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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.1.3导数的几何意义》导学案


§ 1.1.3 导数的几何意义
学习目标
通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率, 理解导数的概念并 会运用概念求导数.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:曲线上向上 P( x1 , y1 ), P 1 ( x1 ? ?x, y1 ? ?y ) 的连线称为曲线的割线,斜率 k ?

?y ? ?x

复习 2:设函数 y ? f ( x) 在 x0 附近有定义当自变量在 x ? x0 附近改变 ?x 时,函数值也相应地 改变 ?y ? ,如果当 ?x 时,平均变化率趋近于一个常数 l ,则数 l 称为函数 f ( x) 在点 x0 的瞬时变化率. 记作:当 ?x 时, ?l

二、新课导学 学习探究 探究任务:导数的几何意义 问题 1:当点 Pn ( x n , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) ,沿着曲线 f ( x) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,割线的变化 趋是什么?

新知:当割线 P Pn 无限地趋近于某一极限 位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT,叫做曲线 C 在点 P 处的切线 割线的斜率是: kn ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

当点 Pn 无限趋近于点 P 时, k n 无限趋近于切线 PT 的斜率. 因此,函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 数就是切线 PT 的斜率 k ,即 k ? lim ? f ?( x0 ) ?x ?0 ?x 新知: 函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率. 即 k = f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

典型例题

例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象.根据图 象,请描述、比较曲线 h (t ) 在 t0 , t1 , t2 附近的变化情况.

小结:

例 2 如图,它表示人体血管中药物浓度 c ? f (t ) (单位: mg / mL )随时间 t (单位:min)变化的函 数图象.根据图象,估计 t =0.2,0.4,0.6,0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1)

练 1. 求双曲线 y ?

1 1 在点 ( , 2) 处的切线的斜率,并写出切线方程. x 2

练 2. 求 y ? x 2 在点 x ? 1 处的导数.

三、总结提升 学习小结 函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率.
即 k = f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

其切线方程为

知识拓展 导数的物理意义: 如果把函数 y ? f ( x) 看做是物体的运动方程(也叫做位移公式,自变量 x 表示时间) ,那么 ?y 导数 f ?( x0 ) 表示运动物体在时刻 xo 的速度, ,即在 xo 的瞬时速度.即 vx0 ? f ?( x0 ) ? lim ?t ?0 ?x ?v 而运动物体的速度 v (t ) 对时间 t 的导数,即 v?(t ) ? lim 称为物体运动时的瞬时加速度. ?t ?0 ?t

学习评价

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知曲线 y ? 2 x 2 上一点,则点 A(2,8) 处的切线斜率为( ) A. 4 B. 16 C. 8 D. 2 2. 曲线 y ? 2 x2 ? 1 在点 P (?1,3) 处的切线方程为( ) A. y ? ?4 x ? 1 B. y ? ?4 x ? 7 C. y ? 4 x ? 1 D. y ? 4 x ? 7 f ( x0 ? h) ? f ( x 0 ) 3. f ( x) 在 x ? x0 可导,则 lim ( ) h ?0 h A.与 x0 、 h 都有关 B.仅与 x0 有关而与 h 无关 C.仅与 h 有关而与 x0 无关 D.与 x0 、 h 都无关 4. 若函数 f ( x) 在 x0 处的导数存在,则它所对应的曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线方程为 5. 已知函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数为 11,则 f ( x0 ? ?x) ? f ( x 0 ) = lim ?x ?0 ?x

课后作业
1. 如图,试描述函数 f ( x) 在 x = ?5, ?4, ?2, 0,1 附近的变化情况.


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