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2016年山西省重点中学协作体高考数学二模试卷(解析版)


2016 年山西省重点中学协作体高考数学二模试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.直线 x=1 的倾斜角是( ) A.0 B. C. D.不存在 )

2.过圆(x﹣1)2+y2=3 的圆心,且与直线 x﹣2y﹣2=0 垂直的直线方程是( A.x﹣2y﹣1=0

B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣2=0 D.x+2y﹣1=0 3.设集合 A={x|x2﹣3x<0},B={x||x|<2},则 A∩B=( ) A.{x|2<x<3} B.{x|﹣2<x<0} C.{x|0<x<2} D.{x|﹣2<x<3}

4.设 f(x)=3x+3x﹣8,用二分法求方程 3x+3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f (1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( ) A. B. (1,1.25) (1.25,1.5) C. (1.5,2) D.不能确定 5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2

B.

C.

D. )

6.直线 kx﹣y+1=3k,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A. (0,0) B. (0,1) C. (3,1) D. (2,1) 7.将函数 f(x)=cos2x 的图象向右平移 ( ) 对称

个单位后得到函数 g(x) ,则 g(x)具有性质

A.最大值为 1,图象关于直线 x= B.在(0, C.在(﹣

)上单调递增,为奇函数 , )上单调递增,为偶函数 ,0)对称

D.周期为 π,图象关于点(

8.已知 A,B 分别是双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右顶点,P 是双曲线 C )

PB 的斜率分别为 k1, k2, 右支上位于第一象限的动点, 设 PA, 则 k1+k2 的取值范围为 (
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A. (

,+∞) B. ( ,+∞)

C.[ ,+∞) )

D.[ ,



9.执行如图所示的程序框图,输出的结果是(

A.15

B.21
2

C.24

D.35

10.函数 y=x +x 在 x=1 到 x=1+△x 之间的平均变化率为( ) 2 A.△x+2 B.2△x+(△x) C.△x+3 D.3△x+(△x)2 11.已知 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( ) A.若 l∥α,m∥α,则 l∥m B.若 l⊥m,m∥α,则 l⊥α C.若 l⊥α,m⊥α,则 l∥m D.若 l⊥m,l⊥α,则 m∥α 12.已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=2f(x) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=﹣|x|+1, 则当 x∈[﹣10,10]时,y=f(x)与 g(x)=log4|x|的图象的交点个数为( ) A.13 B.12 C.11 D.10 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分. ) 13.m=﹣1 是直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直的______(充要条件,充 分条件,必要条件,非充分非必要条件) 14.已知正数 x、y,满足 + =1,则 x+2y 的最小值______.

15.若 x,y 满足约束条件

,则

的最大值为______.

16.已知函数



,给出下列结论: ①函数 f(x)的值域为 ;

②函数 g(x)在[0,1]上是增函数; ③对任意 a>0,方程 f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解;
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④若存在 x1,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 a 的取值范围是 其中所有正确结论的序号是______.



三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.其中 17-21 为必考题,22-24 为选做题;解答应写 出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.在数列{an}中,a1=1,a2= ,an+1﹣ an+an﹣1=0(n≥2,且 n∈N*)

(1)若数列{an+1+λan}是等比数列,求实数 λ; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 18.现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了 50 人,他们月收入 的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表. [15, [65, 月收入(单位百元) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) 25) 75) 5 10 15 10 5 5 频数 4 8 12 5 2 1 赞成人数 (Ⅰ) 由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表并问是否有 99%的把握认为“月收入以 5500 为分 界点对“楼市限购令”的态度有差异; 月收入不低于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 合计 a=______ c=______ ______ 赞成 b=______ d=______ ______ 不赞成 ______ ______ ______ 合计 (Ⅱ)若对在[15,25) ,[25,35)的被调查中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的 4 人中不赞成“楼市限购令”人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD∥BC,且 BC=2AD,AD⊥CD,PB⊥CD,点 E 在 棱 PD 上,且 PE=2ED. (1)求证:平面 PCD⊥平面 PBC; (2)求证:PB∥平面 AEC.

20.已知椭圆

的离心率为 ,且过点

,其长轴的左右两个

端点分别为 A,B,直线 l:y= x+m 交椭圆于两点 C,D. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设直线 AD,CB 的斜率分别为 k1,k2,若 k1:k2=2:1,求 m 的值. 21.已知函数 f(x)=x﹣aln(x+1)
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(1)试探究函数 f(x)在(0,+∞)上的极值; (2)若对任意的 x∈[1,2],f(x)≥x2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 四.选做题:考生在 22、23、24 三大题中任选一大题作答,满分 10 分.[选修 4-1:几何证 明选讲] 22.如图,圆 O 的直径 AB=10,P 是 AB 延长线上一点,BP=2,割线 PCD 交圆 O 于点 C, D,过点 P 做 AP 的垂线,交直线 AC 于点 E,交直线 AD 于点 F. (1)求证:∠PEC=∠PDF; (2)求 PE?PF 的值.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 点 A 的极坐标为 ,直线 l 的极坐标方程为 , ,且点 A 在直

线 l 上. (1)求曲线 C1 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)设 l 向左平移 6 个单位后得到 l′,l′与 C1 的交点为 M,N,求 l′的极坐标方程及|MN| 的长. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知关于 x 的不等式|x﹣ |+|x﹣1|≥ (a>0) . (1)当 a=1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

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2016 年山西省重点中学协作体高考数学二模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.直线 x=1 的倾斜角是( ) A.0 B. C. D.不存在

【考点】直线的倾斜角. 【分析】由于直线 x=1 与 x 轴垂直,即可得出直线的倾斜角. 【解答】解:∵直线 x=1 与 x 轴垂直,因此倾斜角是 故选:C. 2.过圆(x﹣1)2+y2=3 的圆心,且与直线 x﹣2y﹣2=0 垂直的直线方程是( A.x﹣2y﹣1=0 B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣2=0 D.x+2y﹣1=0 ) .

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;圆的标准方程. 【分析】设与直线 x﹣2y﹣2=0 垂直的直线方程是 2x+y+m=0,把圆心(1,0)代入解得 m 即可得出. 【解答】解:设与直线 x﹣2y﹣2=0 垂直的直线方程是 2x+y+m=0, 把圆心(1,0)代入可得 2+0+m=0,解得 m=﹣2. ∴要求的直线方程为:2x+y﹣2=0. 故选:C. 3.设集合 A={x|x2﹣3x<0},B={x||x|<2},则 A∩B=( ) A.{x|2<x<3} B.{x|﹣2<x<0} C.{x|0<x<2} D.{x|﹣2<x<3} 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 【解答】解:由题意可知 A={x|0<x<3},B={x|﹣2<x<2}, ∴A∩B={x|0<x<2}. 故选:C. 4.设 f(x)=3x+3x﹣8,用二分法求方程 3x+3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f (1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( ) A. B. (1,1.25) (1.25,1.5) C. (1.5,2) D.不能确定 【考点】二分法求方程的近似解. 【分析】由已知“方程 3x+3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解”,且具体的函数值的符号也已确 定,由 f(1.5)>0,f(1.25)<0,它们异号. 【解答】解析:∵f(1.5)?f(1.25)<0, 由零点存在定理,得, ∴方程的根落在区间(1.25,1.5) . 故选 B.
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5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.2

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由已知中的三视图,我们可以判断出该几何体的几何特征,及几何体的形状,求出 棱长、高等信息后,代入体积公式,即可得到答案. 【解答】解:由图可知该几何体是一个四棱锥 其底面是一个对角线为 2 的正方形,面积 S= ×2×2=2,高为 1 则 V= 故选 C 6.直线 kx﹣y+1=3k,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A. (0,0) B. (0,1) C. (3,1) D. (2,1) 【考点】过两条直线交点的直线系方程. 【分析】将直线的方程变形为 k(x﹣3)=y﹣1 对于任何 k∈R 都成立,从而有 解出定点的坐标. 【解答】解:由 kx﹣y+1=3k 得 k(x﹣3)=y﹣1 对于任何 k∈R 都成立,则 解得 x=3,y=1, 故直线经过定点(3,1) ,故选 C. , , ) =

7.将函数 f(x)=cos2x 的图象向右平移 ( ) 对称

个单位后得到函数 g(x) ,则 g(x)具有性质

A.最大值为 1,图象关于直线 x= B.在(0,

)上单调递增,为奇函数
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C.在(﹣



)上单调递增,为偶函数 ,0)对称

D.周期为 π,图象关于点(

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由条件根据诱导公式、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得 g(x)的解析 式,再利用正弦函数的图象性质得出结论. 【解答】解:将函数 f(x)=cos2x 的图象向右平移 ﹣ )=sin2x 的图象, )时,2x∈(0, ) ,故函数 g(x)在(0, )上单调递增,为奇函 个单位后得到函数 g(x)=cos2(x

故当 x∈(0, 数, 故选:B.

8.已知 A,B 分别是双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右顶点,P 是双曲线 C )

PB 的斜率分别为 k1, k2, 右支上位于第一象限的动点, 设 PA, 则 k1+k2 的取值范围为 ( A. ( ,+∞) B. ( ,+∞) C.[ ,+∞) D.[ , )

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由题意可得 A(﹣a,0) ,B(a,0) ,设 P(m,n) ,代入双曲线的方程,运用直 线的斜率公式可得 k1k2= ,k1,k2>0,再由基本不等式即可得到 k1+k2 的取值范围.

【解答】解:由题意可得 A(﹣a,0) ,B(a,0) ,设 P(m,n) , 可得 ﹣ =1,即有 = ,

可得 k1k2= 则 k1+k2≥2

?

=

=

,k1,k2>0,

=



由 A,B 为左右顶点,可得 k1≠k2, 则 k1+k2> 故选:A. 9.执行如图所示的程序框图,输出的结果是( ) ,

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A.15

B.21

C.24

D.35

【考点】程序框图. 【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条件就 退出循环,从而到结论. 【解答】解:模拟执行程序,可得 S=0,i=1 T=3,S=3,i=2 不满足 i>4,T=5,S=8,i=3 不满足 i>4,T=7,S=15,i=4 不满足 i>4,T=9,S=24,i=5 满足 i>4,退出循环,输出 S 的值为 24. 故选:C. 10.函数 y=x2+x 在 x=1 到 x=1+△x 之间的平均变化率为( ) 2 A.△x+2 B.2△x+(△x) C.△x+3 D.3△x+(△x)2 【考点】变化的快慢与变化率. 【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解. 【解答】解:△y=(1+△x)2+1+△x﹣1﹣1=△x2+3△x, ∴ =△x+3,

故选:C. 11.已知 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( ) A.若 l∥α,m∥α,则 l∥m B.若 l⊥m,m∥α,则 l⊥α C.若 l⊥α,m⊥α,则 l∥m D.若 l⊥m,l⊥α,则 m∥α 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答. 【解答】解:对于 A,若 l∥α,m∥α,则 l 与 m 的位置关系可能为平行、相交或者异面; 故 A 错误; 对于 B,若 l⊥m,m∥α,则 l 与 α 平行或者相交;故 B 错误; 对于 C,若 l⊥α,m⊥α,利用线面创造的性质可得 l∥m;故 C 正确; 对于 D,若 l⊥m,l⊥α,则 m∥α 或者 m? α;故 D 错误;
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故选 C. 12.已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=2f(x) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=﹣|x|+1, 则当 x∈[﹣10,10]时,y=f(x)与 g(x)=log4|x|的图象的交点个数为( ) A.13 B.12 C.11 D.10 【考点】对数函数图象与性质的综合应用;函数的图象. 【分析】在同一坐标系中画出函数 f(x)与函数 y=log4|x|的图象,结合图象容易解答本题. 【解答】解:由题意,函数 f(x)满足: 定义域为 R,且 f(x+2)=2f(x) ,当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=﹣|x|+1; 在同一坐标系中画出满足条件的函数 f(x)与函数 y=log4|x|的图象,如图: 由图象知,两个函数的图象在区间[﹣10,10]内共有 11 个交点; 故选:C.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分. ) 13.m=﹣1 是直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直的 充分条件 (充要条 件,充分条件,必要条件,非充分非必要条件) 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由题设条件,可分两步研究本题,先探究 m=﹣1 时直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直 线 3x+my+3=0 互相垂直是否成立,再探究直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 互 相垂直时 m 的可能取值,再依据充分条件必要条件做出判断,得出答案. 【解答】解:当 m=﹣1 时,两直线的方程 mx+(2m﹣1)y+1=0,与 3x+my+3=0,化为﹣x ﹣3y+1=0 和 3x﹣y+3=0, 可得出此两直线是垂直的, 当两直线垂直时, ①当 m=0 时,符合题意,

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②当 m≠0 时,两直线的斜率分别是﹣ 得 m=﹣1,



,由两直线垂直得﹣

由上知,“m=﹣1”可得出直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直; 由直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直”可得出 m=﹣1 或 m=0, 所以 m=1 是直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直的充分不必要条件 故答案为:充分条件.

14.已知正数 x、y,满足 + =1,则 x+2y 的最小值 18 【考点】基本不等式. 【分析】利用基本不等式的性质即可求出. 【解答】解:∵正数 x、y,满足 + =1, ∴x+2y= , =10+ ,解得 x=12,y=3.



=18.当且仅当 x>0,y>0,

∴x+2y 的最小值是 18. 故答案为 18.

15.若 x,y 满足约束条件

,则

的最大值为



【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用直线斜率的几何意义进行求解即可. 【解答】解:画出可行域,目标函数 (﹣2,0)连线的斜率, 当其经过点 A(1,2)时, 故答案为: . 取到最大值为 . 表示可行域内的点(x,y)与点 D

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16.已知函数



,给出下列结论: ①函数 f(x)的值域为 ;

②函数 g(x)在[0,1]上是增函数; ③对任意 a>0,方程 f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解; ④若存在 x1,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 a 的取值范围是 其中所有正确结论的序号是 ①②④ . 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①当 . 当 x∈ 时,函数 f(x)= . 即可得到函数 f(x)的值域. ②利用诱导公式可得 g(x)=﹣a ﹣2a+2,利用余弦函数的单调性,进而得出 g(x) ,利用一次函数的单调性可得 时,利用 f(x)= 单调递增,可得 .

在[0,1]上单调性. ③由②可知:g(0)≤g(x)≤g(1) ,若任意 a>0,方程 f(x)=g(x)在[0,1]内恒有 解, 则必须满足 f(x)的值域 ? {g(x)|x∈[0,1]}.解出判定即可.

④存在 x1,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则 ①当 【解答】 解: 即 当 x∈ . 时,由函数 f(x)= . ∴函数 f(x)的值域为 .因此①正确.
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解出即可.

f x) = 时, (

单调递增, ∴



单调递减,∴

,即

②g(x)=﹣a

﹣2a+2,∵x∈[0,1],∴

,因此

在[0,1]

上单调递减, 又 a>0,∴g(x)在[0,1]上单调递增,因此正确. ③由②可知:g(0)≤g(x)≤g(1) ,∴ 若任意 a>0,方程 f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解, 则必须满足 f(x)的值域 ∴﹣3a+2≤0, ? {g(x)|x∈[0,1]}. ,解得 ,因此③不正确; .

④存在 x1,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则 由③可知: ∴﹣3a+2≤ , ∴实数 a 的取值范围是 综上可知:只有①②④正确. 故答案为:①②④. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.其中 17-21 为必考题,22-24 为选做题;解答应写 出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.在数列{an}中,a1=1,a2= ,an+1﹣ an+an﹣1=0(n≥2,且 n∈N*) ,解得 .正确. ,g(x)min=g(0)=﹣3a+2, ,

(1)若数列{an+1+λan}是等比数列,求实数 λ; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 【考点】数列的求和;等比关系的确定. 【分析】 (1)设 an+1+λan=μ(an+λan﹣1) ,n≥2,由已知条件得 出实数 λ. (2)由已知条件推导出 ,由此能求出数列{an}的前 n 项和 Sn. ,由此能求

【解答】解: (1)设 an+1+λan=μ(an+λan﹣1) ,n≥2, ∴an+1+(λ﹣μ)an﹣λμan﹣1=0, ∵an+1﹣ ∴ an+an﹣1=0, ,解得 或 λ=﹣3.….

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验证当 λ=﹣3 时,首项 ∴

时,首项

, ,符合题意,

或 λ=﹣3.…. , ,… ,

(2)由(1)得 二者相减,并化简得

∴Sn=

[



]

=

.….

18.现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了 50 人,他们月收入 的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表. [15, [65, 月收入(单位百元) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) 25) 75) 5 10 15 10 5 5 频数 4 8 12 5 2 1 赞成人数 (Ⅰ) 由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表并问是否有 99%的把握认为“月收入以 5500 为分 界点对“楼市限购令”的态度有差异; 月收入不低于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 合计 a= 3 c= 29 32 赞成 b= 7 d= 11 18 不赞成 10 40 50 合计 (Ⅱ)若对在[15,25) ,[25,35)的被调查中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的 4 “ 人中不赞成 楼市限购令”人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望. 【考点】独立性检验的应用;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (I)根据提供数据,可填写表格,利用公式,可计算 K2 的值,根据临界值表,即 可得到结论; (II)由题意随机变量 ξ 的可能取值是 0,1,2,3,结合变量对应的事件和等可能事件的概 率,写出变量的概率分布列和期望值的公式进行求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)2 乘 2 列联表 月收入不低于 55 百元人数 月收入低于 55 百元人数 合计 a=3 c=29 32 赞成 b=7 d=11 18 不赞成 10 40 50 合计 6.27<6.635. 所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.
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(Ⅱ)ξ 所有可能取值有 0,1,2,3, P(ξ=0)= = ,

P(ξ=1)=

+

=



P(ξ=2)=

+

=



P(ξ=3)= 所以 ξ 的分布列是 ξ 0 1 P

=



2

3

所以 ξ 的期望值是 Eξ=0+1×

+2×

+3×

= .

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD∥BC,且 BC=2AD,AD⊥CD,PB⊥CD,点 E 在 棱 PD 上,且 PE=2ED. (1)求证:平面 PCD⊥平面 PBC; (2)求证:PB∥平面 AEC.

【考点】平面与平面平行的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)由 CD⊥BC,CD⊥PB 得出 CD⊥平面 PBC,故而平面 PCD⊥平面 PBC; (2)连结 BD 交 AC 于 O,连结 EO. 利用三角形相似得出 = , 从而得到 OE∥PB,

得出结论. 【解答】证明: (1)∵AD∥BC,AD⊥CD, ∴CD⊥BC,又 CD⊥PB,BC? 平面 PBC,PB? 平面 PBC,BC∩PB=B, ∴CD⊥平面 PBC, 又 CD? 平面 PCD, ∴平面 PCD⊥平面 PBC. (2)连结 BD 交 AC 于 O,连结 EO. ∵AD∥BC,
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∴△AOD∽△COB, ∴ , ,

又 PE=2ED,即

∴OE∥PB, ∵OE? 平面 EAC,PB?平面 EAC, ∴PB∥平面 AEC.

20.已知椭圆

的离心率为 ,且过点

,其长轴的左右两个

端点分别为 A,B,直线 l:y= x+m 交椭圆于两点 C,D. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设直线 AD,CB 的斜率分别为 k1,k2,若 k1:k2=2:1,求 m 的值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆的离心率为 ,且过点 能求出椭圆方程. ,得 3x2+3mx+m2﹣3=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直 ,列出方程组,求出 a,b,c,由此

(II)联立方程

线方程,结合已知条件能求出 m 的值.

【解答】解: (Ⅰ)由题意得:



解得 ∴椭圆方程为

, .

(II)设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,
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联立方程

,得 3x2+3mx+m2﹣3=0①,

∴判别式△=(3m)2﹣12(m2﹣3)=﹣3m2+36>0,解得 m2<12, ∵x1,x2 为①式的根,∴ ,

由题意知 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,∴



∵k1:k2=2:1,即

,得

②,



,∴

,同理



代入②式,解得

=4,即 10(x1+x2)+3x1x2+12=0,

∴10(﹣m)+m2﹣3+12=0,解得 m=1 或 m=9, 又∵m2<12,∴m=9(舍去) ,∴m=1. 21.已知函数 f(x)=x﹣aln(x+1) (1)试探究函数 f(x)在(0,+∞)上的极值; (2)若对任意的 x∈[1,2],f(x)≥x2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题. 【分析】 (1)求导得到 f'(x)= ,分类讨论,确定函数的单调性,即可探究函数 f

(x)在(0,+∞)上的极值; (2)设 g(x)=x2﹣f(x)﹣x=x2﹣x+aln(x﹣1) (1≤x≤2) ,求函数 g(x)的导数 g'(x) , 根据 g(x)在[1,2]单调递增、单调递减、在区间[1,2]存在极值三种情况进行讨论可得 g (x)的最大值,令其小于等于 0 可得 a 的范围. 【解答】解: (1)求导得到 f'(x)= .

若 a≤1,f'(x)>0,f(x)无极值; 若 a>1,则 0<x<a﹣1,f'(x)<0,x>a﹣1.f'(x)>0 则 x=a﹣1 时,得到极小值为 f(a﹣1)=a﹣1﹣alna,无极大值; (2)设 g(x)=x2﹣f(x)﹣x=x2﹣x+aln(x﹣1) (1≤x≤2) ,则 g′(x)= 设 h(x)=2x2+x+a﹣1.则 h(x)在[1,2]上单调递增, ∵x∈[1,2],∴a+2≤h(x)≤a+9. ①当 a≥﹣2 时,h(x)≥0,g'(x)≥0,即 g(x)在[1,2]上单调递增,
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要使不等式 g(x)≤0 对任意 x∈[1,2]恒成立,即 g(x)max=g(2)=2+aln3≤0,∴a≤ ﹣ . .

又 a≥﹣2,∴﹣2≤a≤﹣

②当 a≤﹣9 时,h(x)≤0,g'(x)≤0,即 g(x)在[1,2]上单调递减, 要使不等式 g(x)≤0 对任意 x∈[1,2]恒成立,即 g(x)max=g(1)=aln2≤0,∴a≤0. 又 a≤﹣9,∴a≤﹣9. ③当﹣9<a<﹣2 时,由 h(x)=0,得 x0= ∈(1,2) .

当 1≤x<x0 时,h(x)<0,∴g'(x)<0; 当 x0<x≤2 时,h(x)>0,∴g'(x)>0,即 g(x)在[1,x0)上单调递减,在(x0,2] 上单调递增,要 使不等式 g(x)≤0 对任意 x∈[1,2]恒成立,即 g(x)max=max{g(1) ,g(2)}≤0. 又 g(1)=aln2,g(2)=2+aln3,且﹣9<a<﹣2,0<ln2<1,1<ln3, ∴g(1)=aln2<0,g(2)=2+aln3<2﹣2ln3<0,即 g(x)max=max{g(1) ,g(2)}<0, ∴﹣9<a<﹣2 时符合条件. 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是(﹣∞,﹣ ].

四.选做题:考生在 22、23、24 三大题中任选一大题作答,满分 10 分.[选修 4-1:几何证 明选讲] 22.如图,圆 O 的直径 AB=10,P 是 AB 延长线上一点,BP=2,割线 PCD 交圆 O 于点 C, D,过点 P 做 AP 的垂线,交直线 AC 于点 E,交直线 AD 于点 F. (1)求证:∠PEC=∠PDF; (2)求 PE?PF 的值.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)证明 P、B、C、E 四点共圆、A、B、C、D 四点共圆,利用四点共圆的性质, 即可证明:∠PEC=∠PDF; (2)证明 D,C,E,F 四点共圆,利用割线定理,即可求得 PE?PF 的值. 【解答】 (1)证明:连结 BC,∵AB 是圆 O 的直径,∴∠ACB=∠APE=90°, ∴P、B、C、E 四点共圆. ∴∠PEC=∠CBA. 又∵A、B、C、D 四点共圆,∴∠CBA=∠PDF, ∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣
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(2)解:∵∠PEC=∠PDF,∴F、E、C、D 四点共圆. ∴PE?PF=PC?PD=PA?PB=2×12=24.﹣﹣﹣﹣

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 点 A 的极坐标为 ,直线 l 的极坐标方程为 , ,且点 A 在直

线 l 上. (1)求曲线 C1 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)设 l 向左平移 6 个单位后得到 l′,l′与 C1 的交点为 M,N,求 l′的极坐标方程及|MN| 的长. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)曲线 方程.点 A 化为直角坐标方程. (2)l 向左平移 6 个单位后得到 l′:x+y=0.可得 l′的极坐标方程为: 入曲线 C1 的极坐标方程即可得出. 【解答】解: (1)曲线 ,展开化为:x2+y2﹣4x=0, (ρ∈R) .代 在直线 l: ,利用极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标 上,代入解得 a=3 .展开进而

化为极坐标方程:ρ2﹣4ρcosθ=0,即 ρ=4cosθ, 点A a=3 . =3 ,化为 ρcosθ+ρsinθ=6. 在直线 l: 上,可得 =a,解得

∴直线 l 的极坐标方程展开为: ∴直线 l 的直角坐标方程为 x+y﹣6=0. (2)l 向左平移 6 个单位后得到 l′:x+y=0. ∴l′的极坐标方程为: (ρ∈R) .

代入曲线 C1 的极坐标方程 ρ2﹣4ρcosθ=0,

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可得 ρ=0 或 ρ=4cos ∴|MN|=2 .

=﹣2



[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知关于 x 的不等式|x﹣ |+|x﹣1|≥ (a>0) . (1)当 a=1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)当 a=1 时,由条件利用绝对值的意义求得此不等式的解集. (2)由条件利用绝对值三角不等式求得 ,求得 a 的范围. 【解答】解: (1)解:当 a=1 时,不等式为|x﹣2|+|x﹣1|≥2. 由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的 x 对应点到 1,2 对应点的距离之 和大于 2. 而 和 对应点到 1,2 对应点的距离之和正好等于于 2, ∴ 或 ,∴不等式的解集为 , ,∴a≥4 或 a<0. . ,再根据

(2)解:∵ ∴原不等式的解集为 R,等价于 又 a>0,∴a≥4.

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2016 年 9 月 18 日

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