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上海市宝山区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


上海市宝山区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1. (3 分)函数 y=log2(x﹣1)的定义域是. 2. (3 分)设全集 U=R,集合 S={x|x≥﹣1},则?US=. 3. (3 分)设关于 x 的函数 y=

(k﹣2)x+1 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围是. 4. (3 分)已知 x=log75,用含 x 的式子表示 log7625,则 log7625=. 5. (3 分)函数 y= 的最大值为.

6. (3 分)若函数 f(x)=

﹣a 是奇函数,则实数 a 的值为.

7. (3 分)若不等式 x ﹣mx+n<0(m,n∈R)的解集为(2,3) ,则 m﹣n=. 8. (3 分)设 α:0≤x≤1,β:m≤x≤2m+5,若 α 是 β 的充分条件,则实数 m 的取值范围是. 9. (3 分)设 a,b 均为正数,则函数 f(x)=(a +b )x+ab 的零点的最小值为. 10. (3 分)给出下列命题: ①直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象至少有两个公共点; ②函数 y=x 在(0 ,+∞)上是单调递减函数; ③幂函数的图象一定经过坐标原点; ④函数 f(x)=a (a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,1) . ﹣1 ⑤设函数 y=f(x)存在反函数,且 y=f(x)的图象过点(1,2) ,则函数 y=f (x)﹣1 的图 象一定过点(2,0) . 其中,真命题的序号为.
x﹣2
﹣2

2

2

2

11. (3 分)设函数 f(x) (x∈R)满足|f(x)+( f(0)=.

) |≤ ,且|f(x)﹣(

2

) |≤ .则

2

12. (3 分)若 F(x)=a?f(x)g(x)+b?+c(a,b,c 均为常数) ,则称 F(x)是由函数 f(x) 2 与函数 g(x)所确定的“a→b→c”型函数.设函数 f1(x)=x+1 与函数 f2(x)=x ﹣3x+6,若 f

(x)是由函数 f1 (x)+1 与函数 f2(x)所确定的“1→0→5”型函数,且实数 m,n 满足 f(m) = f(n)=6,则 m+n 的值为.

﹣1

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 12 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 3 分,否则一律得零分. 13. (3 分)“a>1”是“a>0”的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既非充分又非必要条件 14. (3 分)函数 y=x+ (x>0)的递减区间为 () A.(0,4] B. C.

15. (3 分)如图为函数 f(x)=t+logax 的图象(a,t 均为实常数) ,则下列结论正确的是 ()

A.0<a<1,t<0

B.0<a<1,t>0

C.a>1,t<0

D.a>1,t>0

16. (3 分)设 g(x)=|f(x+2m)﹣x|,f(t)为不超过实数 t 的最大整数,若函数 g(x)存 在最大值,则正实数 m 的最小值为 () A. B. C. D.

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 52 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤.

17. (8 分)解不等式组:



18. (8 分)某“农家乐”接待中心有客房 200 间,每间日租金为 40 元,每天都客满.根据实际 需要,该中心需提高租金.如果每间客房日租金每增加 4 元,客房出租就会减少 10 间. (不 考虑其他因素)

(1)设每间客房日租金提高 4x 元(x∈N ,x<20) ,记该中心客房的日租金总收入为 y,试 用 x 表示 y; (2)在(1)的条件下,每间客房日租金为多少时,该中心客房的日租金总收入最高? 19. (10 分)已知 f(x)=|x+a|(a>﹣2)的图象过点(2,1) . (1)求实数 a 的值; (2)如图所示的平面直 角坐标系中,每一个小方格的边长均为 1.试在该坐标系中作出函数 y= 的简图,并写出(不需要证明)它的定义域、值域、奇偶性、单调区间.

+

20. (12 分)设函数 f(x)=logm(1+mx)﹣logm(1﹣mx) (m>0,且 m≠1) . (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)当 m=2 时,解方程 f(6 )=1; 2 (3)如果 f(u)=u﹣1,那么,函数 g(x)=x ﹣ux 的图象是否总在函数 h(x)=ux﹣1 的图 象的上方?请说明理由. 21. (14 分)对于四个正数 x,y,z,w,如果 xw<yz,那么称(x,y)是(z,w)的“下位 序对”. (1)对于 2,3,7,11,试求(2,7)的“下位序对”; (2)设 a,b,c,d 均为正数,且(a,b)是(c,d)的“下位序对”,试判断 , , 之间
x

的大小关系; + + (3)设正整数 n 满足条件:对集合{t|0<t<2014}内的每个 m∈N ,总存在 k∈N ,使得(m, 2014)是(k,n)的“下位序对”,且 (k,n)是(m+1,2015)的“下位序对”.求正整数 n 的 最小值.

上海市宝山区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1. (3 分)函数 y=log2(x﹣1)的定义域是(1,+∞) . 考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 由函数的解析式知,令真数 x﹣1>0 即可解出函数的定义域. 解答: 解:∵y=log2(x﹣1) ,∴x﹣1>0,x>1 函数 y=log2(x﹣1)的定义域是(1,+∞) 故答案为(1,+∞) 点评: 本题考查求对数函数的定义域,熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的 关键. 2. (3 分)设全集 U=R,集合 S={x|x≥﹣1},则?US={x|x<1}. 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 U=R,以及 S,求出 S 的补集即可. 解答: 解:∵全集 U=R,集合 S={x|x≥﹣1}, ∴?US={x|x<1}, 故答案为:{x|x<1}. 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 3. (3 分) 设关于 x 的函数 y= (k﹣2) x+1 是 R 上的增函数, 则实数 k 的取值范围是 (2, +∞) . 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用一次函数时单调递增函数求出参数 k 的范围. 解答: 解:关于 x 的函数 y=(k﹣2)x+1 是 R 上的增函数 所以:k﹣2>0 解得:k>2 所以实数 k 的取值范围为: (2,+∞) 故答案为: (2,+∞) 点评: 本题考查的知识要点:一次函数单调性的应用.属于基础题型. 4. (3 分)已知 x=log75,用含 x 的式子表示 log7625,则 log7625=4x. 考点: 专题: 分析: 解答: 对数的运算性质. 函数的性质及应用. 利用对数的运算性质即可得出. 解:∵x=log75, =4x,

∴log7625= 故答案为:4x.

点评: 本题考查了对数的运算性质,属于基础题. 5. (3 分)函数 y= 的最大值为 2.

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先把二次函数转化成标准型,进一步利用定义域求出函数的最值. 解答: 解:函数 函数的定义域{x|0<x<4} 所以:当 x=2 时,函数取最小值 所以:ymin=2 故答案为:2 点评: 本题考查的知识要点:二次函数的性质的应用,属于基础题型. 6. (3 分)若函数 f(x)= ﹣a 是奇函数,则实数 a 的值为 1. =

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数的结论:f(0)=0 列出方程,求出 a 的值即可. 解答: 解:因为奇函数 f(x)= 所以 f(0)= ﹣a=0,解得 a=1, ﹣a 的定义域是 R,

故答案为:1. 点评: 本题考查奇函数的性质的应用,属于基础题. 7. (3 分)若不等式 x ﹣mx+n<0(m,n∈R)的解集为(2,3) ,则 m﹣n=﹣1. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据一元二次不等式与对应方程的关系, 利用根与系数的关系, 求出 m、 n 的值即可. 2 解答: 解:∵不等式 x ﹣mx+n<0(m,n∈R)的解集为(2,3) , 2 ∴对应方程 x ﹣mx+n=0 的两个实数根 2 和 3, 由根与系数的关系, 得 ,
2

∴m﹣n=5﹣6=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了不等式的解法与应用问题,也考查了根与系数的应用问题,是基础题目. 8. (3 分)设 α:0≤x≤1,β:m≤x≤2m+5,若 α 是 β 的充分条件,则实数 m 的取值范围是.

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系,进行判断即可. 解答: 解:∵α: 0≤x≤1, β:m≤x≤2m+5, ∴α 是 β 的充分条件, 则 ,





解得﹣2≤m≤0, 故答案为: . 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据充分条件和必要条件的关系转化为 不等式之间的关系是解决本题的关键.
2 2

9. (3 分)设 a,b 均为正数,则函数 f(x)=(a +b )x+ab 的零点的最小值为﹣ .

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 2 2 2 2 分析: 函数 f(x)=(a +b )x+ab 的零点即方程(a +b )x+ab=0 的解,由基本不等式求最 值. 解答: 解:函数 f(x)=(a +b )x+ab 的零点即方程(a +b )x+ab=0 的解, x=﹣ ≥﹣ ;
2 2 2 2

当且仅当 a=b 时,等号成立; 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及基本不等式的应用,属于基础题. 10. (3 分)给出下列命题: ①直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象至少有两个公共点; ②函数 y=x 在(0,+∞)上是单调递减函数; ③幂函数的图象一定经过坐标原点; ④函数 f(x)=a (a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,1) . ﹣1 ⑤设函数 y=f(x)存在反函数,且 y=f(x)的图象过点(1,2) ,则函数 y=f (x)﹣1 的图 象一定过点(2,0) . 其中,真命题的序号为②④⑤. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用.
x﹣2
﹣2

分析: ①,利用函数的概念(自变量与函数值一一对应)可判断①; ②,利用幂函数的性质可知 y=x 在(0,+∞)上是单调递减函数,可判断②; ﹣1 ③,幂函数 y=x 的图象不经过坐标原点,可判断③; ④,利用指数函数的图象与性质,可判断④; ⑤,依题意,可知函数 y=f (x)的图象过点(2,1) ,从而可判断⑤. 解答: 解:对于①,直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象至多有 1 个公共点; ,故①错误; 对于②,由于﹣2<0,由幂函数的性质可知,函数 y=x 故②正确;
﹣1 ﹣2 ﹣1 ﹣2

在(0,+∞)上是单调递减函数,

对于③,幂函数 y=x 的图象不经过坐标原点,故③错误; x﹣2 对于④,函数 f(x)=a (a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,1) ,故④正确; ﹣1 对于⑤,设函数 y=f(x)存在反函数,且 y=f(x)的图象过点(1,2) ,则函数 y=f (x) ﹣1 的图象过点(2,1) ,y=f (x)﹣1 的图象一定过点(2,0) ,故⑤正确. 综上所述,真命题的序号为②④⑤. 故答案为:②④⑤. 点评: 本题考查命题的真假判断及应用,综合考查函数的概念、幂函数的单调性质、指数 函数的图象与性质及反函数的概念及应用,属于中档题.

11. (3 分)设函数 f(x) (x∈R)满足|f(x)+(

) |≤ ,且|f(x)﹣(

2

) |≤ .则

2

f(0)=



考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值. 函数的性质及应用. 利用赋值法求解,最后用不等式的交集求出结果. 解:利用赋值法,

令 x=0,则|f(0)﹣1| 解得: 同理:令 x=0,则|f(0)| 解得: 所以: 即 f(0)= 故答案为: 点评: 本题考查的知识要点:赋值法在函数求值中的应用.属于基础题型.

12. (3 分)若 F(x)=a?f(x)g(x)+b?+c(a,b,c 均为常数) ,则称 F(x)是由函数 f(x) 与函数 g(x)所确定的“a→b→c”型函数.设函数 f1(x)=x+1 与函数 f2(x)=x ﹣3x+6,若 f ﹣1 (x)是由函数 f1 (x)+1 与函数 f2(x)所确定的“1→0→5”型函数,且实数 m,n 满足 f(m) = f(n)=6,则 m+n 的值为 2.
2

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 由新定义,确定 f(x)=x(x ﹣3x+6)+5,利用 f(m)= f(n)=6,可得 m(m
2 2 2 2

﹣3m+6)=1,n(n ﹣3n+6)=7,设 m+n=t,则 m=t﹣n,代入 m(m ﹣3m+6)=1,可得(t 3 2 2 3 2 2 ﹣n)=1,即 n ﹣(3t﹣3)n +(3t ﹣6t+6)n﹣t +3t ﹣6t+1=0,对照 n 的系数,可得 3t﹣3= ﹣3,即可得出结论. 解答: 解:∵f1(x)=x+1,∴f1 (x)=x﹣1, ﹣1 即 f1 (x)+1=x﹣1+1=x, ﹣1 ∵f(x)是由函数 f1 (x)+1 与函数 f2(x)所确定的“1→0→5”型函数, 2 ∴f(x)=x(x ﹣3x+6)+5, 由 f(m)= f(n)=6 可得 f(m)=6,f(n)=12, 即 m(m ﹣3m+6)=1,n(n ﹣3n+6)=7, 设 m+n=t,则 m=t﹣n, 2 代入 m(m ﹣3m+6)=1,可得(t﹣n)=1, 3 2 2 3 2 即 n ﹣(3t﹣3)n +(3t ﹣6t+6)n﹣t +3t ﹣6t+1=0, 2 对照 n 的系数,可得 3t﹣3=﹣3, ∴t=2 故答案为:2. 点评: 本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,正确换元是关键. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 12 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 3 分,否则一律得零分. 13. (3 分)“a>1”是“a>0”的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既非充分又非必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解:若 a>1,则 a>0 成立,
2 2
﹣1

若 a= ,满足 a>0,但 a>1 不成立, 故“a>1”是“a>0”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.

14. (3 分)函数 y=x+ (x>0)的递减区间为 () A.(0,4] B. C.

考点: 函数的单调性及单调区间. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 首先根据函数的关系式求出函数的导数,进一步利用 y′<0,求出函数的单调递减区 间. 解答: 解:函数 y= 则: 解得:0<x<2 所以函数的递减区间为: (0,2) 故选:D 点评: 本题考查的知识要点:函数的导数的应用,利用函数的导数求函数的单调区间.属 于基础题型. 15. (3 分)如图为函数 f(x)=t+logax 的图象(a,t 均为实常数) ,则下列结论正确的是 () (x>0)

A.0<a<1,t<0

B.0<a<1,t>0

C.a>1,t<0

D.a>1,t>0

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的图象和性质即可得到答案 解答: 解:因为对数函数 y=t+logax 的图象在定义域内是增函数,可知其底数大于 1, 由图象可知当 x=1 时,y=t<0, 故选:C 点评: 本题考查了对数函数的图象与性质,是基础的概念题. 16. (3 分)设 g(x)=|f(x+2m)﹣x|,f(t)为不超过实数 t 的最大整数,若函数 g(x)存 在最大值,则正实数 m 的最小值为 () A. B. C. D.

考点: 函数的最值及其几何意义.

专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意知,当 n﹣1≤x+2m<n, (n∈Z)时,f(x+2m)=n﹣1;从而可化简得 2m﹣1 <f(x+2m)﹣x≤2m,再由最值可得 2m≥|2m﹣1|;从而求得. 解答: 解:∵f(t)为不超过实数 t 的最大整数, ∴当 n﹣1≤x+2m<n, (n∈Z)时,f(x+2m)=n﹣1; 故 n﹣1﹣2m≤x<n﹣2m; 故 2m﹣1<f(x+2m)﹣x≤2m; 又∵m>0; 故若函数 g(x)存在最大值, 则 2m≥|2m﹣1|; 故 m≥ ; 故选 D. 点评: 本题考查了绝对值函数与分段函数的应用,属于中档题. 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 52 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤.

17. (8 分)解不等式组:



考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 运用二次不等式和分式不等式的解法,分别求出它们,再求交集即可. 解答: 解:原不等式组可化为 ,

解得



从而有 0<x<2, 所以,原不等式的解集为(0,2) . 点评: 本题考查二次不等式和分式不等式的解法,考查运算能力,属于基础题. 18. (8 分)某“农家乐”接待中心有客房 200 间,每间日租金为 40 元,每天都客满.根据实际 需要,该中心需提高租金.如果每间客房日租金每增加 4 元,客房出租就会减少 10 间. (不 考虑其他因素) + (1)设每间客房日租金提高 4x 元(x∈N ,x<20) ,记该中心客房的日租金总收入为 y,试 用 x 表示 y; (2)在(1)的条件下,每间客房日租金为多少时,该中心客房的日租金总收入最高? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用.

分析: (1)设每间客房日租金提高 4x 元(x∈N ,x<20) ,记该中心客房的日租金总收入 为 y,根据条件即可求出 y 的表达式; (2)利用基本不等式或者一元二次函数的性质求最值即可. 解答: 解: (1)若每间客房日租金提高 4x 元,则将有 10x 间客房空出, ? 故该中心客房的日租金总收入为 y=(40+4x)=40(10+x) , (这里 x∈N 且 x<20) . (2)∵y=40(10+x)≤40( =40×225=9000,

+

当且仅当 10+x=20﹣x,即 x=5 时,y 的最大值为 9000, 即每间客房日租金为 40+4×5=60(元)时,该中心客房的日租金总收入最高,其值为 9000 元. 点评: 本题主要考查函数的应用问题,根据条件建立函数关系,利用基本不等式的性质求 最值是解决本题的关键.本题也可以使用一元二次函数的最值性质解决. 19. (10 分)已知 f(x)=|x+a|(a>﹣2)的图象过点(2,1) . (1)求实数 a 的值; (2)如图所示的平面直角坐标系中,每一个小方格的边长均为 1.试在该坐标系中作出函数 y= 的简图,并写出(不需要证明)它的定义域、值域、奇偶性、单调区间.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据图象过点(2,1) ,代入求出 a 的值, (2)根据分段函数分段画的原则,根据函数的图象,我们可以分析出自变量,函数值的取值 范围,从而得到定义域和值域,分析出从左到右函数图象上升和下降的区间,即可得到函数的 单调区间 解答: 解: (1)依题意得 f(2)=1, 即|2+a|=1, ∵a>﹣2, ∴2+a=1,解得 a=﹣1,

(2)由(1)可得 f(x)=|x﹣1|,故 y=

=

,即 y=



定义域: (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , 值 域: , 奇偶性:非奇非偶函数, 单调(递减)区间: (﹣∞,0]. 点评: 本题考查的知识点是分段函数的解析式求法及其图象的作法,函数的定义域及其求 法,函数的值域,函数的图象,其中利用零点分段法求出函数的解析式是解答本题的关键. 20. (12 分)设函数 f(x)=logm(1+mx)﹣logm(1﹣mx) (m>0,且 m≠1) . (1)判断 f(x)的奇偶性; x (2)当 m=2 时,解方程 f(6 )=1; 2 (3)如果 f(u)=u﹣1,那么,函数 g(x)=x ﹣ux 的图象是否总在函数 h(x)=ux﹣1 的图 象的上方?请说明理由. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用;对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)先求出函数 f(x)的定义域为(﹣ , ) ,再确定 f(﹣x)=logm(1﹣mx)﹣ logm(1+mx)﹣f(x)即可; x x (2)当 m=2 时,f(x)=log2(1+2x)﹣log2(1﹣2x) ,由 f(6 )=1 得 log2(1+2?6 )﹣log2 x (1﹣2?6 )=1,从而求解; (3)方法一:注意到 f(x)的定义域为(﹣ , ) .若 m>1,则﹣ <u< ,即 u <1;若 0<m<1,则考虑函数 F(x)=f(x)﹣x+1,也可得到 u <1;则 g(x)﹣h(x)=(x ﹣ux) 2 2 2 ﹣(ux﹣1)=(x﹣u) +1﹣u ≥1﹣u >0,从而证明; 方法二:如同方法一讨论,也可构造函数 G(x)= 同方法一中的方法证明即可. 解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域为(﹣ , ) ,关于原点对称; 又 f(﹣x)=logm(1﹣mx)﹣logm(1+mx)﹣f(x) , 即 f(﹣x)=﹣f(x) , 故 f(x)为定义域(﹣ , )上的奇函数. (2)当 m=2 时,f(x)=log2(1+2x)﹣log2(1﹣2x) , x x x 由 f(6 )=1 得 log2(1+2?6 )﹣log2(1﹣2?6 )=1, = ﹣m
x﹣1 2 2 2

﹣1,从而

去对数得 1+2?6 =2(1﹣2?6 ) , 解得 6 = ,从而 x=﹣1. 经检验,x=﹣1 为原方程的解. (3)方法一:注意到 f(x)的定义域为(﹣ , ) . 若 m>1,则﹣ <u< ,即 u <1; 若 0<m<1,则考虑函数 F(x)=f(x)﹣x+1. 因 logm(1+mx)在(﹣ , )上递减,而 logm(1﹣mx)在(﹣ , )上递增, 故 f(x)在(﹣ , )上递减,又﹣x 在(﹣ , )上递减,所以 F(x)在(﹣ , )上 也递减; 注意到 F(0)=1>0,F(1)=f(1)<0, 所以函数 F(x)在(0,1)上存在唯一零点, 即满足 f(u)=u﹣1 的 u∈(0,1) (且 u 唯一) , 故 u <1. 2 综上所述,u <1. 2 于是 g(x)﹣h(x)=(x ﹣ux)﹣(ux﹣1) 2 2 2 =(x﹣u) +1﹣u ≥1﹣u >0, 即 g(x)﹣h(x)>0, 即对于任一 x∈R,均有 g(x)>h(x) , 2 故函数 g(x)=x ﹣ux 的图象总在函数 h(x)=ux﹣1 图象的上方. 方法二:注意到 f(x)的定义域为(﹣ , ) . 若 m>1,则﹣ <u< ,即 u <1; 若 0<m<1,设函数 G(x)= 注意到 上递增, 又 G(0) =1﹣ <0,G(1)= ﹣1>0, 在(﹣ , )上递增,m
x﹣1 2 2 2 x

x

x

=

﹣m

x﹣1

﹣1,

在(﹣ , )上递减,故 G(x)在(﹣ , )

所以函数 G(x)在(0,1)上存在唯一零点,又 G(x)=0, 即 f(x)=x﹣1, 于是,满足 f(u)=u﹣1 的 u∈(0,1) (且 u 唯一) , 2 故 u <1. 2 综上所述,u <1. 2 于是 g(x)﹣h(x)=(x ﹣ux)﹣(ux﹣1) 2 2 2 =(x﹣u) +1﹣u ≥1﹣u >0, 即 g(x)﹣h(x)>0, 即对于任一 x∈R,均有 g(x)>h(x) ,

故函数 g(x)=x ﹣ux 的图象总在函数 h(x)=ux﹣1 图象的上方. 点评: 本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题,同时考查了分类讨论的数学思想应用, 属于中档题. 21. (14 分)对于四个正数 x,y,z,w,如果 xw<yz,那么称(x,y)是(z,w)的“下位 序对”. (1)对于 2,3,7,11,试求(2,7)的“下位序对”; (2)设 a,b,c,d 均为正数,且(a,b)是(c,d)的“下位序对”,试判断 , , 之间

2

的大小关系; + + (3)设正整数 n 满足条件:对集合{t|0 <t<2014}内的每个 m∈N ,总存在 k∈N ,使得(m, 2014)是(k,n)的“下位序对”,且(k,n)是(m+1,2015)的“下位序对”.求正整数 n 的 最小值. 考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式. 分析: (1)据新定义,代入计算判断即可; (2)根据新定义得到 ad<bc,再利用不等式的性质,即可判断; (3)由题意得到
+

,继而求出 n≥4029,再验证该式对集合{t|0<t<2014}

内的每个 m∈N 的每个正整数 m 都成立,继而求出最小值 解答: 解: (1)∵3×7<11×2, ∴(2,7)的下位序对是(3,11) . (2)∵(a,b)是(c,d)的“下位序对”, ∴ad<bc, ∵a,b,c,d 均为正数,故 同理 < . < . ﹣ = >0,即 ﹣ >0,所以 > ;

综上所述, <

(3)依题意,得



注意到 m,n,l 整数,故



于是 2014(mn+n﹣1)≥2014×2015k≥2015(mn+1) , ∴n≥ ,
+

该式对集合{t|0<t<2014}内的每个 m∈N 的每个正整数 m 都成立 ∴n≥ =4029,

∵ ∴ ∴

< < < < <

, < ,
+ +



∴对集合{t|0<t<2014}内的每个 m∈N ,总存在 k∈N ,使得(m,2014)是(k,n)的“下位 序对”,且(k,n)是(m+1,2015)的“下位序对”. 正整数 n 的最小值为 4029 点评: 本题考查了新定义的学习和利用,关键掌握读懂新定义,属于难题


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