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四川省德阳市香港马会第五中学校2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 文


德阳五中 2016 年上期高二第一次月考数学试题 ( 文科试题)
一.填空题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分) 2 2 1.命题“若 x >y ,则 x>y”的逆否命题是( ) 2 2 2 2 A. “若 x<y,则 x <y ” B. “若 x>y,则 x >y ” 2 2 2 2 C. “若 x≤y,则 x ≤y ” D.

“若 x≥y,则 x ≥y ” 2.设函数 y ? f ( x) 可导,则

lim
?x ?0

f (1 ? 3?x) ? f (1) 等于( 3?x
1 f '(1) 3
2

) .

A. f '(1)

B. 3 f '(1)

C.

D.以上都不对 )

3.若直线 l1:ax+2y+6=0 与 l2:x+(a-1)y+a -1=0 垂直,则实数 a=( 2 A. B.-1 3 C.2 D.-1 或 2 4
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曲线 f ( x) = x3 + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1, 则 p0 点的坐标为 ( A C
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(1, 0)

B

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(2,8)
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(1, 0) 和 (?1, ?4)
3 2

D

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(2,8) 和 (?1, ?4)
4 ,则 p 是 q 的 ( 3


5. 设 p:f(x)=x +2x +mx+1 在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥ A,充分不必要条件 C,充分必要条件 6
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B,必要不充分条件 D,既不充分 也不必要条件

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函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( ) A
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y

y ? f ?( x)

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1个

B

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2个

C

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3个

D

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4个

b

a

O

x

7. 若 f(x)=-x +2ax 与 g(x)= 是 A.(-1,0)∪(0,1)

2

a

x+1

, 在区间[1,2]上都是减函数, 则 a 的取值范 ( ) D.(0,1] C. (0,1)



B.(-1,0)∪(0,1]

1

9 8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则 5 ( ) A.a=4 C.a=6 B.a=5 D.a=7

9.如图,平面 α ⊥平面 β ,A∈α ,B∈β ,AB 与两平面 α 、 β 所成的角分别为 A π π 和 ,过 A、B 分别作两平面交线的垂线, 4 6 )

α

垂足为 A′、B′,则 AB∶A′B′=( A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3 10 .设曲线 y ? x
n ?1

B′ A′ B

β

(n ? N * ) 在点( 1 , 1 )处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn , 则
( B. )

x1 ? x2 ? ? ? ?xn 的值为
A.

1 n

1 n ?1

C.

n n ?1

D.

1

x2 y2 a b P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率
为( A. ) 4 3 5 B. 3 5 C. 4
'

11.设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点.若在双曲线右支上存在点

D.

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1, f ? x ? 为 f(x)的导函数,已知函数 y= f ? x ? 的图 b+2 象如图所示.若两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,则 的取值范围是 ( ) a+2 1 1 A.( , ) 3 2 1 B.(-∞, )∪(3,+∞) 2 1 C.( ,3) 2 D.(-∞,-3)
'

41 4

二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分) 13. 把二进制数 110 011(2)化为十进制数为________

2

14.设函数 f ( x) ? x 2 ? ln x ,若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ax ? b , 则a ?b ? 。 15.设 F 为抛物线 C: y2=3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A, B 两点, 则|AB| =________ 3 2 16. 对于三次函数 f(x)=ax +bx + cx+d(a≠0) ,定义:设 f″(x)是函数 y=f(x) 的导数 y=f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y =f(x)的“乖点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“乖点”;任何一个三次函数都 有对称中心;且“乖点”就是对称中心.”请你根据这一发现,请回答问题: 1 3 1 2 5 1 2 3 4 若函数 g(x)= x - x +3x- ,则 g( )+g( )+g( )+g( ) 3 2 12 2011 2011 2011 2011 2010 +?+g( )= 2011 .

三.解答题(17 题 10 分,其余各题每题 12 分) 3 2 17. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c, 曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l: 3x-y+1=0, 2 若 x= 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

18. 已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? (1)求 ? 的值; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的值域. 3

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

? 2π ? ? ?

19.洋洋百货销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格

a 2 x(单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x-6) ,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格 x-3
为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使洋洋百货每日销售该商品 所获得的利润最大.

20. (本大题满分 12 分) 已知单位正方体 ABCD?A1B1C1D1, E, F 分别是棱 B1C1, C1D1 的中点.试求: (1)AD1 与 EF 所成角的大小; (2)AF 与平面 BEB1 所成角的余弦值.

3

21. (本大题满分 12 分)

x2 y2 2 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e 为 ,且过点(2, 2). a b 2
(1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的四个顶点都在椭圆上,且对角线 AC,BD 过原点 O,若 kAC·kBD=- 2. 求 证:四边形 ABCD 的面积为定值.

b2 a

22. (本大题满分 12 分) 1 3 已知函数 f(x)= x -ax +1. 3 (1)当 x=1 时,f(x)取得极值,求 a 的值; (2)求 f(x)在[0,1]上的最小值; (3)若对任意 m∈R, 直线 y=-x+m 都不是曲线 y= f(x)的切线,求 a 的取值范围.

4

参考答案(文科) 一.CAACC ADAAB BC 二 13:51 14:1;1 5:12; 16:2010. 3 2 2 三 17 解:(1)由 f(x)=x +ax +bx+c,得 f′(x)=3x +2ax+b.当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0,① 2 ?2? 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f′? ?=0,可得 4a+3b+4=0,② 3 ?3? 由①②,解得 a=2,b=-4. 由于切点的横坐标为 1, 所以 f(1)=4. 所以 1+a+b+c=4.所以 c=5. 3 2 2 (2)由(1),可得 f(x)=x +2x -4x+5,f′(x)=3x +4x-4.令 f′(x)=0, 2 解得 x1=-2,x2= . 3 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的取值及变化情况如下表所示:

x f′(x) f(x)

-3 + 8

(-3,-2) + ?

-2 0 13

?-2,2? ? 3? ? ?
- ? 95 . 27

2 3 0 95 27

?2,1? ?3 ? ? ?
+ ?

1 + 4

所以 y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为

18 证明: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 1 1 ? cos 2? x 3 sin 2? x ? cos 2? x ? ? sin 2? x ? 2 2 2 2 2
----------------------3

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
分 因为函数 f ( x) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

2π ? π ,解得 ? ? 1 .--------6 分 2?

? ?

2π π? 1 ? ? .因为 0 ≤ x ≤ 3 , 6? 2
--------------9 分

所以 ?

π π 7π π? ≤ 2 x ? ≤ ,所以 ? 1 ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 , ? 6 6 6 2 6? ?
? ? π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ? 0, ? 6? 2 2 ? 2?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

-----------12 分

5

19.解:(1)因为 x=5 时,y=11, 所以 +10=11,a=2. 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= 2

a

x-3

+10(x-6) .

2

所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)?
2

? 2 +10(x-6)2? ? ?x-3 ?

=2+10(x-3)(x-6) ,3<x<6. 2 从而 f′(x)=10[(x-6) +2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(3,4) + 单调递增

4 0 极大值 42

(4,6) - 单调递减

由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 故当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.

20: (1)AD1 与 EF 所成的角为 60°. 2 2 (2)AF 与平面 BEB1 所成角的余弦值为 . 3 21.解:(1)由题意 e= =
2 2

c a

2 4 2 2 2 2 , 2+ 2=1,又 a =b +c , 2 a b

解得 a =8,b =4,故椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 (2)证明:易知直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立?
?y=kx+m, ?
2 2

x2 y2

?x +2y =8. ?
2

得(1+2k )x +4kmx+2m -8 =0,
2 2 2 2

2

2

2

Δ =(4km) -4(1+2k )(2m -8)=8(8k -m +4)>0,① -4km x1+x2= 2, 1+2k 由根与系数的关系得 2 2m -8 x1x2= 2. 1+2k

? ? ? ? ?

b 1 ∵kAC·kBD=- 2=- , a 2


2

y1y2 1 =- , x1x2 2
2 2

1 1 2m -8 m -4 ∴y1y2=- x1x2=- · 2=- 2. 2 2 1+2k 1+2k
6

又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m) 2 2 =k x1x2+km(x1+x2)+m =k
2

2m -8 -4km m -8k 2 2+km 2+m = 2, 1+2k 1+2k 1+2k
2 2 2

2

2

2

m -4 m -8k 2 2 2 ∴- 2= 2 ,∴-(m -4)=m -8k , 1+2k 1+2k
∴4k +2=m . 设原点到直线 AB 的距离为 d,则 1 1 |m| |m| 2 S△AOB= |AB|·d= 1+k2·|x2-x1|· = (x1+x2) -4x1x2 2 2 2 2 1+k |m| = 2 = |m| 2 -4km 2 2m -8 ( 2) -4× 2 1+2k 1+2k 8m 2 2=2 2, (1+2k )
2 2 2 2

∴S 四边形 ABCD=4S△AOB=8 2, 即四边形 ABCD 的面积为定值. 22 解:(1)因为 f′(x)=x -a, 当 x=1 时,f(x)取得极值,所以 f′(1)=1-a=0,a=1, 又 x∈(-1,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在 x=1 处取得极小值,即 a=1 时符合题意. (2)当 a≤0 时,f ′(x)>0 对 x∈(0,1)恒成立, 所以 f(x)在(0,1)上单调递增,所以 f(x)在 x=0 处取得最小值 f(0)=1. 当 a>0 时,令 f′(x)=x -a=0,解得 x1=- a,x2= a, 当 0<a<1 时, a<1, 当 x∈(0, a)时,f′(x) <0,f(x)单调递减; 当 x∈( a,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 2a a 所以 f(x)在 x= a处取得最小值 f( a)= 1- . 3 当 a≥1 时, a≥1. x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 4 所以 f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)= -a. 3 综上所述,当 a≤0 时,f(x)在 x=0 处取得最小值 f(0)=1; 2a a 当 0<a<1 时,f(x)在 x= a处取得最小值 f( a)=1- ; 3 4 当 a≥1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)= -a. 3 (3)因为? m∈R,直线 y=-x+m 都不是曲线 y=f(x)的切线, 2 所以 f′(x)=x -a≠-1 对 x∈R 恒成立, 2 只要 f′(x)=x -a 的最小值大于-1 即可. 2 而 f′(x)=x -a 的最小值为 f(0)=-a, 所以-a>-1,即 a<1.
2 2

7


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