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2009年全国高中数学联赛模拟试题


2009 年全国高中数学联赛模拟试题
第一试
一,填空题: (每小题 8 分,共 56 分)
1,若干个棱长为 2, 5 的长方体, 3, 依相同方向拼成棱长为 90 的正方体, 则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 2,递增数列 1,3,4,9,10,12,13,…,由一些正整数组成,它们或者是 3 的幂, 或者是若干个 3 的幂之和,则此数列的第 2009 项为
n 1 3, C1 + C 5 + C 9 + + C 4 m +1(其中 m = [ n n n n , x]表示不超过 x 的最大整 4

数)的值为
4,一个五位的自然数 abcde 称为"凸"数,当且仅当它满足 a<b<c,c

>d>e(如 12430,13531 等) ,则在所有的五位数中"凸"数的个数 是 x2 y2 5,过椭圆 + = 1 上任意一点 P,作椭圆的右准线的垂线 PH(H 为垂 3 2 足) ,并延长 PH 到 Q,使得 HQ=λPH(λ≥1) .当点 P 在椭圆上运动 . 时,点 Q 的轨迹的离心率的取值范围是 6,已知异面直线 a,b 所成的角为 60°,过空间一点 P 作与 a,b 都成角 α 0<α<90°) ( 的直线 l, 则这样的直线 l 的条数是 f(α)= .
7,不等式

(1

4x 2 1 + 2x

)

2

< 2 x + 9 的解集为

.

8,设复数 z 满足条件|zi|=1,且 z≠0,z≠2i,又复数ω使得

为实数,则复数ω2 的辐角主值的取值范围是

ω 2i z ω z 2i
.

二, (14 分) 设 x,y,z 均不等于 1 且 xyz=1,求证: 【x/(x-1)】2+【y/(y-1)】2+【z/(z-1)】2≥1 三, (15 分)
给定数列 { xn } , x1 = 0 ,且 xn +1 =

n+ 2 1 x n + ,求 x n n n

四, (15 分)已知点 A(1,0) 和直线 l : x = 6 ,动点 M 到 A 的距离与到 l 的距离之和为 8.
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(1)求 M 点的轨迹 T ; (2)过 A 作倾斜角为 α 的直线与 T 交于 P , Q 两点,设 d =| PQ | ,求 d = f (α ) 的解析式.

第二试
一,(50 分)一凸四边形内接于半径为 1 的圆.证明:四边形周长与其对角线之
和的差值 u,满足 0<u<2.

二, (50 分)给定数列 { xn } , x1 = 0 ,且 xn+1 = 三, (50 分)

n+ 2 1 xn + ,则 xn =____. n n

100 张卡片上分别写有数字 1 到 100, 一位魔术师把这 100 张卡片放入颜色分别是红色, 白色,蓝色的三个盒子里,每个盒子里至少放入一张卡片. 一位观众从三个盒子中挑出两个, 并从中各选取一张卡片, 然后宣布这两张卡片上的两个数 的和数,魔术师知道这个和数之后,便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子.问: 共有多少种放卡片的方法, 使得这个魔术师总能够成功? (如果至少有一张卡片被放入不同 颜色的盒子,两种方法被认为是不同的)

四, (50 分)
.试找出最大的正整数 N,使得无论怎样将正整数 1 至 400 填入 20×20 方格表的各个格中, 都能在同一行或同一列中找到两个数,它们的差不小于 N.

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