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【创新设计】2015高考数学(人教,理)一轮复习步骤规范练——三角恒等变换及解三角形]


步骤规范练——三角恒等变换及解三角形
(建议用时:90 分钟) 一、选择题 1 sin2 35° -2 1 B.-2 D.1 1 sin2 35° -2

1.(2013· 山东师大附中月考)化简cos 10° = cos 80° A.-2 C.-1

(

).

解析

/>1-cos 70° 1 1 -2 -2cos 70° 2 =cos 10° = 1 =-1. cos 10° cos 80° · sin 10° 2sin 20° C

答案

π 3 2.(2014· 潮州二模)在△ABC 中,A=3,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则边 AC 的长为 A.1 C.2 解析 答案 B. 3 D. 2 1 1 3 3 由题意知 S△ABC=2×AB×AC×sin A=2×2×AC× 2 = 2 ,∴AC=1. A ( ).

?π ? 3.(2013· 成都五校联考)已知锐角 α 满足 cos 2α=cos?4-α?,则 sin 2α 等于 ? ? ( 1 A.2 2 C. 2 解析 1 B.-2 2 D.- 2 π? π ? ? π π? ∵α∈?0,2?,∴2α∈(0,π),4-α∈?-4,4?. ? ? ? ? ).

π π ?π ? 又 cos 2α=cos?4-α?,2α=4-α 或 2α+4-α=0, ? ?

π π ∴α=12或 α=-4(舍). π 1 ∴sin 2α=sin 6=2,故选 A. 答案 A

3 4.(2014· 中山模拟)已知角 A 为△ABC 的内角,且 sin 2A=-4,则 sin A-cos A = ( 7 A. 2 1 C.-2 解析 7 B.- 2 1 D.2 ).

3 ∵A 为△ABC 的内角,且 sin 2A=2sin Acos A=-4<0,∴sin A>0,

cos A<0,∴sin A-cos A>0. 7 又(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=4. ∴sin A-cos A= 答案 A 7 . 2

5.(2013· 临沂一模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin2 A +sin2 C-sin2 B= 3sin Asin C,则角 B 为 π A.6 2 C.3π 解析
2 2

(

).

π B.3 5 D.6π a2+c2-b2 3ac 由正弦定理可得 a +c -b = 3ac,所以 cos B= = 2ac 2ac =
2

3 π ,所以 B = 2 6. 答案 A ( ).

6.(2013· 湛江二模)若三条线段的长分别为 3,5,7,则用这三条线段 A.能组成直角三角形 C.能组成钝角三角形 B.能组成锐角三角形 D.不能组成三角形

解析

32+52-72 设能构成三角形的最大边为 a=7, 所对角为 A, 则 cos A= = 2×3×5

1 -2<0, 故 A 为钝角,即构成的三角形为钝角三角形. 答案 C

7.(2013· 安徽卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c = 2a,3sin A=5sin B,则角 C= π A.3 3π C. 4 解析 2π B. 3 5π D. 6 5 由 3sin A=5sin B,得 3a=5b,∴a=3b, ( ).

7 代入 b+c=2a 中,得 c=3b.由余弦定理, a2+b2-c2 1 2π 得 cos C= 2ab =-2,∴C= 3 . 答案 B

5 3 8.(2013· 东北三校联考)设 α,β 都是锐角,且 cos α= 5 ,sin(α+β)=5,则 cos β = 2 5 A. 25 2 5 2 5 C. 25 或 5 解析 α,β 都是锐角, 2 5 B. 5 5 2 5 D. 5 或 25 ( ).

5 2 5 当 cos α= 5 时,sin α= 5 . 5 1 因为 cos α= 5 <2,所以 α>60° . 3 3 又 sin(α+β)=5< 2 , 所以 α+β<60° 或 α+β>120° .

显然 α+β<60° 不可能,所以 α+β 为钝角. 3 4 又 sin(α+β)=5,因此 cos(α+β)=-5, 所以 cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α 4 5 3 2 5 -4 5+6 5 2 5 =-5× 5 +5× 5 = = 25 . 25 答案 A

9.已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0, a=7,c=6,则 b= A.10 C.8 解析 B.9 D.5 1 化简 23cos2A+cos 2A=0,得 23cos2A+2cos2A-1=0,解得 cos A=5. ( ).

由余弦定理,知 a2=b2+c2-2bccos A,代入数据,得 b=5. 答案 D

π 10.(2013· 天津卷)在△ABC 中,∠ABC=4,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC= ( 10 A. 10 3 10 C. 10 解析 10 B. 5 5 D. 5 ).

由余弦定理,得 AC2=BA2+BC2-2BA·

π BCcos B=( 2)2+32-2× 2×3cos4=5. ∴AC= 5,由正弦定理 BC AC = ,得 sin∠BAC sin∠ABC

π 2 3×sin 4 3× 2 BC· sin∠ABC 3 10 sin∠BAC= = = = AC 10 . 5 5 答案 C

二、填空题

π? ?π ? 3 ? π 11.(2013· 浙江五校联盟联考)已知 sin?4-x?=4,且 x∈?-2,-4?,则 cos 2x ? ? ? ? 的值为________. 解析 ?π ? ?π ? sin 2x=cos?2-2x?=1-2sin2?4-x? ? ? ? ?

1 ?3? =1-2×?4?2=-8, ? ? π? π? ? π ? ∵x∈?-2,-4?,∴2x∈?-π,-2?. ? ? ? ? ∴cos 2x=- 1-sin2 2x=- 答案 3 7 - 8 3 7 . 8

12.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长为________. 解析 由△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,可得 B=60° .又在△ABD

中,AB=1,BD=2,由余弦定理可得 AD= AB2+BD2-2AB· BDcos B= 3. 答案 3

13.(2013· 济宁期末考试)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 b 2 =1,c= 3,C=3π,则 S△ABC=________. 解析 b c 1 因为 c>b, 所以 B<C, 所以由正弦定理得sin B=sin C, 即sin B= 3 2π sin 3

1 π π 2π π 1 =2,即 sin B=2,所以 B=6,所以 A=π-6- 3 =6.所以 S△ABC=2bc sin A 1 1 3 =2× 3×2= 4 . 答案 3 4

?π ? ?π π? 14.(2014· 天水模拟)f(x)=2sin2?4+x?- 3cos 2x-1,x∈?4,2?,则 f(x)的最小 ? ? ? ? 值为________ . 解析 ?π ? f(x)=2sin2?4+x?- 3cos 2x-1 ? ?

?π ? =1-cos 2?4+x?- 3cos 2x-1 ? ? π? π π ?π ? ? =-cos?2+2x?- 3cos 2x=sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x-3?,因为4≤x≤2, ? ? ? ? π? π? π π 2π 1 ? ? 所以 6 ≤2x - 3 ≤ 3 ,所以 2 ≤sin ?2x-3? ≤1 ,所以 1≤2sin ?2x-3? ≤2 ,即 ? ? ? ? 1≤f(x)≤2,所以 f(x)的最小值为 1. 答案 1

三、解答题 15.(2013· 新课标全国Ⅰ卷)如图,在△ABC 中,∠ABC=90° ,AB= 3,BC=1, P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° .

1 (1)若 PB=2,求 PA; (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA. 解 (1)由已知得∠PBC=60° ,所以∠PBA=30° .

1 1 7 在△PBA 中,由余弦定理,得 PA2=3+4-2× 3×2cos 30° =4. 7 故 PA= 2 . (2)设∠PBA=α,由已知得 PB=sin α. 3 在△PBA 中,由正弦定理,得sin 150° = 化简得 3cos α=4sin α. 3 3 所以 tan α= 4 ,即 tan∠PBA= 4 . 16.(2013· 江西卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos C+(cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. sin α , sin?30° -α?



(1)由已知得

-cos(A+B)+cos Acos B- 3sin Acos B=0, 即有 sin Asin B- 3sin Acos B=0, 因为 sin A≠0,所以 sin B- 3cos B=0, 又 cos B≠0,所以 tan B= 3, π 又 0<B<π,所以 B=3. (2)由余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos B. 1? 1 1 ? 因为 a+c=1,cos B=2,所以 b2=3?a-2?2+4. ? ? 1 1 又 0<a<1,于是有4≤b2<1,即有2≤b<1. ?1 ? 故 b 的取值范围是?2,1?. ? ? 17.(2013· 潍坊一模)已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acos B+ 3bsin A=c. (1)求角 A 的大小; → → (2)若 a=1,AB· AC=3,求 b+c 的值. 解 (1)由 acos B+ 3bsin A=c,得

sin Acos B+ 3sin Bsin A=sin (A+B), 即 3sin Bsin A=cos Asin B,

3 π 所以 tan A= 3 ,故 A=6. → → π (2)由AB· AC=3,得 bccos 6=3,即 bc=2 3,① 又 a=1, π ∴1=b2+c2-2bccos 6,② 由①②可得(b+c)2=7+4 3,所以 b+c=2+ 3. 18.(2013· 重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2 +b2+ 2ab=c2.

(1)求 C; 3 2 cos?α+A?cos?α+B? 2 (2)设 cos Acos B= 5 , = 5 ,求 tan α 的值. cos2α 解 (1)因为 a2+b2+ 2ab=c2,

a2+b2-c2 - 2ab 2 由余弦定理,得 cos C= 2ab = 2ab =- 2 , 3π 故 C= 4 . (4)由题意得 ?sin αsin A-cos αcos A??sin αsin B-cos αcos B? 2 = 2 cos α 5, 2 因此(tan αsin A-cos A)(tan αsinB-cos B)= 5 , 2 tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B= 5 , 2 tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B= 5 .① 3π π 因为 C= 4 ,所以 A+B=4, 2 所以 sin(A+B)= 2 , 因为 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B, 3 2 2 即 5 -sin Asin B= 2 , 3 2 2 2 解得 sin Asin B= 5 - 2 = 10 . 由①得 tan2α-5tan α+4=0, 解得 tan α=1 或 tan α=4.


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