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河北省衡水市冀州中学届高三数学下学期保温考试试题(一)理B-课件


冀州中学 2016 届高三保温考试一 理科数学试题 B 卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.

8、如果下面的程序执行后输出的结果是 11880 ,那么在程序 UNTIL 后 面的条件应为 ( ) A. i ? 10 B. i ? 10 C. i ? 9 D. i ? 9 9、在平面直角坐标系中,双曲线 C 过点 P(1,1) ,且其两条渐近线的方 程分别为 2 x ? y ? 0 和 2 x ? y ? 0 ,则双曲线 C 的标准方程为( )

n 1、已知 m 、 n ? R ,集合 A ? ?2,log7 m? , B ? m , 2 ,若 A ? B ? ?1? ,则 m ? n ? ( )

?

?

A、8

B、7

C、6

D、5

2、设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,若 z1 ? 1 ? 2i , i 是虚数单位,则 ( )A. ?

z2 的虚部为 z1

4x y ? ?1 3 3 4 y2 x2 ? ?1 C. 3 3
A.

4 4 4 C. ? D. i 5 5 5 b 是方程 x 2 ? 2 x ? c ? 0 3、 设两条直线的方程分别为 x ? 3 y ? a ? 0 ,x ? 3 y ? b ? 0 , 已知 a , 1 的两个实根,且 0 ? c ? ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为( ) 。 2 2 2? 2 4 ? 14 A. B. C.1 D. 2 2 4 4、在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) ,
B. (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别是 A.①和② B.④和③ C.④和② D.③和① ( )

4 i 5

x 4y ? ?1 3 3 4 x2 y 2 x2 4 y 2 ? ? 1或 ? ?1 D. 3 3 3 3 10、如图,正弦曲线 f ( x ) ? sin x 和余弦曲线 g( x ) ? cos x 在矩形
B. ABCD 内交于点 F,向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴 影区域内的概率是 ( ) A.

2

2

2

2

1? 2

?

B.

1? 2 2?

C.

1

?

D.

1 2?

11 、三棱锥 P ? ABC 中 , 已知 ?APC ? ? BPC ? ? APB ?

?
3

,

点 M 是 ? ABC 的重心,且 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? 9 ,则 | PM | 的最小值为( A.2 B.

uu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu r
C. 6

uuu r



4 3 3

D. 2 2
2

? 1 ?? ? 2 12.已知点 P 为函数 f ? x ? ? ln x 的图像上任意一点,点 Q 为圆 ? x ? ? e ? ? ? ? y ? 1 上任意 e ?? ? ? 一点,则线段 PQ 的长度的最小值为 ( )

5、 将函数 f ? x ? ? cos ? x ?

的图象,则函数 g ? x ? 的一个减区间为 A、 ? ?

? ?

??

e ? e2 ? 1 A、 e

2e2 ? 1 ? e B、 e

e2 ? 1 ? e C、 e

D、 e ?

1 ?1 e

1 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍, 纵坐标不变, 得到 g ? x ? ? 2 6?
( )

二、填空题:本大 题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。

? ? 5? ? ? ? 11? ? ? ? ?? ? ? 5? ? B、 ? ? , C、 ? ? , ? D、 ? ? , , ? ? ? 3 3 ? ? 6 6 ? ? 6 3? ? 12 12 ? ? a ?a b ?b 6、设 a , b ? R ,则 “a ? b ” 是 “a(e ? e ) ? b(e ? e )” 的

5n ? 10 ,则它们的第 7 项之比为____。 2n ? 1 14、在不同的进位制之间的转化中,若 132? K ? ? 42?10? ,则 k= .
13、两个等差数列的前 n 项和之比为 15、如右图所示,在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的 建筑物 CD .为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ? ,在山坡的 A 处测 得 ?DAC ? 15 ,沿山坡前进 50 m 到达 B 处,又测得 ?DBC ? 45 .根
0 0

(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 CA ? BD ? z , 7、 在半径为 1 的球面上有不共面的四个点 A, B, C, D 且 AB ? CD ? x , BC ? DA ? y , 则 x ? y ? z 等于 A.2 B.4
2 2 2

据以上数据计算可得 cos ? ? _____。 16、已知正数 a , b 满足 5 ? 3a ? b ? 4 ? a, ln b ? a , ,则

A

?

( C.8 D.16

)

b 的取值范围是____. a
1

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 共 70 分. 17. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 ? ABC , B ?

, BC ? 2 , 点 D 在 边 AB 上 , 3 AD ? DC , DE ? AC , E 为垂足. 3 (I)若△BCD 的面积为 ,求 CD 的长; 3 6 (II)若 ED= ,求角 A 的大小. 2

?

20、 (本小题满分 12 分)

x2 y2 2 2 2 2 给定椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),称圆 C1:x +y =a +b 为椭圆 C 的“伴随圆” . 已知点 A(2,1) 是 a b
椭圆 G : x 2 ? 4 y 2 ? m 上的点. (1)若过点 P(0, 10) 的直线 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点,求 l 被椭圆 G 的伴随圆 G1 所截得 的弦长; (2) 椭圆 G 上的 B, C 两点满足 4k1 ? k2 ? ?1 (其中 k1 , k2 是直线 AB, AC 的斜率) , 求证:B, C , O 三点共线.

18、 (本小题满分12分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正 方形,点 M 、 N 分别为线段PB,PC 上的点,MN⊥PB. (Ⅰ)求证: BC⊥平面PAB ; (Ⅱ)求证:当点M 不与点P ,B 重合时,M ,N ,D , A 四 个点在同一个平面内;

21、 (本小题满分 12 分) 对于函数 y ? F ( x) ,若在其定义域内存在 x0 ,使得 x0 ? F ( x0 ) ? 1 成立,则称 x0 为函数 F ( x) 的“反 比点”。已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

1 ( x ? 1) 2 ? 1 2

? (Ⅲ) 当PA=AB=2, 二面角C-AN -D的大小为 时, 求PN 的 3
长.

(1)求证:函数 f ( x ) 具有“反比点”,并讨论函数 f ( x ) 的“反比点”个数; (2)若 x ? 1 时,恒有 x ? f ( x) ? ? g( x) ? x 成立,求 ? 的最小值. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 P AC Q ABCD 等腰梯形 中, AD ∥ BC , AC 、 BD 交于点 , 平 A D 分 ?DAB , AP 为梯形 ABCD 外接圆的切线, 交 BD 的延长线于 点P.
2

?

?

19、 (本小题满分 12 分) 某制药厂对 A、 B 两种型号的产品进行质量检测, 从检测的数据中随机抽取 10 次, 记录如下表 ( 数 值越大表示产品质量越好) : A B

Q

(Ⅰ)求证: PQ ? PD ? PB ; (Ⅱ)若 AB ? 3 , AP ? 2 , AD ?

7.9 8.2

9.0 9.5

8.3

7.8 7.5

8.4 9.2

8.9 8.5

9.4 9.0

8.3 8.5

8.5 8.0

8.5 8.5

4 ,求 AQ 的长. 3

B

C

8.1

(Ⅰ)画出 A、B 两种产品数据的茎叶图;若要从 A、 B 中选一种型号产品投入生产, 从统计学角 度考虑,你认为生产哪种型号产品合适?简单说明理由; (Ⅱ)若将频率视为概率,对产品 A 今后的三次检测数据进行预测,记这三次数据中不低于 8.5 的 次数为 ? ,求 ? 的分布列及期望 E? .

23.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程 ? x ? 1 ? cos ? , (? 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 为参数 ) ;在以原点 O 为极点, ? y ? sin ? x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos2 ? ? sin ? . (Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若射线 l : y ? kx ( x ? 0) 与曲线 C1 , C2 的交点分别为 A , B ( A , B 异于原点) ,当斜率

k ? (1, 3] 时,求 | OA | ? | OB | 的取值范围.
2

24.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 设函数 f ( x) ? x2 ? 3x . (Ⅰ)若 ? ? ? ? 1 (? , ? ? 0) ,求证 f (? x1 ? ? x2 ) ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ; (Ⅱ)若对任意 x1 , x2 ? [0, 1] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? L x1 ? x2 ,求 L 的最小值.

所以 PA ? AB , PA ? AD . 又 AB ? AD , 如图,以 A 为原点, AB, AD, AP 所在直线为 x, y, z 轴 建立空间直角坐标系 A ? xyz , ??9 分 所以 C (2,2,0), D(0,2,0), B(2,0,0), P(0,0,2) . 设平面 DAN 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , 平面 CAN 的一个法向量为 m ? (a, b, c) , ???? ??? ? 设 PN ? ? PC , ? ? [0,1] , 因为 PC ? (2,2, ?2) ,所以 AN ? (2?,2?,2 ? 2? ) , ???? ? ? AN ? n ? 0 ???? ?2? x ? 2? y ? (2 ? 2? ) z ? 0 ? 又 AD ? (0,2,0) ,所以 ? ???? ? ,即 ? , ? ?2 y ? 0 ? AD ? n ? 0

?

??

A卷 B卷

1 --- 6 C A A D A C 1 --- 6 B C B C D C

高三理科数学保温考试一答案 7 --- 12 B D B C A C 7 --- 12 C D A B A C

??? ?

????

13、3 ;14、5; 15、 3 ? 1 ; 16、 e , 7 17.解: (Ⅰ)由已知得 S ?BCD 在△BCD 中,由余弦定理得

?

?

? 2 1 3 ,又 BC=2, B ? ∴ BD ? , ? BC ? BD ? sin B ? 3 3 2 3

28 2 7 CD =BC +BD -2BC·BD·cos B= .∴ CD ? ............................ 6 分 9 3 CD DE ? (Ⅱ)在 ?CDE 中 ,? AD ? DC ,∴ A ? ?DCE sin ?DEC sin ?DCE DE 6 ∴CD=AD= ? sin A 2 sin A BC CD ? 在 ?BCD 中 ,又∠BDC=2A,得 sin ?BDC sin B 2 CD 3 ? ,∴ CD ? ? sin 2 A sin 2 A sin 3
2 2 2

? ?1 ,0,1) , ?????9 分 ? ??? ? ?? ? AP ? m ? 0 ??? ? ???? ?2c ? 0 ? 因为 AP ? (0,0,2) , AC ? (2,2,0) 所以 ? ???? ?? ,即 ?
取 z ?1, 得到 n ? (

?

取 a ? 1 得, 到 m ? (1, ?1,0) , 因为二面 C ? AN ? D 大小为

??

? ? AC ? m ? 0

?2a ? 2b ? 0



???????10 分

?? ? ? π 1 , 所以 | cos ? m, n ?|? cos ? , 3 3 2

?? ? ?? ? m?n ? ? 所以 | cos ? m, n ?|? ?? ?? | m || n |
解得 ? ?

? ?1 1 ? ? 2 ? ?1 2 2 ( ) ?1 ?
???????12 分 19、解:(Ⅰ)A、B 两种产品数据的茎叶图如图

1 , 所以 PN ? 3 2

? 6 3 2 ∴ CD ? 解得 cos A ? ,所以 A = .................... 12 分 ? 4 2 sin A sin 2 A 2
18、解: (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, AB ? BC , ???????1 分 因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BC .??????2 分 因为 AB ? PA ? A ,且 AB , PA ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB ???????4 分 (Ⅱ)证明:因为 BC ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 BC ? PB ???????5 分 在 ?PBC 中, BC ? PB , MN ? PB , 所以 MN // BC . ???????6 分 在正方形 ABCD 中, AD // BC , 所以 MN // AD , ???????7 分 ? AD 可以确定一个平面,记为 ? 所以 MN , A 个 点 在 同 一 个 平 面 ? 所 以 M , N , D, 四 z 内 ???????8 分 P (Ⅲ)因为 PA ? 平面 ABCD , AB, AD ? 平面 ABCD ,
M N D A B x C y

???????(2 分) ∵ xA ?

1 ? 7.8 ? 7.9 ? 8.3 ? 8.3 ? 8.4 ? 8.5 ? 8.5 ? 8.9 ? 9.0 ? 9.4 ? ? 8.5 10
(3 分)

xB ?
2 sA ?

1 ? 7.5 ? 8.0 ? 8.1 ? 8.2 ? 8.5 ? 8.5 ? 8.5 ? 9.0 ? 9.2 ? 9.5 ? ? 8.5 10

1 [( ?0.7) 2 ? (?0.6) 2 ? (?0.2) 2 ? (?0.2) 2 ? (?0.1) 2 ? 0 ? 0 ? 0.4 2 ? 0.5 2 ? 0.9 2 ] ? 0.216 10
3

2 sB ?

1 ? (?1) 2 ? (?0.5) 2 ? (?0.4) 2 ? (?0.3) 2 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0.52 ? 0.7 2 ? 1? ? ? ? 0.324 10
(6 分) (7 分)

(4 分)

2 2 ∵ xA ? xB , sA ,∴从统计学角度考虑,生产 A 型号产品合适. ? sB

(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3. 产品 A 不低于 8.5 的频率为

5 1 ? 1? ? ,若将频率视为概率,则 ? ? B ? 3, ? 10 2 ? 2? 1 2
3? k

(8 分)

所以 P (? ? k ) ? C 3 ( ) (1 ? )
k k

1 2

1 ? C 3k ( ) 3 ,k=0,1,2,3. 2

(9 分)

所以 ? 的分布列为: 所以 E? ? 0 ?

1 3 3 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ?????(12 分) 8 8 8 8 2

20.解: (1)因为点 A(2,1) 是椭圆 G : x 2 ? 4 y 2 ? m 上的点.

x2 y 2 + ? 1 ?????????????1 分 8 2 ?a2 ? 8, b2 ? 2,?伴随圆G1 : x2 ? y2 =10 当直线 l 的斜率不存在时:显然不满足 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点 当直线 l 的斜率存在时:设直线 l : y ? kx ? 10 与椭圆 G : x2 ? 4 y 2 ? 8 联立得 ? 22 ? 4 ?12 ? m,? m ? 8即椭圆G :

?4k2 2 ? 4k2 +1 因为 4k1 ? k2 ? ?1 8k 2 2 ? 8 k 2 ? 2 ?1 2 ?1 ?4( ) ? 4( )+1 4k1 4k1 ?1 ? 4k1 ? 4k12 ? ? koB 所以 kOC ? ?1 2 ?1 2 ? 8k1 ? 8k12 8( ) ? 8( )? 2 4k1 4k1 ?????????????12 分 ? B, O, C 三点共线 21.解(1)证明:设 h( x ) ? x ln x ? 1 , h '( x ) ? ln x ? 1 , 1 1 h '( x ) ? 0得x ? (0, ) h '( x ) ? 0 ,得 x ? ( , ?? ), e e 1 1 1 1 ∵ h ? x ?min ? h( ) ? ln ? 1 ? ? 1 ? 0 , x ? (0,1),h( x) ? 0, x ? ?1, ??? , h( x) ? 0 e e e e ∴在 (0, ??) 上有解,所以函数 f ( x ) 具有“反比点”.且有且只有一个;????????5 分 1 x ? f ( x) ? ? ( g ( x) ? x) ? x ln x ? ? ( ( x ? 1) 2 ? 1 ? x) 2 (2) 1 1 1 1 ? x ln x ? ? ( x 2 ? ) ? ln x ? ? ( x ? ) ? 0 2 2 2 x 2 1 1 ?? x ? 2 x ? ? 令 G ( x) ? ln x ? ? ( x ? ), G '( x) ? 2 x 2 x2 10当? ? ?1时, ? ? 4 ? 4(?? )(?? ) ? 0, 故恒有 ? ? x2 ? 2 x ? ? ? 0
同理 kOC ?

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8 10kx ? 32 ? 0
由直线 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点得 ? ? (8 10k )2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) ? 32 ? 0 解得 k ? ?1 ,由对称性取直线 l : y ? x ? 10 即 l : x ? y ? 10 ? 0 ???????3 分

则G '( x) ? 0恒成立,故G( x)在区间[1, ??)上单调递增 ?G( x) ? G(1)=0,这与条件矛盾; 2 1 20 当 ? 1 ? ? ? 0时, x ? ? ? ? 0, 故有y ? ?? x 2 ? 2 x ? ?在区间[1, ??)上单调递增 2(?? ) ?
故有 ? ? x 2 ? 2 x ? ? ? 2 ? 2? ? 0, 则G '( x) ? 0恒成立,故G( x)在区间[1, ??)上单调递增 ?G( x) ? G(1)=0,这与条件矛盾; 2x 30 当? ? 0时,G '( x) ? 2 ? 0故G ( x)在区间[1, ??)上单调递增 2x ? G ( x) ? G (1)=0,这与条件矛盾; 2 40 当0 ? ? ? 1时, 设 ? ? x 2 ? 2 x ? ? ? 0的两根为x1 , x2且x1 ? x2因x1 +x2 = ? 2, x1 ? x2 =1,

| 0 ? 0 ? 10 | ? 5 1?1 直线 l 被椭圆 G 的伴随圆 G1 所截得的弦长 ? 2 10 ? 5 ? 2 5 ?????????6 分 (2)设直线 AB, AC 的方程分别为 y ?1 ? k1 ( x ? 2), y ?1 ? k2 ( x ? 2) 设点 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 )
圆心到直线 l 的距离为 d ? 联立 G : x ? 4 y ? 8 得 (1 ? 4k12 ) x2 ? (16k12 ? 8k1 ) x+16k12 ?16k1 ? 4 ? 0
2 2

?

16k12 ? 16k1 ? 4 8k12 ? 8k1 ? 2 8k22 ? 8k2 ? 2 则 2 x1 ? 得 x1 ? 同理 x2 ? 1 ? 4k12 1 ? 4k12 1 ? 4k22
斜率 kOB

故0 ? x1 ? 1 ? x2故有x ?(1, x2 )时 ? ? x ? 2 x ? ? ? 0, 故函数G( x)在区间在(1, x2 )上单调递增
2

? G( x2 ) ? G(1)=0,这与条件矛盾;

y1 k1 ( x1 ? 2) +1 ?4k12 ? 4k1 +1 ? ? ? x1 x1 8k12 ? 8k1 ? 2

50当? ? 1时, ? ? 4 ? 4(?? )(?? ) ? 0, 故恒有 ? ? x2 ? 2 x ? ? ? 0 则G '( x) ? 0恒成立,故G( x)在区间[1, ??)上单调递减 ?G( x) ? G(1)=0,命题成立; 综上所述 ? ? 1 ,所以 ? 的最小值为 1 ?????????????12 分
4

??PAD ? ?DAC ? ?BAC ? ?ABC ??PAQ ? ?AQP ? PA ? PQ ? PA 为圆的切线 ? PA2 ? PD ? PB ? PQ2 ? PD ? PB . ??????5 分 8 PA PB 9 ? ? PB ? ? PA2 ? PD ? PB ? PD ? , (2) ? ?PAD ? ?PBA ?PBA ? 9 AD AB 2 8 10 ? AQ ? DQ ? PA ? PD ? 2 ? ? . ??????10 分 9 9 23.解: (Ⅰ) C1 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? . ??????3 分
???????5 分 C2 的直角坐标方程为 x2 ? y . (Ⅱ)设射线 l : y ? kx ( x ? 0) 的倾斜角为 ? ,则射线的极坐标方程为 ? ? ? , ? ? ? 2cos ? , 且 k ? tan ? ? (1, 3] ,联立 ? 得 | OA |? ?1 ? 2cos ? ,???7 分 ?? ? ? ? ? cos 2 ? ? sin ? , sin ? 联立 ? 得 | OB |? ? 2 ? , ??????9 分 cos 2 ? ?? ? ?

22. (1) ? PA 为圆的切线? ?PAD ? ?ABD ,? AC 平分 ? DAB ??BAC ? ?CAD

sin ? ? 2 tan ? ? 2k ? (2, 2 3] , cos 2 ? 即 | OA | ? | OB | 的取值范围是 (2, 2 3] .??????10 分
所以 | OA | ? | OB |?

?1 ? ? 2 ? 2 cos ? ?

24. (Ⅰ)∵
2

2 2 ? f ??x 1 ? ?x 2 ? ? ? ?? f ? x 1 ? ? ? f ? x 2 ? ? ? ? ? ? x1 ? ? x2 ? ? 3 ? ? x1 ? ? x2 ? ? ? ?? x1 ? 3x1 ? ? x2 ? 3x2 ?

?

?

?

?

2 2 ? ??? ? x1 ? x2 ? ? 0 ? ? ? ? ?1? x12 ? 2?? x1x2 ? ? ? ? ?1? x2 ? ??? x12 ? 2?? x1x2 ? ?? x2
2

∴f

? λx 1 + μx 2 ? ? λf ? x 1 ? + μf ? x 2 ?

??????5 分

2 (Ⅱ)∵ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x12 ? 3x1 ? x2 ? 3x2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? 3

∵ 0 ? x1 , x2 ? 1 ,∴ 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,∴ ?3 ? x1 ? x2 ? 3 ? ?1 ,∴ x1 ? x2 ? 3 ? 3 ,∴使

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? L x 1? x 2 恒成立的 L 的最小值是 3 .??????10 分

5



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