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天津市河西区2016高三二模数学试卷答案(理科)


河西区 2015—2016 学年度第二学期高三年级总复习质量调查(二)

(Ⅱ)解: A 班的样本数据中上网时长不小于 21 小时的有 2 个,从中有放回地抽取 2 个数据,恰
1 有 1 个数据为“过度用网”的概率为 P ? C2 ? ( )1 (1 ? )1 ?

数学试卷(理工类)参考答案及评分标准
一、选择题:本

大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. CBCA CBAD

2 6

2 6

4 . 9

????6 分

(Ⅲ)解:随机变量 X 的取值为 0,1,2,3,4,

P( X ? 0) ?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) 0.03 (10) ? 2i (11) ? 6 (12) ( 2 ,

2 2 C4 C2 6 , ? 2 2 C6 C6 225 1 1 2 2 1 1 C2 C4C2 ? C4 C4C2 56 , ? 2 2 225 C6 C6 1 1 1 1 2 2 2 2 C2 C4C4C2 ? C2 C2 ? C4 C4 101 , ? 2 2 225 C6 C6 2 1 1 1 1 2 C2 C4C2 ? C2 C4C4 56 , ? 2 2 225 C6 C6 2 2 C2 C4 6 ? , 2 2 C6 C6 225

?
4

)

(13) 5 ? 1

e 1 ) (14) ( , e 2

P( X ? 1) ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为函数 f ( x) 的最小正周期为

P( X ? 2) ?

?
2

, ????3 分

? ? ? ,解得 ? ? 2 . ? 2 ? ? 令 2 x ? ? ? k? , k ? Z ,
所以 T ?

P( X ? 3) ?

P( X ? 4) ?

2 ? k? 所以 x ? ? , k ?Z , 8 2

4

随机变量 X 的分布列为:

所以 f ( x) 的定义域为 {x ? R | x ?

?
8

?

k? , k ? Z} . 2

????6 分

?
P

0

1

2

3

4

(Ⅱ)解:因为 f ( ) ? 3 ,即 tan(? ?

?

?
4

2

) ? 3,
????9 分

6 225

56 225

101 225

56 225

6 225
????11 分

tan ? ? 1 1 ? 3 ,解得 tan ? ? , 2 1 ? tan ? 2 tan ? 4 所以 tan 2? ? ? . 2 1 ? tan ? 3
(16) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:经计算, x A ? 18 , x B ? 22 ,

X 的数学期望是 E( X ) ? 0 ?
????13 分 (17) (本小题满分 13 分)

101 56 6 6 56 ? 3? ? 4? ? 2 .????13 分 ? 1? ? 2? 225 225 225 225 225

(Ⅰ)解:以 D 为原点,以 DA , DC , DP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标 系, ????1 分

据此估计, A 班的学生平均每周上网时长为 18 小时, B 班的学生平均每周上网时长为 22 小时. ????3 分

由题意得, D ( 0 , 0 , 0 ) , A(1 , 0 , 0 ) , B (1 ,1 , 0 ) , C ( 0 , 2 , 0 ) , E ( 0 , 2 , 2 ) , P (0 ,

1 2 0 , 2 ) , F( , 0 , ), 2 2
则 AC ? (?1 , 2 , 0 ) ,平面 DEF 的一个法向量 n1 ? ( x , y , z ) ,

高三年级数学试卷(理科)答案第 1 页(共 7 页) (二)

1 2 DE ? (0 , 2 , 2 ) , DF ? ( , 0 , ), 2 2
? 2 y ? 2z ? 0 ? ? ?n1 ? DE ? 0 由? ,即 ? 1 , 2 z?0 ? ? x? ?n1 ? DF ? 0 2 ?2
取 z ? 2 ,得 n1 ? (?2 2 , ? 2 , 2) , 因为 AC · n1 ? ?1? (?2 2 ) ? 2 ? (? 2 ) ? 0 ? 2 ? 0 , 所以 AC ? n1,

所以 sin

?
6

? cos ? BQ, m ? ?

BQ ? m BQ ? m

?

5? ? 1 2 19?2 ? 10? ? 7

?

1 , 2

则 ?2 ? 1 ,由 0 ? ? ? 1,所以 ? ? 1 ,即 Q 点和 E 点重合, 故在线段 EF 上存在一点 Q ,且 FQ ? EF ? (18) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,设抛物线 C 的方程为 x 2 ? 2 py ( p ? 0 ) , ????4 分 则

19 . 2

????13 分

AC ∥平面 DEF .
(Ⅱ)解:设平面 PBC 的一个法向量 n2 ? ( x , y , z ) ,

p ? 1, p ? 2 , 2
????4 分

所以抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y . (Ⅱ)解:由题意,直线 AB 的斜率存在,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 ,

PB ? (1 , 1 , ? 2 ) , BC ? (?1 , 1 , 0 ) ,
由?

? ? ?n2 ? PB ? 0 ?x ? y ? 2 z ? 0 ,即 ? , ? ? ? ?x? y?0 ?n2 ? BC ? 0

????5 分

取 x ?1 ,得 n2 ? (1 , 1 , 2 ) , 设平面 ABC 的一个法向量 n3 ? ( 0 , 0 , 1) , 所以 cos ? n2 , n3 ??

? y ? kx ? 1 由? 2 ,消去 y ,整理得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , x ? 4 y ?
x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ,
????6 分 从而 x1 ? x2 ? 4 k 2 ? 1 , ????8 分 ????9 分

n2 ? n3 2 2 , ? ? n2 ? n3 2 4

由图可知二面角 A ? BC ? P 为锐二面角, 所以二面角 A ? BC ? P 的大小为

? . 4

????8 分

y ? 2 x1 2 x1 8 ?y? 1 x 由? , ? ? x1 ,解得点 M 的横坐标 xM ? 2 x1 ? y1 4 ? x1 x1 ? y ? x ? 2 x1 ? ? 4
同理点 N 的横坐标 x N ?

1 2 (Ⅲ)解:设存在点 Q 满足条件,由 F ( , 0 , ) , E (0 , 2 , 2 ) , 2 2 ( 2 1 ? ?) 1? ? ), 设 FQ ? ? FE ( 0 ? ? ? 1),整理得 Q( , 2? , 2 2 ( 2 1 ? ?) 1? ? ), , 2? ?1 , ????10 分 BQ ? (? 2 2
因为直线 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 30? ,

8 , 4 ? x2

所以 MN ? 2 xM ? xN ? 8 2 令 4 k ? 3 ? t , t ? 0 ,则 k ?

x1 ? x2 8 2 k 2 ?1 , ? x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 4k ? 3

????11 分

t ?3 , 4

高三年级数学试卷(理科)答案第 2 页(共 7 页) (二)

当 t ? 0 时, MN ? 2 2

25 6 ? ?1 ? 2 2 , t2 t

所以

?S
k ?1

n

k?2 1 1 1 1 1 1 ? 2( 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n?1 ) ( T ? k ? 1 ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 k k

5 3 16 8 当 t ? 0 时, MN ? 2 2 ( ? ) 2 ? ? 2, t 5 25 5

? 2(1 ?

1 2
n ?1

) ? 2. ?1

????14 分

(20) (本小题满分 14 分) ????13 分 (19) (本 (Ⅰ)解:当 m ? 1 时,曲线 y ? f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? ln x , 设切点坐标为 ( x0 , ln x0 ) ,

25 4 8 综上所述,当 t ? ? ,即 k ? ? 时, MN 的最小值是 2. 3 3 5
小题满分 14 分) (Ⅰ)解:圆 Cn 的圆心到直线 l n 的距离 d n ?

2n 2

? n ,半径 rn ? 2an ? n ,

由 f ' ( x) ?

1 1 1 ,所以斜率 k ? ,则切线方程为 y ? ln x0 ? ( x ? x0 ) , x0 x0 x

所以 an?1 ?

a 1 2 2 2 An Bn ? rn ? d n ? 2an ,即 n ?1 ? 2 , an 4

????3 分

因为切线过点 P (0 , ? 1) ,所以 ? 1 ? ln x0 ? ?1 ,解得 x0 ? 1 , 所以切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ)解:函数 f ( x) 的定义域为 ( 0 , ? ?) , ????3 分

又 a1 ? 1 ,所以数列 {a n } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,

an ? 2n?1 .
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, bn ? 所以 Tn ?

????5 分

f ' ( x) ?

n n ? n ?1 , 4an 2

2x2 ? 2x ? m , x

????6 分

令 f ' ( x) ? 0 ,

1 2 3 n ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n?1 ? n?2 , 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 1 n?2 两式相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n?2 ? ? n? 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 所以 Tn ? 1 ? n?1 . 2 1 ? 2n ? 2n ? 1, (Ⅲ)证明:因为 an ? 2n?1 ,所以 S n ? 1? 2 k?2 k?2 ? 所以 k ?2 S k (Tk ? k ? 1) (2 k ? 1)(1 ? k ?1 ? k ? 1) 2
2 k ?1 1 1 ? k ? 2( k ? k ?1 ) , k ?1 (2 ? 1)( 2 ? 1) 2 ?1 2 ?1

1? 当 m ?

1 时, f ' ( x) ? 0 恒成立, 2

函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 0 , ? ?) ;

2? 当 0 ? m ?

1 时, 2
1 ? 1 ? 2m 1 ? 1 ? 2m ) ,( , ? ?) ; 2 2

函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 0 , ????9 分

3? 当 m ? 0 时,
1 ? 1 ? 2m , ? ?) . 2 2x2 ? 2x ? m (Ⅲ)解: f ' ( x ) ? , x
函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 令 f ' ( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? 2 x ? m ? 0 , ????7 分

????11 分

由题意,方程有两个不相等的正数根 a , b ,且 a ? b ,

高三年级数学试卷(理科)答案第 3 页(共 7 页) (二)

?? ? 4(1 ? 2m) ? 0 1 ? m 则? ,解得 0 ? m ? , ? 0 2 ? 2 ?
a? 1 ? 1 ? 2m 1 ? 1 ? 2m 1 ,b ? ,则 0 ? a ? ? b ? 1 , 2 2 2
????9 分

由 2b 2 ? 2b ? m ? 0 ,得 m ? ?2b 2 ? 2b ,

所以 f (b) ? b 2 ? 2b ? 1 ? m ln b ? b 2 ? 2b ? 1 ? (?2b 2 ? 2b) ln b , b ? ( , 1) ,

1 2

1 f ' (b) ? ?4(b ? ) ln b , 2 1 1 当 b ? ( , 1) 时, f ' (b) ? 0 ,即函数 f (b) 是 ( , 1) 上的增函数, 2 2 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 所以 , 0) , ? f (b) ? 0 ,故 f (b) 的取值范围是 ( 4 4
则 [ f (b)] ? ?1 , 同理可求 f (a) ? a 2 ? 2a ? 1 ? (?2a 2 ? 2a) ln a , a ? (0 , ) ,

????11 分

1 2

1 f ' (a) ? ?4(a ? ) ln a ? 0 , 2 1 1 当 b ? ( , 1) 时, f ' (b) ? 0 ,即函数 f (a ) 是 ( 0 , ) 上的减函数, 2 2 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 所以 , 1) , ? f (a) ? 1,故 f (a ) 的取值范围是 ( 4 4
则 [ f (a)] ? ?1 或 [ f ( a )] ? 0 , 当 [ f (a)] ? ?1 时, sin

????12 分

[ f (a)] ? cos([ f (a)][ f (b)]) ; [ f (b)]
????14 分

当 [ f ( a )] ? 0 时, sin

[ f (a)] ? cos([ f (a)][ f (b)]) . [ f (b)]

高三年级数学试卷(理科)答案第 4 页(共 7 页) (二)


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