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【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课件 新人教B版必修2


1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球 的表面积

学习目标 1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念,

了解它们的侧面展开图.
2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式,

并会求它们的表面积.
3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积.

课前自主学案

1.1.6

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基
1.柱、锥、台和球体的结构特征.

矩形 2.直三棱柱的侧面展开图是__________,其
侧面积 面积就是三棱柱的____________.

知新益能 1.直棱柱的表面积 矩形 直棱柱的侧面展开图是_________,由矩形的面积 公式可得直棱柱的侧面积公式为S 直棱柱侧 =ch,其 中棱柱的高为h,底面多边形的周长为c. (1)语言叙述:直棱柱的侧面积等于它的底面周长 和高的乘积. (2)直棱柱的表面积等于侧面积与上、下底面积的 和.

(3)求斜棱柱的侧面积可以先求出每个侧面的面积, 然后求和,也可以用直截面周长与__________的 侧棱长 垂直于棱 乘积表示,其中直截面是指______________的截 面,即S 斜棱柱侧 =c′l(其中直截面周长为c′,侧 棱长为l). 2.正棱锥的表面积 全等的等腰三角形 正棱锥的侧面展开图是一些_________________, 底面是正多边形,如果设它的底面边长为a,底面 周长为c,斜高为h′,

则正 n 棱锥的侧面积公式为 S 正棱锥 侧=
1 1 nah′= ch′ 2 2 ________________________. (1)语言叙述:正棱锥的侧面积等于它的底面周 长和斜高乘积的一半. 正棱锥的侧 (2) 正 棱 锥 的 全 面 积 ( 或 表 面 积 ) 等 于 面积与底面积的和 ____________ 三角形 ______________________. (3)一般棱锥的每个侧面都是_________,因此 求出它们各自的面积,然后相加,即可求出它 的侧面积.

3.正棱台的表面积 全等的等腰梯形 正棱台的侧面展开图是________________,底面 是正多边形,如果设棱台下底面边长为 a,周长 为 c, 上底面边长为 a′, 周长为 c′, 斜高为 h′, 则正 n 棱台的侧面积公式为

1 1 n(a+a′)h′= (c+c′)h′ S 正棱台 侧=_____________________________. 2 2
(1)正棱台的侧面积公式亦可由两个棱锥侧面积之 差得出.

(2)正棱台的表面积(或全面积)等于正棱台的侧面积 与两底面积的和. (3)一般棱台的侧面积可分别求出每个侧面的面积然 后相加. (4)棱台的上下底面积之比等于截去的小棱锥的高与 原棱锥的高度之比的平方.也等于截去的小棱锥的 侧棱长与原棱锥的侧棱长之比的平方. 4.球的表面积 4πR2 公式:S=______________,其中R为球半径. 语言叙述:球面面积等于它的大圆面积的4倍.

5.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 矩形 (1)圆柱的侧面展开图为__________,因此侧面 2πRh 积公式为 S 圆柱侧 =__________.(其中 R 为底面圆 半径,h 为圆柱的高) 扇形 (2)圆锥的侧面展开图为________,因此侧面积
1 cl=πRl 2 公式为 S 圆锥 侧=_____________.(其中 c 为圆锥底

面圆周长,l 为母线长,R 为底面圆半径)

(3)圆台的侧面展开图为扇环,因此侧面积公式
1 (c1 +c2 )l π (r1+r2)l 2 为 S 圆台 侧=______________=____________.(其

中 r1、r2 分别为上、下底面圆半径,c1 、c2 分别 为上、下底面圆周长,l 为圆台的母线) (4)表面积为侧面积与底面积的和.

思考感悟 如何认识圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间的变 化关系?

提示:圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的 变化关系为:

课堂互动讲练

考点突破 直棱柱侧面积及各量之间的转化 充分利用直棱柱中侧棱与底面垂直的性质 来构造直角三角形.

例1

直平行六面体的底面是菱形,两个对角

面面积分别为Q1 ,Q2 ,求直平行六面体的侧面 积. 【分析】 利用直平行六面体的性质找出棱长之

间的关系,设出未知量可解.

【解】 如图所示,设底面边长为 a,侧棱长为 l, 两条底面对角线的长分别为 c,d,即 BD=c,AC =d,则

?d· ? l=Q ?1 1 ??2c? +?2d? =a ?
c· l=Q1
2 2 2

① ②
2



Q1 Q2 由①式得 c= ,由②式得 d= ,代入③式得, l l Q1 2 Q2 2 2 ( ) +( ) =a , 2l 2l ∴Q2 +Q2 =4l2 a2, 1 2 ∴2la=
2 2 Q1 +Q2 ,

∴S 侧=4al=2 Q 2 +Q2. 1 2

【点评】

解答计算问题时要注意方程思想的

应用,充分利用图形中的等量关系建立方程. 跟踪训练1 底面是菱形的直四棱柱中,它的

对角线长为9和15,高是5,求直四棱柱的侧 面积.

解:如图,设底面对角线 AC=a,BD=b,交点为 O,对角线 A1 C=15,B1 D=9. 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 a +5 =15 ,b +5 =9 ,所以 a =200,b = 56. 2 2 AC 2 BD 2 a +b 2 因为底面是菱形, 所以 AB =( ) +( ) = 2 2 4 200+56 = =64.即 AB=8. 4 所以直四棱柱的侧面积 S=4×8×5=160.

有关正棱锥中侧面积与各量的转化 利用正棱锥的侧棱、侧面、底面的性质.

例2 正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,高是3,

求它的表面积.

【分析】

由S 侧 =2S 底 可以得出斜高与底面边

长之间的关系,再通过高可以求出斜高和底面

边长.

【解】 如图,设 PO=3,PE 是斜高, ∵S 侧=2S 底 . 1 2 ∴4·· PE=2BC . BC· 2 ∴BC=PE.

1 1 在 Rt△POE 中,PO=3,OE= BC= PE. 2 2 PE 2 2 ∴9+( ) =PE ,∴PE=2 3. 2 ∴S 底=BC2=PE2=(2 3)2=12. S 侧=2S 底=2×12=24. ∴S 表=S 底 +S 侧=12+24=36.

【点评】 求底面边长和斜高,要根据正棱锥的 结构特征,寻找重要的直角三角形,即高、斜高 和边心距组成的直角三角形. 3 跟踪训练 2 正三棱锥底面边长为 a,高为 a,求 3 此棱锥的侧面积.

解:如图,设斜高 h′,则 h′= 15 ? 3 ?2 ? 3 ?2 a, a ? +? a ? = ?3 6 6 1 15 15 2 所以侧面积 S=3× × a×a= a. 2 6 4

正棱台的侧面积与各量间的转化
考虑正棱台与正棱锥间的关系及性质.

例3 已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm

和20 cm,且其侧面积等于两底面积的和,求棱
台的高.

【分析】

利用侧面积公式求出斜高,再利用正

棱台中的直角梯形求高.

【解】 如图,正三棱台 ABC-A1 B1 C1 中,O、O1 为两底面中心,D、D1 是 BC、B1 C1 的中点,则 DD1 为棱台的斜高. 已知 A1 B1=20 cm,AB=30 cm, 10 3 则 OD=5 3 cm,O1 D1= cm. 3 由 S 侧=S 上+S 下,得

1 3 2 S 侧= (60+90)· 1 = (20 +302), DD 2 4 13 3 解得 DD1= (cm). 3 在直角梯形 O1 ODD1 中, O1 O= DD2-? OD-O1 D1?2 1 13 3 2 10 3 2 = ? ? -? 5 3- ? =4 3(cm), 3 3 即棱台的高为 4 3 cm.

【点评】

求棱台的侧面积时经常用到正棱台中

的直角梯形,它是架起求侧面积关系式中的未知 量与满足题目条件中几何图形元素之间关系的桥 梁. 跟踪训练3 已知一个正四棱台,上、下两底面

边长分别为m、n,其侧面积等于两个底面积的

和,求此正四棱台的高.

解:如图,设 O′,O 分别为棱台的上下底面的中 心, M、 M′分别 为 BC、 B′C′的中点 ,连接 O′M′、OM、M′M,则 M′M 为斜高.过 M′ 1 作 M′H⊥OM 于 H 点, M′H=OO′, 侧=4× 则 S 2 (m+n)· MM′, 2 2 2 S 上底+S 下底=m +n , 由已知得 2(m+n)· MM′=m +n2,

m +n 所以 MM′= . 2?m+n? 1 在 Rt△MHM′中, MH=OM-O′M′= (n-m), 2 2 2 所以 M′H=OO′= MM′ -MH = m +n 2 1 2 [ ] - ?n-m? 2?m+n? 4
2 2

2

2

mn = . m+n

球及旋转体各量之间的转化

对于旋转体要利用其轴截面来寻找各量
之间的关系.

例4 有三个球,第一个球内切于正方体,第

二个球与这个正方体各棱相切,第三个球过 这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面 积之比. 【分析】 半径. 作出截面图,分别求出三个球的

【解】 设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六 个正方形的中心,经过四个切点及球心作截面如图 a 2 2 (1),所以有 2r1=a,r1 = ,所以 S1=4πr 1=πa . 2

(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点,过球心 作正方体的对角面得截面,如图(2),2r2 = 2a,r2 2 2 2 = a,所以 S2=4πr2 =2πa . 2

(3)正方体的各个顶点在球面上, 过球心作正方体 的对角面得截面,如图(3),所以有 2r3= 3a,r3 3 2 2 = a,所以 S3=4πr3 =3πa . 2 综上可得 S1∶S2∶S3=1∶2∶3.

【点评】

本题考查了球的表面积公式,以及空

间想象能力.根据正方体与球的切接关系画出其
轴截面是解题的关键,本题的解法是利用轴截面

分别求出三个球的半径,再利用公式求解.

方法感悟

1.棱柱、棱锥、棱台的表面都可以展开成平面, 它们的表面积都是根据展开图的性质求得,运用侧 面展开图解决有关问题是非常重要的手段.它体现 了空间与平面问题相互转化的思想方法. 2.棱柱、棱锥和棱台的侧面积公式的内在联系必 须明确,这样有利于认识这三种几何体的本质,也 有利于区分这三种几何体.正棱柱、正棱锥、正棱 台的侧面积公式之间的关系如下:

3.球面不能展开成平面,其面积的求法用到 了以后的知识,其公式为S球=4πR2,能利用 公式进行简单的计算. 4.在求面积的问题中,要注意应用所学的几 何体的定义和性质. 5.对于面积的计算,有些可以用表示数字的 字母进行计算,有些可以保留准确值及表示圆 周率的字母π,有些实际应用的问题要根据要 求的精确度取值.



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