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福州四中2014-2015学年高一数学上学期必修2期末考试卷(含答案)


福州四中 2014—2015 学年第一学期第二学段模块检测试卷 高一数学(必修 2)
命题人:林克刚 审核:林克刚 本试卷分第一部分和第二部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟

第一部分(共 100 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、直线 l : 3x ? y ? 3 ? 0

的倾斜角 ? 为( A. 30 ;
?

) C. 120 ; ) D. (3,1) )
?

B. 60 ;

?

D. 150

?

2、直线 2 x ? y ? 7 ? 0 与直线 3x ? 2 y ? 7 ? 0 的交点是( A. (3, ?1) B. (?3,1)

C. (?3, ?1)

3、圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 和圆 C2 : x2 ? y 2 ? 6 x ? 0 交于 A 、 B 两点,则直线 AB 方程为( A. x ? 3 y ? 0 B. 5 x ? 3 y ? 0 C. x ? 3 y ? 0 D. 5 x ? 3 y ? 0 )

4、直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 , l2 : 2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则 a ? ( A. 3 B. ? 3 C. ? 3 或 2

D. 3 或 ?2 )

5、已知过点 A(?2, m)和B(m,4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( A. 0 B. ? 8 C. 2 D. 10 )

6、圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是( B. 1 ? 2 C. 1 ?

A.2

2 2

D. 1 ? 2 2 )

7、在右图的正方体中,M 、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点, 则异面直线 AC 和 MN 所成的角为 ( A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? ) D. 90 ?

8、对于直线 m,n 和平面 ? , ? ,能得出 ? ? ? 的条件是( A.m ? n, m // ? , n // ? C. m // n , n ? ? , m ? ?

B.m ? n, ? ? ? ? m , n ? ? D. m // n , m ? ? , n ? ? )

, ? 1) 和 B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程为( 9、已知点 A(1
高一数学 第 1 页(共 8 页)

A. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? y ? 2 ? 0

D. x ? y ? 2 ? 0

10、如图,已知四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为边长等于 2 的正方形,侧面 SAD 为等边三角形,且 二面角 S ? AD ? B 为直二面角,那么直线 SB 与平面 ABCD 所成角的正切值为( A. )

15 5

B.

15 3

C.

2 2

D. 1

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分) 11、过点 A(-1,2),B(3,0)的直线方程为 12、某四棱锥 S ? ABCD 的三视图如图所示,正视图与侧视图为等腰三角形、 俯视图为正方形,则该四棱锥的体积是 13、已知圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 16 的一条直径恰好经过直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被 圆所截弦的中点,则该直径所在直线的方程为

三、解答题(本大题有 3 小题,共 38 分) 14、(本题满分 12 分) (1)求圆心在直线 2 x ? y ? 0 上,且与 y 轴相切于点 (0, 4) 的圆的方程 (2)已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 与直线 l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 平行,求 m 的值

15、(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正 方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点, (1)证明:PA∥平面 EDB (2)证明:平面 BDE ? 平面 PCB

P E C D A B

16、(本题满分 14 分)已知圆 C : x ? y ? 4 以及圆内一点 D(1,1)
2 2

(1)若直线 l : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 C 交于 A 、 B 两点,求 | AB | (2)若直线 m 过点 D 且与圆 C 交于 P 、 Q 两点,求当 | PQ | 最小时,直线 m 的方程 (3)若点 E 为圆 C 上的一个动点,点 D 为线段 EF 的中点,求点 F 的轨迹方程

高一数学

第 2 页(共 8 页)

第二部分(共 50 分)
四、选择题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 17、若 M (a, b)(ab ? 0) 是圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 内一点,则直线 l : ax ? by ? r 2 与该圆( A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 C A C1 A1 B1 E B )

18、如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ⊥底面 A1B1C1 ,底面三角 形 A1B1C1 是正三角形, E 是 BC 中点,则下列叙述正确的是( A. AC 1 1 ∥平面 AB1 E C. AC ⊥平面 ABB1 A1 B. CC1 与 B1 E 是异面直线 D.平面 AEB1 ⊥平面 CBB1C1 )

五、填空题(本大题共 1 小题,每小题 4 分,共 4 分) 19、如图, ?OBC 为等腰直角三角形, ?BOC ? 90? , OB ? 3 , BD ? 1 , 一束光线从点 D 入射,先后经过斜边 BC 与直角边 OC 反射后,恰好从 点 D 射出,则该光线所走的路程是____________

六、解答题(本大题有 3 小题,共 36 分) 20、(本题满分 12 分)如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB=3, AD=1,E、F 分别是 AB 的两个三等分点, AC、DF 相交于点 G,建立适当的平面直角坐标系,证明:E G⊥D F D G A E F B C

P
21、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,

AC ? CD , ?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC ,

E A B
C

E 是 PC 的中点
(1)证明: AE ? 平面 PCD (2)求 PB 和平面 PAC 所成的角的正切值

D

高一数学

第 3 页(共 8 页)

22、(本题满分 12 分)已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 7 ? 0 (1)过点 P(3, 4) 且被圆 C 截得的弦长为 4 的弦所在的直线方程 (2)是否存在斜率为 1的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB 的中点 D 到原点 O 的距离恰好等于圆 C 的 半径,若存在求出直线 l 的方程,若不存在说明理由

高一数学

第 4 页(共 8 页)

…………………………………………密……………封……………线………………内………………不……………准……………答…………………………………

福州四中 2014-2015 学年第一学期期末模块考试 数学(必修 2)答案卷
题号 分数 一 二 14 15 16 17-19 20 21 22 总分

姓名:____________

第一部分(共 100 分)
一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 二、填空题:本大题共有 3 小题,每小题 4 分,共 12 分. 11._________________ 12._________________ 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

班级+座号:__________

三、解答题:本大题共 3 小题,共 38 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 14. (本题满分 12 分) (1)

准考证号:_______________

(2)

高一数学

第 5 页(共 8 页)

15. (本题满分 12 分)

P

E B A

C D

16. (本题满分 14 分)

高一数学

第 6 页(共 8 页)

第二部分(共 50 分)
17._________________ 20. (本题满分 12 分) 18._________________ 19. D G A E F B C

21. (本题满分 12 分)

P E A B
C

D

高一数学

第 7 页(共 8 页)

22. (本题满分 12 分)

高一数学

第 8 页(共 8 页)

…………………………………………密……………封……………线………………内………………不……………准……………答…………………………………

福州四中 2014-2015 学年第一学期期末模块考试 数学(必修 2)答案卷
一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 B 6 B 7 C 8 C 9 D 10 A

二、填空题:本大题共有 3 小题,每小题 4 分,共 12 分. 11.

x ? 2y ?3 ? 0

12.

4 6 3

13.

2x ? y ?1 ? 0

三、解答题:本大题共 3 小题,共 38 分. 14. (本题满分 12 分) (1)∵圆与 y 轴相切于点 (0, 4) ,∴圆心在直线 y ? 4 上 ∵圆心在直线 2 x ? y ? 0 上,∴圆心坐标为 (?2, 4) ∴圆的半径 r ? 2 ,∴所求圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ……………………………………(6 分) (2)∵ l1 / / l2 ,∴ ?

?m(m ? 2) ? 3 ,∴ m ? ?1 或 m ? 3 (舍去)……………………………………(12 分) 2 ? 2m ? 18

15. (本题满分 12 分) (1)连接 AC 交 BD 于 O ,连接 OE ∵底面 ABCD 是正方形,∴ O 为 AC 中点,∵在 ?PAC 中, E 是 PC 的中点,∴ OE / / PA …(3 分) ∵ OE ? 平面 EDB , PA ? 平面 EDB ,∴ PA / / 平面 EDB ……………………………………(5 分) (2)∵侧棱 PD ⊥底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ,∴ PD ? BC ∵底面 ABCD 是正方形,∴ DC ? BC ∵ PD 与 DC 为平面 PCD 内两条相交直线,∴ BC ? 平面 PCD …(8 分) ∵ DE ? 平面 PCD ,∴ BC ? DE ∵ PD ? CD , E 是 PC 的中点,∴ DE ? PC D C A B P E

∵ PC 与 BC 为平面 PBC 内两条相交直线,∴ DE ? 平面 PBC ………………………………(11 分) ∵ DE ? 平面 BDE ,∴平面 BDE ? 平面 PBC …………………………………………………(12 分) 16. (本题满分 14 分)已知圆 C : x ? y ? 4 以及圆内一点 D(1,1)
2 2

(1)∵弦心距 d ? 1 ,∴ | AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 3 ……………………………………………………(4 分)
高一数学 第 9 页(共 8 页)

(2)当 | PQ | 最小时, CD ? m ,∴由 km ? kCD ? ?1 ,得 km ? ?1 , ∴直线 m 的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) , 即 x ? y ? 2 ? 0 ……………………………………………… (4 分)

?m2 ? n 2 ? 4 ? (3)设点 F ( x, y) ,点 E (m, n) ,则依题得: ? x ? m ? 2 , ? y?n?2 ?
∴点 F 的轨迹方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ………………………………………………………(6 分)

第二部分(共 50 分)
17.____C____ 20. (本题满分 12 分) 解:以 AD 所在直线为 y 轴, AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系 则 A(0,0) .B(3,0) .C(3,1) .D(0,1) .E(1,0) .F(2,0)………………………(2 分) 由 A(0,0) .C(3,1)知直线 AC 的方程为:x-3y=0……………………………………………(4 分) 由 D(0,1) .F(2,0)知直线 DF 的方程为:x+2y-2=0…………………………………………(6 分) 18.____D____ 19.

26

6 ? x? , ? ? x ? 3 y ? 0, ? 5 由? 得? ? x ? 2 y ? 2 ? 0. ? y ? 2 . ? 5 ?

故点 G 点的坐标为 ( , ) ……………………………………… (8 分) 5 5 y D G A E F B x C

6 2

又点 E 的坐标为(1,0) ,故 k EG ? 2 ……………(10 分) 所以 k DF ? k EG ? ?1。即证得: EG ? DF ………(12 分) 21. (本题满分 12 分)

(1)∵在 ?ABC 中, ?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC ,∴ ?ABC 为等边三角形,∴ PA ? AC …(1 分) ∵在 ?PAC 中, E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC ∵ PA ? 底面 ABCD , CD ? 底面 ABCD ,∴ PA ? CD ∵ AC ? CD , PA 与 AC 为平面 PAC 内两条相交直线,∴ CD ? 平面 PAC …………………(4 分) ∵ AE ? 平面 PAC ,∴ CD ? AE ∵ AE ? PC , PC 与 CD 为平面 PCD 内两条相交直线,∴ AE ? 平面 PCD …………………(6 分) (2)取 AC 中点 F ,连接 BF 、 PF ,设 PA ? AB ? BC ? AC ? 2a ∵在 ?ABC 中, AB ? BC , F 为 AC 中点,∴ BF ? AC ∵ PA ? 底面 ABCD , BF ? 底面 ABCD ,∴ PA ? BF
高一数学 第 10 页(共 8 页)

∵ PA 与 AC 为平面 PAC 内两条相交直线,∴ BF ? 平面 PAC ∴ PF 为 PB 在平面 PAC 内的射影, ∴ ? BPF 为 PB 和平面 PAC 所成的角…………………… (9 分) ∵ PA ? 底面 ABCD , AC ? 底面 ABCD ,∴ PA ? AC ∵ PA ? AB ? BC ? AC ? 2a ,∴ PF ? 5a , BF ? 3a ∴在 Rt ?PBF 中, tan ?BPF ?

P E A B
C

3a 15 ? 5 5a

D

∴ PB 和平面 PAC 所成的角的正切值为 22. (本题满分 12 分)

15 ……………………………………………………(12 分) 5

(1)由 x2 ? y 2 ? 2 x ? 7 ? 0 得: ( x ?1)2 ? y 2 ? 8 ………………………………………………………(1 分) 当斜率存在时,设直线方程为 y ? 4 ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 4 ? 0 ∴弦心距 d ?

| k ? 3k ? 4 | k 2 ?1

?

| 4 ? 2k | k 2 ?1

? 8 ? 4 ? 2 ,解得 k ?

3 4

∴直线方程为 y ? 4 ?

3 ( x ? 3) , 4 y7 ? 0 ? …………………………………………… 即 3x ? (4 分) 4

当斜率不存在时,直线方程为 x ? 3 ,符合题意 综上得:所求的直线方程为 3x ? 4 y ? 7 ? 0 或 x ? 3 ………………………………………………(5 分) (2) (方法一)设直线 l 方程为 y ? x ? b ,即 x ? y ? b ? 0 ∵在圆 C 中, D 为弦 AB 的中点,∴ CD ? AB ,∴ kCD ? ?1 ,∴ CD : y ? ? x ? 1 由?

? y ? x?b 1? b 1? b , ) ………………………………………………………(7 分) ,得 D 的坐标为 ( 2 2 ? y ? ?x ?1
1? b 2 1? b 2 ) ?( ) ? 2 2 ,解得 b ? ? 15 …(9 分) 2 2
|1 ? b | ? 2 2 ,∴ ?5 ? b ? 3 …………(11 分) 2

∵ D 到原点 O 的距离恰好等于圆 C 的半径,∴ (

∵直线 l 与圆 C 相交于 A、B,∴C 到直线 l 的距离 d ?

∴ b ? ? 15 ,则直线 l 的方程为 x ? y ? 15 ? 0 …………………………………………………(12 分) (方法二)设直线 l 方程为 y ? x ? b , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 由?

?y ? x?b 2 2 得 2 x ? (2b ? 2) x ? b ? 7 ? 0 2 2 x ? y ? 2 x ? 7 ? 0 ?
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由 x1 ? x2 ? 1 ? b ,得

x1 ? x2 1 ? b y1 ? y2 b ? 1 1? b 1? b ? ? , ) …………(7 分) , ,故 D 的坐标为 ( 2 2 2 2 2 2

∵ D 到原点 O 的距离恰好等于圆 C 的半径,∴ (

1? b 2 1? b 2 ) ?( ) ? 2 2 ,解得 b ? ? 15 …(9 分) 2 2

∵直线 l 与圆 C 相交于 A、B,∴ ? ? (2b ? 2)2 ? 8(b2 ? 7) ? 0 得 ?5 ? b ? 3 …………………(11 分) ∴ b ? ? 15 ,则直线 l 的方程为 x ? y ? 15 ? 0 …………………………………………………(12 分)

高一数学

第 12 页(共 8 页)


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