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甘肃省张掖二中2013届高三上学期12月月考数学(文科)试题 Word版含答案.doc


张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(12 月)

高 三 数 学(文科)
命题人:苟丫丫 审题人:张宏汉

一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题) 1.已知集合 A ? {x ? R | 3 x ? 2 ? 0}, B ? {x | ( x ? 1)( x ? 3) ? 0} ,则 A ? B ? ( A. (

??,?1)
2



B. (?1,? )

2 3

C. (?

2 ,3) 3

D. (3,??)

2.复数 ( 2 ? i ) 等于( ) A. 3 ? 4i B. 5 ? 4i C. 3 ? 2i D. 5 ? 2i ) D. 4
5

3.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1 =3Sn(n ≥1) ,则 a6=( A.3 × 44+1 B.3 × 44 C.44

e 4. 已知两个单位向量 e1 , 2 的夹角为
B. ?

?
3

, 若向量 b1 ? e1 ? 2e2 , 2 ? 3e1 ? 4e2 , b1 ? b2 = 则 ( b



A.-6

11 2

C. -4

D.-5

?x ? y ? 1 ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ? y ? 1 ?
A.3 B.1 C.-5
x

)

D.-6

6.设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? x ? a ( a 为常数) ,则 f (?1) ? ( ) A. ?2 B. ?3 C. 3 D. 2

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第 7 题图 7.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( A.

第 8 题图 ) D.

11 2

B.5

C.4

9 2

8.如图给出的是计算 框

1 1 1 的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执行 ? ??? 2 4 100

中的(2)处应填的语句是( A. i ? 100, n ? n ? 1 C. i ? 50, n ? n ? 2

) B. i ? 100, n ? n ? 2 D. i ? 50, n ? n ? 2 )

9. l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l3 C. l2 // l3 // l3 ? l1 , l2 , l3 共面 10.已知命题 p :函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 为

B. l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面 D. l1 ? l2 , l2 // l3 ? l1 ? l3

1 a 的图象与 x 轴有交点,命题 q : f ( x) = (2a ? 1) x 2
)条件 C.充要 D.既不充分也不必

R 上的减函数, 则 p 是 q 的(
A.充分不必要 要

B.必要不充分

x2 y2 11.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的焦距为 10 ,点 P (2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a b
( ) A.

x2 y2 ? ?1 20 5

B.

x2 y2 ? ?1 5 20

C.

x2 y2 ? ?1 80 20

D.

x2 y2 ? ?1 20 80

12.对任意实数 x, y ,定义运算 x * y ? ax ? by ? cxy ,其中 a, b, c 是常数,等式右边的运算 是通常的加法和乘法运算。已知 1* 2=3 , 2*3=4 ,并且有一个非零常数 m ,使得对任
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意实数 x , 都有 x * m ? x ,则 m 的值是( A. 4 B. ?4

) C. ?5 D. 6

二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题) 13.设 {an } 为等差数列,公差 d ? ?2, S n 为其前 n 项和,若 S10 ? S11 ,则 a1 ? _______。 14.右图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃) 数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围 是[20.5,26.5] ,样本数据的分组为 [20.5, 21.5) ,
[21.5, 22.5) , [22.5, 23.5) , [23.5, 24.5) , [24.5, 25.5) , [25.5, 26.5] .已知样本中平均气温低于 22.5℃的城市个

数为 11, 则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为 _________. 15.若 a ? [0 , 3] ,则函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a 有零点的概
2

率为 16. 我们把形如 y ? 地



b 故生动 (a ? 0, b ? 0) 的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字, | x | ?a

称为“囧函数”。若当 a ? 1, b ? 1 时的囧函数与函数 y ? lg | x | 的交点个数为 n 个,则

n ? ____
三、解答题(共 8 个小题,其中有 5 个必做题,每题 12 分,3 个选做题,每题 10 分) 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,已知 A 为锐角, f ( A) ? 1 , BC ? 2, B ?

?
2

? x) cos x ? sin x cos(? ? x) ,
?
3

,求 AC 边的长.
A

18.(本小题满分 12 分) 如图甲, 在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45? , ?C ? 90? , ?ADC ? 105? , AB ? BD , 现将四边形 ABCD 沿 BD 折起, 使平面 ABD ? 平面 BDC (如图乙) ,设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. (Ⅰ)求证:DC ? 平面 ABC; (Ⅱ)设 CD ? a ,求三棱锥 A-BFE 的体积.

A

F E
D B

D
C 甲

B C 乙

19. (本小题满分 12 分)某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级, 等级系数 X 依次为 A , B , C , D , E .现从该种食品中随机抽取 20 件样品进行检验,对其等级系数 进行统计分析,得到频率分布表如下:

X
频率 的值;

A

B
0.2

C
0.45

a

D b

E

c

(Ⅰ) 在所抽取的 20 件样品中, 等级系数为 D 的恰有 3 件, 等级系数为 E 的恰有 2 件, a, b, c 求 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为 D 的 3 件样品记为 x1 , x 2 , x3 ,等级系数为 E 的 2 件
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样 品记为 y1 , y 2 , 现从 x1 , x 2 , x3 , y1 , y 2 这 5 件样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出 的 可能性相同),试写出所有可能的结果,并求取出的两件样品是同一等级的概率. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 直线 FA 的距离为
2 b. 2

x2 y 2 ? ? 1 a ? b ? 0) 的左焦点 F 及点 A 0, ), ( ( b 原点 O 到 a 2 b2

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若点 F 关于直线 l : 2 x ? y ? 0 的对称点 P 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 上,求椭圆 C 的方程及点 P 的坐标. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f (x) 的单调区间和极值; (2)若函数 y ? g (x) 对任意的 x 满足 g ( x) ? f (4 ? x) ,求证:当 x ? 2时,f ( x) ? g ( x) ; (3)若 x1 ? x2 , 且f ( x1 ) ? f ( x2 ), 求证:x1 ? x2 ? 4 . 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 切圆 O 于点 A, PA 割线 PBC 经过圆心 O, OB=PB=1 OA 绕点 O 逆时针旋转 60? 到 OD. (1)求线段 PD 的长; (2)在如图所示的图形中是否有长度为 3 的线段?若有, 指出该线段;若没有,说明理由. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

x ?1 ex

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 ( t 为参数) 曲线 C 的极坐标方程是 已知直线 l 的参数方程为 ? , ?y ? 2 t ? ? 2

??

sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M (?1, 0) ,直线 l 与 1 ? sin 2 ?

曲线 C 交于 A、B 两点. (1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)线段 MA,MB 长度分别记为|MA|,|MB|,求 | MA | ? | MB | 的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 |
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(1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若不等式 || a ? b | ? | a ? b ||?| a | f ( x) ( a ? 0 , a ? R , b ? R )恒成立,求实数 x 的 范围.

张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(12 月) 高三数学(文科)答案
选择题:DABAC 填空:13.20 ACBDB 14.9 AA 15.

17. 解: (1) 由题设知 f ( x) ? sin(

?
2

2 3

16.4

? x) cos x ? sin x cos(? ? x)

? f ( x) ? cos 2 x ? sin x cos x ?

sin 3 4 18. (Ⅰ)证明:在图甲中∵ AB ? BD 且 ?A ? 45? ∴ ?ADB ? 45? , ?ABD ? 90? 即 AB ? BD 在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD ? 平面 BDC=BD
∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥CD. 又 ?DCB ? 90? ,∴DC⊥BC,且 AB ? BC ? B ∴DC ? 平面 ABC. (Ⅱ)解:∵E、F 分别为 AC、AD 的中点
1 ∴EF//CD,又由(Ⅰ)知,DC ? 平面 ABC,∴EF⊥平面 ABC,∴ VA? BFE ? VF ? AEB ? S?AEB ? FE 3 在图甲中,∵ ?ADC ? 105? , ∴ ?BDC ? 60? , ?DBC ? 30? 1 1 由 CD ? a 得 BD ? 2a, BC ? 3a , EF ? CD ? a 2 2 1 1 ∴ S?ABC ? AB ? BC ? ? 2a ? 3a ? 3a 2 2 2 3 2 1 3 2 1 3 3 ∴ S?AEB ? a ∴ VA? BFE ? ? a ? a? a . 2 3 2 2 12 19.解: (Ⅰ)由频率分布表得 a ? 0.2 ? 0.45 ? b ? c ? 1 ,即 a ? b ? c ? 0.35 .

2 ? 1 ?T ? ? sin(2 x ? ) ? 2 4 2 (2) ? f ( A) ? cos 2 A ? sin A cos A ? 1 ? sin A cos A ? 1 ? cos 2 A ? sin 2 A ? AC BC AC 2 AC ? 6 ?A? ? ? sin A ? cos A ? ? ? 4 sin B sin A
sin

因为抽取的 20 件样品中,等级系数为 D 的恰有 3 件,所以 b ? 等级系数为 E 的恰有 2 件,所以 c ? 所以 a ? 0.1, b ? 0.15, c ? 0.1 .

3 ? 0.15 . 20

2 ? 0.1 .从而 a ? 0.35 ? b ? c ? 0.1 。 20

(Ⅱ)从样品 x1 , x 2 , x3 , y1 , y 2 中任取两件,所有可能的结果为:

( x1 , x2 ) ,( x1 , x3 ) ,( x1 , y1 ) ,( x1 , y 2 ) ,( x2 , x3 ) ,( x2 , y1 ) ,( x2 , y 2 ) ,( x3 , y1 ) ,( x3 , y 2 ) , ( y1 , y 2 ) ,共计 10 个
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设事件 A 表示“从样品 x1 , x 2 , x3 , y1 , y 2 中任取两件,其等级系数相等”, 则 A 包含的基本事件为: ( x1 , x 2 ) , ( x1 , x3 ) , ( x 2 , x3 ) , ( y1 , y 2 ) ,共 4 个. 故所求的概率 P ( A) ?

4 ? 0.4 10
2

20 . 解 : (1) 由 点 F (? ae, 0) , 点 A(0, b ) 及 b ? 1 ? e a 得 直 线 FA 的 方 程 为

x y ? ?1, ?ae 1 ? e2 a
即 1 ? e 2 x ? ey ? ae 1 ? e 2 ? 0 , ∵原点 O 到直线 FA 的距离为

ae 1 ? e 2 1 ? e2 2 2 1 ? e2 ?a ,e ? . ,∴ b?a 2 2 2 2 1 ? e2 ? e2

(2)设椭圆 C 的左焦点 F (?

2 a, 0) 关于直线 l : 2 x ? y ? 0 的对称点为 P( x0 , y0 ) ,则有 2

y0 1 ? ? , ? 2 ? x0 ? 2 a 3 2 4 2 ? 2 解之,得 x0 ? a, y0 ? a. ? 10 10 2 ? ? x0 ? 2 a y0 ? ? 0. ?2 ? ? 2 2
? P 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上
∴(

3 2 2 4 2 2 a) ? ( a) ? 4 ,∴ a 2 ? 8, b 2 ? (1 ? e 2 )a 2 ? 4. 10 10

故椭圆 C 的方程为 ?

x2 y 2 6 8 ? ? 1 ,点 P 的坐标为 ( , ). 8 4 5 5
x ?1 2? x ,? f ' ( x) ? x ? 0,? x ? 2 x e e
(??,2)
+ ↗ 2 0 极大值

解: (1)? f ( x) ?

x
f ' ( x) f (x)

(2,??)
— ↘

? f (x)在( - ?, 2)上单调递增,在(2, ?)上单调递减。f ( x)极小值 ? f (2) ? ?
; (2) g ( x) ? f (4 ? x) ?

1 e2

3? x x ?1 3 ? x , 令F( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 4? x , 4? x e e e

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? F ' ( x) ?

(2 ? x)(e 4 ? e 2 x ) 4 2x ,当 x ? 2时,? x ? 0,2 x ? 4, 故e ? e ? 0 , 2 e x?4
1 1 ? ? 0 ,得证。 e2 e2

? F ' ( x) ? 0, F ( x)在(2,??)上单调递增。 F ( x) ? F (2) ? ?

(3) f (x)在( - ?, 2)上单调递增,在(2, ?)上单调递减。 ? 当 x1 ? x2 , 且f ( x1 ) ? f ( x2 ), x1 , x2不在同一个单调区间内。 不妨设 x1 ? 2 ? x2 ,由(2)知,f ( x2 ) ? g ( x2 )

g ( x2 ) ? f (4 ? x2 ),? f ( x2 ) ? f (4 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ),? f ( x1 ) ? f (4 ? x2 )
又? x2 ? 2,4 ? x2 ? 2, x1 ? 2,

2)上单调递增, ,且 f ( x)在( - ?,

? x1 ? 4 ? x2 , 即 x1 ? x2 ? 4 得证。
22. (1)∵PA 切圆 O 于点 A,且 B 为 PO 中点,∴AB=OB=OA. ∴

?AOB ? 60?,??POD ? 120?

在?POD中, PD 2 ? PO 2 ? OD 2 ? 2 PO ? DO cos ?POD ? 7 ? ? PD ? 7
(2) ∵PA 是切线,PB=BO=OC ----------5 分

? PA2 ? PB ? PC ? 1? 3 ? 3? PA ? 3 --------------------------10 分

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