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高中数学(人教A版选修2-2)课时作业 2.1.1 合情推理


课时提升作业(十四)
合情推理

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示, 律往下排,那么第 36 个圆的颜色应是( A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大 【解析】选 A.由题干图知,图形是三白二黑的圆周而复始相继排列,是一个周期 为 5 的三白二黑的圆列, 因为 36÷5=7 余

1, 所以第 36 个圆应与第 1 个圆颜色相 同,即白色. 2.已知数列{an}满足 a0=1, an=a0+a1+a2+?+an-1(n≥1), 则当 n≥1 时, an 等于( A.2n C.2n-1 【解析】选 C.a0=1,a1=a0=1, a2=a0+a1=2a1=2, a3=a0+a1+a2=2a2=4, a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8,…, 猜想 n≥1 时,an=2n-1. 3.给出下列三个类比结论: B. n(n+1) D.2n-1 ) ) ,按这种规

①类比 ax·ay=ax+y,则有 ax÷ay=ax-y; ②类比 loga(xy)=logax+logay,则有 sin(α +β )=sinα sinβ ; ③类比(a+b)2=a2+2ab+b2,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2. 其中结论正确的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

【解析】选 C.根据指数的运算法则知 ax÷ay=ax-y,故①正确;根据三角函数的运 算法则知: sin( α + β ) ≠ sin α sin β,②不正确;根据向量的运算法则知: (a+b)2=a2+2a·b+b2,③正确. 4.设 n 棱柱有 f(n)个对角面,则(n+1)棱柱的对角面的个数 f(n+1)等于( A.f(n)+n+1 C.f(n)+n-1 B.f(n)+n D.f(n)+n-2 )

【解题指南】因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面,过每一条侧棱与它不相邻 的一条侧棱都能作对角面,可作(n-3)个对角面,n 条侧棱可作 n(n-3)个对角面, 由于这些对角面是相互之间重复计算了,所以共有 n(n-3)÷2 个对角面,从而得 出 f(n+1)与 f(n)的关系. 【解析】 选 C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面, 过每一条侧棱与它不相邻 的一条侧棱都能作对角面,可作(n-3)个对角面,n 条侧棱可作 n(n-3)个对角面, 由于这些对角面是相互之间重复计算了, 所以共有 n(n-3)÷2 个对角面, 所以可得 f(n+1)-f(n) =(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2 =n-1,

故 f(n+1)=f(n)+n-1. 5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称 为三角形数;类似地,称图 2 中的 1,4,9,16,?,这样的数为正方形数.下列 数中既是三角形数又是正方形数的是( A.289 B.1024 ) D.1378

C.1225

【解析】选 C.观察三角形数:1,3,6,10,…,记该数列为{an},则 a1=1, a2=a1+2, a3=a2+3, … an=an-1+n. 所以 a1+a2+…+an =(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n)? an=1+2+3+…+n= 观察正方形数:1,4,9,16,…,记该数列为{bn}, 则 bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得 n 都为正整 ,

数的只有 1225. 6.(2014·枣庄高二检测)将正奇数按如图所示的规律排列,则第 21 行从左向右 的第 5 个数为( 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 ? A.809 B.853 C.785 D.893 )

【解析】选 A.前 20 行共有正奇数 1+3+5+…+39=202=400 个, 则第 21 行从左向右的第 5 个数是第 405 个正奇数, 所以这个数是 2×405-1=809. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似 地, 在空间中, 若两个正四面体的棱长的比为 1∶2, 则它们的体积比为________.

【解析】 = × = . 答案:

=

=

·

8.(2014·石家庄高二检测)设 n 为正整数,f(n)=1+ + +?+ ,计算得 f(2)= ,

f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为________. 【解析】 由前四个式子可得, 第 n 个不等式的左边应当为 f(2n), 右边应当为 即可得一般的结论为 f(2n)≥ 答案:f(2n)≥ 9.(2014 · 杭 州 高 二 检 测 ) 对 于 命 题 “ 如 果 O 是 线 段 AB 上 一 点 , 则 |
△OBC



.

|· ·

+| +S△OCA·



=0”将它类比到平面的情形是:若 O 是△ABC 内一点,有 S =0, 将它类比到空间的情形应为: 若 O 是四面体 ABCD

+S△OBA·

内一点,则有____________________________. 【解析】根据类比的特点和规律,所得结论形式上一致,又线段类比平面,平面 类比到空间,又线段长类比为三角形面积,再类比成四面体的体积,故可以类比 为 VO-BCD· +VO-ACD· +VO-ABD· +VO-ABC· =0. =0

答案:VO-BCD·

+VO-ACD·

+VO-ABD·

+VO-ABC·

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中: (1)三角形两边之和大于第三边. (2)三角形的面积 S= ×底×高. (3)三角形的中位线平行于第三边且第于第三边的 . ?

请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 【解析】由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积. (2)四面体的体积 V= ×底面积×高. (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 . 11.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时,我们有真命题:边 长为 a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值 a,类比上述命题,请

你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题,并给出简要的证 明. 【解题指南】利用类比推理时,正三角形可类比成正四面体,归纳出结论再给予 证明. 【解析】类比所得的真命题是:棱长为 a 的正四面体内任意一点到四个面的距离 之和是定值 a.

证明:设 M 是正四面体 P-ABC 内任一点,M 到面 ABC,面 PAB,面 PAC,面 PBC 的 距离分别为 d1,d2,d3,d4. 由于正四面体四个面的面积相等,故有: VP-ABC=VM-ABC+VM-PAB+VM-PAC+VM-PBC = ·S△ABC·(d1+d2+d3+d4), 而 S△ABC= a2,VP-ABC= a 3,

故 d1+d2+d3+d4=

a(定值). ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),

【变式训练】设 f(x)=

然后归纳出一个一般结论,并给出证明. 【解析】f(0)+f(1)= = = + + = . , +

同理 f(-1)+f(2)= f(-2)+f(3)= .

由此猜想:当 x1+x2=1 时, f(x1)+f(x2)= .

证明:设 x1+x2=1,

则 f(x1)+f(x2)=

+

=

=

=

=

.

故猜想成立.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·厦门高二检测)定义 A*B,B*C,C*D,D*A 的运算分别对应下图中的(1), (2),(3),(4),那么下图中的(A),(B)所对应的运算结果可能是( )

A.B*D,A*D C.B*C,A*D

B.B*D,A*C D.C*D,A*D

【解析】选 B.由(1)(2)(3)(4)图得 A 表示|,B 表示□,C 表示—,D 表示○,故 图(A)(B)表示 B*D 和 A*C. 2.(2014·西安高二检测)已知“整数对”按如下规律排成一列: (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),?,则第 60 个数对是( A.(7,5) C.(2,10) )

B.(5,7) D.(10,1)

【解析】选 B.依题意,由和相同的“整数对”分为一组不难得知,第 n 组“整数 对”的和为 n+1,且有 n 个“整数对”.这样前 n 组一共有 个“整数对”.

注意到

<60<

.因此第 60 个“整数对”处于第 11 组的第 5 个

位置,可得为(5,7). 3.(2014·汕头高二检测)观察下列各式: 1=12, 2+3+4=32, 3+4+5+6+7=52, 4+5+6+7+8+9+10=72, ?, 可以得出的一般结论是( )

A.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=n2 D.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=(2n-1)2 【解析】选 B.可以发现:第一个式子的第一个数是 1,第二个式子的第一个数是 2,…故第 n 个式子的第一个数是 n;第一个式子中有 1 个数相加,第二个式子中 有 3 个数相加,…故第 n 个式子中有 2n-1 个数相加;第一个式子的结果是 1 的 平方,第二个式子的结果是 3 的平方,…故第 n 个式子应该是 2n-1 的平方,故 可以得到 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 4.(2014·临沂高二检测)已知 x>0,由不等式 x+ ≥2 3 A.2n =2,x+ = + + ≥ )

=3,?我们可以得出推广结论:x+ ≥n+1(n∈N*),则 a=( B.n2 C.3n D.nn

【解析】选 D.再续写一个不等式:

x+ = + + + ≥ 4 =4,

由此可得 a=nn. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知经过计算和验证有下列正确的不等式: + + <2 <2 , + <2 ,

,根据以上不等式的规律,请写出一个对正实数 m,n

都成立的条件不等式_____________________. 【解析】 观察所给不等式可以发现: 不等式左边两个根式的被开方数的和等于 20, 不等式的右边都是 2 ,因此对正实数 m,n 都成立的条件不等式是:若 m>0, + <2 . + <2 .

n>0,则当 m+n=20 时,有

答案:若 m>0,n>0,则当 m+n=20 时,有

6.在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 外接圆半径 r=

运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a,b,c,则其 外接球的半径 R=________. 【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两互相垂直,就要考虑到构造正方体 或长方体. 【解析】(构造法)通过类比可得 R= .

证明:作一个在同一个顶点处棱长分别为 a,b,c 的长方体,则这个长方体的体 对角线的长度是 ,故这个长方体的外接球的半径是 ,

这也是所求的三棱锥的外接球的半径. 答案: 【变式训练】在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c,内切圆半 径为 r,则三角形面积为 S△ABC= (a+b+c)r” ,拓展到空间,类比上述结论, “若四 面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 R,则四面体 的体积为________”. 【解题指南】注意发现其中的规律总结出共性加以推广,或将结论类比到其他方 面,得出结论. 【解析】三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面 的面积,内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中 类比为三维图形中的 , 得 V 四面体 ABCD= (S1+S2+S3+S4)R. 答案:V 四面体 ABCD= (S1+S2+S3+S4)R 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.观察下列等式: ①sin210°+cos240°+sin10°cos40°= ; ②sin26°+cos236°+sin6°cos36°= . 由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想. 【解析】由①②可看出,两角差为 30°,

则它们的相关形式的函数运算式的值均为 . 猜想:若β-α=30°, 则β=30°+α,sin2α+cos2β+sinαcosβ= , 也可直接写成 sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)= . 下面进行证明: 左边= = + + +sinαcos(α+30°) +

sinα·(cosα·cos30°-sinαsin30°) = - cos2α+ + cos2αsin2α+ sin2α= =右边.

故 sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)= . 8.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1),(2),(3),(4)为最简单的四个 图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的 规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)求出 f(5)的值. (2)利用合情推理的“归纳推理思想” ,归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并

根据你得到的关系式求出 f(n)的表达式. (3)求 + + + ?+ 的值.

【解析】(1)f(5)=41. (2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, … 由上式规律,所以得出 f(n+1)-f(n)=4n. 因为 f(n+1)-f(n)=4n? f(n+1)=f(n)+4n? f(n)=f(n-1)+4(n-1) =f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =… =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4 =2n2-2n+1. (3)当 n≥2 时, = 所以 =1+ × + . + +…+ =

=1+

= -

.

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