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函数对称性、周期性


函数对称性、周期性基本知识 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性:对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个 值时,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) 都成立,那么就把函数 y ? f ( x) 叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这

个最小的正数叫 做最小正周期。 2、 对称性定义(略) ,请用图形来理解。 3、 对称性: 我们知道:偶函数关于 y(即 x=0)轴对称,偶函数有关系式 f (? x) ? f ( x) 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式 f ( x) ? f (? x) ? 0 上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的 探讨: (1)函数 y ? f ( x) 关于 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)

f (a ? x) ? f (a ? x) 也可以写成 f ( x) ? f (2a ? x) 或 f (? x) ? f (2a ? x)
简 证 : 设 点 ( x1 , y1 ) 在 y ? f ( x) 上 , 通 过 f ( x) ? f (2a ? x) 可 知 ,

y1 ? f ( x1 ) ? f (2a ? x1 ) ,即点 (2a ? x1 , y1 )也在y ? f ( x) 上,而点 ( x1 , y1 ) 与点 (2a ? x1 , y1 ) 关于 x=a 对称。得证。
若写成: f (a ? x) ? f (b ? x) , 函数 y ? f ( x) 关于直线 x ? 对称 (2)函数 y ? f ( x) 关于点 ( a, b) 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b

(a ? x) ? (b ? x) a ? b ? 2 2

上述关系也可以写成 f (2a ? x) ? f (? x) ? 2b 或 f (2a ? x) ? f ( x) ? 2b
简证: 设点 ( x1 , y1 ) 在 y ? f ( x) 上, 即 y1 ? f ( x1 ) , 通过 f (2a ? x) ? f ( x) ? 2b 可知,

f (2a ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2b , 所 以 f (2a ? x1 ) ? 2b ? f ( x1 ) ? 2b ? y1 , 所 以 点

(2a ? x1 ,2b ? y1 ) 也在 y ? f ( x) 上,而点 (2a ? x1 ,2b ? y1 ) 与 ( x1 , y1 ) 关于 ( a, b) 对
称。得证。 若写成: f (a ? x) ? f (b ? x) ? c ,函数 y ? f ( x) 关于点 (

a?b c , ) 对称 2 2

(3)函数 y ? f ( x) 关于点 y ? b 对称:假设函数关于 y ? b 对称,即关于任一个 x 值, 都有两个 y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于 y ? b 对 称 。 但 在 曲 线 c(x,y)=0 , 则 有 可 能 会 出 现 关 于 y ? b 对 称 , 比 如 圆

c( x, y) ? x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 它会关于 y=0 对称。

4、 周期性: (1)函数 y ? f ( x) 满足如下关系系,则 f ( x)的周期为 2T A、 f ( x ? T ) ? ? f ( x) C、 f ( x ? B、 f ( x ? T ) ?

1 1 或f ( x ? T ) ? ? f ( x) f ( x)

T 1 ? f ( x) T 1 ? f ( x) 或 f (x ? ) ? (等式右边加负号亦成立) )? 2 1 ? f ( x) 2 1 ? f ( x)

D、其他情形 ( 2 ) 函 数 y ? f ( x) 满 足 f (a ? x) ? f (a ? x) 且 f (b ? x) ? f (b ? x) , 则 可 推 出

f ( x) ? f (2a ? x) ? f [b ? (2a ? x ? b)] ? f [b ? (2a ? x ? b)] ? f [ x ? 2(b ? a)] 即
可以得到 y ? f ( x) 的周期为 2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于 x 轴两条直线对称,则函数一定是周期函数” (3)如果奇函数满足 f ( x ? T ) ? ? f ( x) 则可以推出其周期是 2T, 且可以推出对称轴为

x?

T ? 2kT (k ? z ) , 根 据 f ( x) ? f ( x ? 2T ) 可 以 找 出 其 对 称 中 心 为 2

(kT, 0) (k ? z ) (以上 T ? 0 )
如果偶函数满足 f ( x ? T ) ? ? f ( x) 则亦可以推出周期是 2T, 且可以推出对称中心 为 (

T ? 2kT ,0) (k ? z ) , 根 据 f ( x) ? f ( x ? 2T ) 可 以 推 出 对 称 轴 为 2

x ? T ? 2kT (k ? z ) (以上 T ? 0 )
(4)如果奇函数 y ? f ( x) 满足 f (T ? x) ? f (T ? x) ( T ? 0 ) ,则函数 y ? f ( x) 是 以 4T 为 周 期 的 周 期 性 函 数 。 如 果 偶 函 数 y ? f ( x) 满 足 f (T ? x) ? f (T ? x) (T ? 0) ,则函数 y ? f ( x) 是以 2T 为周期的周期性函数。 定理 3: 若函数 f ? x ? 在 R 上满足 f (a ? x ) ? f ?a ? x ? , 且 f (b ? x ) ? f ?b ? x ?(其 中a ? b) ,则函数 y ? f ? x ? 以 2?a ? b? 为周期. 定理 4: 若函数 f ? x ? 在 R 上满足 f (a ? x ) ? ? f ?a ? x ? , 且 f (b ? x ) ? ? f ?b ? x ? (其 中a ? b) ,则函数 y ? f ? x ? 以 2?a ? b? 为周期. 定理 5:若函数 f ? x ? 在 R 上满足 f (a ? x ) ? f ?a ? x ? ,且 f (b ? x ) ? ? f ?b ? x ? (其 中a ? b) ,则函数 y ? f ? x ? 以 4?a ? b? 为周期. 二、 两个函数的图象对称性

1、 y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 关于 X 轴对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? ? g ( x) ,即它们关于 y ? 0 对称。 2、 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 关于 Y 轴对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (? x) ,即它们关于 x ? 0 对称。 3、 y ? f ( x) 与 y ? f (2a ? x) 关于直线 x ? a 对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (2a ? x) ,即它们关于 x ? a 对称。 4、 y ? f ( x) 与 y ? 2a ? f ( x) 关于直线 y ? a 对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g ( x) ? 2a ,即它们关于 y ? a 对称。 5、 y ? f ( x)与y ? 2b ? f (2a ? x) 关于点(a,b)对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (2a ? x) ? 2b , 即它们关于点(a,b)对称。 6、 y ? f (a ? x) 与 y ? ( x ? b) 关于直线 x ? 7、 函数的轴对称: 定理 1 :如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?b ? x ? ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线

a?b 对称。 2

x?

a?b 对称. 2
推论 1: 如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? , 则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? a

对称. 推论 2:如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ?? x ? ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 0 (y 轴)对称.特别地,推论 2 就是偶函数的定义和性质.它是上述定理 1 的简化. 8、 函数的点对称: 定理 2:如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 2b ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于点

?a , b ? 对称.
推论 3: 如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 0 , 则函数 y ? f ? x ? 的图象关于点 ?a ,0? 对称. 推论 4:如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ?? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于原点 ?0,0? 对称.

特别地,推论 4 就是奇函数的定义和性质.它是上述定理 2 的简化. 三、试题 1.已知定义为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ?? x ? ? ? f ? x ? 4? ,且函数 f ? x ? 在区间 ?2,??? 上单调递增. 如果 x1 ? 2 ? x 2 ,且 x1 ? x 2 ? 4 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 的值(A ). A.恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0 D.可正可负.

分析: f ?? x ? ? ? f ? x ? 4? 形似周期函数 f ? x ? ? f ? x ? 4? ,但事实上不是,不过我们可以取特殊 值代入, 通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者, 先用 x ? 2 代替 x , 使 f ?? x ? ? ? f ? x ? 4? 变形为

f ?2 ? x ? ? ? f ? x ? 2? .它的特征就是推论 3.因此图象关于点 ?2,0? 对称. f ? x ? 在区间 ?2,??? 上单
调递增,在区间 ?? ?,2? 上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.

? 2 ? x 2 ? 4 ? x1 ,且函数在 ?2,??? 上单调递增,所以 f ? x 2 ? ? f ?4 ? x1 ? ,又由 f ?? x ? ? ? f ? x ? 4? ,
有 f (4 ? x1 ) ? f ?? ? x1 ? 4?? ? f ? x1 ? 4 ? 4? ? ? f ? x1 ? ,

? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ?4 ? x1 ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? 0 .选 A.
当然,如果已经作出大致图象后,用特殊值代人也可猜想出答案为 A. 2:在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) .若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数,则

f ( x) ( B )
A.在区间 [ ?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 B.在区间 [ ?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 C.在区间 [ ?2, ?1] D.在区间 [ ?2, ?1] 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是增函数 上是增函数

分析:由 f ( x) ? f (2 ? x) 可知 f ( x) 图象关于 x ? 1 对称,即 推论 1 的应用.又因为 f ( x) 为偶函数图象关于 x ? 0 对称, 可得到

f ( x) 为周期函数且最小正周期为 2,结合 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数,可得如右 f ( x) 草图.故选 B

T 是它的一个正周期.若将方程 f ( x) ? 0 3.定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数, 又是周期函数,
在闭区间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为( D ) A.0 B.1 C.3 D.5

分析: f (T ) ? f (?T ) ? 0 , f (? ∴ f (?

T T T T ) ? ? f ( ) ? f (? ? T ) ? f ( ) , 2 2 2 2

T T ) ? f ( ) ? 0 ,则 n 可能为 5,选 D. 2 2

4.已知函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? 2 和 x ? 4 都对称,且当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x .求

f ?19.5? 的值.
分析:由推论 1 可知, f ? x ? 的图象关于直线 x ? 2 对称,即 f ?2 ? x ? ? f ?2 ? x ? , 同样, f ? x ? 满足 f ?4 ? x ? ? f ?4 ? x ? ,现由上述的定理 3 知 f ? x ? 是以 4 为周期的函数.

? f ?19.5? ? f ?4 ? 4 ? 3.5? ? f ?3.5? ? f ?4 ? ?? 0.5?? ? f ?? 0.5? ,同时还知 f ? x ? 是偶函数,所以 f ?? 0.5? ? f ?0.5? ? 0.5 .
5. f ? x ? ? f ?398 ? x ? ? f ? 2158 ? x ? ? f ? 3214 ? x ? , 则 f ? 0 ? , f ?1? , f ? 2 ? , ?, f ?999? 中最多有( B )个不同的值. A.165 B.177 C.183 D.199

分析:由已知 f ? x ? ? f ?398 ? x ? ? f ? 2158 ? x ? ? f ? 3214 ? x ? ? f ? x ? 1056?

? f ? x ?1760? ? f ? x ? 704? ? f ? x ? 352? .
又有 f ? x ? ? f ?398 ? x ? ? f ? 2158 ? x ? ? f ? 3214 ? x ? ? f ? x ? 1056?

? f? ? 2158 ? ?1056 ? x ? ? ? ? f ?1102 ? x ? ? f ?1102 ? x ?1056? ? f ? 46 ? x ? ,
于是 f ( x) 有周期 352,于是 f ? 0? , f ?1? ,?, f ?999? 能在 f ? 0? , f ?1? ,?, f ?351? 中找到. 又 f ( x) 的图像关于直线 x ? 23 对称,故这些值可以在 f ? 23? , f ? 24? ,?, f ?351? 中找到.又

?

?

?

?

?

?

f ( x) 的图像关于直线 x ? 199 对称,故这些值可以在 ? f ? 23? , f ? 24? ,?, f ?199?? 中找到.共有 177

个.选 B. 6:已知 f ? x ? ?

1? x , f1 ? x ? ? f ? ? f ? x ?? ? , f2 ? x ? ? f ? ? f1 ? x ? ? ? ,?, f n ?1 ? x ? ? f ? ? f n ? x ?? ?, 1 ? 3x

则 f2004 ? ?2? ? ( A ). A. ?

1 7

B.

1 7

C. ?

3 5

D.3

分析:由 f ? x ? ?

1? x x ?1 ? x ?1 ? ,知 f1 ? x ? ? , f2 ? x ? ? f ? ? ? x , f3 ? x ? ? f ? x ? . 1 ? 3x 3x ? 1 ? 3x ? 1 ?

1 f ( x) 为迭代周期函数,故 f3n ? x ? ? f ? x ? , f2004 ? x ? ? f ? x ? , f 2004 ? ?2 ? ? f ? ?2 ? ? ? . 7
选 A. 7:函数 f ( x) 在 R 上有定义,且满足 f ( x) 是偶函数,且 f ? 0? ? 2005 , g ? x ? ? f ? x ?1? 是奇 函数,则 f ? 2005? 的值为 .

解 : g ? ?x ? ? f ? ?x ?1? ? ?g ? x ? ? ? f ? x ?1? , f ? ?x ?1? ? ? f ? x ?1? , 令 y ? x ? 1 , 则 即有 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 0 , 令 an ? f x f ? ? y? ? ? f? y ? 2? , ? ? ,则 an ? an?2 ? 0 ,其中 a0 ? 2005 ,

a1 ? 0 , an ?

2005 ? n 2005 ? 2005 n 2005 i ? ? ?i ? ? , f ? 2005? ? a2005 ? i ? ? ?i ? ? ? ? ? ? 2 2

? 0 . 或有 f ? x ? ? ? f ? x ? 2? ,得 f ? 2005? ? ? f ? 2003? ? f ? 2001? ? ? f ?1999? ? ?

? f ?1? ? 0 .
8.设函数 f ( x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ? A.0 B.1

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ? ( c 2
C.



5 2

D.5

分析:答案为 B。先令 f(1)= f(--1+2)=f(--1)+f(2)=1/2,根据奇函数的定义可求得 f(--1) =--1/2,所以, f(2)=1,f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+f(2)+f(2)=5/2,所以,答案为 c。 9. 设 f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且 y=f(x)的图象关于直 线 x=3 对称,则下面正确的结论是 (A) f ?1.5? ? f ?3.5? ? f ? 6.5? ; (C) f ? 6.5? ? f ?3.5? ? f ?1.5? ; ( B ) (B) f ?3.5? ? f ?1.5? ? f ? 6.5? ; (D) f ?3.5? ? f ? 6.5? ? f ?1.5?

分析:答案为 B。做这种带周期性、单调性的试题,通常的做法是将 f(x)设成正弦或余弦函数,具

体到本题,可将 f(x)设成正弦函数或余弦函数,令其周期为 6,通过平移使其满足在(0,3)内单 调递减,根据图像,即可求出,答案为 B。 10. 设函数 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R x ? ?1 ? ,函数 f ( x) 是一个偶函数,g ( x) 是一个奇函数, 且 f ( x) ? g ( x) ?

?

1 ,则 f ( x ) 等于(C) x ?1
B.

A.

1 2 x ?1

2x 2 x2 ?1

C.

2 x ?1
2

D.

2x x ?1
2

分析:答案为 C. 本题是考察函数奇偶性的判定,并不难,根据奇偶性的定义,即可得出答案为 C 11:已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f(
1 2

)=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任意 x、y∈(-1,1)

x? y 都有 f(x)+f(y)=f( 1 ? xy

),试证明: (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.

证明: (1)由 f(x)+f(y)=f( 1 ? xy )可令 x=y=0,得 f(0)=0, 令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f( x ? x )=f(0)=0. ∴f(x)=-f(-x). ∴f(x)为奇函数.
1? x2

x? y

x 2 ? x1 (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减. 令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f( 1 ? x x )
1 2

∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴ 1 ? x x >0, 2 1 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,∴x2-x1<1-x2x1,∴0<
x 2 ? x1 x 2 ? x1 <1,由题意知 f( 1 ? x x )<0, 1 ? x1 x 2 1 2
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x 2 ? x1

即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0 ∴f(x)在(-1,1)上为减函数.
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12. 已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数 又知 y
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=f (x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小值 ?5 . ①证明: f (1) ? f (4) ? 0 ;②求

y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式;③求 y ? f ( x) 在[4,9]上的解析式.

解:∵f (x)是以 5 为周期的周期函数,∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) ,∴ f (1) ? f (4) ? 0 ②当 x ?[1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) , 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2)2 ? 5 ? a(4 ? 2)2 ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 , ∴ f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4)
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③∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 , 又知 y=f (x)在[0,1]上是一次函数,∴可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) ,而 f (1) ? 2(1 ? 2)2 ? 5 ? ?3 , ∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ? 1 时,f (x)=-3x, 从而当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时,f (x)= -3x,. ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 ,∴0.

当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2]2 ? 5 ? 2( x ? 7)2 ? 5 ∴

??3x ? 15, 4 ? x ? 6 f ( x) ? ? 2 ?2( x ? 7) ? 5, 6 ? x ? 9
1 ] , 2

13.设f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线x=1对称?对任意x1,x2∈[0 都有f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2) ,且 f(1)=a>0. (Ⅰ)求f ( ), f ( ) ; (Ⅱ)证明f(x)是周期函数;

1 2

1 4

1 ) ,求 an . 2n 1 (Ⅰ)解:因为对x1,x2∈[0, ] ,都有f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2), 2
(Ⅲ)记 an =f(2n+ 所以

x x x x f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0, x ? [0,1] 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? [ f ( )]2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? [ f ( )]2 2 4 4 4 4 4
f(1)=a>0,

1 1 ∴ f ( ) ? a2, f ( ) ? a4 2 4
(Ⅱ)证明:依题设y=f(x)关于直线x=1对称, 故f(x)=f(1+1-x) , 即f(x)=f(2-x) ,x∈R 又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x) ,x∈R, ∴f(-x)=f(2-x) ,x∈R, 将上式中-x以x代换,得f(x)=f(x+2) ,x∈R 这表明f(x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期. (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知f(x)≥0,x∈[0,1] ∵ f ( ) ? f (n ?

1

1

1 2

1 1 1 ) ? f [ ? (n ? 1) ? ] 2n 2n 2n

1 1 ) ? f [(n ? 1) ? ] ? ?? 2n 2n 1 1 1 1 ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? [ f ( )]n 2n 2n 2n 2n ? f(

1 f ( ) ? a2 2
∴ f(

1

1 ) ? a 2n 2n

1

∵f(x)的一个周期是 2

1 1 ∴f(2n+ )=f( ),因此 an= a 2 n 2n 2n

1


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抽象函数的对称性与周期性

抽象函数对称性周期性一、抽象函数对称性 性质 1 若函数 y=f(x)关于直线 x=a 轴对称,则以下三个式子成立且等价: (1)f(a+x)=f(a-x) (2)f(...

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