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三角函数与平面向量复习2012


三角函数与平面向量复习 2012.09
北京一六一中学 吕希

【三角函数复习】
? 2012 年考试说明 要求层次 考试内容 任意角的概念和弧度制 弧度与角度的互化 任意角的正弦、余弦、正切的定义 三 角 函 数 三角函数、 三角恒等 变换、解三 角形 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 诱导公式 同角三角函数的基本关系式 周期函

数的定义、三角函数的周期性 函数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的图象和性质 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象 用三角函数解决一些简单的实际问题 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 三角恒 等变换 解三角 形 ? 近三年北京高考题 2012 年 (文 11)在 ?ABC 中,若 a ? 3 , b ? 3 , ?A ? 二倍角的正弦、余弦、正切公式 简单的恒等变换 正弦定理、余弦定理 解三角形 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ A √ √ √ √ B C

?
3

,则 ?C 的大小为_________.

(理 11)在△ ABC 中,若 a ? 2, b ? c ? 7, cos B ? ? (文理 15)已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

1 ,则 b ? _______. 4

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ) (文)求 f ( x) 的单调递减区间. (理)求 f ( x) 的单调递增区间.

1

2011 年 (文 9)在 ?ABC 中,若 b=5, ?B ? (理 9)在 ?ABC 中,若 b=5, ?B ?

?

?

4

,sinA=

1 ,则 a =_________. 3

4

,tanA=2,则 sinA=__________;a=________.

(理 14)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a >1)的 点的轨迹. 给出下列三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△F 1 PF 2 的面积不大于 其中,所有正确结论的序号是 .

1 2 a. 2 ) ?1 .

(文理 15) (13 分)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? 2010 年

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 4? ?

(文 7)某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1, 顶角为 ? 的四个等腰三角形, 及其底边构成的正方形 所组成.该八边形的面积为 (A) 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 (B) sin ? ? 3 cos ? ? 3 (C) 3sin ? ? 3 cos ? ? 1 (D) 2sin ? ? cos ? ? 1 (文理 10)在 ?ABC 中,若 b ? 1 , c ? 3 , ?C ? (文 15) (13 分)已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin x
2

2π ,则 a ? _______. 3

(Ⅰ )求 f ( ) 的值; (Ⅱ )求 f ( x ) 的最大值和最小值

?

3

(理 15) (13 分)已知函数 f ( x ) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x
2

(Ⅰ )求 f ( ) 的值; (Ⅱ )求 f ( x ) 的最大值和最小值

?

3

?

近三年北京高考三角试题规律 《考试说明》 和高考试题是每位师生必须熟悉的最权威最准确的高考信息, 要通过认真 研究,明确“考什么、考多难、怎样考”这三个问题. 1.考什么:任意角的正弦、余弦、正切的定义;同角三角函数的基本关系式;诱导公式; y ? sin x 的图象; y ? A sin(? x ? ? ) 的的周期;两角和与差的正弦、余弦公式;二倍角的正 弦、余弦公式;解三角形(正弦定理、余弦定理、面积公式). 2.考多难:试题难度不大,一般都为基础题. 3.怎样考:三角函数的试题一般是 1-2 小题和一个解答题,属常规题型,注重通性通法的
2

考查.有时结合平面解析几何知识,注重三角函数的工具作用的考查.三角函数解答题,大 都处在解答题第一题位置,三角部分的分值在 18-23 分. 4.解读出题人意图:高考是选拔性考试,不是竞赛,要保证录取率,所以必须有大量的中 低档试题.而三角函数就是很好的出题点.一方面,三角部分知识比较零散,常规题型综合 应用了多个公式, 且沟通了三角变换与三角函数图象和性质两部分知识, 恰符合高考对数学 基础知识的考查,既全面又突出重点,注重学科的内在联系和知识的综合的考查要求;另 一方面,因为三角变换难题技巧性强,违背高考注重通性通法,淡化特殊技巧的考试原则. 研究高考试题,一方面是历年试题整体研究——找共性;另一方面,相同试题对比研究 ——找变化.如,2012 年 15 题,文理科的题干相同,说明文理科对三角变形的要求是一致 的,但是第 2 问考查的单调区间不同,理科多考查了对单调区间的认识;2011 年文理 9,理 科多考查了一个知识点;2010 年与 2011 年解答题,都考查了三角函数的最值,但是类型不 同,等等.最后,应该对外省试题集中研究——找新意、找动态. ( 2012 年山东理科 17)已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x,

A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 2

f ( x) ? m ? n 的最大值为 6.
(Ⅰ)求 A;

? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 12 1 5? ] 上的值域. 来的 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 在 [0, 2 24
(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 选题意图: 本题综合了三角变换、 三角函数最值、 向量的运算和函数图象平移这些重点内容, 需要学生熟练且准确地掌握. (2012 年福建理科 17)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个 常数: (1)sin213° +cos217° -sin13° cos17° (2)sin215° +cos215° -sin15° cos15° (3)sin218° +cos212° -sin18° cos12° (4)sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos48° (5)sin2(-25° )+cos255° - sin(-25° )cos55° (Ⅰ )试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (Ⅱ )根据(Ⅰ )的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 选题意图:本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角和差、二倍角共识等基础知识, 考查运算求解能力、 抽象概括能力、 推理论证能力, 考查特殊与一般思想、 化归与转化思想.

(2012 年重庆理科 18)设 f ( x) ? 4 cos( ?x ? (Ⅰ )求函数 y ? f ( x) 的值域;

?
6

) sin ?x ? cos( 2?x ? ? ) ,其中 ? ? 0.

3

(Ⅱ )若 f ( x) 在区间 ?? 选题意图:逆向思维.

? 3? ? ? , ? 上为增函数,求 ? 的最大值. ? 2 2?

(2011 年天津理科 15) (13 分)已知函数 f ( x) ? tan(2 x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域与最小正周期; (II)设 ? ? ? 0,

?
4

),

? ? ?? ? ,若 f ( 2 ) ? 2 cos 2? , 求 ? 的大小. ? 4?

选题意图:考查的都是 C 层次知识,而且与北京试题考查内容相同(三角函数的图象和性 质,同角三角函数的基本关系式,两角和与差的公式;二倍角公式) ,但是考查的形式与函 数类型(正切)不同. (2011 年陕西文理 18) (12 分)叙述并证明余弦定理. 选题意图:本题是课本公式、定理、性质的推导,可以用向量法和解析法解答.这是高考考 查的常规方向和考点,引导学生回归课本,重视基础知识学习和巩固. (2010 年全国课标卷文 6 理 4) (5 分)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其 初始位置为 P 0 为(

?

2, ? 2 ,角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致

?

)答案:选 C

选题意图: 本题考查三角函数定义与三角函数图象关系, 以及三角函数基本量的物理意义. 指 导教师尽管是高三的教学,也应该注重知识的形成过程,注重对基本思想方法的培养. ? 学情分析 尽管各类学校学生程度不同,但是共同特点都是概念不清,公式记不住,公式好不容易 背下来了, 却不知道用来解决什么问题、 怎么解决问题. 文科学生缺少良好的数学思维能力, 理科学生眼高手低,会做而做不对,对而不全.同时,与教师相比,他们没有归纳总结的学
4

习习惯, 所以会产生今天会做过几天就忘, 或者同种类型的题目老师讲一道只会做这一道题, 稍微变型就不会的现象. ? 复习误区 1.因为学生知识遗忘过多,所以把知识像新课一样重新讲一遍. 2.因为学生底子薄,就简化甚至是忽略知识的形成过程,仅仅以简单的题型训练为主. 3.为了让学生掌握重点题型,大量机械性地重复训练.

?

复习建议 如何才能提高复习效率和复习实效性呢?我认为: 1.知识讲解从网络开始,学生忘得多的多讲,重点知识多强调. 2.题型讲解从目标开始,解题方法从结构开始,不能只教学生怎么做,要让他明白为 什么这么做. (以 2011 年北京高考 15 题为例) 3.训练要有针对性. (1)同样的一道题,讲一道练两道足以.如果还错怎么办?要么没有听懂,需要再讲; 要么是没有找到错因,在同样的地方重复犯错.俗话说,做一道错题比做十道新题强.定期 错题“再回首” ,效果好于做很多同类型题. (2)老师讲明白了,学生听明白了,不等于学生会做了.所以,要想提高复习实效性, 最重要的是让学生掌握所学,这就需要作业的针对性. ? 考点解析

1. (2011 全国课标卷理 5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在 直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? =( (A) ? )答案:选 B

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

相关考点:三角函数定义,三角函数值的符号,同角三角函数基本关系式,二倍角余弦公式

( 2. (2011 辽宁理 7)设 sin
(A)

?

7 9

1 +?) = ,则 sin 2? ? ( )答案:选 A 4 3 1 1 7 (B) ? (C) (D) 9 9 9

?

相关考点:两角和与差公式,同角三角函数基本关系式,二倍角正弦公式 3. (2011 江苏 7)已知 tan( x ?

?
4

) ? 2, 则

tan x 4 的值为_________答案: tan 2 x 9 1 3

相关考点:两角和与差正切公式,二倍角正切公式 4. (2011 广东文 16)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (0) 的值; (2)设 ? , ? ? ?0,

?
6

) , x? R .

? 10 6 ? ?? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? ,求 sin(? ? ? ) 的值. ? 2 13 5 ? 2?

5

答案: (1)-1 ; (2)

63 65

相关考点:特殊角三角函数值,诱导公式,同角三角函数基本关系式,两角和与差公式 5. (2011 湖北理) 设 ?ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 已知 a? 1 ,b?2 ,c o sC? (I) 求 ?ABC 的周长; (II)求 cos(A?C ) 的值. 答案: (1)5; (2)

1 4

11 16

相关考点:解三角形,正弦定理、余弦定理,两角和与差公式(可加一问求面积) 6.(2011 江苏 9)函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ), ( A, ?, ? 是常数, A ? 0, ? ? 0) 的部分图象 如图所示,则 f (0) ? ____答案:

6 2

相关考点:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象 7. (2011 山东 6) 若函数 f ( x) ? sin ? x (ω>0)在区间 ? 0, 单调递减,则 ω =( )答案:选 B (B)

? 2
? ?? ?? ? ? 上单调递增, 在区间 ? , ? 上 ? ? 3? ?3 2?

2 (A) 3

3 2

(C ) 2

(D)3

相关考点:三角函数的图象和性质

? 能力立意 1.求三角函数的值域的常见题型及解法 (1) y ? a sin x ? b cos x 型可化为 y ?

a 2 ? b2 sin( x ? ? ) .

2 2 (2) y ? a sin x ? b sin x cos x ? c cos x 型可通过降次整理化为 y ? A sin 2 x ? B cos 2 x .

(3) y ? a sin x ? b cos x ? c 可换元转化为二次函数.
2

2.图象变换规律 (2010 四川)将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长度,再把所得 10

各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是( C ) (A) y ? sin(2 x ?

?
10

) )

(B) y ? sin(2 x ?

?
5

)

w

(C) y ? sin( x ?

1 2

?

10

(D) y ? sin( x ?

1 2

?

20

)

强调:抓住图象变换的本质,从函数自变量的变化入手.

6

?

数学思想方法提升

(2011 安徽)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒

?

6

成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x ) 的单调递增区间是( C )

?

2

(A) [ k? ?

?
3

6 ? 2? ]( k ? Z ) (C) [k? ? , k? ? 6 3

, k? ?

?

]( k ? Z )

(B) [k? , k? ? (D) [k? ?

?
2

]( k ? Z )

?
2

, k? ]( k ? Z )

指出:运用数形结合与分类讨论的方法能很好地解决问题.

【平面向量复习】
? 2012 年考试说明 要求层次 考试内容 A B √ √ √ √ √ √ C

平面向量 向量的线 性运算

平面向量的相关概念 向量加法与减法 向量的数乘 两个向量共线 平面向量的基本定理

平面 向量

平面向量 的基本定 理及坐标 表示

平面向量的正交分解及其坐标表示 用坐标表示平面向量的加法、减法 与数乘运算 用坐标表示的平面向量共线的条件 数量积 数量积的坐标表示



√ √ √ √ √

平面向量 的数量积

用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直 关系

向量的 应用

用向量方法解决简单的问题



7

? 近三年北京高考题 2012 年 (文理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为 _______; DE ? DC 的最大值为_______. 2011 年 (文 11 理 10) 已知向量 a=( 3 ,1), b=(0,-1), c=(k, 3 ). 若 a-2b 与 c 共线, 则 k=________. 2010 年 (文 4)若 a , b 是非零向量,且 a ? b , | a | ? | b | ,则函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 是 (A)一次函数且是奇函数 (C)二次函数且是偶函数 (B)一次函数但不是奇函数 (D)二次函数但不是偶函数

(理 6)若 a , b 是非零向量,且“ a ? b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 为一次函数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?

近三年北京高考平面向量试题规律 1.考什么:平面向量的坐标运算,两个向量平行和垂直的条件,数量积. 2.考多难:试题难度不大,一般都为基础题. 3.怎样考:一般是 1 道小题,属常规题型.

?

复习建议 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,是工具性的知识.向量的坐标化使其具 有了几何与代数两种形式,实现了数与形的结合,除了掌握向量概念和运算外,同时注意向 量与三角、解析几何等知识的交汇的运用.在复习该部分内容时,可适当强化数形结合的思 想方法. 1. (2011 广东)若向量 a, b, c满足a // b, 且a ? c, 则c ? (a ? 2b) ? _______ 分析:从图形入手, a ? 2b 与 a 共线,所以 a ? 2b 与 c 垂直,数量积为 0 2. (2012 四川)设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 (A) a ? ?b (C) a ? 2b

?

?

?

?

?

?

a b 成立的充分条件是 ? |a| |b|

(B) a // b (D) a // b 且 | a |?| b |

分析:某向量方向上的单位向量,选 C
8

3. (2011 全国课标卷 10 改) 已知 a, b 均为单位向量, 其夹角为 ? , 若| a-b |>1, 则 ? ? _____. 分析:作单位圆,确定| a-b |=1 时的 ? =

? ? ,所以 ? ? ( , ? ] 3 3

4. (2012 浙江)设 a, b 是两个非零向量 ( ) (A)若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a ? b (B)若 a ? b ,则 | a ? b |?| a | ? | b | (C)若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则存在实数 ? ,使得 b ? ? a (D)若存在实数 ? ,使得 b ? ? a ,则 | a ? b |?| a | ? | b | 分析: (法一)平方找等价关系 (法二)作图,即可知 a, b 反向,选 C

5. (2012 安徽)在平面直角坐标系中,点 O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 绕点 O 按逆时针方 向旋转

3? 后得向量 OQ ,则点 Q 的坐标是( 4
(B) (?7 2, 2)

) (C) (?4 6, ?2) (D) (?4 6, 2)

(A) (?7 2, ? 2)

分析: (法一)用三角知识解决 (法二)用向量知识解决,选 A 6. ( 2011 湖 南 ) 在 边 长 为 1 的 正 三 角 形 ABC 中 , 设 BC ? 2 BD ,则 , CA ? 3 CE

AD ? BE ? ________
分析: (法一) AD ? BE ? AD ? CE ? ? ________

1 4

(法二)根据题意,建系,写出各点坐标,再求解.

7. ( 2012 天津)已知 ?ABC 为等边三角形, AB = 2 ,设点 P , Q 满足 AP ? ? AB ,

3 AQ ? (1 ? ?) AC , ? ? R ,若 BQ ? CP ? ? ,则 ? = 2
(A)

1 2

(B)

1? 2 2

(C)

1 ? 10 2

(D)

?3? 2 2 2

分析: (法一)用基底表示向量 (法二)根据题意,建系,写出各点坐标,再求解.选 A
9

8. (2010 安徽)已知椭圆 E 经过点 A? 2,3? ,对称轴 为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求 ?F 1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说 明理由. 分析:(Ⅰ)

1 . 2

x2 y2 ? ? 1 ; (Ⅲ) 不存在 16 12

(Ⅱ)常规方法:写出 AF1,AF2 的方程,再由轨迹法(根据角平分线上的点到角两边距 离相等)求出直线 l 的方程 2 x ? y ? 1 ? 0 向量方法:直线 l 的一个方向向量为 斜式写出直线方程.此法计算量小.

AF1

| AF1 | | AF2 |

+

AF2

= (?

4 8 ,? ) ,所以 k=2,再由点 5 5

10


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