以观察到干涉 条纹?(透镜两半之间空隙被遮盖)

5、如图所示是双镜干涉实验的装置。设双镜的夹角 ? ? 10 rad ,单色光源 S 与两镜相交 m , 单 色 光 波 长 ? ? 500nm , 从 两 镜 相 交 处 到 屏 幕 EE ? 距 离 处 C 的距离为 r ? 0.50 L ? 1.50m 。求⑴屏幕上两相邻条纹之间的距离;⑵在屏幕上最多可看到多少条明条纹?
?3

6、为了测量金属丝的直径,把金属丝夹在两块平玻璃板之间,使空气层形成劈尖,如图所 示。如用单色光垂直照射,就得到等厚干涉条纹。测出干涉条纹间的距离,就可以算出金属 丝的直径。某次的测量结果为:单色光波长 ? ? 5893 A ,金属丝与劈尖顶点间的距离 L ? 28.880mm , 30 条明条纹间的距离为 4.295mm ,求金属丝的直径 D 。
0

7、如图所示,在一块平玻璃片 B 上,放一曲率半径为 R 的平凸透镜 A ,在 A 、 B 之间形 成空气薄层,当平行光垂直射向平凸透镜时,可以观察到透镜表面出现以接触点 O 为中心 的许多同心环,称为牛顿环。 ⑴确定形成牛顿环的明、暗环处空气层厚度 e 适合的条件,入射光波长为 ? ; ⑵确定明、暗环的半径 r ; ⑶在接触处是明纹还是暗纹?

8、如图所示,薄膜的两个界面 OM 和 ON 构成尖劈,尖劈的夹角 ? 较小,光源 S 离劈较近。 证明光源 S 发出的光经界面 OM 和 ON 反射后产生的干涉条纹是以 O 为圆心、以 r 为半径 的圆。

9、在迎面驶来的汽车上,两盏前灯相距 120cm ,试问汽车离人多远的地方,眼睛才可以分 辨这两盏前灯?假设夜间人眼瞳孔直径为 5.0 mm ,入射光波长 ? ? 550nm ,并假设这个距 离只取决于眼睛的圆形瞳孔处的衍射效应。

10、如图所示是可把入射的自然光分成两束传播方向互相垂直的偏振光的偏振分束器结构, 两个等边直角玻璃棱镜斜面对斜面, 之间夹一多层膜, 多层膜是由高折射率的材料硫化锌与 低折射率材料冰晶石交替镀制而成,设高折射率为 nH ,低折射率为 nL ,自然光以 45 角入 射到多层膜上。 ⑴为使反射光为完全偏振光, 玻璃棱镜的折射率 n 应取多少?⑵为使透射光 的偏振度最大,高折射率层的厚度 tH 与低折射率层的厚度 t L 的最小值是多少?⑶若两材料
0 折射率依次为 nH ? 2.38 与 nL ? 1.25 。对于波长 ? ? 514.5nm 的激光以 45 角入射到多层 0

膜上,试求 tH 、 t L 的最小值。

11、光照射到物体上将产生光压,设想利用太阳的光压将物体送到太阳系以外的空间去。当 然这只有当太阳对物体的光压超过了太阳对物体的引力才行。 现如果用一种密度为1g / cm3 的物质作成的平板,它的刚性足够大,则它将能够被太阳光的压力送出太阳系。试估算这种 子板的厚度应小于多少?取大气层外太阳的能量密度为 1.4 ?10 J / m ? s ,日地距离为
3 2

1.5 ?1011 m 。

12、在康普顿散射实验中,静止的电子被能量等于一个电子静止质量对应能量的光子轰击。 对于散射的光子和反冲的电子有相同大小的动量的情况, 确定它们之间的夹角, 并求反冲电 子的速度。

13、在大气和有生命的植物中,大约每 10 个碳原于中有一个 C ,其原子半衰期为 ? ,其
12
14

余均为稳定的 C 原子。考古中,可通过测定古生物中 C 的含量来推算生物的年代。如在 实验室中测得在 m 克的碳中,在 t 年时间中有 n 个 C 原子发生衰变,设此古生物是在 T 年 前死亡的,试列出能求出 T 的式子。
14

12

14

9 14、用由放射源 Po 发射的 ? 粒子击中铍( 4 Be )核后,发生核反应,放出一种新的粒子和

另一种生成物。这些新粒子组成的粒子流有以下特点:⑴在任意方向磁场中都不偏转;⑵让 它与含氢物质中的静止氢核相碰撞, 可以把氢核击出, 被击出的氢核能量为 EH ? 4.7MeV , 让它与含氮物质中的静止氮核相碰撞,也可以把氮核击出,被击出的氮核的能量 EN ? 1.2MeV 。碰撞可视为对心完全弹性碰撞,且已知氢核与氮核的质量比为1:14 。试根 据以上数据求出新粒子的质量与氢核质量之比, 对此新粒子是什么粒子作出判断, 并写出 ? 粒子轰击 Be 的核反应方程式。

15、 某一星体发射出来的光谱很像氢原子的巴尔末线系, 经仔细分析, 确定为锂离子 Li 生的。试求:锂离子的这个线系的第一条谱线和极限谱线的波长。

??



16、 Pb 原子核内有 82 个质子,核半径为 7.1 fm ( 1 fm ? 10
?

?15

。 Pb 原于核与 81 个电子 m)
? ?

及一个 ? 子构成的原子称为 Pb 的 ? 介子原子。假设所有电子均在原子核外,? 子的基态 轨道在原子核之内,第一激发态轨道在所有电子轨道之内,但在原于核外,实验测得 ? 子 从第一激发态跃迁到基态所发出的光于能量为 6.0 MeV 。试估算基态的轨道半径。

17、如图所示,将炉子中的一群原子加热到某一温度 T ,并让这些原于沿水平方向通过炉子 侧面上一个直径为 D 的小孔射出( D 的尺寸与原子尺度相当) ,从而形成一束原子束。当这 束原子行经水平长度为 L 的距离时,估算这束原子束的直径。设原子的质量为 M 。

18、某些基本粒子的静止质量对应的能量具有不确定性约 200 MeV ,试求这些粒子的寿命。

19、⑴设子弹的质量为 0.01kg ,枪口的直径为 0.5cm ,试求子弹射出枪口的横向速度的不 确定量;⑵实验测定原子核直径数量级为 10 m ,估算电子若被束缚在原子核内时的动能, 从而判断原于核由质子和电子组成是否可能。
?14

20、想象一个“经典的电子”为一个小圆球。若它的静电能不大于总的静止能量 mc ,它 的最小半径为多少?若它的角动量为

2

h ?, 它的角速度为多少?如果总的电子的静止能量由 4

静电场提供,那么对应地,它的“赤道速度”要达到多少?


推荐相关:

更高更妙的物理:专题25 波动光学与量子理论拾零

专题25 波动光学与量子理论拾零 本专题简略介绍波动光学、量子物理学的若干知识与方法。 人们发现光的干涉、 衍射与偏振等现象以及测出水中光速小于空气中的光速使光...


近代物理练习题

28、1690 年,荷兰物理学家惠更斯提出了机械波的波动...四、光学 30、1621 年,荷兰数学家斯涅耳找到了入射...了量子理论 2.历史上有很多杰出的物理学家为物理学...


物理竞赛指导

第二版》 《电磁学》 《专题讲座》,崔宏宾《热光近代物理》 复习:更高更妙...波动光学 光程 光的干涉 双缝干涉 光的衍射现象 单缝衍射(定性)※分辩本领(...


物理史

:荷兰科学家;在对光的研究中,提出了光的波动说。...27、玻尔:丹麦物理学家;把普朗克的量子理论应用到...五、光学 25、1621 年,荷兰数学家斯涅耳找到了入射...


高考必考物理学史总结

25、1834 年,俄国物理学家楞次发表确定感应电流方向...了量子理论 C ) D.低压氢气放电管中的氢气在高...爱因斯坦的光子说是一部介绍光的波动理论 D.重...


高考理综高中物理学史常考知识点归纳(体育班)

六、光学(选做) : 龙川县实验中学体育班内部资料 ...物理学史专题★伽利略(意大利物理学家) 对物理学的...玻尔把普朗克的量子理论运用于原子系统上,成功解释了...


物理学中的哲学思想探析

2.1.3 统一和谐美 物理理论的和谐统一美实际上是自然界和谐统一美的理论形态。 如麦克斯韦电磁场理论 把电学、磁学、光学统一了起来,量子力学把波动粒子性...


高考必考物理学史总结

五、光学 29、1887 年,德国物理学家赫兹用实验证实...会表现出波动性; 1927 年美、 英两国物理学家...量子理论 10 延庆一模 2.历史上有很多杰出的物理学...


物理学史

新课标高考:高中物理学史汇总,本专题肯定会在 2013...四、波动学、光学、相对论(3-4 选考): 33.17 ...(高速运动世界); ②热辐射实验一一量子论(微观 ...


物理竞赛如何在正确的时间刷正确的题

更高更妙的物理》和《专题精编》 以及《方法漫谈...光学、电学和量子物理,量子物理不着急,其他四 本...他的分数会在两条线之间波动,其中一条线是会不会...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com