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直线与圆锥曲线位置关系问题的解题策略


数 学 ?专题探讨  直 线 与 圆锥 曲线 位 置 关 系 问题 的解 题 策 略  广 西钦 州市 第一 中学( 5 3 5 0 0 0 ) 许 “ 解方程组 ” 与“ 点差 法” 都体 现 了“ 设 而不 求 , 整 体  代换” 的解题 思想 与技 巧 , 对 解决 直线 与 圆锥 曲线 位置  关 系一类题 目有着 广泛 而重要 的应 用. 现在 通过举 例来  说

明.   解 方 程 组  在解题 中 , 将 直 线 的方 程 与 圆锥 曲线 的方 程联 立 ,   一  ̄ 莉  解法一 : 设两个 相 异对 称点 A( z   ,  ) , B( z 2 , Y 2 ) ,   线段 A B的 中点为 M( x o , Y o ) . 由Y 1 = : = n z   一1 , Y 2 一日 z ; ~  1 , 作差得 3 I z —  一n ( x 2 -x  ̄ ) ( I z   +z z ) , . . ?   2 2   -Y l —n ( z   、 消去 一个 变量 后可得 到一 个二 次方程 , 控制 、 讨 论 这个  方程 的根 , 并结 合 韦达 定理 , 可 以解决 如下 问题 : ( 1 ) 判  断直线 与圆锥 曲线 的位 置关 系 ( 相交 、 相切、 相离 ) ; ( 2 )   交点 问题 ( 公 共 点 的个 数 , 与交 点 坐标相 关 的等式 或不  等式 ) ; ( 3 ) 计算 弦长 ( 弦长公 式 为 1 ABI 一 ̄ / 1 +愚 。?l z z   —   X 上 o   焉 r 一 z   J 壶 , l .  ̄ I J 又   R a ‘ ? 8   M ( x   。 ,   ) M 在   x - F y 蠹 一 0   —   —   。 一 一   , ? ?  ? 故 点  的 坐 标 为   /l \ \   f 或 I A B f 一 √ 1 + 寿’   l y z — Y   } , 其 中 k 为 弦 A _ B 所   在直线的斜率) .   【 例 1 】 直线 l :  :是 z +1与双 曲线 C: 2 x 。 一Y   一1   的右支交于不 同的两点 A、 B .   ( I ) 求 实数 是的取值范 围;   (   3 , +。 。 ) .   ( I I ) 是否存 在实数 k , 使得 以线段 AB为直径 的圆恰  好过双 曲线 的右 焦点 F?若 存 在 , 求 出 k的值 ; 若 不 存  在, 说明理 由.   解 析 . ( I ) 由 方 程 组 {   一 1   1 消 去 Y   +2 k x +2 —0 .   2   ? 设 A( x   , Y   ) , B( x   , Y   ) , 由题意可知 , 直线 z 与双 曲   线 C的右支交 于不 同两 点 ,   r 忌  一 2 ≠0   一 一   . . . 点 M 的 横 坐 标 z 。 一 盟 专   :   , 又 。 . ‘ M   I △ 一( 2 忌 )   ~8 ( k   一2 ) >O   ? ? 一 ?X 1 " -  ̄ X 2 一  >0   是 ∈(   ~  ) ?   丢 一   + m   . m 一 ~ 丢 ② . 将 ② 代 入 ① 式 得 1 + 4 a ( 一   l , X 7 1 z 2 一 南 > 0   ( I I ) 假设存在实数 k ,

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