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2013高考数学(理)一轮复习教案:第八篇


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2013 年高考预测

空间几何体的表面积与体积

考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与 球的接切问题相结合,难度有所增大. 【复习指导】 本讲复习时,熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式,运用这些公式解决一些简 单的问题. 基础梳理 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 面 圆

柱 积 体 积

S 侧=2πrh

V=Sh=πr2h 1 1 1 V=3Sh=3πr2h=3 πr2 l2-r2

圆锥

S 侧=πrl

圆台

S 侧=π(r1+r2)l S 侧=Ch 1 S 侧=2Ch′ 1 S 侧=2(C+C′)h′ S 球面=4πR2

1 1 V=3(S 上+S 下+ S上S下)h=3 π(r2+r2+r1r2)h 1 2

直棱柱 正棱锥 正棱台 球 2.几何体的表面积

V=Sh 1 V=3Sh 1 V=3(S 上+S 下+ S上S下)h 4 V=3πR3

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积与 底面面积之和. 考向一 几何体的表面积

【例 1】?(2011· 安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ).

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A.48 C.48+8 17 答案 C

B.32+8 17 D.80

以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分 析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系. 【训练 1】 若一

个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于( A. 3 C.2 3 考向二 B.2 D.6 几何体的体积

).

【例 2】?(2011· 广东)如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视 图都是矩形,则该几何体的体积为( ).

A.18 3 答案 C

B.12 3

C.9 3

D.6 3

以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根 据三视图想象原几何体的形状构成, 并从三视图中发现几何体中 各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解. 【训练 2】 (2012· 东莞模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于(
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).

28 A. 3 π 4 C.3π+8 解析

16 B. 3 π D.12 π

由三视图可知,该几何体是底面半径为 2,高为 2 的圆柱和半径为 1 的球的组合体,

4 28 则该几何体的体积为 π×22×2+3π= 3 π. 答案 A 考向三 几何体的展开与折叠

【例 3】?(2012· 广州模拟)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB,AB=4, AD=CD=2,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 DABC,如图 2 所 示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 DABC 的体积. [审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理,证明 BC 垂直于平面 ACD 内的两条相交线即可;(2) 利用体积公式及等体积法证明. (1)证明 在图中,可得 AC=BC=2 2,

从而 AC2+BC2=AB2,故 AC⊥BC, 取 AC 的中点 O,连接 DO, 则 DO⊥AC,又平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC,DO?平面 ADC,从而 DO⊥平面 ABC,∴DO⊥BC, 又 AC⊥BC,AC∩DO=O,∴BC⊥平面 ACD. (2)解 由(1)可知,BC 为三棱锥 BACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2,∴VBACD=

1 1 4 2 S△ACD· BC= ×2×2 2= , 3 3 3
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4 2 由等体积性可知,几何体 DABC 的体积为 3 . (1)有关折叠问题,一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图 形)各元素间的位置和数量关系,哪些变,哪些不变. (2)研究几何体表面上两点的最短距离问题,常选择恰当的母线或棱展开,转化为平面上两点 间的最短距离问题. 难点——空间几何体的表面积和体积的求解 空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点,解决这类问题,首先要熟练掌握各 类空间几何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握一定的技巧,如把不规则几何体分割成 几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体 作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等,这是化解空间几何体面积和体积计算 难点的关键. 【示例 1】? (2010· 安徽)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为 ( ).

A.280 B.292 C.360 D.372

【示例 2】 (2011· ? 全国新课标)已知两个圆锥有公共底面, 且两圆锥的顶点和底面的圆周都在 同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与 16

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体积较大者的高的比值为________.

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