tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关文档
相关标签
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

【创新设计】2014高考数学人教A版(通用版,理)一轮复习讲义:第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布


第一节 分类加法计数原理和分步乘法计数原理

[备考方向要明了]

考 什 么 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原 理. 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原 理分析和解决一些简单的实际问题.

怎 么 考 高考中,对于两个计数原理一般不单独考查, 多与排列、组合相结合考查,且多为选择、 填空题,如 2012

年北京 T6,浙江 T6 等.

[归纳· 知识整合] 1.分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m1 种不同的方法,在第二类方案中 有 m2 种不同的方法,?,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,则完成这件事,共有 N= m1+m2+?+mn 种不同的方法. [探究] 1.选用分类加法计数原理的条件是什么? 提示: 当完成一件事情有几类办法, 且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事 情,这时就用分类加法计数原理. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要 n 个不同的步骤,完成第一步有 m1 种不同的方法,完成第二步有 m2 种不同的方法,?,完成第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1m2?mn 种 不同的方法. [探究] 2.选用分类乘法计数原理的条件是什么? 提示:当解决一个问题要分成若干步,每一步只能完成这件事的一部分,且只有当所有 步都完成后,这件事才完成,这时就采用分步乘法计数原理. [自测· 牛刀小试]

1.一个袋子里放有 6 个球,另一个袋子里放有 8 个球,每个球各不相同,从两袋子里 各取一个球,不同取法的种数为( A.182 C.48 ) B.14 D.91

解析:选 C 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为 6×8=48. 2.某学生去书店,发现 3 本好书,决定至少买其中一本,则购买方式共有( A.3 种 C.7 种 B.6 种 D.9 种 )

解析:选 C 分 3 类:买 1 本书,买 2 本书和买 3 本书.各类的购买方式依次有 3 种、 3 种和 1 种,故购买方式共有 3+3+1=7 种. 3.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种 数有( ) B.20 D.6

A.30 C.10

解析:选 D 从 0,1,2,3,4,5 六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类,①取出的两数 都是偶数,共有 3 种方法;②取出的两数都是奇数,共有 3 种方法,故由加法原理得共有 N =3+3=6 种. 4.如图,从 A→C 有________种不同的走法.

解析:分为两类:不过 B 点有 2 种方法,过 B 点有 2×2=4 种方法,共有 4+2=6 种 方法. 答案:6 5. 设集合 A 中有 3 个元素, 集合 B 中有 2 个元素, 可建立 A→B 的映射的个数为________. 解析:建立映射,即对于 A 中的每一个元素,在 B 中都有一个元素与之对应,有 2 种 方法,故由分步乘法计数原理得映射有 23=8 个. 答案:8

分类加法计数原理

[例 1] (1)(2012· 北京高考)从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数 字的三位数,其中奇数的个数为( A.24 C.12 ) B.18 D.6

(2)将 5 名同学分到甲、乙、丙 3 个小组,若甲组至少两人,乙、丙组至少各一人,则 不同的分配方案的种数为( A.80 C.140 ) B.120 D.50

[自主解答] (1)法一:(直接法)本题可以理解为选出三个数,放在三个位臵,要求末尾
2 2 2 必须放奇数,如果选到了 0 这个数,这个数不能放在首位,所以 n=C3C1A2+C3C1=12+6 2 2

=18; 法二:(间接法)奇数的个数为 n=C1C1C1A2-C1C1=18. 3 2 2 2 3 2
2 (2)分两类:若甲组 2 人,则乙、丙两组的方法数是 C1A2,此时的方法数是 C2C1A2=60; 3 2 5 3

若甲组 3 人,则方法数是 C3A2=20.根据分类加法计数原理得总的方法数是 60+20=80. 5 2 [答案] (1)B (2)A

本例(1)条件不变,求有多少个能被 5 整除的数?