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[教案] 新课标人教A版 高一 必修2 第四章 第一节 名校尖子生培优 4.1.1圆的标准方程教案


教学分析 在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研 究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程, 就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础 .也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用 ,具 有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基

础性和应用的广泛性, 对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识 ,教学生学会学习和学会创造,同时培养学 生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内 容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学 生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动 脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题. 三维目标 1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半 径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题 和解决问题的能力. 2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的 能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力. 3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变 化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美. 重点难点 教学重点:圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确. 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.课前准备:(用淀粉在一张白纸上画上海和山) 说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太 阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳. 课堂估计:一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性);一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人 心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点). 然后上升到数学层次: 不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程. 从用圆规作图复习初中所学圆的定义:到定点的距离等于定长的点的轨迹. 那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程?教师板书 本节课题:圆的标准方程. 思路 2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗?圆的方程怎样来求呢? 这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程. 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知两点 A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知 C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离? ②具有什么性质的点的轨迹称为圆? ③图 1 中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点?

1

图1 ④我们知道 ,在平面直角坐标系中 , 确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角 ,那么 ,决定圆的条件是什 么? ⑤如果已知圆心坐标为 C(a,b),圆的半径为 r,我们如何写出圆的方程? ⑥圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?
2 2 讨论结果:①根据两点之间的距离公式 ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ,得 2 2 |AB|= ( 2 ? 6) ? (9 ? 5) ?

212 ,

|CD|= ( x ? 3) ? ( y ? 8) .
2 2

②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆). ③圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和 大小. ④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了. ⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为 C(a,b),半径为 r(其中 a、b、r 都是常数,r>0).设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公
2 2 式让学生写出点 M 适合的条件 ( x ? a ) ? ( y ? b) =r.①

将上式两边平方得(x-a) +(y-b) =r . 2 2 2 化简可得(x-a) +(y-b) =r .② 若点 M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点 M 的坐标满足方程②,反之若点 M 的坐标满足方程②,这就说明点 M 与圆心 C 的距离为 r,即点 M 在圆心为 C 的圆上.方程②就是圆心为 C(a,b),半径长为 r 的圆的方程,我们把 它叫做圆的标准方程. ⑥这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变数 x,y 的系数都是 1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和 2 2 2 圆的半径.当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x +y =r . 提出问题 ①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么? ②确定圆的方程的方法和步骤是什么? ③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断? 2 2 2 讨论结果:①圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r 中,有三个参数 a、b、r,只要求出 a、b、r 且 r>0,这时圆 的方程就被确定,因此确定圆的标准方程 ,需三个独立条件, 其中圆心是圆的定位条件 ,半径是圆的定形条 件. ②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于 a、b、r 的方程组,求 a、b、r 或直接求出圆心(a,b)和 半径 r,一般步骤为: 2 2 2 1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ; 2°根据已知条件,建立关于 a、b、r 的方程组; 3°解方程组,求出 a、b、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. 2 2 2 ③点 M(x0,y0)与圆(x-a) +(y-b) =r 的关系的判断方法:

2

2

2

2

当点 M(x0,y0)在圆(x-a) +(y-b) =r 上时,点 M 的坐标满足方程(x-a) +(y-b) =r . 2 2 2 2 2 2 当点 M(x0,y0)不在圆(x-a) +(y-b) =r 上时,点 M 的坐标不满足方程(x-a) +(y-b) =r . 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为: 2 2 2 1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外 ? (x0-a) +(y0-b) >r ,点在圆外; 2 2 2 2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上 ? (x0-a) +(y0-b) =r ,点在圆上; 2 2 2 3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内 ? (x0-a) +(y0-b) <r ,点在圆内. 应用示例 思路 1 例 1 写出下列各圆的标准方程: (1)圆心在原点,半径是 3; ⑵圆心在点 C(3,4),半径是 5 ; (3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3); (4)圆心在点 C(1,3),并且和直线 3x-4y-7=0 相切. 2 2 2 2 2 解:(1)由于圆心在原点,半径是 3,所以圆的标准方程为(x-0) +(y-0) =3 ,即 x +y =9. 2 2 2 2 2 (2)由于圆心在点 C(3,4),半径是 5,所以圆的标准方程是(x-3) +(y-4) =(5) ,即(x-3) +(y-4) =5.
2 2 (3)方法一:圆的半径 r=|CP|= (5 ? 8) ? (1 ? 3) ?
2 2 2

2

2

2

2

2

2

25 =5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
2 2 2 2

方法二:设圆的标准方程为(x-8) +(y+3) =r ,因为圆经过点 P(5,1),所以(5-8) +(1+3) =r ,r =25,因此所求 2 2 圆的标准方程为(x-8) +(y+3) =25. 这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题 的方便而定. (4)设圆的标准方程为(x-1) +(y-3) =r ,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以 r=
2 2 2

| 3 ? 12 ? 7 | 25

?

| 16 | 25

.因

此所求圆的标准方程为(x-1) +(y-3) =

2

2

256 . 25

点评:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程. 例 2 写出圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(- 5 ,-1)是否在这个圆上. 解:圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的标准方程是 2 2 (x-2) +(y+3) =25, 把点 M1(5,-7),M2(- 5 ,,-1)分别代入方程(x-2) +(y+3) =25,
2 2

则 M1 的坐标满足方程,M1 在圆上.M2 的坐标不满足方程,M2 不在圆上. 点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现 了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数;根据坐标满足方程来看在不在圆上——从 代数到几何. 例 3△ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程. 2 2 2 活动: 教师引导学生从圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r 入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定 a、 b、 r 三个参数.另外可利用直线 AB 与 AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方 法. 2 2 2 解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r ,因为 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上, 2 2 2 它们的坐标都满足方程(x-a) +(y-b) =r ,于是

3

?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 , ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 . ?

(1) (2) (3)

?a ? 2, ? 2 2 解此方程组得 ?b ? ?3, 所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2) +(y+3) =25. ? r ? 5. ?
解法二:线段 AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y+1=

1 (x-6).① 2

同理线段 AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为 3,所以线段 AC 的垂直平分线的方程为 y+3.5=3(x-3.5).②
2 2 解由①②组成的方程组得 x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径 r= (5 ? 2) ? (1 ? 3) =5,所以△ABC 的

外接圆的方程为(x-2) +(y+3) =25. 点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心,它是△ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就 是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路. 思路 2 例 1 图 2 是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度 AB=20 m,拱高 OP=4 m,在建造时每隔 4 m 需用一个 支柱支撑,求支柱 A2P2 的长度(精确到 0.01 m).

2

2

图2 解:建立坐标系如图,圆心在 y 轴上,由题意得 P(0,4),B(10,0). 2 2 2 设圆的方程为 x +(y-b) =r ,因为点 P(0,4)和 B(10,0)在圆上, 所以 ?
2 2 2 ? ?0 ? (4 ? b) ? r ,

? ?10 ? (0 ? b) ? r .
2 2 2
2

解得 ?

?b ? ?10.5,
2 2 ?r ? 14.5 ,
2 2

所以这个圆的方程是 x +(y+10.5) =14.5 . 2 2 2 设点 P2(-2,y0),由题意 y0>0,代入圆方程得(-2) +(y0+10.5) =14.5 , 解得 y0= 14.5 ? 2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m).
2 2

答:支柱 A2P2 的长度约为 3.86 m. 例 2 求与圆 x +y -2x=0 外切,且与直线 x+ 3 y=0 相切于点(3,- 3 )的圆的方程.
2 2

活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法, 把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组 ,求出参数,得到所求的圆的方 程. 2 2 2 2 2 解:设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =r .圆 x +y -2x=0 的圆心为(1,0),半径为 1.因为两圆外切,所以圆心距
2 2 等于两圆半径之和,即 ( a ? 1) ? (b ? 0) =r+1,①

4

?b ? 3 1 ? (? ) ? ?1, ? 3 ? a ?3 由圆与直线 x+ 3 y=0 相切于点(3,- 3 ),得 ? ? | a ? 3b | ? r. ? 1 ? ( 3) 2 ?
解得 a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-4 3 ,r=6. 故所求圆的方程为(x-4) +y =4 或 x +(y+4 3 ) =36.
2 2 2 2

(2) (3)

点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离 (或易于求出 ),可用圆的标准方程 来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径. 变式训练 一圆过原点 O 和点 P(1,3),圆心在直线 y=x+2 上,求此圆的方程. 解法一:因为圆心在直线 y=x+2 上,所以设圆心坐标为(a,a+2). 2 2 2 则圆的方程为(x-a) +(y-a-2) =r . 因为点 O(0,0)和 P(1,3)在圆上,

1 ? a?? , ? ? ? ?(0 ? a) ? (0 ? a ? 2) ? r , 4 所以 ? 解得 ? 2 2 2 ? ?r 2 ? 25 . ?(1 ? a) ? (3 ? a ? 2) ? r , ? 8 ?
2 2 2

所以所求的圆的方程为(x+

1 2 7 2 25 ) +(y- ) = . 4 4 8 1 3 , ), 2 2

解法二:由题意:圆的弦 OP 的斜率为 3,中点坐标为( 所以弦 OP 的垂直平分线方程为 y-

3 1 1 =- (x- ),即 x+3y-5=0. 2 3 2

因为圆心在直线 y=x+2 上,且圆心在弦 OP 的垂直平分线上,

1 ? x?? , ? ? y ? x ? 2, 1 7 ? 4 所以由 ? 解得 ? ,即圆心坐标为 C(- , ). 4 4 ? x ? 3 y ? 5 ? 0, ?y ? 7 , ? 4 ?
又因为圆的半径 r=|OC|= (? ) ? ( ) ?
2 2

1 4

7 4

25 , 8

所以所求的圆的方程为(x+

1 2 7 2 25 ) +(y- ) = . 4 4 8

点评:(1)圆的标准方程中有 a、b、r 三个量,要求圆的标准方程即要求 a、b、r 三个量,有时可用待定系数 法. (2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用. 例 3 求下列圆的方程: (1)圆心在直线 y=-2x 上且与直线 y=1-x 相切于点(2,-1).

5

(2)圆心在点(2,-1),且截直线 y=x-1 所得弦长为 22. 解 :(1) 设 圆 心 坐 标 为 (a,-2a), 由 题 意 知 圆 与 直 线

y=1-x

相 切 于 点 (2,-1), 所 以

| a ? 2a ? 1 | 1 ?1
2 2

? (a ? 2) 2 ? (?2a ? 1) 2 , 解 得 a=1. 所 以 所 求 圆 心 坐 标 为 (1,-2), 半 径
2 2

2 2 r= (1 ? 2) ? ( ?2 ? 1) = 2 .所以所求圆的标准方程为(x-1) +(y+2) =2.

(2)设圆的方程为(x-2) +(y+1) =r (r>0),由题意知圆心到直线 y=x-1 的距离为 d=

2

2

2

| 2 ?1?1| 12 ? 12

= 2 .又直线

y=x-1 被圆截得弦长为 2 2 ,所以由弦长公式得 r -d =2,即 r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2) +(y+1) =4.
2 2 2 2

点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关 ,故都利用了圆的标准方程求解 ,此外平面几何的性质 的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用 ,从确定圆的圆心和半径 入手来解决. 知能训练 课本本节练习 1、2. 拓展提升 1.求圆心在直线 y=2x 上且与两直线 3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 都相切的圆的方程. 活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法. 解:首先两平行线的距离 d=

C1 ? C 2 A ?B
2 2

=2,所以半径为 r=

d =1. 2

方法一:设与两直线 3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 的距离相等的直线方程为 3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式 d=

| C1 ? C 2 | A2 ? B 2

,得

|k ?7| 32 ? 4 2

?

| k ?3| 4 2 ? 32

,即 k=-2,所以直线方程为 3x+4y-2=0.解 3x+4y-2=0 与 y=2x 组成

2 ? x? , ? ?3x ? 4 y ? 2 ? 0, ? 2 4 11 的方程组 ? 得? , 因此圆心坐标为 ( , ). 又半径为 r=1,所以所求圆的方程为 11 11 ? y ? 2 x, ?y ? 4 , ? 11 ?
(x-

2 2 4 2 ) +(y- ) =1. 11 11

14 ? 6 ? y ? , ?y ? ? , ?3 x ? 4 y ? 7 ? 0, ?3 x ? 4 y ? 3 ? 0, ? ? 11 ? 11 与? 得? 和? 方法二:解方程组 ? 因此圆心坐标为 7 3 ? y ? 2 x, ? y ? 2 x, ?x ? ?x ? ? . ? 11 ? 11 ? ?
(

2 4 2 2 4 2 , ).又半径 r=1,所以所求圆的方程为(x- ) +(y- ) =1. 11 11 11 11

点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理. 课堂小结 ①圆的标准方程.

6

②点与圆的位置关系的判断方法. ③根据已知条件求圆的标准方程的方法. ④利用圆的平面几何的知识构建方程. ⑤直径端点是 A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 作业 1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容. 2.预习有关圆的切线方程的求法. 3.课本习题 4.1 A 组第 2、3 题. 设计感想 圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此我布设了由浅入深的学习 环境,先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数 法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题 ,并通过圆的方程在 实际问题中的应用 ,增强学生应用数学的意识 .另外,为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到 一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力 .在问题的设计中 ,我用一题多解的探究 ,纵向挖掘知识深度,横 向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大 ,随时对所学知识和方法产生 有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成. 本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生 在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入 ,充分体现以教师为主导,以学生为主体的 指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问 题的同时锻炼了思维,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心,高效地完成本节的学习任务.

7


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