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安徽省马鞍山市2013年高中毕业班第三次教学质量检测数学(文)试题


马鞍山市 2013 届高三第三次教学质量检测 文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴 的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2

B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图 .... 题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出, 确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示 ... 的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效. ............. .... ........ 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用 2B 铅笔涂黑. (1)已知集合 U ? Z , S ? {1, 2,3, 4,5}, T ? {1,3,5, 7,9} ,则图中阴影部分表示的集合是( ▲ ) A. {1,3,5} B. {1, 2,3, 4,5} C. {7,9} D. {2, 4} 【答案】D 【命题意图】本题考查集合运算,venn 图.简单题. 第 1 题图
y

(2)若 i 为虚数单位,图中复平面内的点 Z 表示复数 z , z 为复数 z 的共轭复 数, 则表示复数 A. 点 E C. 点 G
2z 的点是( ▲ ) 1? i
–3 E

G

3 2 1 Z

–2 –1 –1 –2 H –3

1

2

3 x F

B. 点 F D. 点 H

2z 2(1 ? 2i )(1 ? i) ? ? ?1 ? 3i . 【答案】D. z ? 1 ? 2i, 1? i 2

第 2 题图

【命题意图】本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算.简单题. (3)在等比数列 ?an ? 中,若 a2 ? a3 ? 4, a4 ? a5 ? 16, 则 a8 ? a9 ? ( ▲ ) A. 128 B. -128 C. 256 D. -256 【答案】C. 【命题意图】本题考查等比数列的基本运算.简单题. (4) m ? ?1 ”是“直线 mx ? (2m ?1) y ?1 ? 0和直线3 x ? my ? 3 ? 0 垂直”的( ▲ ) “ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A. 【命题意图】本题考查直线的方程、充要条件等基础知识.简单题. (5)两圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 1 ? 0 和 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 的位置关系是( ▲ )
1页

A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】C. 【命题意图】本题考查平面内两圆的位置关系.简单题. (6)对于实数集 R 上的可导函数 f ( x) ,若满足 ( x2 ? 3x ? 2) f ?( x) ? 0 ,则在区间[1,2]上必有( ▲ ) A. f (1) ? f ( x) ? f (2) B. f ( x) ? f (1) C. f ( x) ? f (2) D. f ( x) ? f (1) 或 f ( x) ? f (2) 【答案】A 【命题意图】本题考查导数的应用,函数的单调性.中等题.
?x ? y ? 0 ? (7)若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 ? x ? 3 y ? 的最大值为( ▲ ) ?0 ? x ? 1 ?

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

【答案】B. 【命题意图】本题考查线性规划,考查数形结合能力.中等题. ? ? (8)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0,| ? |? )的部分图象如图所示,将 f ( x) 的图象向右平移 个 2 3 y 长度单位,所得图象对应的函数解析式为( ▲ ) π 7π A. f ( x) ? sin 2x B. f ( x) ? ? sin 2 x x 3 12 ? 2? C. f ( x) ? sin(2x ? ) D. f ( x) ? sin(2x ? ) O 3 3 -1 【答案】C 第 8 题图 【命题意图】本题考查三角函数的图象、性质、图象变换.中等题. x2 y 2 (9)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左焦点 F1 ,倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于点 P ,若线段 PF1 的中 a b 点在 y 轴上,则此双曲线的离心率为( ▲ ) A.
3 3

B.

5

C. 3

D.

3

【答案】D. 【命题意图】本题考查双曲线及其几何性质,考查运算求解能力.较难题. ???? ???? (10)如图,在 ?ABC 中, AD ? AB , BC ? 3BD , AD ? 1 ,则 AD ? AC 等于( ▲ ) A 3 3 A. 2 3 B. 3 C. D. 3 2 ???? ???? ???? ??? ??? ? ? ???? ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? 【答案】B. AD ? AC ? AD( AB ? BC) ? AD ? AB ? AD ? BC ? AD ? BC B D ???? ??? ? ???? 2 第 10 题图 ? 3 | AD | ? | BD | cos ?ADB ? 3 | AD | 【命题意图】本题考查平面向量的性质、运算的几何意义.较难题. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 题号 D D C A C A B C D 答案

C

10 B

2页

第Ⅱ 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题. (11)函数 f ( x) ?
3 ? x2 的定义域是 x ?1





【答案】 [? 3,1) ? (1, 3] 【命题意图】本题函数的概念、不等式的解法.简单题. (12) ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 c ? 2a sin C , bc ? 4 ,则 ?ABC 的面积是 ▲ 【答案】1. 【命题意图】本题考查正弦定理、三角形面积公式.简单题. (13)右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底 长分别为 2 和 4 ,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的表面积是 ▲ . 【答案】 17? . 【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、表面积的计算,考查 想象能力.简单题. (14)执行下面的程序框图,输出的 T ? ▲ .
是 开始 输出 T 正(主)视图



侧(左)视图

空间
俯视图

第(13)题图

结束

S ? 0, T ? 0, n ? 0

T ? S?
第 14 题图



S ? S ?3

n ? n?2

T ?T ?n

【答案】12 【命题意图】本题考查程序框图、阅读理解能力.中等题. ? 1 x ( ) ? 1, ( x ? 0) ? (15)已知函数 f ( x) ? ? 2 ,对于下列命题: ?? x 2 ? 2 x, ( x ? 0) ? ①函数 f ( x) 的最小值是 0; ②函数 f ( x) 在 R 上是单调递减函数; ③若 f ( x) ? 1, 则x ? ?1 ; ④若函数 y ? f ( x) ? a 有三个零点,则 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 ; ⑤函数 y ? f ( x) 关于直线 x ? 1 对称. 其中正确命题的序号是___▲___. (填上你认为所有正确命题的序号) . 【答案】③④ 【命题意图】本题考查分段函数的性质,考查理解能力和数形结合能力.较难题. 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. (16) (本题满分 12 分) ? 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin 2 x , x ? R . 3 (Ⅰ )求函数 f ( x) 的最小正周期及对称轴方程; ? (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值及相应的 x 值. 2 (16) 【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识.简单题.
3页

? 1 3 3 1 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 解:(Ⅰ) f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin 2 x ? cos 2 x ?
3 2 2 2 2

? sin(2 x ? ) ? 1 . 6

?

所以 f ( x) 的最小正周期为 T ?

2? ? ? k? ? ? ? . 由 2 x ? ? k? ? ,得对称轴方程为 x ? ? , k ? Z .???6 分 2 6 2 2 3

? ? ? ?? ? ? ? ? ? (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时, ? ? 2 x ? ? ,所以当 2x ? ? , x ? 时, f ( x)max ? 2 ;当 2 x ? ? ? , 即 2 6 6 6 6 2 3 6 6
即 x ? 0 时, f ( x)min ?
1 .??????????12 分 2

(17) (本题满分 12 分) 2013 年 1 月份,我国北方部分城市出现雾霾天气,形成雾霾天气主要原因与 PM 2.5 有关. PM 2.5 是指 大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可入肺颗粒物. PM 2.5 日均值越小, 空气质量越好. 2012 年 2 月 29 日,国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表:

PM 2.5 日均值 k(微克)
k ? 35

空气质量等级 一级 二级 超标 9

甲 4 2 7 1 5 3 4 6 7 8
第 17 题图

乙 1 8 5 3 6 5

35 ? k ? 75
k ? 75

某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况,在过去某月的 30 天中分别随机抽取了甲、乙两市 6 天的 PM 2.5 日均值作为样本,样本数据茎叶图如上右图所示(十位为茎,个位为叶). (Ⅰ )分别求出甲、乙两市 PM 2.5 日均值的样本平均数,并由此判断哪个市的空气质量较好; (Ⅱ )若从甲市这 6 天的样本数据中随机抽取两天的数据,求恰有一天空气质量超标的概率. (17) 【命题意图】 本题考查统计、 古典概型等基础知识, 考查学生运用数学知识解决实际问题的能力. 简单题. 解 : Ⅰ) 甲 市 抽 取 的 样 本 数 据 分 别 是 34,42,67,71, 79,85 ; 乙 市 抽 取 的 样 本 数 据 为 ( 31,48,45,65 ,73,86.
x甲 ? 34 ? 42 ? 67 ? 71 ? 79 ? 85 31 ? 48 ? 45 ? 65 ? 73 ? 86 ? 63 , x乙 ? ? 58 . 6 6

因为 x甲 ? x乙 ,所以乙市的空气质量较好. ????????6 分 (Ⅱ )由茎叶图知,甲市 6 天中有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标,记未超标的 4 天数据 为 a, b, c, d ,超标的两天数据为 m, n ,则 6 天中抽取两天的所有情况为:
ab, ac, ad , am, an, bc, bd , bm, bn, cd , cm, cn, dm, dn, mn ,基本事件总数为 15.

记“恰有一天空气质量超标”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为: am, bm, cm, dm, an, bn, cn, dn , 事件数为 8. 所以 P( A) ?
8 8 . 即恰有一天空气质量超标的概率为 .????????12 分 15 15
4页

(18) (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 5ln x ? ax 2 ? 6 x ( a 为常数) ,且 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴. (Ⅰ )求实数 a 的值; (Ⅱ )求函数 f ( x) 的单调区间. (18) 【命题意图】本题考查导数的几何意义、导数的应用、解不等式等基础知识.中等题.
5 解: )∵ f ( x) ? 5ln x ? ax 2 ? 6 x ,∴ f ?( x) ? ? 2ax ? 6( x ? 0) ;又∵ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x (Ⅰ x

轴,∴ f ?(1) ? 5 ? 2a ? 6 ? 0 ,得 a ?

1 . ??????????????????????5 分 2

1 x2 ? 6x ? 5 ( x ? 1)( x ? 5) (Ⅱ )由(Ⅰ )知 f ( x) ? 5ln x ? x2 ? 6 x ,∴ f ?( x) ? ? ( x ? 0) ;???8 分 2 x x 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,或 x ? 5 ;由 f ?( x) ? 0 , 1 ? x ? 5 .??????????????????10 分

∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (5,+ ∞ ),单调递减区间为 (1 , 5 ).????12 分 (19) (本题满分 13 分) 如图,已知四边形 ABCD 为梯形, AB ∥CD , ?ADC ? 60° ,四边形 ABEF 为矩形,且平面 ABEF ? 平 面 ABCD , AD ? DC ? AF ?
1 AB ? 2 ,点 G 为 AE 的中点. 2
F G A B D C 第 19 题图 E

(Ⅰ )求证: CG ∥ 平面 ADF ; (Ⅱ )求证:平面 ACF ? 平面 BCE ; (Ⅲ )求三棱锥 F ? ACG 的体积.

(19) 【命题意图】本题考查线面位置关系的证明、多面体体积的计算,考查空间想象能力.中等题. 解: (Ⅰ)取 AF 中点 H ,连 DH , GH .∵ G 为对角线 AE 的
F E

1 中点,∴ GH ∥ EF ,且 GH ? EF ,∴四边形 CDHG 为平行四边 2

H A D C M

G

形, CG ∥ DH . 即 又∵ CG ? 平面 ADF ,DH ? 平面 ADF , CG ∴ ∥平面 ADF .?????????????4 分
B

(Ⅱ) ∵四边形 ABEF 为矩形, 且平面 ABEF ? 平面 ABCD , ∴ FA ? 平面 ABCD ,∴ FA ? BC ;∵四边形 ABCD 为梯形, AB ∥CD ,且 ?ADC ? 60°,∴ ?DAB =120°.又 在 ?ADC 中, ?ADC ? 60°,且 AD ? DC ? 2 ,∴ AC=2 , ?DAC =60°,∴ ?CAB =60°.于是在 ?ABC 中,由
? 得 ∴ ∴C ? AB AC=2 , ? 4 , CAB =60°及余弦定理, BC ? 2 3 . AC 2 ? BC 2 ? AB 2 , A B C 又∵ BC ? 平面 BCE ,∴平面 ACF ? 平面 BCE .????????9 分

. BC ? 平面 ACF , ∴

(Ⅲ)作 CM ? AB ,垂足为 M ,由平面 ABEF ? 平面 ABCD 得 CM ? 平面 ABEF .易求得 CM ? 3 , 所以三棱锥 F ? ACG 的体积 VF ? ACG ? VC ? AFG ? S?AFG ? CM ? ? S ABEF ? CM ? (20) (本题满分 13 分)
5页

1 3

1 1 3 4

1 2 3 ?8? 3 ? .??13 分 12 3

已知等差数列 {an } 和公比为 q (q ? 1) 的等比数列 {bn } 满足: a1 ? b1 ? 1 , a2 ? b2 , a5 ? b3 . (Ⅰ )求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ )若数列 {an bn } 的前 n 项和为 S n ,且对任意 n ? N * 均有 ? ?an?1bn?1 ? 2(Sn ?1)? ? n2 ? n 成立,试求实数

? 的取值范围. (20) 【命题意图】 本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、 数列求和等基础知识和基本方法, 考查运算求解能力、推理论证能力.中等题.
解:(Ⅰ)设等差数列的公差为 d ,根据题意,得 ?
?1 ? d ? q
2 ?1 ? 4d ? q

,解得 d ? 0, q ? 1 (舍去) ,或 d ? 2, q ? 3 ,

所以数列 {an } , {bn } 的通项公式分别为: an ? 2n ? 1 , bn ? 3n ?1 .????????????5 分 (Ⅱ) Sn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn ? 1?1 ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? (2n ? 1)3n ?1 所以 3Sn ? 1? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 3)3n ?1 ? (2n ? 1)3n ②
3(1 ? 3n?1 ) ? (2n ?1)3n ? (2 ? 2n)3n ? 2 , 1? 3



①-②,得 ?2Sn ? 1 ? 2(3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n?1 ) ? (2n ?1)3n ? 1 ? 2 ? ∴

Sn ? (n ? 1 )n3 ;????????????????????????????9 分 ? 1

所以 ? ?(2n ? 1)3n ? (2n ? 2)3n ? ? n2 ? n ,化简并整理,得 ? ? ? ? 令 cn ?

n2 ? n .???????????10 分 3n ?1

n2 ? n (n ? 1)2 ? (n ? 1) n2 ? n (n2 ? 3n ? 2) ? (3n2 ? 3n) 2 ? 2n2 ,则 cn?1 ? cn ? ? n?1 ? ? n? 2 . 3n?1 3n? 2 3 3n? 2 3
2 2 ,故 ? ? .????13 分 9 9

∵ n ? N * ,∴ 2 ? 2n2 ? 0 ,∴对 ?n ? N * , cn ?1 ? cn ,∴ (cn )max ? c1 ?

(21) (本题满分 13 分) 1 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , F (1,0) 为其右焦点,离心率为 . 2 a b (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; 1 m (Ⅱ) 若 点 E ( 0 , , 问 是 否 存 在 直 线 l : y? k?x , 使 l 与 椭 圆 C 交 于 M , N 两 点 , 且 ) ???? ???? ???? ????2 ? ? ( EM ? EN ) ? ( EM ? EN ) ? 0 .若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,请说明理由. (21) 【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识,考查运算求解能力以及分析问题、解决问题 的能力.较难题. 解: (Ⅰ)由题意知: c ? 1 ,∵离心率 e ? 为
c 1 ? ,∴ a ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,故所求椭圆 C 的标准方程 a 2

x2 y 2 ? ? 1 . ??????????????????????????????4 分 4 3 (Ⅱ)假设存在这样的直线 l : y ? kx ? m 满足题意,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , MN 的中点为 G( x0 , y0 ) . ???? ???? ???? ???? ? ? ????? ???? ? 因为 ( EM ? EN ) ? ( EM ? EN ) ? 0 ,所以 ? EM ??? EN ? ,所以 MN ? EG .??????????5 分

6页

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 ,得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 .根据题意, ? ? 64k 2 m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,得 ? ?1 ? ?4 3
4k 2 ? 3 ? m 2 .且 x1 ? x2 ? ?

x ?x 8km 4km 3m ,所以 x0 ? 1 2 ? ? , y0 ? kx0 ? m ? .???8 分 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ???? ???? ? 1 ∵ MN ? EG ,∴ MN ? EG ? 0 ,即 ( x2 ? x1 ) ? x0 ? ( y2 ? y1 ) ? ( y0 ? ) ? 0 , 2 y ?y 1 1 4km 3m 1 ∴ x0 ? 2 1 ? ( y0 ? ) ? x0 ? k ? ( y0 ? ) ? 0 ,∴ ? ? k ?( ? ) ? 0. x2 ? x1 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2
1 解得 k ? 0 ,或 m ? ? (3 ? 4k 2 ) .????????????????????????10 分 2 1 当 k ? 0 时, l : y ? m ( ? 3 ? m ? 3 ) ,显然符合题意;当 m ? ? (3 ? 4k 2 ) 时,代入 4k 2 ? 3 ? m 2 ,得 2

1 1 1 3 ? 4k 2 ? (3 ? 4k 2 )2 ,解得 ? ? k ? . 4 2 2 1 1 综上所述,存在这样的直线 l ,其斜率 k 的取值范围是 (? , ) .??????????13 分 2 2

7页


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