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2014届高考数学一轮复习 第48讲《空间中的垂直关系》热点针对训练 理


第九单元 立体几何初步与空间向量 第48讲 空间中的垂直关系
1.设 l、m、n 均为直线,其中 m、n 在平面 α 内,则“l⊥α ”是“l⊥ m 且 l⊥n” 的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若 l 为一条直线,α ,β ,γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ①α ⊥γ ,β ⊥γ ? α ⊥β ; ②α ⊥γ ,β ∥γ ? α ⊥β ; ③l∥α ,l⊥β ? α ⊥β . 其中正确的命题有( C ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:对于①,α 与 β 可能平行、相交或垂直,故①错;②③正确,故选 C. 3.(2013·辽宁鞍山五模)已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α ,l 为 过点 A 的一条 动直线,那么下列情 形可能出现的是( C ) A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α 解析:对 于 A,由 l∥m,l⊥α ,则 m⊥α ,与已知矛盾;对于 B,由 l⊥m,l⊥α ,可 知 m∥α 或 m? α ,与 已知矛盾;对于 D,由 l∥m,l∥α 可知 m∥α 或 m? α ,与已知矛 盾.由此排除 A,B,D,故选 C. 4.(2012·浙江省高考 5 月份押题)已知直线 l, 与平面 α , , 满足 β ∩γ =l, m β γ l∥α ,m? α ,m⊥γ ,则有( B ) A.α ⊥γ 且 m∥β B.α ⊥γ 且 l⊥m C.m∥β 且 l⊥m D.α ∥β 且 α ⊥γ 解析:m? α ,m⊥γ ? α ⊥γ ,又 l? γ ? m⊥l,故选 B.

5.如图所示,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α ,PB⊥α ,C 是 α 内异于 A 和 B 的动点,且 PC⊥AC,则 BC 与 AC 的位置关系是 垂直 . 解析:因为 PB⊥α ,所以 PB⊥AC. 又因为 PC⊥AC,且 PC∩PB=P, 所以 AC⊥平面 P BC,所以 AC⊥BC. 6.已知 α ,β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出 四个论断: ①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α . 以其中三个论断作为条件, 余下的一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题: ① ③④? ②或②③④? ① . 7.(2012·皖南八校第二次联考)已知 α ,β ,γ 是三个不同的平面,命题“α ∥β , 且 α ⊥γ ? β ⊥γ ”是真命题,如果把 α ,β ,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不 变,在所得的所有新命题中,真命题有 2 个. 解析:若 α ,β 换为直线 a,b,则命题化为“a∥b,且 a⊥γ ? b⊥γ ”,此命题为真 命题;若 α ,γ 换为直 线 a,b,则命题化为“a∥β ,且 a⊥b? b⊥β ”,此命题为假命 题;若 β ,γ 换为直线 a,b,则命题化为“a∥α ,且 b⊥α ? a⊥b”,此命题为真命题.

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8. 如图,四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABC D,M、N 分别为 AB、PC 的中点. (1)证明:AB⊥MN; (2)若平面 PDC 与平面 ABCD 成 45°角,连接 AC, 取 AC 的中点 O,证明平面 MNO⊥平面 PDC. 证明:(1)因为 N 为 PC 的中点, 所以 ON∥PA. 而 PA⊥平面 ABCD,所以 ON⊥平面 ABCD. 所以 ON⊥AB. 又四边形 ABCD 为矩形,M 为 AB 的中点, 所以 OM⊥AB,所以 AB⊥平面 OMN, 所以 AB⊥MN. (2)PA⊥平面 ABCD,AD⊥DC,则 PD⊥DC.

故∠PDA 为平面 PDC 与平面 ABCD 所成锐二面角的平面角,即∠PDA=45°,所以 PA=AD =BC. 连接 MC, 由 Rt△BCM≌RtAPM 知,MC=MP,所以 MN⊥PC. 因为 AB⊥MN,所以 MN⊥CD, 又 PC∩CD=C,所以 MN⊥平面 PCD, 所以平面 MNO⊥平面 PCD.

9.(2012·黑龙江省绥棱县上期期末)棱长为 2 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E 为棱 C1D1 的中点,F 为棱 BC 的中点. (1)求证:AE⊥DA1; (2)求在线段 AA1 上找一点 G,使 AE⊥平面 DFG.

解析:(1)连接 AD1,BC1, 由正方体的性质可知, DA1⊥AD1,DA1⊥AB, 又 AB∩AD1=A, 所以 DA1⊥平面 ABC1D1,

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又 AE? 平面 ABC1D1, 所以 AE⊥DA1. (2)所求 G 点即为 A1 点,证明如下: 由(1)知 AE⊥DA1, 取 CD 的中点 H,连接 AH,EH, 由平面几何知识易得 DF ⊥AH, 又 DF⊥EH,AH∩EH=H,所以 DF⊥平面 AHE, 所以 DF⊥AE, 又因为 DF∩A1D=D, 所以 AE⊥平面 DFA1,即 AE⊥平面 DFG.

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