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不等式,向量,解三角形专题练习作业含答案


专题集训· 作业(九)
一、选择题 1.平行六面体的各棱长均为 4,在其顶点 P 所在的三条棱上分 别取 PA=1,PB=2,PC=3,则棱锥 P-ABC 的体积是平行六面体 的体积的( 1 A.64 1 C.32 答案 A ) 3 B.64 3 D.32

解析 由已知可将平行六面体模型化为正方体, 则有 V 正方体=64, 1 1 VP-ABC=3×2×1×2×3=1,故选 A. 2.(2014· 合肥一中模拟)e,π 分别是自然对数的底数和圆周率, 则下列不等式不成立的是( A.logπe+(logeπ)2>2 C.ee-e>eπ-π 答案 C ) B.logπ e+loge π>1 D.(e+π)3<4(e3+π3)

解析 设 f(x)=ex-x(x>0), 则 f′(x)=ex-1, 当 x>0 时, f′(x)>0, 即 f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以 f(π)>f(e),即 eπ-π>ee-e. 3.(2014· 鄂西示范性学校联考)命题“?x∈R,x2-3x+2≥0” 的否定是( )

A.?x0∈R,x2 0-3x0+2<0
2 B.?x0∈R,x0 -3x0+2>0 2 C.?x0∈R,x0 -3x0+2≤0

D.?x0∈R,x2 0-3x0+2≥0 答案 A

解析

求全称命题的否定时,需要先把全称量词改写为存在量

2 词,再对结论进行否定,所以原命题的否定为“?x0∈R,x0 -3x0+

2<0”. x 2 y2 4.(2014· 襄阳五校联考)已知双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0), 离心率为 2,F1,F2 分别是它的左、右焦点,A 是它的右顶点,过 F1 作一条斜率为 k(k≠0)的直线与双曲线交于两个点 M,N,则∠MAN =( ) A.30° C.60° 答案 D B.45° D.90°

解析 由离心率为 2,可得 c=2a,b2=3a2,则双曲线方程为 3x2 -y2=3a2.设 M(x1,y1),N(x2,y2),因直线 MN 的斜率不为零,则可 设其方程为 x=my-2a,与双曲线方程联立得(3m2-1)y2-12amy+ → → 12am 9a2 9a =0, 从而有 3m -1≠0, y1+y2= 2 , 且 y1y2= 2 .则AM· AN 3m -1 3m -1
2 2

= (x1 - a)(x2 - a) + y1y2 = (my1 - 3a)(my2 - 3a) + y1y2 = (m2 + 1)y1y2 - 9a2?m2+1? 36a2m2 3am(y1+y2)+9a = - 2 +9a2=0,故选 D. 3m2-1 3m -1
2

5.某几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图均是腰长 为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的外接球体积为( )

3 A. 2 π C.2 3π 答案 A

B. 3π D.3 3π

解析 由正视图和侧视图均是腰长为 1 的等腰直角三角形, 可得 该几体体是一个四棱锥(如图所示),

底面 BCDE 是边长为 1 的正方形,侧棱 AE⊥底面 BCDE,所以 根据球与四棱锥的对称性知, 外接球的直径是 AC.根据勾股定理知 AC

3 = 1+1+1= 3,所以外接球半径为 2 ,于是该几何体的外接球体 4 3 3 积 V=3π×( 2 )3= 2 π.故选 A. 6.已知对于任意的 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于 0,则 x 的取值范围是( A.1<x<3 C.1<x<2 答案 B ) B.x<1 或 x>3 D.x<2 或 x>2

解析 将 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 看作是 a 的一次函数,记为 g(a)=(x-2)a+x2-4x+4. 当 a∈[-1,1]时恒有 g(a)>0,只需满足条件
2 ? ? ?g?1?>0, ?x -3x+2>0, ? 即? 2 解之得 x<1 或 x>3. ?g?-1?>0, ? ? ?x -5x+6>0,

7.已知在正三棱锥 S-ABC 中,E 是侧棱 SC 的中点,且 SA⊥ BE,则 SB 与底面 ABC 所成角的余弦值为( 1 A.2 2 C.3 答案 D 2 B. 3 6 D. 3 )

解析 如图所示,在正三棱锥 S-ABC 中,作 SO⊥平面 ABC, 连接 AO,则 O 是△ABC 的中心,所以 SO⊥BC,AO⊥BC.

由此可得 BC⊥平面 SAO,所以 SA⊥BC. 又 SA⊥BE,所以 SA⊥平面 SBC,故正三棱锥 S-ABC 的各侧面 全等且均是等腰直角三角形.连接 OB,则∠SBO 为 SB 与底面 ABC 6 6 所成的角.设 SA=a,则 AB= 2a,BO= 3 a,所以 cos∠SBO= 3 . 8 .定义在 R 上的可导函数 f(x) ,当 x ∈ (1 ,+∞) 时, f(x) + 1 f′(x)<xf′(x)恒成立,若 a=f(2),b=2f(3),c=( 2+1)f( 2),则 a, b,c 的大小关系为( A.c<a<b C.a<c<b 答案 A f′?x??x-1?-f?x? f ?x ? ,则 g′(x)= .由于 f(x)+ x-1 ?x-1?2 f ?x ? 在(1,+∞) x-1 ) B.b<c<a D.c<b<a

解析 设 g(x)=

f′(x)<xf′(x),即 f′(x)(x-1)-f(x)>0,因此 g(x)= 上为增函数,故 c<a<b.

9.过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与直线 AB,AD,AA1 所成的角都相等,这样的直线 l 可以作( )

A.1 条 C.3 条 答案 D

B.2 条 D.4 条

解析 本题考查了空间直线与直线所成角问题, 考查空间想象能 力.显然正方体的对角线 AC1 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等, 将该正方体以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 分别为坐标轴建立空间 直角坐标系, 则可以得到 8 个象限, 其中在平面 ABCD 上方的四个象 限内的每一个象限内均有一条与 AC1 相似的对角线与此三条棱成等 角,即这样的直线 l 有 4 条,故应选 D. 10.(2014· 芜湖三校一模)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函 数,且对于任意的 a,b∈R,满足 f(ab)=af(b)+bf(a),f(2)=2.若 bn f?2n? = 2n (n∈N*),则数列{bn}的通项公式为( A.n C.2n 答案 解析 =2f(2 )+2
n

)

B.n-1 D.2n-1 A ∵ f(ab)= af(b)+ bf(a), f(2)= 2,∴ f(2n + 1) = 2f(2n)+ 2nf(2)
n+1

f?2 ? f?2n? f?2n? * .∵bn= 2n (n∈N ), 又 n+1 = 2n +1, 即 bn+1-bn=1, 2

n+1

f?2? ∴{bn}成等差数列,且 b1= 2 =1,∴bn=b1+(n-1)×1=1+n-1 =n,n∈N*. 1 11.(2014· 孝感市质检)若函数 f(x)=x-1+ex(a∈R,e 为自然对 数的底数)的图像与直线 l:y=kx-1 没有公共点,则实数 k 的最大值 为( ) A.0 B.1

C.-1 答案 B

1 D.e

1 解析 令 g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+ex,则直线 l:y=kx-1 与曲线 y=f(x)没有公共点, 等价于方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解. 假 1 1 设 k>1,此时 g(0)=1>0.g( )=-1+ 1 <0.又函数 g(x)的图像是 k-1 e k-1 连续的,由零点存在性定理,可知 g(x)=0 在 R 上至少有一个解,与 1 方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解矛盾, 故 k≤1.又 k=1 时, g(x)=ex>0, 易知方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解.所以实数 k 的最大值为 1. x2 y 2 12.(2014· 武汉部分学校调研)椭圆 C:4 + 3 =1 的左、右顶点分 别为 A1, A2, 若点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是[-2, -1], 则直线 PA1 斜率的取值范围是( 1 3 A.[2,4] 1 C.[2,1] 答案 B ) 3 3 B.[8,4] 3 D.[4,1]

解析 椭圆的左顶点为 A1(-2,0),右顶点为 A2(2,0),设点 P(x0,
2 2 x0 y0 y2 3 y0 y0 0 y0),则 4 + 3 =1,得 2 =-4.而 kPA2= ,kPA1= ,所以 x 0 -4 x0-2 x0+2 2 y0 3 3 3 kPA2· kPA1= 2 =-4.又 kPA2∈[-2,-1],所以 kPA1∈[8,4]. x0-4

二、填空题 13. 已知函数 f(x)=3x+sinx+1, 若 f(t)=2, 则 f(-t)=________. 答案 0

解析 由于 g(x)=3x+sinx 为奇函数,且 f(t)=3t+sint+1=2, 所以 3t+sint=1,则 f(-t)=g(-t)+1=-1+1=0. x+ 2 y 14. (2014· 皖西四校联考)若正数 x, y 满足 2x+3y-3=0, 则 xy 的最小值为________. 答案 7+4 3 3

2x+3y x+2y 1 2 1 解析 由 2x+3y-3=0,得 1= 3 .于是 xy =y +x =(y+ 7+4 3 2 2x+3y 1 2x 6y 1 )· = (7 + + ) ≥ × (7 + 4 3 ) = ,当且仅当 x 3 3 y x 3 3

?2x=6y, ?y x ?2x+3y-3=0,
7+4 3 小值为 3 .

即 x=6-3 3,y=2 3-3 时,等号成立.故最

15.已知函数 g(x)是 R 上的奇函数,且当 x<0 时,g(x)=-ln(1
3 ? ?x ,x≤0, -x),函数 f(x)=? 若 f(2-x2)>f(x),则实数 x 的取值范围 ?g?x?,x>0, ?

是________. 答案 (-2,1)

解析 方法一 由题意可知,当 x≥0 时,g(x)=-g(-x)=-[-
3 ? ?x ,x≤0, ln(1+x)]=ln(1+x), 所以 f(x)=? 当 x≤- 2时, 由 f(2 ?ln?1+x?,x>0. ?

-x2)>f(x),得(2-x2)3>x3,因为 f(x)=x3 在 R 上为增函数,所以有 2 -x2>x,解得-2<x<1,即-2<x≤- 2.当- 2<x≤0 时,由 f(2- x2)>f(x),得 ln(1+2-x2)>x3,即- 2<x≤0.当 0<x< 2时,由 f(2- x2)>f(x),得 ln(1+2-x2)>ln(1+x),所以有 2-x2>x,解得-2<x<1,

即 0<x<1.当 x≥ 2时, 由 f(2-x2)>f(x), 得(2-x2)3>ln(1+x), 无解. 综 上得-2<x<1. 方法二
3 ? ?x ,x≤0, 同上得 f(x)=? 易知 f(x)在 R 上是增函 ?ln?1+x?,x>0. ?

数,由 f(2-x2)>f(x),得 2-x2>x,即 x2+x-2<0,∴-2<x<1. x2 y2 16.已知 F1,F2 分别是双曲线a2-b2=1(a>b>0)的左、右焦点, |PF2|2 P 为双曲线左支上一点,若 |PF | 的最小值为 8a,则该双曲线的离心 1 率 e 的取值范围是________. 答案 解析 (1,3] ∵P 为双曲线左支上一点,∴|PF2|-|PF1|=2a.∴|PF2|=
2

|PF2|2 ?|PF1|+2a? 4a2 |PF1| + 2a. ∴ |PF | = = |PF1| + |PF | + 4a≥8a ,当且仅当 |PF1| 1 1 4a2 |PF1|=|PF1|,即|PF1|=2a 时取等号,故|PF2|=4a.当点 P 在 x 轴上时, |PF1|+|PF2|=|F1F2|,即 2a+4a=2c,此时 e=3;当点 P 不在 x 轴上 时,在△PF1F2 中,|PF1|+|PF2|>|F1F2|,即 2a+4a>2c,此时 e<3,∴ e≤3.又 e>1,于是 1<e≤3.



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