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河南省扶沟县高级中学2015届高三数学下学期模拟考试试题(10)


河南省扶沟县高级中学 2015 届高三数学下学期模拟考试试题(10)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 共 150 分, 考试时间 120 分 钟。答卷前, 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如 需改 动, 用橡皮擦干净后, 再选

涂其他答案标号, 写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效。 4.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、 选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的. (1) 已知全集 U=R, 集合 A= ? x | (A) A∩B

? ?

x ?1 ? ? 0 ? , B ? ? x | x ? 1? ,则{ x|x≤0 }等于 x ?
(C)?U(A∩B) (D)?U(A∪B)

(B) A∪B

(2) 复数 z 满足 z.(1 ? 2i) ? 4 ? 3i , 则 z 等于 (A) 2-i (B) 2+i (C) 1+2i (3) 下列说法不正确的是 (A) 若 “p 且 q” 为假, 则 p、 q 至少有一个是假命题
2

(D) 1-2i

(B) 命题 “? x0 ∈ R,x 0 - x0 - < 0” 的否定是 “? x ∈ R,x - x - 1≥0” (C)“ ? ?

2

?
2

” 是 “y=sin (2x+ ? ) 为偶函数” 的充要条件
a

(D) α <0 时, 幂函数 y=x 在 (0, +∞) 上单调递减 (4) 某几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的体积为 (A) 200+9π (B) 200+18π (C) 140+9π (D) 140+18π

?x ? y ?1 ? 0 ? (5) 已知 x、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z = x + 2y 的最大值为 ?x ? 0 ?
(A) -2 (B) -1 (C) 1 (6) 若如图所示的程序框图输出的 S 是 30, 则在判断框中 M 表 示的 “条件” 应该是 (A) n≥3 (B) n≥4 (C) n≥5 (D) n≥6 (D) 2

(7) 已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120°, 且 | AB | = 2, | AC | = 3,

??? ?

????

??? ?

????

-1-

若 AP ? ? AB ? AC 且 AP ? BC , 则实数 λ 的值为 (A)

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

3 7

(B) 13

(C)6

(D)

12 7

(8) 分配 4 名水暖工去 3 个不同的居民家里检查暖气管道, 要求 4 名水暖工都分配出去, 并每 名水暖工只去一个居民家, 且每个居民家都要有人去检查, 那么分配的方案共有
3 (A) A4 种

3 1 (B) A3 种 . A3

1 1 3 2 3 (C) C4 种 .C3 A3 种 (D) C4 .A3

(9) △ABC 各角的对应边分别为 a, b, c, 满足 (A) (0,

?
6

]

(B) (0,

?
3

b c ? ? 1 , 则角 A 的范围是 a?c a?b

]

(C) [

?

(10) 函数 f (x)= sin(2x + 则函数 f (x)在[0,

? ) ( |? | <

? ]上的最小值为 2
(B)-

? ? )的图象向左平移 个单位后关于原点对称, 2 6

3

,? )

(D) [

?

6

,? )

(A)-

3 2

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

(11) 过双曲线 为 A, l 与

x2 y 2 ? = 1 (a > 0,b > 0)的一个焦点 F 向其一条渐近线作垂线 l , 垂足 a 2 b2
??? ? ??? ?

另一条渐近线交于 B 点, 若 FB ? 2 FA , 则双曲线的离心率为 (A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 5

(12) 设函数 f (x)的导函数为 f ′(x), 对任意 x∈R 都有 f (x)> f ′ (x)成立, 则 (A) 3f(ln2)<2f(ln3) (B) 3f(ln2)=2f(ln3) (C) 3f(ln2)>2f(ln3) (D) 3f(ln2)与 2f(ln3) 的大小不确定 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 (13) 题~第 (21) 题为必考题, 每个试题考生 必须做 答.第 (22)题~第 (24) 题为选考题, 考生根据要求做答. 二、 填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分. (13) 设函数 f (x)=(x + a) , 其中 n ? 6
n

?

n 2 0

cos xdx,

f '(0) ? ?3 , 则 f (x)的展开式中 f (0)

的 x 系数为_______. (14) 已知 x>0, y>0, 且 x ? y ?

4

3 4 1 , 则 ? 的最小值为_____________. 4 x y

-2-

(15) 已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ?1og2 x

x?0 x?0

, 且函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? a 只有一个零点, 则

实数 a 的取值范围是_____________. 2 (16) 已知抛物线 C:y = 2px (p > 0)的焦点为 F, 过点 F 倾斜角为 60°的直线 l 与抛物 线 C 在第 一、 四象限分别交于 A、 B 两点, 则

AF BF

的值等于_____________.

三、 解答题: 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 a1 = 2, nan + 1 = Sn + n(n + 1) . (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ) 设 Tn 为数列 ?

? an ? }的前 n 项和, 求 Tn; n ? ?2 ?
, 证明: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

(Ⅲ) 设 bn ?

1 an an?1an? 2

1 32

(18) (本小题满分 12 分) 如图, 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中, D、 E 分别是 BC 和 CC1 的中点, 已知 AB=AC=AA1=4, ∠BAC=90°. (Ⅰ) 求证: B1D⊥平面 AED; (Ⅱ) 求二面角 B1-AE-D 的余弦值; (Ⅲ) 求三棱锥 A-B1DE 的体积.

(19) (本小题满分 12 分) 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关, 某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣 小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 (男 30 女 20) , 给所有同学几何题和代数题各 一题, 让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表: (单位: 人)

(Ⅰ) 能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (Ⅱ) 经过多次测试后, 甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟, 乙每次解答一 道几何题所用的时间在 6—8 分钟, 现甲、 乙各解同一道几何题, 求乙比甲先解答完 的概率. (Ⅲ) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X, 求 X 的分布列及数学期望 E (X) .

-3-

附表及公式

(20) (本小题满分 12 分) 已知 F1F2 是椭圆 椭圆

x2 y 2 2 ? 2 = 1 (a > b > 0)的两个焦点, O 为坐标原点, 点 P(-1, )在 2 a b 2

l 上, 且 PF 1.F 1F 2 ? 0, ? O 是以 F1F2 为直径的圆, 直线 : y=kx+m 与⊙O 相切, 并且与椭圆
交于 不同的两点 A、 B. (Ⅰ) 求椭圆的标准方程;

???? ???? ?

. ? ? , 且满足 (Ⅱ) 当 OAOB
(21) (本小题满分 12 分)

??? ? ??? ?

2 3 ? ? ? 时, 求弦长|AB|的取值范围. 3 4

己知函数 f ( x) ? 1n(ax ? 1) ? x3 ? x2 ? ax . (Ⅰ) 若 x =

2 为 f (x)的极值点, 求实数 a 的值; 3
3

(Ⅱ) 若 y = f (x)在[l, +∞) 上为增函数, 求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 若 a=-1 时, 方程 f (1 ? x ) ? (1 ? x) ?

b 有实根, 求实数 b 的取值范围. x

请考生在第 (22) ~ (24) 三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计 分.做答 时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑, 并将所选题号填入括号中. (22) (本小题满分 10 分) 选修 4-1: 几何证明选讲. 如图, 圆 M 与圆 N 交于 A, B 两点, 以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C, D 两点,延长 DB 交圆 M 于点 E, 延长 CB 交圆 N 于点 F.已知 BC=5, DB=10. (Ⅰ) 求 AB 的长; (Ⅱ) 求

CF . DE

(23) (本小题满分 10 分) 选修 4-4: 坐标系与参数方程 在极坐标系中, 已知圆 C 的圆心 C( 2, (Ⅰ) 求圆 C 的极坐标方程;

?
4

), 半径 r = 3 .

-4-

(Ⅱ) 若 α ∈ ?0, ? , 直线 l 的参数方程为 ? , 直线 l 交圆 C (t 为参数) ? 4? ? y ? 2 ? t sin ? 于 A、 B 两点, 求弦长|AB|的取值范围.

? ??

? x ? 2 ? t cos ?

(24) (本小题满分 10 分) 选修 4-5: 不等式选讲 已知函数 f (x)= |x - 2|,g(x)= -|x + 3| +m. (Ⅰ) 若关于 x 的不等式 g(x)≥0 的解集为 [-5, -1] , 求实数 m 的值; (Ⅱ) 若 f (x)的图象恒在 g(x)图象的上方, 求实数 m 的取值范围.

参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 (1)-(12)DBCAD BDDBA AC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13) 60 (14)12 (15) ?1, ?? ? (16) 3

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)

-----------------(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)

-5-

1 1 2 n ? n ,故 T ? 4 ? n ? 2 ----------------------- (8 分) 所以 Tn ? n 1 2n 2n ?1 2 1? 2 1?
(Ⅲ)由(Ⅰ) ,得 bn ?

1 1 1 1 ? [ ? ] 2n ? 2(n ? 1) ? 2(n ? 2) 16 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? ) 16 1 ? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

?

1 1 1 ( ? ) 16 2 (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 ? ? . 32 16(n ? 1)(n ? 2) 32
-------------------------- ( 12

?
分) (18)(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)依题意,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.因为 AB ? AC ? AA1 =4,所以 A (0,0,0) , B(4,0,0) ,E(0,4,2) ,D(2,2,0) ,B1(4,0,4).

B1 D ? (?2,2,?4) , AD ? (2,2,0) , AE ? (0,4,2) . ???? ? ???? 因为 B1 D ? AD ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0 ,所以 B1D ? AD ,即 B1D ? AD .
因为 B1 D ? AE ? 0 ? 8 ? 8 ? 0 ,所以 B1 D ? AE ,即 B1 D ? AE . 又 AD、AE?平面 AED,且 AD∩AE=A,故 B1D ⊥平面 AED . ---------------------(4 分) (6 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B1 D ? (?2,2,?4) 为平面 AED 的一个法向量.

设平面 B1AE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,因为 AE ? (0,4,2) , AB1 ? (4,0,4) , 所以由 ?

? ?n ? AE ? 0 ? ?n ? AB1 ? 0

,得 ?

?4 y ? 2 z ? 0 ,令 y=1,得 x=2,z=-2.即 n ? (2,1,?2) . ?4 x ? 4 z ? 0
? 6 9 ? 24 ? 6 , 6

∴ cos ? n, B1 D ??

n ? B1 D | n | ? | B1 D |

-6-

∴二面角 B1 ? AE ? D 的余弦值为 (Ⅲ)

6 . ---------------------------------(8 分) 6

------------------------(12 分) (19)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由表中数据得 K 的观测值
2

K2 ?

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8 ? 50 ? ? 5.556 ? 5.024 ???2 分 30 ? 20 ? 30 ? 20 9
2

所以根据统计有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关.----------(4 分) (Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则基本事件满足的区域为

?5 ? x ? 7 (如图所示) ? ?6 ? y ? 8
设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y

y

1 ? 1? 1 1 2 ? ? 由几何概型 P ( A) ? 2? 2 8

1

即乙比甲先解答完的概率为

1 .--------(8 分) 8

O

1

x

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 C8 2 ? 28 种,其中甲、 乙两人没有一个人被抽到有 C6 2 ? 15 种;恰有一人被抽到有 C21 ? C61 =12 种;两人都被抽到有

C2 2 ? 1 种???8 分

? X 可能取值为 0,1, 2 , P( X ? 0) ?

15 12 3 1 , P ( X ? 1) ? ? , P( X ? 2) ? 28 28 7 28

X 的分布列为: X
P

0
15 28

1

2

12 28

1 28

???11 分

-7-

? E( X ) ? 0 ?

15 12 1 1 +1 ? +2 ? ? .-----------------------------(12 分) 28 28 28 2

(20) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意,可知

PF1 ? F1 F2 ,



c ? 1,

1 1 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 2 2 2 2 a 2b ,解得 a ? 2, b ? 1, c ? 1
x2 ? y 2 ? 1. ------------------(4 分) 2 m

∴椭圆的方程为

:x2 ? y 2 ? 1相切,则 k 2 ? 1 (Ⅱ)直线 l : y ? kx ? m 与⊙ O

?1

2 2 ,即 m ? k ? 1,

? x2 ? ? y2 ? 1 ?2 2 2 2 ? y ? kx ? m 由? ,得 1 ? 2k x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ,

?

?

∵直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B. 设 A ∴ ? ? 0,? k
2

?x1 , y1 ?,B?x2 , y2 ?.

? 0 ? k ? 0,

x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 , x x ? , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

m 2 ? 2k 2 1 ? k 2 y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k x1 x2 +km( x1 ? x2 ) ? m ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ,
OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 1? k 2 ?? 1 ? 2k 2



2 1? k 2 3 ? ? 2 4 ∴ 3 1 ? 2k

1 ? k2 ?1 ∴2 ,
?2 2?k 4 ? k 2 ?



AB ? 1 ? k 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2

4 ?k 4 ? k 2 ? ?1

2u 1 1 ?3 ? 3 1 =2 , u ? ? , 2? ? u ? 2 |AB |? 2 u ? k 4 ? k 2 ( ? k 2 ? 1) 4u ? 1 2 2(4u ? 1) ?4 ? 2 设 ,则 4 ,
?3 ? ? , 2? 在 ? 4 ? 上单调递增



6 4 ? |AB |? .---------------(12 分) 2 3
-8-

(21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?(x ) ?

a x [3ax 2 ? (3 ? 2a )x ? (a 2 ? 2)] ? 3x 2 ? 2x ? a ? ax ? 1 ax ? 1

?x ?

2 2 为 f(x)的极值点, ? f ?( ) ? 0 3 3 2 2 2 2 ? 3( a ) + (3-2a ) ? (a 2 ? 2) ? 0 且 a ? 1 ? 0 ? a ? 0 又当 a=0 时, f ?(x ) ? x (3x ? 2) , 3 3 3 2 从而 x ? 为 f(x)的极值点成立.--------------------(4 分) 3
(Ⅱ)因为 f(x)在 [1, ??) 上为增函数,所以

x [3ax 2 ? (3 ? 2a )x ? (a 2 ? 2)] ? 0 在 [1, ??) 上恒 ax ? 1

成立.若 a=0,则 f ?(x ) ? x (3x ? 2) ,? f(x ) 在 [1, ??) 上为增函数不成立; 若 a ? 0 ,由 ax ? 1 ? 0 对 x ? 1 恒成立知 a ? 0 . 所以 3ax 2 ? (3 ? 2a)x ? (a 2 ? 2) ? 0 对 x ? [1, ??) 上恒成立.
2 2 令 g ( x ) ? 3ax ? (3 ? 2a)x ? (a ? 2) ,其对称轴为 x ?

1 1 ? , 3 2a

因为 a ? 0 ,所以

1 1 1 ? ? ,从而 g(x)在 [1, ??) 上为增函数,所以只要 g(1) ? 0 即可,即 3 2a 3

?a 2 ? a ? 1 ? 0 ,所以

1? 5 1? 5 1? 5 ?a ? ,又因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? .------(8 分) 2 2 2
b b 2 可得 ln x ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? x x

3 (Ⅲ)若 a ? ?1 时,方程 f (1 ? x ) ? (1 ? x ) ?

2 2 3 即 b ? x ln x ? x (1 ? x ) ? x (1 ? x ) ? x ln x ? x ? x 在 x ? 0 上有解

即求函数 g (x ) ? x ln x ? x ? x 的值域.
2 3

b ? x (ln x ? x ? x 2 ) 令 h (x ) ? ln x ? x ? x 2 ,由 h ?(x ) ?

1 (2x ? 1)(1 ? x ) ? 1 ? 2x ? x x

? x)>0 ,从而 h(x)在 (0,1) 上为增函数;当 x ? 1 时, h ?(x ) ? 0 , ? x ? 0 ? 当 0 ? x ? 1 时, h (
从而 h(x)在 (1, ??) 上为减函数.

? h (x ) ? h (1) ? 0 ,而 h(x)可以无穷小, ? b 的取值范围为 (??, 0] .------------(12 分)
(22) (本小题满分 10 分)选修 4─1:几何证明选讲. 解: (Ⅰ)根据弦切角定理, 知 ?BAC ? ?BDA , ?ACB ? ?DAB , ∴△ ABC ∽△ DBA ,则

AB BC ? , DB BA
-9-

故 AB2 ? BC ? BD ? 50, AB ? 5 2 .--------(5 分) (Ⅱ)根据切割线定理,知 CA ? CB ? CF ,
2

DA2 ? DB ? DE , CA2 CB CF ? ? 两式相除,得 (*). DA2 DB DE 由△ ABC ∽△ DBA ,

CB 5 1 AC AB 5 2 2 CA2 1 ? ? ,由(*) ? ,又 得 , ? ? ? 2 DB 10 2 DA 2 DA DB 10 2 CF ? 1. 得 -------------------(10 DE
分) (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)由 C ( 2,

?
4

) 得, C 直角坐标 (1,1) ,
2 2

所以圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 3 , 由?

? x ? ? cos ? 得,圆 C 的极坐标方程为 ? y ? ? sin ?

? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ?1 ? 0 .------------------(5 分)
(Ⅱ)将 ?

? x ? 2 ? t cos ? 2 2 ,代入 C 的直角坐标方程 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 3 , ? y ? 2 ? t sin ?

2 得 t ? 2(cos ? ? sin ? )t ?1 ? 0 ,则 ? ? 0 ,

设 A , B 对应参数分别为 t1 , t 2 ,则

t1 ? t2 ? ?2(cos ? ? sin ? ) , t1t2 ? ?1 ,
| AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 8 ? 4sin 2? ,
因为 ? ? [0,

?
4

) ,所以 sin 2? ?[0,1) 所以 8 ? 4sin 2? ?[8,12) ,

所以 | AB | 的取值范围为 [2 2, 2 3) . -----------------------(10 分) (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)由题意可得﹣|x+3|+m≥0 的解集为[﹣5,﹣1]. 由﹣|x+3|+m≥0,可得﹣m﹣3≤x≤m﹣3,∴ ,求得 m=2.------------(5 分)

(Ⅱ)由题意可得|x﹣2|≥﹣|x+3|+m 恒成立,即 m≤|x﹣2|+|x+3|. 而|x﹣2|+|x+3|≥|(x﹣2)﹣(x+3)|=5,∴m≤5.-----------------------(10 分)
- 10 -


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