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2014·江苏卷


2014·江苏卷(课标数学) 1. [2014· 江苏卷] 已知集合 A={-2, -1, 3, 4}, B={-1, 2, 3}, 则 A∩B=________. 1.{-1,3} [解析] 由题意可得 A∩B={-1,3}. 2.[2014· 江苏卷] 已知复数 z=(5-2i)2(i 为虚数单位),则 z 的实部为________. 2. 21 [解析] 根据复数的乘法运算

公式知, z=(5-2i)2=52-2×5×2i+(2i)2=21-20i, 故实部为 21,虚部为-20.

图 11 3.[2014· 江苏卷] 如图 11 所示是一个算法流程图,则输出的 n 的值是______. 3.5 [解析] 根据流程图的判断依据,本题看 2n>20 是否成立.若不成立,则 n 从 1 开始每次增加 1;若成立,则输出 n 的值.本题经过 4 次循环,得到 25>20 成立,则输出的 n 的值为 5. 4.[2014· 江苏卷] 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘 积为 6 的概率是________. 1 4. [解析] 基本事件有(1,2),(1,3)(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共 6 种情况, 3 1 乘积为 6 的是(1,6)和(2,3),则所求事件的概率为 . 3 5. 、[2014· 江苏卷] 已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π ),它们的图像有一个横 π 坐标为 的交点,则 φ 的值是________. 3 π 5. 6 π π π 1 2 [解析] 将 x= 分别代入两个函数,得到 sin?2× +φ?= ,解得 π +φ= + 3 3 6 3 ? ? 2

5π π π 2 2kπ (k∈Z)或 π +φ= +2kπ (k∈Z),化简解得 φ=- +2kπ (k∈Z)或 φ= +2kπ 3 6 2 6 π (k∈Z).又 φ∈[0,π ),故 φ= . 6 6.[2014· 江苏卷] 为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中 60 株树木的底部 周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图 12 所示,则在抽 测的 60 株树木中,有____株树木的底部周长小于 100 cm.

图 12 6.24 [解析] 由频率分布直方图可得,数据在[80,90]的频率为 0.015×10=0.15,数 据在[90,100]的频率为 0.025×10=0.25.又样本容量为 60 株,故所求为(0.15+0.25)×60= 24(株). 7.[2014· 江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的 值是________. 7.4 [解析] 由等比数列的定义可得,a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,即 a2q6=a2q4+ 2a2q2.又 an>0,所以 q4-q2-2=0,解得 q2=2,故 a6=a2q4=1×22=4. 8.[2014· 江苏卷] 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2.若它 S1 9 V1 们的侧面积相等,且 = ,则 的值是________. S2 4 V2
2 3 S1 π r1 r2 9 r1 3 1 8. [解析] 因为 = 2= 2= , 所以 = .又圆柱的侧面积 S 侧=2π rh, 所以 S 侧 1=2 2 S2 π r2 r2 4 r2 2

h1 r2 2 V1 S1h1 9 2 3 π r1h1=S 侧 2=2π r2h2,则 = = ,故 = = × = . h2 r1 3 V2 S2h2 4 3 2 9.[2014· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+1)2 =4 截得的弦长为________. |2-2-3| 2 9. 55 [解析] 由题意可得,圆心为(2,-1),r=2,圆心到直线的距离 d= 2 5 1 +22 3 = 5 5,所以弦长为 2 r2-d2=2 9 2 4- = 5 5 55 .

10.[2014· 江苏卷] 已知函数 f(x)=x2+mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是________. 10.?-

?

2 ? 2 ,0 [解析] 因为 f(x)=x +mx-1 是开口向上的二次函数,所以函数的最大 2 ?

?f(m)<0, ? 值只能在区间端点处取到, 所以对于任意 x∈[m, m+1], 都有 f(x)<0, 只需? ?f(m+1)<0, ?

?- 22<m< 22, 2 解得? 即 m∈?- ,0?. 2 ? ? 3 - < m < 0 , ? 2
b 11.[2014· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2, x -5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是________.

11.-3

?-5=4a+2, ? ?a=-1, b [解析] 易知 y′=2ax- .根据题意有? 解得? x b 7 ? ?b=-2, ?4a-4=-2,
2

b

故 a+b=-3. → 12. 、[2014· 江苏卷] 如图 13 所示,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,CP → → → → → =3PD,AP·BP=2,则AB·AD的值是________.

图 13 1 12.22 [解析] 因为 CP=3PD,AP· BP=2,所以 AP=AD+DP=AD+ AB,BP=BC 4 3 ? 3 1 3 2 → 1 ? ? 2 +CP=AD- AB,所以 AP· BP=? ?AD+4AB?·?AD-4AB?=AD -2AD·AB-16AB =2.又 4 3 1 因为 AB=8,AD=5,所以 2=25- ×64- AB·AD,故 AB· AD=22 . 16 2 13. 、[2014· 江苏卷] 已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=

?x2-2x+1?.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值 2? ?
范围是________. 1? 13.? ?0,2? 1 [解析] 先画出 y=x2-2x+ 在区间[0,3]上的图像,再将 x 轴下方的图像对 2

称到 x 轴上方,利用周期为 3,将图像平移至区间[-3,4]内,即得 f(x)在区间[-3,4]上的 图像如下图所示,其中 f(-3)=f(0)=f(3)=0.5,f(-2)=f(1)=f(4)=0.5. 函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同)等价于 y=f(x)的图像与直线 y 1? =a 有 10 个不同的交点,由图像可得 a∈? ?0,2?.

14. 、[2014· 江苏卷] 若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是 ______. 14. 6- 2 4 [解析] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则由正弦定

理得 a+ 2b=2c.故

a +b -c cos C = = 2ab 2

2

2

2

a2+b2-?

2 ?a+ 2b? ? ? 2 ?

2ab

3 2 1 2 2 3 2 1 2 a + b - ab a+ b 4 2 2 4 2 2 = = - ≥ 2ab 2ab 4

3 2 1 2 a· b 4 2 6- 2 2 - = , 2ab 4 4 a 2 当且仅当 3a2=2b2,即 = 时等号成立. b 3 15.[2014· 江苏卷] 已知 α∈? (1)求 sin? π ? ? 4 +α?的值; 5π ? ? 6 -2α?的值. π 5 ? ? 2 ,π ?,sin α = 5 .

(2)求 cos?

π 5 15.解: (1)因为 α∈? ,π ?,sin α = , 5 ?2 ? 2 所以 cos α =- 1-sin2α =- 5 5 .

π π π 故 sin? +α?=sin cos α +cos sin α = 4 4 ?4 ? 2 ? 2 5? 2 5 10 × + × =- . 2 ?- 5 ? 2 5 10 (2)由(1)知 sin 2α =2sin α cos α =2× 5 × 5

?-2 5?=-4, 5 5 ? ?
cos 2α =1-2sin2α =1-2×? 所以 cos? 5?2 3 = , ?5? 5

5π 5π 5π ? ? 6 -2α?=cos 6 cos 2α +sin 6 sin 2α =

?- 3?×3+1×?-4?=-4+3 3. 10 ? 2 ? 5 2 ? 5?
16. 、[2014· 江苏卷] 如图 14 所示,在三棱锥 P ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC, AB 的中点.已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

图 14 16. 证明: (1)因为 D, E 分别为棱 PC, AC 的中点, 所以 DE∥PA.又因为 PA?平面 DEF, DE?平面 DEF,所以直线 PA∥平面 DEF. (2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8,所以 DE∥PA,DE 1 1 = PA=3, EF= BC=4.又因为 DF=5, 所以 DF2=DE2+EF2, 所以∠DEF=90°, 即 DE⊥EF. 2 2 又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC.因为 AC∩EF=E,AC?平面 ABC,EF?平面 ABC, 所以 DE⊥平面 ABC. 又 DE?平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABC. x2 17. 、[2014· 江苏卷] 如图 15 所示,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是椭圆 2+ a y2 =1(a>b>0)的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A b2 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C. 4 1? (1)若点 C 的坐标为? ?3,3?,且 BF2= 2,求椭圆的方程; (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值.

图 15 17.解: 设椭圆的焦距为 2c, 则 F1(-c, 0), F2(c, 0). (1)因为 B(0, b), 所以 BF2= b2+c2=a.又 BF2= 2, 故 a= 2. 16 1 9 9 4 1 , ?在椭圆上,所以 2 + 2=1,解得 b2=1. 因为点 C? ?3 3? a b x2 故所求椭圆的方程为 +y2=1. 2 x y (2)因为 B(0, b), F2(c, 0)在直线 AB 上,所以直线 AB 的方程为 + =1. c b

解方程组

? ? ? ?x =0, ? 得 ?x y ? b(c -a ) ? ? ?y =b, y= , ?a +b =1, ? ? a +c
x y + =1, c b
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2

2a2c x1= 2 2, a +c

2 2 2 ? 2a c b(c -a )?. 所以点 A 的坐标为? 2 2, ? 2 2 a +c ?a +c ? 2 2 2 ? 2a c b(a -c )?. 又 AC 垂直于 x 轴, 由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为? 2 2, ? 2 2 a +c ?a +c ?

b(a2-c2) -0 a2+c2 b(a2-c2) b 因为直线 F1C 的斜率为 2 = ,直线 AB 的斜率为- ,且 F1C 2a c c 3a2c+c3 -(-c) a2+c2 b(a2-c2) ? b? 2 2 2 2 2 2 1 ⊥AB,所以 2 3 · - =-1.又 b =a -c ,整理得 a =5c ,故 e = , c ? ? 5 3a c+c 因此 e= 5 . 5

18. 、 、 、[2014· 江苏卷] 如图 16 所示,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时 设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆, 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m.经测 量,点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处(OC 为河岸),tan∠ 4 BCO= . 3 (1)求新桥 BC 的长. (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

图 16 18.解: 方法一: (1)如图所示, 以 O 为坐标原点, OC 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系 xOy.

由条件知 A(0, 60), C(170,0), 4 直线 BC 的斜率 kBC=-tan∠BCO=- . 3 3 又因为 AB⊥BC, 所以直线 AB 的斜率 kAB= . 4 设点 B 的坐标为(a,b), b-0 b-60 3 4 则 kBC= =- , kAB= = , 3 a-170 a-0 4 解得 a=80, b=120, 所以 BC= (170-80)2+(0-120)2=150. 因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m, OM=d m (0≤d≤60). 4 由条件知, 直线 BC 的方程为 y=- (x-170), 3 即 4x+3y-680=0. 由于圆 M 与直线 BC 相切, 故点 M(0, d)到直线 BC 的距离是 r, |3d - 680| 680-3d 即 r= = . 5 42+32
? ?r-d≥80, 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,所以? ?r-(60-d)≥80, ?

-3d -d≥80, ?6805 即? 680 - 3d ? 5 -(60-d)≥80, 解得 10≤d≤35. 680 - 3d 故当 d=10 时, r = 最大, 即圆面积最大, 5 所以当 OM=10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 方法二: (1)如图所示, 延长 OA, CB 交于点 F.

4 因为 tan∠FCO= , 3 4 3 所以 sin∠FCO= , cos∠FCO= . 5 5

因为 OA=60,OC=170, 680 OC 850 500 所以 OF=OC tan∠FCO= , CF= = , 从而 AF=OF-OA= . 3 3 cos∠FCO 3 4 因为 OA⊥OC, 所以 cos∠AFB =sin∠FCO= . 5 400 又因为 AB⊥BC,所以 BF=AFcos∠AFB= , 从而 BC=CF-BF=150. 3 因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D,连接 MD,则 MD⊥BC,且 MD 是圆 M 的 半径,并设 MD=r m,OM=d m (0≤d≤60). 因为 OA⊥OC, 所以 sin∠CFO=cos∠FCO. 680-3d MD MD r 3 故由(1)知 sin∠CFO= = = = , 所以 r= . MF OF-OM 680 5 5 -d 3 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,
? ?r-d≥80, 所以? ?r-(60-d)≥80, ?

-3d -d≥80, ?6805 即? 680-3d ? 5 -(60-d)≥80, 解得 10≤d≤35. 680 - 3d 故当 d=10 时, r= 最大,即圆面积最大, 5 所以当 OM=10 m 时, 圆形保护区的面积最大. - 19. 、 、 、[2014· 江苏卷] 已知函数 f(x)=ex+e x,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明:f(x)是 R 上的偶函数. - (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e x +m-1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围. - 3 (3)已知正数 a 满足:存在 x0∈[1,+∞),使得 f(x0)<a(-x0 +3x0)成立.试比较 ea 1 与 - ae 1 的大小,并证明你的结论. - - 19.解: (1)证明:因为对任意 x∈R,都有 f(-x)=e x+e -(-x)=e x+ex=f(x), 所以 f(x)是 R 上的偶函数. - - (2)由条件知 m(ex+e x-1)≤e x-1 在(0,+∞)上恒成立. t-1 令 t=ex(x>0),则 t>1,所以 m≤- 2 = t -t+1 - 1 对任意 t>1 成立. 1 t-1+ + 1 t-1 1 1 1 (t-1)· +1=3, 所以 - ≥- , 1 3 t - 1 t-1+ + 1 t-1

1 因为 t-1+ + 1≥2 t-1

当且仅当 t=2, 即 x = ln 2 时等号成立.

1? 因此实数 m 的取值范围是? ?-∞,-3?. 1 1 (3)令函数 g(x)=ex+ x- a(-x3+3x),则 g′ (x) =ex- x+3a(x2-1). e e 1 当 x≥1 时,ex- x>0,x2-1≥0.又 a>0,故 g′(x)>0,所以 g(x)是[1,+∞)上的单调 e 递增函数, 因此 g(x)在[1,+∞)上的最小值是 g(1)= e+e 1-2a. 由于存在 x0∈[1, +∞), 使 ex0+e-x0-a(-x3 0+ 3x0 )<0 成立,当且仅当最小值 g(1)<0,


e+e 1 - 故 e+e 1-2a<0, 即 a> . 2


e-1 令函数 h(x) = x -(e-1)ln x-1,则 h′(x)=1- . 令 h′(x)=0, 得 x=e-1. x 当 x∈(0,e-1)时,h′(x)<0,故 h(x)是(0,e-1)上的单调递减函数; 当 x∈(e-1,+∞)时,h′(x)>0,故 h(x)是(e-1,+∞)上的单调递增函数. 所以 h(x)在(0,+∞)上的最小值是 h(e-1). 注意到 h(1)=h(e)=0,所以当 x∈(1,e-1)?(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)<h(1)=0; 当 x∈(e-1,e)?(e-1,+∞)时, h(x)<h(e)=0. 所以 h(x)<0 对任意的 x∈(1,e)成立. e+e ? 故①当 a∈? ? 2 ,e??(1,e)时, h(a)<0, 即 a-1<(e-1)ln a,从而 ea 1<ae 1; - - ②当 a=e 时,ea 1=ae 1; - - ③当 a∈(e,+∞)?(e-1,+∞)时,h(a)>h(e)=0,即 a-1>(e-1)ln a,故 ea 1>ae 1.
- - -1

综上所述,当 a∈?
- -

e+e 1 ? a-1 e-1 a-1 e-1 ? 2 ,e?时,e <a ;当 a=e 时,e =a ;当 a∈(e,+∞)


时,ea 1>ae 1. 20.[2014· 江苏卷] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若对任意的正整数 n,总存在正整数 m, 使得 Sn=am,则称{an}是“H 数列”. (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H 数列”. (2)设{an}是等差数列,其首项 a1=1,公差 d<0.若{an}是“H 数列”,求 d 的值. (3)证明:对任意的等差数列 {an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+ cn(n∈N*)成立. + 20.解: (1)证明:由已知,当 n≥1 时,an+1=Sn+1-Sn=2n 1-2n=2n.于是对任意的正 整数 n,总存在正整数 m=n+1,使得 Sn=2n=am, 所以{an}是“H 数列”. (2)由已知得,S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H 数列”,所以存在正整数 m,使得 S2 =am,即 2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为 d<0,所以 m-2<0,故 m=1,从而 d= -1. n(3-n) 当 d=-1 时,an=2-n,Sn= 是小于 2 的整数,n∈N*.于是对任意的正整数 2 n(3-n) n,总存在正整数 m=2-Sn=2- ,使得 Sn=2-m=am,所以{an}是“H 数列”, 2 因此 d 的值为-1.

(3)证明: 设等差数列{an}的公差为 d, 则 an =a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*). 令 bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则 an=bn+cn(n∈N*). 下证{bn}是“H 数列”. n(n+1) 设{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn= a1(n∈N*).于是对任意的正整数 n,总存在 2 n(n+1) 正整数 m= ,使得 Tn=bm,所以{bn}是“H 数列”. 2 同理可证{cn}也是“H 数列”. 所以对任意的等差数列{an}, 总存在两个“H 数列”{bn}和{cn}, 使得 an=bn+cn(n∈N*) 成立. 21.[2014· 江苏卷] A.[选修 41:几何证明选讲] 如图 17 所示,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点. 证明:∠OCB=∠D.

图 17 证明:因为 B,C 是圆 O 上的两点,所以 OB=OC, 所以∠OCB=∠B. 又因为 C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 所以∠B,∠D 为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B=∠D,因此∠OCB=∠D. [2014· 江苏卷] B.[选修 42:矩阵与变换] ?-1 2? ?1 1 ? ?2? 已知矩阵 A=? ?,B=? ?,向量 α=? ?,x,y 为实数.若=,求 x+y 的值. ?y ? ?1 x ? ?2 -1? ?-1 2? 解:由已知得,=? ?错误!=错误!), ? 1 x? Bα =错误! ))错误!)=错误!). 因为=,所以?

?-2+2y? ?2+y? ?)=? ?). ?2+xy ? ?4-y?
1

? ?-2+2y=2+y, ?x=-2, ? 故? 解得? ?2+xy=4-y, ? ? ?y=4,
7 所以 x+y= . 2 [2014· 江苏卷] C.[选修 44:坐标系与参数方程]

?x=1- 22t, 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),直线 l 2 ?y=2+ 2 t

与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

?x=1- 22t, 解:将直线 l 的参数方程? 代入抛物线方程 y =4x, 2 ?y=2+ 2 t
2

得?2+

?

2? 2? ? t =4 1- t , 2 ? 2 ? ?

2

解得 t1=0,t2=-8 2, 所以 AB=|t1-t2|=8 2. [2014· 江苏卷] D.[选修 45:不等式选讲] 已知 x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy. 证明:因为 x>0,y>0, 3 所以 1+x+y2≥3 xy2>0, 3 1+x2+y≥3 x2y>0, 3 3 故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3 xy2·3 x2y=9xy. 22.[2014· 江苏卷] 盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球、3 个黄球和 2 个绿球,这些球 除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1,x2,x3,随 机变量 X 表示 x1,x2,x3 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X). 22.解:(1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球,所以 P=
2 2 C2 6+3+1 5 4+C3+C2 = = . 2 C9 36 18

(2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4. C4 1 4 {X=4}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”,故 P(X=4)= 4= ; C9 126 {X=3}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球, 或 3 个黄球
1 3 1 C3 20+6 13 4C5+C3C6 和 1 个其他颜色的球”,故 P(X=3)= = = ;于是 P(X=2)=1-P(X=3) C4 126 63 9

13 1 11 -P(X=4)=1- - = . 63 126 14 所以随机变量 X 的概率分布如下表: X P 因此随机变量 X 的数学期望 11 13 1 20 E(X)=2× +3× +4× = . 14 63 126 9 sin x 23. 、[2014· 江苏卷] 已知函数 f0(x)= (x>0),设 fn(x)为 fn-1(x)的导数,n∈N*. x 2 11 14 3 13 63 4 1 126

π π π (1)求 2f1? ?+ f2? ?的值; ?2? 2 ?2? π π π 2 (2)证明:对任意的 n∈N*,等式?nfn-1? ?+ fn? ??= 都成立. ? 4 ? 4 ? 4 ?? 2 ? sin x? cos x sin x 23.解: (1)由已知,得 f1(x)=f′0(x)=? ? x ?′= x - x2 , cos x? ?sin x? 于是 f2(x)=f1′(x)=? ? x ?′-? x2 ?′= - sin x 2cos x 2sin x - 2 + 3 , x x x

π π 4 2 16 所以 f1? ?=- 2,f2? ?=- + 3. ?2? ?2? π π π π π π 故 2f1? ?+ f2? ?=-1. ?2? 2 ?2? (2)证明:由已知得,xf0(x)=sin x,等式两边分别对 x 求导,得 f0(x)+xf0′(x)=cos x, π 即 f0(x)+xf1(x)=cos x=sin?x+ ?. ? 2? 类似可得 2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π ), 3π 3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin?x+ ?, 2 ? ? 4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π ). nπ 下面用数学归纳法证明等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin?x+ ?对所有的 n∈N*都成立. 2 ? ? (i)当 n=1 时,由上可知等式成立. kπ (ii)假设当 n=k 时等式成立,即 kfk-1(x)+xfk(x)=sin?x+ ?. 2 ? ? 因为[kfk-1(x)+xfk(x)]′=kfk-1′(x)+fk(x)+xfk′(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),

?sin?x+kπ ??′=cos?x+kπ ?·?x+kπ ?′=sin?x+(k+1)π ?, 2 ?? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?
(k+1)π ? 所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin?x+ 2 ? ?, 因此当 n=k+1 时,等式也成立. nπ 综合(i)(ii)可知,等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin?x+ ?对所有的 n∈N*都成立. 2 ? ? π π π π π nπ 令 x= ,可得 nfn-1? ?+ fn? ?=sin? + ?(n∈N*), 4 4 4 4 2 ? ? ? ? ? ?4 π π π 所以?nfn-1? ?+ fn? ??=错误!(n∈N*). ? 4 ? 4 ? 4 ?? ?


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