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2016精选经典数学题


2016 届高三精选经典错题集 (提供教师:黄长新)

001

(1) 将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两

两没有公共元素的三个集合 A,B,C,其中 A={a1,a2,?,an}, B={b1,b2,?,bn},C={c1,c2,?,cn},若 A,B,C 中的元素 满足条件:c1<c2&

lt;?<cn,ak+bk=ck(k=1,2,3,?,n),则称 M 为“完 并集合”. (1)若 M={1,x,3,4,5,6}为“完并集合”,则 x 的一个可能值为 ________.(写出一个即可) (2)对于“完并集合”M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} ,在所有符 合条件的集合 C 中,其元素乘积最小的集合是________. 002 已 知 平 面 区 域 M = {(x , y)|x2 + y2≤4} , N = (x ,

? ?y≥mx+2m, y)|? 2 2 ,在区域 M 上 随机取一点 A,点 A 落在区域 N ?x +y ≤4 ? ?1 3π+2? ?, 内的概率为 P(N), 若 P(N)∈? , 则实数 m 的取值范围为( 4π ? ?2

)

A.[0,1] C.[-1,1]
? ?

B.?-
?

?

3 ? ? 3 ,0?

D.[-1,0]
? ? ?

? ? 1? ? ? 003 设平面点集 A=??x,y???y-x??y-x ?≥0 ?,B={(x,y)|(x-

1)2+(y-1)2≤1},则 A∩B 所表示的平面图形的面积为( 3 A.4π 4 C.7π 3 B.5π π D.2

)

004 设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

)

?1? 005 已知 f(x)=ln(x2+1),g(x)=?2?x-m,若对任意 x1∈[0,3],存 ? ?

在 x2∈[1,2],使得 f(x1)≥g(x2),则实数 m 的取值范围是(
?1 ? A.?4,+∞? ? ? ?1 ? C.?2,+∞? ? ?

)

1? ? B.?-∞,4?
? ? ?

1? ? D.?-∞,-2?
?

006 如图所示的程序框图中,若 f(x)=x2-x+1,g(x)=x+4,且 h(x)≥m 恒成立,则 m 的最大值是( )

( A.4 C.1

) B.3 D.0

007 方程 x2+ax-2=0 在区间[1,5]上有解, 则实数 a 的取值范围

为(
?

)
? 23 ? A.?- 5 ,+∞? ? ? 23 ? C.?- 5 ,1? ? ?

B.(1,+∞) 23? ? D.?-∞,- 5 ?
? ?

008 设 f(x)=|3x-1|,c<b<a,且 f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中 一定成立的是( A.3c>3a C.3c+3a>2 ) B.3c>3b D.3c+3a<2

009 已知函数 y=f(x)(x∈R).对函数 y=g(x)(x∈I),定义 g(x)关 于 f(x)的“对称函数”为函数 y=h(x)(x∈I).y=h(x)满足:对任意 x ∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若 h(x)是 g(x) = 4-x2关于 f(x)=3x+b 的“对称函数”,且 h(x)>g(x)恒成立,则 实数 b 的取值范围是________. 010 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈[-1,1] x,x>0, ?lg 0,x=0, 时,f(x)=1-x ,函数 g(x)=? 1 - ? x,x<0,
2

则函数 h(x)=f(x)-g(x)

在区间[-5,5]内的零点个数是( A.5 C.8

) B.7 D.10 )

lnx ?lnx?2 lnx2 011 设 1<x<2,则 x ,? x ? , x2 的大小关系是( ? ?
?lnx? lnx lnx A.? x ?2< x < x2 ? ?
2

lnx ?lnx?2 lnx2 B. x <? x ? < x2 ? ?

?lnx? lnx lnx C.? x ?2< x2 < x ? ?

2

lnx2 ?lnx?2 lnx D. x2 <? x ? < x ? ? 012 已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A,曲 线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞) 时,恒有 x2<cex. π? ? π 013 函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后是奇函数, 则
? ?

π? ? 函数 f(x)在?0,2?上的最小值为(
? ?

) 1 B.-2 3 D. 2

3 A.- 2 1 C.2

014 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c. →· → =2,cosB=1,b=3.求: 已知BA BC 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. 015 设 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解,有如下 四个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ,使 a=λb+μc; ③给定单位向量 b 和正数 μ,总存在单位向量 c 和实数 λ,使 a

=λb+μc; ④给定正数 λ 和 μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λb +μc. 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真 命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

→ =(1,-2),OB → =(a,-1),OC → =(-b,0),a>0,b>0, 016 设OA 1 2 O 为坐标原点, 若 A, B, C 三点共线, 则a+b的最小值为________. 017 设 θ 为两个非零向量 a,b 的夹角.已知对任意实数 t,|b+ ta|的最小值为 1.( )

A.若 θ 确定,则|a|唯一确定 B.若 θ 确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则 θ 唯一确定 D.若|b|确定,则 θ 唯一确定 nπ? ? nπ 018 已知数列{an}满足 a1=1, a2=2, an+2=?1+cos2 2 ?an+sin2 2 ,
? ?

则该数列的前 18 项之和为( A.2 101 C.1 012

) B.1 067 D.2 012

019 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n,数列{bn}满足 b1=-1, bn+1=bn+(2n-1)(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求数列{bn}的通项公式 bn;

an· bn (3)若 cn= n ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 1 1 k 020 设 a>0,b>0,且不等式a+b+ ≥0 恒成立,则实数 k a+b 的最小值等于( A.0 C.-4 ) B.4 D.-2 x≥0, ? ? 是由不等式组?y≥0, ? ?x+y≥1

021 在平面直角坐标系中,点 P

所确

定的平面区域内的动点,Q 是直线 2x+y=0 上任意一点,O 为坐标 → +OQ → |的最小值为( 原点,则|OP 5 A. 5 ) 2 B. 3

022 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三 角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 n?n+1? 1 2 1 2 =2n +2n.记第 n 个

k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表 达式: 1 1 三角形数 N(n,3)=2n2+2n, 正方形数 N(n,4)=n2, 3 1 五边形数 N(n,5)=2n2-2n, 六边形数 N(n,6)=2n2-n, ? 推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)的值________.

2 C. 2 023

D.1

有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字 母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种 不同的取法
某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为

024

x2 y2 1 025 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率 e=2,点 A 为椭圆上 一点,∠F1AF2=60° ,且 S△F1AF2= 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l:kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P,且与直 线 x=4 相交于点 Q.问:在 x 轴上是否存在定点 M,使得以 PQ 为直 径的圆恒过定点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理 由. x2 y2 026 已知椭圆 C: 9 + 4 =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN| =________. y2 027 已知双曲线 x - 3 =1 上存在两点 M, N 关于直线 y=x+m 对称,
2

且 MN 的中点在抛物线 y2=18x 上,则实数 m 的值为________. 028 已知某组合体的主视图与左视图相同, 如图所示, 其中 AB=AC, 四边形 BCDE 为矩形,则该组合体的俯视图可以是________(把你认 为正确的图的序号都填上).

029 平面图形 ABB1A1C1C 如图 1 所示, 其中 BB1C1C 是矩形. BC=2, BB1=4,AB=AC= 2,A1B1=A1C1= 5.现将该平面图形分别沿 BC 和 B1C1 折叠, 使△ABC 与△A1B1C1 所在平面都与平面 BB1C1C 垂直, 再分别连接 A1A,A1B,A1C,得到如图 2 所示的空间图形,对此空间 图形解答下列问题.

(1)求证:AA1⊥BC; (2)求 AA1 的长; (3)求二面角 A-BC-A1 的余弦值. 030 乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相 交的区域 A,B,乙被划分为两个不相交的区域 C,D.某次测试要求 队员接到落点在甲上的来球后向乙回球,规定:回球一次,落点在 C

上记 3 分, 在 D 上记 1 分, 其他情况记 0 分, 对落点在 A 上的来球, 1 1 队员小明回球的落点在 C 上的概率为2,在 D 上的概率为3;对落点 1 在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为5,在 D 上的概率 3 为5,假设共有两次来球且落在 A,B 上各一次,小明的两次回球互 不影响,求:

031(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和 ξ 的分布列与数学期望. .

032 为了求满足 1+2+3+?+n<2 014 的最大的自然数 n, 程序框图 如图所示,则输出框中应填:输出( )

A.i-2 C.i

B.i-1 D.i+1

?x=4cosθ, ? 033 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? (θ ? ?y=4sinθ,

π 为参数),直线 l 经过点 P(2,2),倾斜角 α=3. (1)写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求|PA|· |PB|的值. 034 已知函数 f(x)=m-|x-2|, m∈R, 且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (1)求 m 的值; 1 1 1 (2)若 a,b,c∈R+,且a+2b+3c=m,求证:a+2b+3c≥9. 035 对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+b2-c=0 且使|2a 1 2 4 +b|最大时,a+b+c的最小值为________. 036 如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F.

(1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

参考答案
001【解析】(1)M={1,x,3,4,5,6}共有 6 个元素,所以 3 个集合 A,B,C 中各有 2 个元素,因为 ak+bk=ck,所以集合 C 中必含有 6 个元素中最大的一个.当 x<6 时,由集合元素的互异性可知 x=2, 此时不能满足 ak+bk=ck,故舍去.当 x>6 时,C={6,x},当 1+5 =6 时,3+4=x,此时 x=7.当 C=(5,x)时,1+4=5,3+6=x,此 时 x=9.当 C={4,x}时,1+3=4,5+6=x,此时 x=11.当集合 C 中 另一个元素小于等于 3 时,已不能满足 ak+bk=ck,故舍去.所以 x 的可能取值为 7,9,11. (2)M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}共含有 12 个元素,所以集合 C 中含有 4 个元素.其中包含最大的元素 12.集合 C 的所有可能有 {8,9,10,12},{7,9,11,12},{6,10,11,12}.经计算可知元素乘积最小的 集合是{6,10,11,12}. 【答案】 (1)7(9 或 11)(写出一个即可) (2){6,10,11,12}

002【解析】 平面区域 M={(x,y)|x2+y2≤4}的面积为 4π,设
? ?y≥mx+2m, 3π+2 1 平面区域 N=(x, y)|? 2 2 的面积为 S, 因为2≤P(N)≤ 4π , ?x +y ≤4 ?

1 S 3π+2 所以2≤4π≤ 4π , 2π≤S≤3π+2, 直线=mx+2m 过定点(-2, 0), 斜率为 m,数形结合可知,当 m=0 时,平面区域 N 的面积为 2π; 当 m=-1 时,平面区域 N 的面积为 3π+2.所以实数 m 的取值范围 为[-1,0].故选 D. 【答案】 D

003 解 析

? 1? ? 不 等 式 (y - x) ?y- x? ≥0 可 化 为 ? 1 ? ? y- ≥0 ? ?
x

?y-x≥0,


?y-x≤0, ? 1 ?y-x≤0.

集合 B 表示圆(x-1)2+(y-1)2=1 上以及圆内部的点所

1 构成的集合,A∩B 所表示的平面区域如图所示.由线 y=x,圆(x- 1)2+(y-1)2=1 均关于直线 y=x 对称,所以阴影部分占圆面积的一 半,故选 D.

答案

D
2 ? ?x ,x≥0, 令 f(x)=x|x|,则 f(x)=? 2 画出 f(x)的图像 ?-x ,x<0, ?

004 解析

(如图), 易知 f(x)在 R 上为单调递增函数, 因此 a>b?f(a)>f(b), 故“a>b”

是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选 C.

005 解析 当 x∈[0,3]时, [f(x)]min=f(0)=0.当 x∈[1,2]时, [g(x)]min 1 1 1 =g(2)=4-m,由[f(x)]min≥[g(x)]min,得 0≥4-m,所以 m≥4.故选 A. 答案 A 依题意,执行题中的程序框图,最后输出 h(x) =

006 解析

max{f(x), g(x)}(符号 max{f(x), g(x)}表示的是 f(x), g(x)中的较大者). 注 意到当 f(x)≥g(x),即 x2-x+1≥x+4,x≤-1 或 x≥3 时,h(x)=x2 1? 3 ? -x+1=?x-2?2+4的最小值是 h(-1)=3;当 f(x)<g(x),即 x2-x+
? ?

1<x+4,-1<x<3 时,h(x)=x+4∈(3,7).因此,h(x)的最小值是 3, 因此 m 的最大值是 3,选 B. 答案 B 令 f(x)=x2+ax-2,

007 解析

由题意,知 f(x)图像与 x 轴在[1,5]上有交点,
?f?1?≤0, ? 23 则? 解得- 5 ≤a≤1. ? ?f?5?≥0.

答案

C

008 解析

画出 f(x)=|3x-1|的图像如图所示.

要使 c<b<a,且 f(c)>f(a)>f(b)成立, 则有 c<0,且 a>0. 由 y=3x 的图像可得 0<3c<1<3a. ∵f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,f(c)>f(a), ∴1-3c>3a-1,即 3c+3a<2. 答案 D h?x?+ 4-x2 由已知得 =3x+b, 2

009 解析

所以,h(x)=6x+2b- 4-x2. h(x)>g(x)恒成立,

即 6x+2b- 4-x2> 4-x2恒成立, 整理得 3x+b> 4-x2恒成立. 在同一坐标系内,画出直线 y=3x+b 及半圆 y= 4-x2(如图所 |3×0-0+b| 示),当直线与半圆相切时, =2, 1+32 所以|b|=2 10.故 b 的取值范围是(2 10,+∞).

答案

(2 10,+∞) 依题意得,函数 f(x)是以 2 为周期的函数,在同一坐

010 解析

标系下画出函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图像, 结合图像得, 当 x∈[- 5,5]时,它们的图像的公共点共有 8 个,即函数 h(x)=f(x)-g(x)在区 间[-5,5]内的零点个数是 8.

答案

C 1 x-1 令 f(x)=x-lnx(1<x<2),则 f′(x)=1-x= x >0,

011 解析

∴函数 y=f(x)在(1,2)内为增函数.
?lnx? lnx lnx ∴f(x)>f(1)=1>0,∴x>lnx>0?0< x <1.∴? x ?2< x . ? ?

lnx2 lnx 2lnx-xlnx ?2-x?lnx 又 x2 - x = = >0, x2 x2
?lnx? lnx lnx ∴? x ?2< x < x2 ,选 A. ? ?
2

答案 012 解

A 法一 (1)由 f(x)=ex-ax,得 f′(x)=ex-a.

又 f′(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2. 令 f′(x)=0,得 x=ln2. 当 x<ln2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln2 时,f(x)取得极小值,

且极小值为 f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值. (2)令 g(x)=ex-x2,则 g′(x)=ex-2x. 由(1)得 g′(x)=f(x)≥f(ln2)>0, 故 g(x)在 R 上单调递增,又 g(0)=1>0, 因此,当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex. (3)①若 c≥1 时,ex≤cex. 又由(2)知,当 x>0 时,x2<ex.所以当 x>0 时,x2<cex. 取 x0=0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. 1 ②若 0<c<1,令 k=c>1,要使不等式 x2<cex 成立,只要 ex>kx2 成立. 而要使 ex>kx2 成立,则只要 x>ln(kx2),只要 x>2lnx+lnk 成立. 2 x-2 令 h(x)=x-2lnx-lnk,则 h′(x)=1-x= x . 所以当 x>2 时,h′(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增. 取 x0=16k>16,所以 h(x)在(x0,+∞)内单调递增, 又 h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k, 易知 k>lnk,k>ln2,5k>0,所以 h(x0)>0. 16 即存在 x0= c ,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. 综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒 有 x2<cex. 法二 (1)同法一.

(2)同法一. (3)对任意给定的正数 c,取 x0= 由(2)知,当 x>0 时,ex>x2, 4 , c

x x ? x?2? x?2 所以 ex=e2· e2>?2? ?2? ,
? ?? ? ? x? ? x? 4? x ? 1 当 x>x0 时,ex>?2?2?2?2>c?2?2=cx2, ? ?? ? ? ?

因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒 有 x2<cex. 法三 (1)同法一.

(2)同法一. 1 (3)首先证明当 x∈(0,+∞)时,恒有3x3<ex. 证明如下: 1 令 h(x)=3x3-ex,则 h′(x)=x2-ex. 由(2)知,当 x>0 时,x2<ex, 从而 h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)单调递减, 1 所以 h(x)<h(0)=-1<0,即3x3<ex. 3 1 1 取 x0=c,当 x>x0 时,有cx2<3x3<ex. 因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒 有 x2<cex. π? ? π 函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后得到
? ? ? ? ? ? ?

013 解析

π? ? 的函数为 f?x+6?
?

π? π ? ? ? ? ? =sin?2?x+6?+φ?=sin?2x+3+φ?,
? ?

π 因为此时函数为奇函数,所以3+φ=kπ(k∈Z),

π 所以 φ=-3+kπ(k∈Z). π π 因为|φ|<2,所以当 k=0 时,φ=-3, π? ? π π π 2π 所以 f(x)=sin?2x-3?.当 0≤x≤2时,-3≤2x-3≤ 3 ,即当 2x
? ?

π? ? ? π? π π 3 -3=-3时,函数 f(x)=sin?2x-3?有最小值为 sin?-3?=- 2 . ? ? ? ? 答案 014 解 A →· → =2,得 c· (1)由BA BC acosB=2.

1 又 cosB=3,所以 ac=6. 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accosB. 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13.
? ?ac=6, 解? 2 2 得 a=2,c=3 或 a=3,c=2. ? ?a +c =13,

因 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中, sinB= 1-cos2B=
?1? 2 2 1-?3?2= 3 , ? ?

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sinC=bsinB=3× 3 = 9 . 因 a=b>c,所以 C 为锐角, 因此 cosC= 1-sin2C=
?4 2?2 7 ?= . 1-? 9 ? 9 ?

于是 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC 1 7 2 2 4 2 23 =3×9+ 3 × 9 =27. 015 解析 对于①,因为 a 与 b 给定,所以 a-b 一定存在,可

表示为 c,即 c=a-b,故 a=b+c 成立,①正确;对于②,因为 b 与 c 不共线,由平面向量基本定理可知②正确;对于③,由题意必有 λb 和 μc 表示不共线且长度不定的向量,由于 μ 为正数,故 λb+μc 不能把任意向量 a 表示出来,故③错误;对于④,利用向量加法的 三角形法则,结合三角形两边之和大于第三边,即必有 |λb|+|μc|=λ +μ≥|a|,故④错误,因此正确的个数为 2. 答案 B

→ =OB → -OA → =(a-1,1), 016 解析 AB → =OC → -OA → =(-b-1,2).∵A,B,C 三点共线, AC → ∥AC →. ∴AB ∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1. 1 2 ?1 2? ∴a+b=?a+b?(2a+b)
? ?

b 4a =4+a+ b ≥4+2

b 4a a·b =8.

b 4a 1 1 当且仅当a= b ,即 b=2,a=4时取等号. 1 2 ∴a+b的最小值是 8. 答案 8 |b+ta|2=(b+ta)2=|b|2+|a|2t2+2a· bt,

017 解析

令 f(t)=|a|2t2+2a· bt+|b|2, 由于 |b + ta| 的最小值为 1 ,所以函数 f(t) 的最小值也为 1 ,即 4|a|2|b|2-4?a· b?2 =1. 4|a|2 又 a,b 均为非零向量,且夹角为 θ,

1 因此|b|2-|b|2cos2θ=1,于是|b|2= , 1-cos2θ 因此当 θ 确定时,|b|2 的值唯一确定,亦即|b|唯一确定.故选 B. 答案 B 当 n 为正奇数时,an+2=(1+0)an+1=an+1;当 n 为

018 解析

正偶数时,an+2=(1+1)an+0=2an.∴数列{an}是奇数项为等差数列, 偶数项为等比数列的一个数列.∴数列{an}的前 18 项和为 2×?1-29? + =1 067. 1-2 答案 019 解 B (1)∵Sn=3n,∴Sn-1=3n-1(n≥2), 9×?1+9? 2

∴an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2). 当 n=1 时,2×31-1=2≠S1=a1=3,
? ?3,n=1, ∴an=? n-1 ? ?2×3 ,n≥2.

(2)∵bn+1=bn+(2n-1), ∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,?,bn-bn-1=2n-3. 以上各式相加得 bn-b1=1+3+5+?+(2n-3) = ?n-1??1+2n-3? =(n-1)2. 2

∵b1=-1,∴bn=n2-2n.
? ?-3,n=1, (3)由题意得 cn=? n-1 ?2?n-2?×3 ,n≥2. ?

当 n≥2 时, Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+?+2(n -2)×3n-1,

∴3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+?+2(n-2)×3n, ∴相减得-2Tn=6+2×32+2×33+?+2×3n-1-2(n-2)×3n. ∴Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+?+3n-1) 3n-3 ?2n-5?3n+3 =(n-2)×3 - 2 = . 2
n

?-3,n=1, n ∴Tn=?? 2 n-5? 3 +3 ,n≥2. ? 2
?a+b?2 ?a+b?2 b a 1 1 k 由a+b+ ≥0 , 得 k≥- ab , 而 ab =a+b a+b

020 解析

?a+b?2 +2≥4, 当且仅当 a=b 时取等号, 所以- ab ≤-4, 因此要使 k≥ ?a+b?2 - ab 恒成立,应有 k≥-4,即实数 k 的最小值等于-4. 答案 C

021 解析

→ ,则|OP → +OQ →| 在直线 2x+y=0 上取一点 Q′,使得Q→ ′O=OQ → +Q→ → |,其中 P′,B 分别为点 P,A =|OP ′O|=|Q→ ′P|≥|P→ ′P|≥|BA 在直线 2x+y=0 上的投影,如图所示: → |= |0+1| = 5,因此|OP → +OQ → | = 5. 因为|AB min 2 2 5 5 1 +2 答案 A 1 由题中数据可猜想:含 n2 项的系数组成首项是2,公

022 解析

1 1 1 差是2的等差数列,含 n 项的系数组成首项是2,公差是-2的等差数 k-2 4-k 1? ?1 ? 1?? ?1 列,因此 N(n,k)=?2+?k-3?2?n2+?2+?k-3??-2??n= 2 n2+ 2
? ? ? ? ??

n.故 N(10,24)=11n2-10n=11×102-10×10=1 000. 答案 1 000 023 解:
红 黄 兰 取法 1 1 3
1 1 C5 C4

1 2 2
1 2 C5 C4

1 3 1
1 3 C5 C4

2 1 2
1 C52 C3

2 2 1
2 2 C5 C3

3 1 1
3 1 C5 C2

024 解:命中的三枪捆绑成一枪,与命中的另一枪插入未命中的四枪 的空位,共有 A52 ? 20 种不的情形 1 025 解 (1)由 e=2可得,a2=4c2. ① S△F1AF2 中由余弦定理有, |F1A|2+|F2A|2-2|F1A||F2A|cos60° =4c2, 又|AF1|+|AF2|=2a, 可得 a2-c2=3 ② 联立①②得,a2=4,c2=1,∴b2=3. x2 y2 所以椭圆方程为 4 + 3 =1.

?y=kx+m (2)设点 P(x0,y0),由?x2 y2 ? 4 + 3 =1
(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.



Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0,所 以 x0=-
? 4k 3 ? 4km 4k 3 =- m ,y0=m,所以 P?- m ,m?. 2 ? ? 4k +3

? ?y=kx+m 由? ,得 Q(4,4k+m),假设存在点 M,坐标为(x1,0), ? ?x=4

4k 3? → =? ?- -x1, ?. 则MP m m
? ?

→ =(4-x 4k+m), MQ 1, →· → =0,即-16k+ 因为以 PQ 为直径的圆恒过点 M,所以MP MQ m 4kx1 12k k 2 2 - 4 x + 3 = 0 ,所以有 (4 x 1+x1+ 1-4) +x1-4x1+3=0 对任意 m m m 的 k,m 都成立.
? ?4x1-4=0 则? 2 ,解得 x1=1,故存在定点 M(1,0)符合题意. ?x1-4x1+3=0 ?

026 解析

如图, 设 MN 的中点为 P, 则由 F1 是 AM 的中点, 可知|AN|=2|PF1|. 同理可得可知 |BN|=2|PF2|. ∴|AN|+|BN| =2(|PF1|+|PF2|)=4a=12. 答案 027 解析 12 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 P(x0,y0), y2 1 2 x1- =1,
2 2 2 2

① ? 3 ? y 则?x - 3 =1, ② ?x +x =2x , ③ ?y +y =2y , ④
1 2 0 1 2 0

1 由②-①得(x2-x1)(x2+x1)=3(y2-y1)· (y2+y1),显然 x1≠x2, ∴ y2-y1 y2+y1 y0 · =3,即 kMN· x0=3, x2-x1 x2+x1

∵M,N 关于直线 y=x+m 对称, ∴kMN=-1,∴y0=-3x0,又∵y0=x0+m,
? m 3m? ∴P?- 4 , 4 ?,代入抛物线方程得 ? ? ? m? 9 2 ?- ?, m = 18· 16 ? 4?

解得 m=0 或-8,经检验都符合. 答案 028 解析 0 或-8 直观图如图 1 的几何体(上部是一个正四棱锥,下部是一

个正四棱柱)的俯视图为①; 直观图如图 2 的几何体(上部是一个正四 棱锥,下部是一个圆柱)的俯视图为②;直观图如图 3 的几何体(上部

是一个圆锥,下部是一个圆柱)的俯视图为③;直观图如图 4 的几何 体(上部是一个圆锥,下部是一个正四棱柱)的俯视图为④. 图1图2图3图4 答案 ①②③④

029 【解】 (1)证明: 取 BC, B1C1 的中点分别为 D 和 D1, 连接 A1D1, DD1,AD.由 BB1C1C 为矩形知,DD1⊥B1C1. 因为平面 BB1C1C⊥平面 A1B1C1,所以 DD1⊥平面 A1B1C1. 又由 A1B1=A1C1 知,A1D1⊥B1C1. 故以 D1 为坐标原点, 可建立如图所示的空间直角坐标系 D1-xyz.

由题设,可得 A1D1=2,AD=1. 由以上可知 AD⊥平面 BB1C1C,A1D1⊥平面 BB1C1C,于是 AD ∥A1D1.所以 A(0,-1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(-1,0,4),D(0,0,4). → → → → → → 故AA1=(0,3,-4),BC=(-2,0,0).AA1· BC=0,因此AA1⊥BC, 即 AA1⊥BC. → (2)因为AA1=(0,3,-4),

→ 所以|AA1|=5,即 AA1=5. (3)设平面 A1BC 的法向量为 n1=(x1,y1,z1). → → 又因为A1C=(-1,-2,4),A1B=(1,-2,4), → ? ?A1C· n1=0, 所以? → ? ?A1B· n1=0,
? ? ?x1+2y1-4z1=0, ?x1=0, 即? ?? ?x1-2y1+4z1=0 ?y1=2z1 ? ?

令 z1=1,则 n1=(0,2,1).又因为平面 ABC⊥z 轴, 所以取平面 ABC 的法向量为 n2=(0,0,1). n1· n2 1 5 则 cos〈n1,n2〉= = =5, |n1||n2| 5 5 所以二面角 A-BC-A1 的余弦值为- 5 . 030 解 (1)记 Ai 为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分

为 i 分”(i=0,1,3), 1 1 1 1 1 则 P(A3)=2,P(A1)=3,P(A0)=1-2-3=6; 记 Bi 为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 i 分”(i 1 3 1 3 1 =0,1,3),则 P(B3)=5,P(B1)=5,P(B0)=1-5-5=5. 记 D 为事件 “ 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙 上”.由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,

由事件的独立性和互斥性, P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)

=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) 1 1 1 1 1 3 1 1 3 =2×5+3×5+6×5+6×5=10, 3 所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为10. (2)由题意,随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,3,4,6, 由事件的独立性和互斥性,得 1 1 1 P(ξ=0)=P(A0B0)=6×5=30, P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1) =P(A1B0)+P(A0B1) 1 1 1 3 1 =3×5+6×5=6, 1 3 1 P(ξ=2)=P(A1B1)=3×5=5, P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3) =P(A3B0)+P(A0B3) 1 1 1 1 2 =2×5+5×6=15, P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3) =P(A3B1)+P(A1B3) 1 3 1 1 11 =2×5+3×5=30, 1 1 1 P(ξ=6)=P(A3B3)=2×5=10. 可得随机变量 ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3 4 6

P

1 30

1 6

1 5

2 15

11 30

1 10

1 1 1 2 11 1 所以数学期望 Eξ=0×30+1×6+2×5+3×15+4×30+6×10 91 =30. 031 解 (1)2×2 列联表如下: 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计
2

主食肉类 8 2 10

合计 12 18 30

4 16 20

30×?8-128?2 (2)因为 χ = =10>6.635, 12×18×20×10 所以有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 031【错因分析】 本题易出现两个方面的错误: (1)循环结构规律不明确,导致 S 的运算错误; (2)程序框图中,S=S+i 与 i=i+1 的逻辑顺序不明确,导致错 误. 【正解】 依次执行程序框图: S=0+1,i=2; S=0+1+2,i=3; S=0+1+2+3,i=4; ? 由此可得 S=1+2+3+?+n 时,i=n+1; 经检验知当 S=1+2+3+?+62=1 953 时 i=63,满足条件进 ?

入循环; S=1+2+3+?+62+63=2 016 时 i=64,不满足条件, 退出循环. 所以应该输出 62 即 i-2.故选 A. 【点拨提升】 (1)解决程序框图问题要注意几个常用变量

①计数变量:用来记录某个事件发生的次数,如 i=i+1. ②累加变量:用来计算数据之和,如 S=S+i. ③累乘变量:用来计算数据之积,如 p=p×i. (2)处理循环结构的框图问题,关键是理解并认清终止循环结构 的条件及循环次数. 033 解 (1)由圆 C 的参数方程可得其标准方程为 x2+y2=16.

π 因为直线 l 过点 P(2,2),倾斜角 α=3, π ? x = 2 + t cos ? 3, 所以直线 l 的参数方程为? π ? y = 2 + t sin ? 3,

(t 为参数),

?x=2+2t, 即? 3 y = 2 + ? 2 t,

1

(t 为参数).

?x=2+2t, (2)把直线 l 的参数方程? 3 y = 2 + ? 2 t,
代入圆 C:x2+y2=16 中 1? ? ? 3? 得?2+2t?2+?2+ t?2=16, 2 ? ? ? ?

1

(t 为参数),

整理得:t2+2( 3+1)t-8=0,设 A、B 两点对应的参数分别为 t1,t2,则 t1t2=-8, 即|PA|· |PB|=|t1||t2|=|t1t2|=8. 故|PA|· |PB|的值为 8. 034 解 (1)因为 f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0 等价于|x|≤m,

由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m|. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. 1 1 1 (2)证明:由(1)知a+2b+3c=1,又 a,b,c∈R+,由柯西不等 式 得 1? ?1 1 a + 2b + 3c = (a + 2b + 3c) ?a+2b+3c? ? ?

1 1 1 ? ? ≥? a· + 2b· + 3c· ?2=9. a 2b 3c ? ? 035 解析 要求|2a+b|的最大值,只需求(2a+b)2 的最大值.

∵4a2-2ab+b2-c=0, ∴4a2+b2=c+2ab, ∴ (2a + b)2 = 4a2 + b2 + 4ab = c + 2ab + 4ab = c + 6ab≤c + 3?
?2a+b?2 ? ,即(2a+b)2≤4c,当且仅当 2a=b 时,取得等号,即(2a 2 ? ?

+b)2 取到最大值, 即 2a=b 时,|2a+b|取到最大值. 把 2a=b 代入 4a2-2ab+b2-c=0,可得 c=4a2. 1 2 4 1 2 4 2 1 ?1 ? ∴a+b+c=a+2a+4a2=a+a2=?a+1?2-1.
? ?

1 1 2 4 ∴当a=-1 时,a+b+c 取到最小值-1. 答案 -1

036 证明

(1)因为 PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.

由于 PD 为切线,故∠PDA=∠DBA. 又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA, 所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA. 由于 AF⊥EP, 所以∠PFA=90° . 于是∠BDA=90° .故 AB 是直径.

(2)连接 BC,DC. 由于 AB 是直径, 故∠BDA=∠ACB=90° . 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD, 从而 Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA, 故 DC∥AB. 由于 AB⊥EP,所以 DC⊥EP,∠DCE 为直角. 于是 ED 为直径.由(1)得 ED=AB.


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