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【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题9 直线和圆 理(2007-2012)


【2012 年高考试题】
1.【2012 高考真题重庆理 3】任意的实数 k,直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 的位置关系一
2 2

定是 (1)

相离

B.相切

C.相交但直线不过圆心

D.相交且直线过圆心

2. 2012 高考真题浙江理 3】 a∈R , “a=1” “直线 l1: 【 设 则 是 ax+2y=0 与直线 l2 : x+(a+1)y+4=0 平行 的 A 充分不必要条件 C 充分必要条件 B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件

4.【2012 高考真题陕西理 4】已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 ,l 过点 P (3, 0) 的直线,则(
2 2



A. l 与 C 相交 【答案】A.

B. l 与 C 相切

C. l 与 C 相离

D. 以上三个选项均有可能

【解析】圆的方程可化为 ( x ? 2 ) ? y ? 4 ,易知圆心为 ( 2 ,0 ) 半径为 2,圆心到点 P 的距离
2 2

为 1,所以点 P 在圆内.所以直线与圆相交.故选 A. 5. 【 2012 高 考 真 题 天 津 理 8 】 设 m , n ? R , 若 直 线 ( m ? 1) x ? ( n ? 1) y ? 2 ? 0 与 圆
( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 相切,则 m+n 的取值范围是
2 2

(A) [1 ?

3 ,1 ?

3]

(B) ( ?? ,1 ?

3 ] ? [1 ?

3 , ?? )

(C) [ 2 ? 2 2 , 2 ? 2 2 ] 【答案】D

(D) ( ?? , 2 ? 2 2 ] ? [ 2 ? 2 2 , ?? )

【 解 析 】 圆 心 为 (1,1) , 半 径 为 1. 直 线 与 圆 相 切 , 所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 满 足

用心 爱心 专心

-1-

( m ? 1) ? ( n ? 1) ? 2 | | ( m ? 1) ? ( n ? 1)
2 2

即 ? 1 , m ? n ? 1 ? mn ? (

m?n 2

) , m?n ? z, 设 即
2

1 4

z ? z ?1 ? 0 ,
2

解得 z ? 2 ? 2 2 , 或 z ? 2 ? 2 2 , 6.【2012 高考江苏 12】 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 15 ? 0 , (5 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则
k 的最大值是

▲ .

8.【2012 高考真题湖南理 21】 (本小题满分 13 分) 2 2 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5) +y =9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直 线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于 点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值. 【答案】 (Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x , y ) ,由已知得
x?2 ? ( x ? 5) ? y ? 3 ,
2 2

易知圆 C 2 上的点位于直线 x ? ? 2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以
( x ? 5) ? y ? x ? 5 .
2 2

用心 爱心 专心

-2-

化简得曲线 C 1 的方程为 y ? 20 x .
2

解法 2: 由题设知, 曲线 C 1 上任意一点 M 到圆心 C 2 (5, 0) 的距离等于它到直线 x ? ? 5 的距离, 因此,曲线 C 1 是以 (5, 0) 为焦点,直线 x ? ? 5 为准线的抛物线,故其方程为 y ? 20 x .
2

设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1 , y 2 , y 3 , y 4 ,则是方程③的两个实根,所以
y1 ? y 2 ? 20( y 0 ? 4 k1 ) k1

.



同理可得
y3 ? y 4 ? 20( y 0 ? 4 k 2 ) k2 .



于是由②,④,⑤三式得
y1 y 2 y 3 y 4 ? 400( y 0 ? 4 k1 )( y 0 ? 4 k 2 ) k1 k 2

?

2 400 ? y 0 ? 4( k1 ? k 2 ) y 0 ? 16 k1 k 2 ? ? ?

k1 k 2

用心 爱心 专心

-3-

?

2 2 400 ? y 0 ? y 0 ? 16 k1 k 2 ? ? ?

k1 k 2

6400 .

所以,当 P 在直线 x ? ? 4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400. 【2011 年高考试题】 一、选择题: 1. (2011 年高考江西卷理科 9)若曲线 C 1 :x ? y ? 2 x ? 0 与曲线 C 2 : y ( y ? mx ? m ) ? 0 有
2 2

四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 A.( ?
3 3 3 3



3 3 3 3

)

B.( ?

3 3

,0)∪(0,

3 3

)

c.[ ? 、



]

D.( ?? , ?

3 3

)∪(

3 3

,+ ? )

解 析 : 选 B , 由 题 意 , AC 为 直 径 , 设 圆 心 为 F , 则 F E ? B D, 圆 的 标 准 方 程 为

? x ? 1?

2

? ? y ? 3 ? ? 10 ,故 F ?1, 3 ? ,由此,易得: AC ? 2 10 ,又 k EF ?
2

3 ?1 1? 0

? 2 ,所以

用心 爱心 专心

-4-

直线 BD 的方程为 y ? ?

1 2

?
x ? 1 ,F 到 BD 的距离为

1 2

?1? 3 ? 5 2 5 ,由此得, BD ? 2 5 所

以四边形 ABCD 的面积为 二、填空题:

1 2

AC ?BD ?

1 2

? 2 5 ? 2 10 ? 10 2

1.(2011 年高考安徽卷理科 15)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x , y ) 为 整点,下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

2.(2011 年高考重庆卷理科 15)设圆 C 位于抛物线 y ? 2 x 与直线 x ? 3 所组成的封闭区域 (包
2

含边界)内,则圆 C 的半径能取到的最大值为 解析: 6 ? 1 。 为使圆 C 的半径取到最大值,显然圆心应该在 x 轴上且与直线 x ? 3 相切,

用心 爱心 专心

-5-

2 设圆 C 的半 径为 r ,则圆 C 的方程为 ? x ? r ? 3? ? y ? r , 将其与 y ? 2 x 联立得:
2 2 2

x ? 2 ? r ? 2? x ? 9 ? 6 r ? 0 令 ? ? ? 2 ? r ?2 ? ? ? 9 ? 6 ? r0 ? , ? ? ? 4
2

2

, 并由 r ? 0 , r ? 得:

6 ?1

三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 22)(本小题满分 14 分) 已知动直线 l 与椭圆 C:
x
2

3

?

y

2

2

? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、Q ? x 2 , y 2 ? 两不同点,且△OPQ 的面积

S ?OPQ =

6 2

,其中 O 为坐标原点.

(Ⅰ)证明 x1 ? x 2 和 y1 ? y 2 均为定值;
2 2 2 2

(Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 | OM | ? | PQ | 的最大值;
6 2

(Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S ? ODE ? S ? ODG ? S ? OEG ? 的形状;若不存在,请说明理由.

?若存在,判断△DEG

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

用心 爱心 专心

-6-

由题意知 m ? 0 ,将其代入

x

2

3

?

y

2

2

? 1 ,得

(2 ? 3 k ) x ? 6 kmx ? 3( m ? 2) ? 0 ,
2 2 2

y1 ? y 2 ?
2 2

2 3

(3 ? x1 ) ?
2

2 3
2

(3 ? x 2 ) ? 4 ?
2

2 3

( x1 ? x 2 ) ? 2.
2 2

综上所述, x1 ? x 2 ? 3; y1 ? y 2 ? 2, 结论成立。
2 2 2

(II)解法一: (1)当直线 l 的斜率存在时, 由(I)知 | OM |? | x1 |?
6 2 , | PQ |? 2 | y1 |? 2,

用心 爱心 专心

-7-

因此 | OM | ? | PQ |?

6 2

?2 ?

6.

(2)当直线 l 的斜率存在时,由(I)知
x1 ? x 2 2 ? 3k 2m ,

y1 ? y 2 2
2

? k(

x1 ? x 2 2
2

)?m ? ?

3k

2

2m
2

?m? 9k 4m ?
2 2

? 3k ? 2 m
2

2

2m ? 1 m
2 2 2 2

?

? m

, 1 2
2

| OM | ? (
2

x1 ? x 2 2
2

) ?(

y1 ? y 2 2
2 2 2

) ?
2

?

6m ? 2 4m
2

? 1 m

(3 ?

1 m
2

),

| PQ | ? (1 ? k )
2

24(3 k ? 2 ? m ) (2 ? 3 k )
2

2(2 m ? 1) m

? 2(2 ?
1

),

所以 | OM | ? | PQ | ?

1 2

? (3 ?

1 m
2

) ? 2 ? (2 ?

m

2

)

? (3 ? 3? ?(

1 m 1 m
2

)(2 ? ?2? 2

1 m
2

)

1
2 m ) 2 ? 25 . 4

2

所以 | OM | ? | PQ |?

5 2

,当且仅当 3 ?

1 m
2

? 2?

1 m
2

, 即 m ? ? 2 时,等号成立.

5 综合(1) (2)得|OM|·|PQ|的最大值为 . 2

解法二:

用心 爱心 专心

-8-

由(I)得
u ? x1 ? 3, u ? x 2 ? 3, x1 ? x 2 ? 3; v ? y1 ? 2, v ? y 2 ? 2, y1 ? y 2 ? 2,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解 得 u ? x1 ? x 2 ?
2 2 2

3 2

; v ? y1 ? y 2 ? 1.
2 2 2

因 此 u , x1 , x 2 只 能 从 ?

5 2
6 2

中 选 取 , v , y1 , y 2 只 能 从 ? 1中 选 取 ,

因此 D,E,G 只能在 ( ?

, ? 1) 这四点中选取三个不同点,

而这三点的两两连线中必有一条过原点, 与 S ? ODE ? S ? ODG ? S ? OEG ?
6 2

矛盾,

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G.
( ( 2. (2011 年高考广东卷理科 19)设圆 C 与两圆 x + 5) ? y ? 4, x ? 5) ? y ? 4 中的一个
2 2 2 2

内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程. (2) 已知点 M ( 点 P 的坐标. 【解析】 (1)解:设 C 的圆心的坐标为 ( x , y ) ,由题设条件知
| (x ? 5) ? y ?
2 2

3 5 4 5 , ), F 5, 0) , P 为 L 上动点, MP ? FP 的最大值及此时 ( 且 求 5 5

(x ?
2

5 ) ? y |? 4,
2 2

化简得 L 的方程为

x

? y ? 1.
2

4

用心 爱心 专心

-9-

3.(2011 年高考福建卷理科 17)(本小题满分 13 分) 已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C:x =4y 是否相切?说明理
2

由。 解析:本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程 思想、数形结 合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13 分。 解法一: (I)依题意,点 P 的坐标为(0,m) 因为 MP ? l ,所以
0?m 2?0 ? 1 ? ?1 ,

解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2) 从而圆的半径
r ?| MP |? (2 ? 0) ? (0 ? 2) ? 2 2 ,
2 2

故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8.
2 2

(II)因为直线 l 的方程为 y ? x ? m , 所以直线 l ' 的方程为 y ? ? x ? m .

用心 爱心 专心

- 10 -

? y ' ? ? x ? m, 2 得 x ? 4 x ? 4m ? 0 由? 2 ?x ? 4y
? ? 4 ? 4 ? 4 m ? 16(1 ? m )
2

(1)当 m ? 1, 即 ? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切 (2)当 m ? 1 ,那 ? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。 综上,当 m=1 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切; 当 m ? 1 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。

4.(2011 年高考上海卷理科 23)(18 分)已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线 段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离,记作 d ( P , l ) 。 (1)求点 P (1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 的距离 d ( P , l ) ; (2)设 l 是长为 2 的线段,求点集 D ? { P | d ( P , l ) ? 1} 所表示图形的面积; (3)写出到两条线段 l1 , l 2 距离相等的点的集合 ? ? { P | d ( P , l1 ) ? d ( P , l 2 )} ,其中
l1 ? AB , l 2 ? CD ,
A , B , C , D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①2

分,② 6 分,③8 分;若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。
用心 爱心 专心 - 11 -

① A (1, 3), B (1, 0), C ( ? 1, 3), D ( ? 1, 0) 。 ② A (1, 3), B (1, 0), C ( ? 1, 3), D ( ? 1, ? 2) 。 ③
A (0,1), B (0, 0), C (0, 0), D (2, 0) 。

⑶ ① 选择 A (1, 3), B (1, 0), C( ?1, 3), D( ?1, 0) , ? ? {( x , y ) | x ? 0} ② 选择 A (1, 3), B (1, 0), C( ?1, 3), D( ?1, ?2) 。
? ? {( x , y ) | x ? 0, y ? 0} ? {( x , y ) | y ? 4 x , ? 2 ? y ? 0} ? {( x , y ) | x ? y ? 1 ? 0, x ? 1}
2

用心 爱心 专心

- 12 -

【2010 年高考试题】 ( 2010 江 西 理 数 ) 8. 直 线 y ? k x ? 3 与 圆 ? x ? 3 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 相 交 于 M,N 两 点 , 若
2 2

MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是
? 3 ? 0 ? ? ,? A. ? 4 ?
? 3 3? 3? ? , ? ?? ?? , ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 3 3 ? 4? B. ? C. ?

? 2 ? 0 ? ? ,? D. ? 3 ?

【答案】A 【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考察数形结合 的运用. 解法 1:圆心的坐标为(3.,2) ,且圆与 y 轴相切.当 | M N |? 2 3时 ,由点 到直线距离公式,解得 [ ?
3 4 , 0] ;

解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 不取 ?? ,排除 B,考虑区间不 对称,排除 C,利用斜率估值,选 A

(2010 重庆理数) (8) 直线 y=

3 3

x?

? x ? 3 ? 3 cos ? , ? 2 与圆心为 D 的圆 ? ?? ? ? 0, 2? ? ? y ? 1 ? 3 sin ? ?
用心 爱心 专心

??

- 13 -

交与 A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 A.
7 6

?

B.

5 4

?

C.

4 3

?

D.

5 3

?

解析:数形结合
?1 ? ? ? 30
?

? 2 ? 30 ? ? ? ?
?

由圆的性质可知 ?1 ? ? 2
? ? ? 30 ? 30 ? ? ? ?
? ?

故? ? ? ?

4 3

?

1. (2010 安徽理数)9、动点 A ? x , y ? 在圆 x ? y ? 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,
2 2

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵 12 秒旋转一周。已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( , 2 2

坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调递增区间是 A、 ? 0,1? 9.D B、 ?1, 7 ? C、 ? 7,12 ? D、 ? 0,1? 和 ? 7,12 ?

(2010 全国卷 2 理数) (16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为 圆 M 与圆 N 的公共弦, AB ? 4 .若 OM ? ON ? 3 ,则两圆圆心的距离 M N ? .

用心 爱心 专心

- 14 -

( 2010 四 川 理 数 ) 14 ) 直 线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与 圆 x ? y ? 8 相 交 于 A 、 B 两 点 , 则 (
2 2

?AB??

.

解析:方法一、圆心为(0,0),半径为 2 2 圆心到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 d=
| AB | ?

|0?0?5| 1 ? ( ? 2)
2 2

?

5

故?

? ? ? ? ? ? ?? 2 ?

?

?

?

得|AB|=2 3 答案:2 3 (2010 广东理数)12.已知圆心在 x 轴上,半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方程是 12. ( x ?
5 ) ? y ? 5 .设圆心为 ( a , 0)( a ? 0) ,则 r ?
2 2

| a ? 2?0 | 1 ?2
2 2

?

5 ,解得 a ? ? 5 .

(2010 山东理数)

【解析】由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0 ,设圆心坐标为 (a,0) ,则由题意知:
| a-1| 2

(

) +2=(a-1) ,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3 ,故圆心坐标

2

2

为(3,0) ,因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0 ,即 m=-3 ,故所求的直 线方程为 x+y-3=0 。
用心 爱心 专心

- 15 -

【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解 决直线与圆问题的能力。

(2010 湖南理数)

2. (2010 江苏卷)9、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有四个点到直
2 2

线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是______▲_____ [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2,
|c| 13 ? 1 , c 的取值范围是(-13,13) 。

圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1, 【2009 年高考试题】

4.(2009·辽宁文、理)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y =0 上,则圆 C 的方程为 (A) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(B) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C)

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

解析:圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于 半径 2即可. 答案:B

用心 爱心 专心

- 16 -

16.2009·18)本小题满分 16 分) ( ( 在平面直角坐标系 xoy 中 , 已
2




2

C1 : ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4
2 2





C 2 : ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 4 .(1)若直线 l 过点 A (4, 0) ,且被

圆 C 1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平 面上的点, 满足: 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l 2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C 2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截 得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。[解析] 本小 题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题 的能力。满分 16 分。

(2) 设点 P 坐标为 ( m , n ) ,直线 l1 、 l 2 的方程分别为:
y ? n ? k ( x ? m ), y ? n ? ? 1 k ( x ? m ) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? 1 k x? y?n? 1 k m?0

因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定 理,得: :圆心 C 1 到直线 l1 与 C 2 直线 l 2 的距离相等。 故有: | ? 3 k ? 1 ? n ? km |
k ?1
2

|? ?

4 k

?5?n? 1 k
2

1 k

m|



?1

化简得: (2 ? m ? n ) k ? m ? n ? 3, 或 ( m ? n ? 8) k ? m ? n ? 5
?2 ? m ? n ? 0 ? m-n+8=0 ,或 ? 关于 k 的方程有无穷多解,有: ? ?m ? n ? 3 ? 0 ? m+n-5=0

解之得:点 P 坐标为 ( ? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。
2 2
2 2

用心 爱心 专心

- 17 -

【2008 年高考试题】 15. (2008·江苏 18)在平面直角坐标系 xO y 中,二次函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? b ( x ? R )与
2

两坐标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆 C . (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)圆 C 是否经过定点(与 b 的取值无关)?证明你的结论.

用心 爱心 专心

- 18 -



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